初等几何研究第一章习题的答案(3)

三、关于比例相似形1.从.KBCD 的各顶向不过该顶的对角线引垂线，垂足为E 、F 、G H,求证: (j )EFGH 是 Q (ii) ZEFGH S Z ^ABCD.证明:(1) V AEIBD DH 丄 AC∙∙∙ A 、D E 、H 四点共圆(视角相等)∙∙∙∠ OEH ∠ OAD同理 ∠ OGF ∠OCB 又 V AD// BC ∙∠ OAD ∠ OCB ∙∠ OEH ∠ OGF∙ EH// GF 同理EF // GH ∙四边形EFGH为平行四边形EFGH与」BCD 对角线夹角相等且对角线又成比例∙ ^EFGH S^BCD3.已知：AD 是厶ABC 的中线，过C 的一直线分别交 AD 、AB 与E 、F 。

求证：AE ∙BF=2A F ED证明：延长CF 至点H,使得CE=El 连结BHV 点D 是BC 上的中点∙ DE >△ CBH 的中位线 即 DE // BH a DE= - BHV DE// BH2∙∠ CED ∠ CHB ∠ AEF ∠ AFE=∠BFH• △ AFE sA BFHOE OH(H)V △ OE SA OADOA ODEG 二 £H ∙AC BDAE AF∙竺=AF ,且BH=2ED ∙AE ∙BF=2A∙ED BH BF4.直线I与□ ABCD勺边AB AD和对角线AC依次相交于E、F和G求证：型•如=MAE AF AG证明：连结BF、BE、CF 禾口CE, V ABAEFFCEAASS-F F B E A A S SAD= S ADE= S ACEAF S AEF S AEFAB AD---- +-------AE AFS ACF ' S ACES AEFS AEF S CEFS AEFAG GC AC^^AG^ AG5・AB、CD是等腰梯形ABCD的二底，求证：AC^AD2AB ∙ DC证明：作CD的延长线到点H ,使得AH垂直CH作点C的延长线，使得CP垂直ABAC2=AH 2CH2 2 2=(AD -DH ) CH9 9 9= AD2 (CH -DH 2)2=AD (CH DH )(CH -DH )= AD2 CP (CH DH )又AHD= CPB =90AD =CBAPH= DAC= CBP，AHD = CPBCH=AP DH =BPCH DH =AP BP=AB2 2AC =AD CP (CH DH ) 故有AC2=AD2 CP AB6. AD是Rt A ABC斜边上的高，作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. 求证：AD3=BC -BE CF证明：V AD2=BD ∙DC,BD2=BE *BA, CD2=CF-CA, ∙∙∙ AD4=BE QF 4B OC=BE QF ∙BC AD约去AD,得AD3=BC ∙BE CF7.在△ ABC 中，∠ A=60°, ∠ B=80°° 求证：AC2- AB2=AB -BC证明：AC2=AB(AB+BC),延长AB 至D,8厶ABC的内切圆分别切三边BC、CA、AB 于D、E、F, P在^ ABC 内，若PD 平分BPC，证明：因为PD平分.BPC,所以由角平分线定理有P B=匹⑴同理，P C .Ci (2),PC DC PA AEPB BD CE BF DC BF(1) *(2)得* * -PA DC AE DC AF AF 贝S PF平分.APB10在厶ABC 中，已知A=2 B.求证：BC2=AC (AC+BC) 证明；延长CA至D,使AD=AB ,如图所示AD=ABD= ABD 又A=2 B= D+ ABDD^ ABD= ∙B ABD的外接圆切BC于BBC2=CA QD=AC(AC+AB)使得BD=BC O如图,于是,容易得出∠ ACB=40 =∠ ADC△ ACD ABCAC = ABAD ACAC2=AB ∙AD=AB(AB+BC)PE平分.CPA,求证：PF平分.APB二O1MO2 =90 O1O2—MT・ 2 2・・ AIA2 4MT 4 r∣丁2 = d i d?BC1 1 111、 在厶 ABC 中，已知： E A: E B:.Z C =4:2:1.求证：-a b C证明：延长BC 至D 使CD =b ,则BD .a b 。

过C 作射线CE 交BA 的延长线于E,使.BE -B设.BCA 八贝L Bf BAC =4， 贝U . CAE=/CEA =3 ,CE = b = CD ,1CDE =/CED BCEh ,2 .AC // ED,则有 BC BA,BD BEa CMIII ；. --- =—,即:_ = — + -O ab b C a b三、关于比例相似形BA I CB 1 AC 112在厶 ABC 中，A 1B 1C 1 分别在 BC 、CA 、AB 上使得 AC=BA^ = CB^ 且∠ BAC= ∠ B 1A 1C 1,求证：△ A 1BC 1s^ ABC.证明:在BC 上去一点A 2 ,使得C A ^ = C BA ?B AB 1 ・・CA 2 _ CB 1 BC 1 _ A 2B・ 一 , —A 2B AB 1 AC 1 CA 2• ∙ B 1A 2 // AC 1, A 2C 1 // AB 1二AB 1A 2C 1是平行四边形∙∠ A — ∠ C 1A 2B 1, ∠ B — ∠ B 1A 2A 1∙∠ B 1C 1A 1— ∠ B 1A 2A 1— ∠ B （共弦）A 1BC 1ABC13在非菱形的平行四边形 ABCD 中，AC:BD —k,M 是这样的点：射线 AM 与射线AD 关 于AC对称，射线BM 与射线BC 关于BD 对称，求AM:BM.证明：T +∠ 2' —∠ 1 + ∠ 2—∠ AOB∙∠ C 1A 2B 1— ∠ B 1A 1C 1 • B 1C 1A 2A 1四点共圆EL-D __________________________ C∠ 1' +∠ 2' +∠ AOB∠ AMB—360 • 2∠ AOB∠ AMB—2∠ AOB∠ AOD）∙∠AOD—∠ AMB作O 到AD?AM?MB?BC 的高分别为H1?H2?H3?H4V OA平分∠ DAM.O平分∠ MBC 二h1=h2 h3=h 又τ O是□ ABCD勺中心V M是D关于AC的对称点• h i=h4 • hi=h2=h3=h4 • OM平分∠ AMBAM AO MO AO•••△ AMOi A AOD 综上有△ OM^A AM 二有OM=OB ,1MB =QBAM AO AC• BM =(OB)2 =(而)2=k213把厶ABC绕其外接圆圆心小于180°的某一角度旋转得△ A i B i C i,对应边AB、A i B i 交于C2，BC、B i C i 交于A2，CA、C i A i 交于B2，求证：△ A2B2C2ABC .证明：△ ABC绕其外接圆圆心旋转θ度，得到△ A i B i C ii i连接BB i,CC i Ni=^(AB _AAi)=ZACB —尹(AC -CCi) .∙×ABC -i V∠ ABC= ∠ A i B i C i• C2A2B i B四点共圆即∠ i z=∠ iV∠ A i C i B i= ∠ ACB • C i B2A2C 四点共圆∙∠3/ = ∠3= θ ∠2=∠2z V∠ C2A2B2=i80°- (∠i + ∠2+∠3)∙∠C2A2B2=i80°- (∠ACB+ ∠ABC+ θ - θ ) ∙∠C2A2B2=i8O —(∠ACB+ ∠ABC)∙∠C2A2B2=∠ A 同理可得，∠ B2C2A2= ∠ ACB A2B2C2S^ ABCi5.四边形ABCD内接于O 0,将它绕圆心0旋转小于i80o的某一角度而得四边形A iB iC iD i.求证：四边形对应边AB、行四边形之顶点。

证：∠ MOA2= ∠ NOB2故∠ A2OB2+ ∠ D=i80°于是有O、A2、D、B2四点共圆因此∠ i = ∠ ODB2,∠ 5=ODA2同理：O、A2、C、D2四点共圆因此∠ 3=∠ OCD2,∠ 4= ∠ ACO同理：O、D2、B、C2四点共圆A iB i；BC、B iC i；CD、C iD i；DA、D i A i;的父点是平因此∠ 6=∠ OBC 2,∠ 7= ∠ OBD 2 同理：0、C 2、A 、B 2 四点共圆因此∠ 8=∠ OAB 2,∠ 9= ∠ OAC 2又因为：∠ ODB 2= ∠ 0AB 2,∠ ODA 2= ∠ ACO, ∠ OCD 2= ∠ OBD 2,∠ OBC 2= ∠ OAC 2∠ 7+ ∠ 8= ∠ OBD 2+ ∠ OAB 2,∠ 1 + ∠ 3= ∠ ODB 2+ ∠ OCD 2 所以：∠ 7+∠ 8= ∠ 1 + ∠ 3,即：∠ B 2C 2D 2= ∠ B 2A2D 2 又：∠ 9+∠ 5= ∠ OAC 2+ ∠ ODA 2,∠ 6+∠ 4=∠ OBC 2+∠ ACO 所以：∠ 9+∠ 5= ∠ 6+∠ 4,即：∠ C 2B 2A 2= ∠ C 2D2A 2 所以：四边形A 2B 2C 2D 2为平行四边形，四边形对应边C 1D 1，DA 、D 1A 1的交点是一平行四边形之顶点。

16已知：I 是厶ABC 的内心，延长 AI 交BC 于D, △ ABC中三顶点A ,B ，C 的对边为a ，b, c.求证:AI:ID =(b+c):a 证明：利用角平分线的性质。

T I 是内心，BI 平分∠ B,∙∙∙ AI:ID=AB:BD二 AI:ID=AB:BD=AC:DC由等比性质得：AL = A^^C=L^ID BD +DCa17.在下图中，用阴影标出的4个三角形面积相等。

求证：没有阴影的 3个四边形之面积也相等。

如果一个三角形的面积为 1,那么一个四边形的面积等于多少? 证明：如图所示，连接AA 2, C 1C 2。

假设，如=a,竺=b, 2=c,B 2C 2C 2A 2A 2B 2∙/ S AC I A^ S AA 2C 2∙ C1G//AA 21 1 1 —1 <∙..∙.⅛a =1 ,b=1 ,c=1 =a=b=c =b Ca2(2). V C 1G//AA 2.C 1B 2 C 2B 2 1 ・ ・ 由已知c-a 可得CA 21:AR : B C =a : 1 ：-B 2A 2B 2A a A 2C 1a ∙ CA2 =I・A 是CC 的中点同理，B, G 分别是AA , BB 的中点。

AB 、A ιB i ， BC 、B 1C 1， CD∙ △ BCiG sA BAAAB 2 AA 2 BA 2 BC 2 C 2A 2 , C 2A 2 1 — ------ =--------- = ------- = ----------------- =1 + -------- =⅛ a=1+一=⅛(3) V A2是CG的中点S 5+S=S+S ∙Ss=S s （已知S=S）同理，S=S即，S=S=S⑷由CC/AA2知竺LAA2、= I=AB2—----- —a∙AB a• . , ——C i B V C1C2J B2C2 AC1 a -1∙S i + S5 AB AC 2 a C 1、1 +—I = a +1 ∙S5 _2 -2^√5+1——S i AC i AB 2 a —1< a丿 a —1 S1 a -1故当S=I 时，S=S=S= •、5 118.已知：R、r分别为△ ABC之外接圆和内切圆的半径,于D.求证：AI ∙ID=2Rr.证：连接BI、BD 如图，则有∠ IBD=∠ IBC+∠ CBD= ∠ B+1∠ A=∠ BID 2 2 ∙∙∙ ID=BD 作IF丄AB于F,贝S IF=r ,再过D的直径DE=2R连接BE则有∠ E=∠ BAD ∙Rt △ BDE^ Rt △ FIA∙型二旦即AI ∙BD=2RDE AII是内心，AI的延长线交外接圆DA2C2。