第1章命题逻辑

单位。命题逻辑研究命题及命题之间的逻辑关系。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
13
定义1.1 能判断真假的陈述句称为命题 (Statement,Proposition)。 (A proposition is a declarative sentence that is either true or false, but not both)
裘国永
23
例 1.3 设 P：今天上机，Q：今天下雨。则命题 “今天上机且今天下雨。 可符号化为合取式 ” P∧Q。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
24
(3) 析取联结词 disjunction connective∨ P∨Q（析取式） 或 Q，P 析取 Q ：P ∨：或，或者说，不是…就是，要么…要么 P∨Q 是 T 当且仅当 P，Q 中至少一个是 T 或者 P∨Q 是 F 当且仅当 P，Q 都是 F。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
40
定义 1.5
若命题公式 B 是命题公式 A 的一部
分，则称 B 是 A 的子公式。 例 1.8 子公式。 求命题公式(p→(q∧s))∨﹁(p∧s)的
பைடு நூலகம்裘国永
16
定义 1.2
不能再分解为其他命题的命题称为原子
命题(Simple statement)。由原子命题与命题联 结 词 构 成 的 命 题 称 为 复 合 命 题 (Compound proposition)。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
17
由于在命题逻辑中， 需要用形式语言来表示命题以及 命题与命题之间的逻辑关系， 因此需要引入命题标识 符表示命题。
裘国永
30
例 1.6 设 P：今天上机，Q：今天下雨。则命题 “今天上机当且仅当今天不下雨。 ”可符号化为双 条件式 P ﹁Q。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
31
The biconditional is also expressed in English in several ways: p if and only if q. p is necessary and sufficient for q. p is a necessary and sufficient condition for q.
因此不能判断真假的陈述句、疑问句、祈使句
和感叹句都不是命题。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
14
(1) 一个命题的真或假称为命题的真值. 真用 T 或 1 表示，假用 F 或 0 表示；(The true or false value assigned to a statement is called its truth value) (2) 一个陈述句有真值与是否知道它的真假 是两回事。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
32
命题符号化的目的在于用五个联结词将日常语言中的命 题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于使用适当的 联结词。 对自然语言中语句之间的逻辑关系以及命题联结 词的含义要有正确的理解： (1) 确定语句是否是一个命题； (2) 找出句中连词，用适当的命题联结词表示。
在条件式中，若前件为假，则条件式的真值一 定为真。这称为善意的推断。这和自然语言中“如 果”与“则”之间通常有某种因果关系不一样的地 方。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒 裘国永 28
The conditional is expressed English in several ways: If p, then q. p is sufficient for q. p is a sufficient condition for q. q is necessary for p. q is a necessary condition for p. p only if q(or only if q then p).
式，代入规则，替换规则
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
5
• 1.6 公式标准型—范式
• 教学内容：简单合取式，简单析取式，
析取范式，合取范式
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
6
• 1.7 公式主范式
• 教学内容：主析取范式，主合取范式，
主范式的应用
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
9
数理逻辑用数学方法研究推理， 利用符号体系研究推 理过程中前提和结论之间的关系。 数理逻辑在机器设 计、电子线路、机器证明、人工智能 AI、自动化系 统、编译理论、算法设计方法方面有广泛的应用。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
10
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
33
例 1.7
试将下列命题符号化：
(1) 若你不看电影，则我也不看电影。 (2) 小王一边吃饭，一边看书。 (3) 只有在生病时，我才不去学校。 (4) 当且仅当我生病时，我才不去学校。 (5) 除非我生病，否则我一定去学校。 (6) 除非我生病，我才不去学校。
第1章 命题逻辑
Propositional Logic
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
1
本章内容及教学要点 • 1.1 命题与联结词 • 教学内容：命题的基本概念，命题分类，
命题标识符， 命题联结词
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
2
• 1.2 命题公式、翻译与真值表
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
19
命题联结词
数理逻辑的特点是并不关心具体某个命题 的真假， 而是将逻辑推理变成类似数学演算的形 式化过程，关心的是命题之间的关联性。因此需 要进行命题符号化。 我们下面将引入命题联结词， 它们的作用是 能把已有命题组合成新命题。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒 裘国永 20
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
39
注
1. 一个命题公式无真假。只有对其所有的变元指派以确定 的命题（即真值）后，它才有真值；
2. 命题公式无限多； 3. Precedence of logical connectives(命题联结词的优 先级)在一个复杂的命题公式中，常常有许多括号和联结词， 为了简便起见，规定下列运算顺序： ﹁，∧，∨，→， 。 从而外层括号可以省略； 在不会引起混淆的情形中， 可以省略 命题表达式中的一些括号。
in
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
29
(5) 双条件联结词 biconditional connective （） P Q (双条件式) ：P 当且仅当 Q P Q 是 T 当且仅当 P，Q 或者都是 T，或者都是 F。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
一个命题越复杂，符号化该命题所需的命题 变元和联结词就越来越多。如何安排这么多 的东西使之有意义呢？
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
38
一个命题表达式是由下列方式递归定义的： 定义 1.4 (1) 一个命题变元是一个命题公式； (2) 若 A 是一个命题公式，则﹁A 也是一个命题公式； (3) 若 A、 是命题公式， B 则(A∧B)、 (A∨B)、 (A→B) 和(A B)均为命题公式； (4) 只有经过有限次地应用(1)、(2)、(3)所得的结 果才是命题公式。
裘国永
7
• 1.8 命题逻辑的推理理论
• 教学内容：推理规则，推理定律，判断
有效结论的常用方法
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
8
逻 辑 学 (Logic) 是 研 究 人 的 思 维 形 式 的 科 学 (Science of Reasoning) 。 而 数 理 逻 辑 (Mathematical Logic)是逻辑学的一个重要分 支，是用数学形式化的方法研究思维规律的一门学 科。由于它使用了一套符号简洁地表达出各种推理 的 逻 辑 关 系 ， 故 它 又 称 符 号 逻 辑 (Symbolic Logic)。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
25
例 1.4 设 P：今天上机，Q：今天下雨。则命题 “今天上机或者今天下雨。 ”可符号化为析取式 P∨Q。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
26
(4) 条件联结词 conditional connective→（ ） P→Q（条件式） ：如果 P 则 Q →：如果(若)…就(则)，只要…就，若…才能 P
在数学中，非常有必要知道何为一个正确的 数学证明。在 CS 中，知道一个程序是否正 确也是非常重要的。这就要用到数理逻辑。
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
11
1.1 命题与联结词
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
12
命题是推理的最基本单位，是命题逻辑的最小研究
2013年7月29日星期一 6时16分32秒
裘国永
34
解
(1) 设 P：我看电影；Q：你看电影。则原命题 符号化为﹁Q→﹁P。
(2) 设 P：小王吃饭；Q：小王看书。则原命题符号 化为 P∧Q。 设 P：我生病，Q：我去学校。则 (3) ﹁Q→P (4) P ﹁Q (5) ﹁P→Q (6) P→﹁Q
2013年7月29日星期一 6时16分32秒