第1章 命题逻辑

习题11．下列句子中那些是命题？(1) 4是无理数.(2) 2+5＝8.(3) x+5＞3.(4) 你有铅笔吗？(5) 这只兔子跑得真快呀！(6) 请不要讲话！(7) 我正在说谎话.解：(1)(2)是命题。

(7)是悖论。

2．判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

（1）北京是中华人民共和国的首都。

（2）陕西师大是一座工厂。

（3）你喜欢唱歌吗？（4）若7+8＞18，则三角形有4条边。

（5）前进！（6）给我一杯水吧！解：(1)(2)(4)是命题，真值分别是1,0,1。

3．写出下列命题的否定式：（1）存在一些人是大学生；（2）所有的人都是要死的；（3）并非花都有香味。

解：(1) 不存在一些人是大学生。

（2）并非所有的人都是要死的；（3）花都有香味。

4．设P：我生病，Q：我去学校，符号化下列命题。

(1) 只有在生病时，我才不去学校。

(2) 若我生病，则我不去学校。

(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校。

(4) 若我不生病，则我一定去学校。

解：（1）Q→P（2）P→Q（3）P Q（4）P→Q5．设p：李平聪明，q：李平用功。

符号化下列命题。

(1) 李平既聪明又用功。

(2) 李平虽然聪明，但不用功。

(3) 李平不但聪明，而且用功。

(4) 李平不是不聪明，而是不用功。

(5) 张三或李四都可以做这件事。

解：（1）p ∧q （2）p ∧q （3）p ∧q（4）(p)∧q ，或p ∧q（5）设p ：张三可以做这件事，q ：李四可以做这件事。

命题符号化为p ∨q 。

6．设p ：天下雨，q ：我骑车上班。

符号化下列命题。

(1) 如果天不下雨，我就骑车上班。

(2) 只要天不下雨，我就骑车上班。

(3) 只有天不下雨，我才骑车上班。

(4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。

(5) 如果天下雨，我就不骑车上班。

解：（1）p →q （2）p →q（3）q →p ，p →q （4）q →p ，p →q （5）p →q7．将下列命题符号化。

(1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。

解：设p ：小王是游泳冠军，q ：小王是百米赛跑冠军。

原语句化为p ∨q 。

(2) 小王现在在宿舍或在图书馆。

解：设p ：小王在宿舍，q ：小王在图书馆。

原语句化为p ∨q 。

(3) 选小王或小李中的一人当班长。

解：设p ：选小王当班长，q ：选小李当班长。

但因为p,q 不可能同时为真, 故应符号化为： (p ∧q)∨(p ∧q) (4) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。

解：设ｐ：我上街，ｑ：我去书店看看，ｒ：我很累。

原语句化为ｒ→(ｐ→ｑ)或(ｒ∧ｐ)→ｑ。

(5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年，她是三好生。

解：设p ：小丽是计算机系的学生，q ：小丽生于1982年，r ：小丽生于1983年，s ：小丽是三好生。

原语句化为p ∧(q ∨r)∧s 。

(6) 我去镇上，当且仅当我有时间且天不下雪。

解：设p:我去镇上，q:我有时间，r:天下雪。

原语句化为p ↔q ∧r 。

(7) 我若去镇上则我有时间，并且我若有时间则去镇上。

解：设p:我去镇上，q:我有时间。

原语句化为p ↔q 。

(8) 我有时间或我去镇上，此话不对。

解：设p:我去镇上，q:我有时间。

原语句化为(p ∨q)。

8.求下列命题公式的真值表。

(1)()p p q ∧→⌝ (2)()()p q q p ⌝→→→⌝(3)()()()()r p q p r p ↔→⌝∨⌝→↔ 解：(1)p q p q →()p q →⌝()p p q ∧→⌝0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 11(2)p q q p →⌝p q ⌝→()()p q q p ⌝→→→⌝0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1(3)令A=()()()()r p q p r p ↔→⌝∨⌝→↔p q r p r ⌝→ ()p r p ⌝→↔()r p q ↔→⌝A 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 11 1119. 设p ：422=+,q ：3是奇数。

符号化下列命题 (1) 422=+ 当且仅当3是奇数。

(2) 422=+ 当且仅当3不是奇数。

(3) 422=+ 当且仅当3是奇数。

(4) 422≠+ 当且仅当3不是奇数。

注：第(3)小题中“422=+”改为“422≠+”。

解：（1）p ↔q （2）p ↔q （3）p ↔q （4）p ↔q10．给定命题公式如下，请判断哪些是重言式，哪些是矛盾式，哪些是可满足式？ (1))()(q p q p ∨→∧(2)))()(()(p q q p q p →∧→↔↔ (3)q p q ∧→⌝)( (4)q p p ↔⌝∧)( (5))(q p p ∨→ 解：(1))()(q p q p ∨→∧⇔)()(q p q p ∨∨∧⌝ ⇔)()(q p q p ∨∨⌝∨⌝ ⇔)()(q q p p ∨⌝∨∨⌝ ⇔1∨1=1重言式(2)))()(()(p q q p q p →∧→↔↔⇔)()(q p q p ↔↔↔ ⇔1重言式(3)q p q ∧→⌝)(⇔q p q ∧∨⌝⌝)( ⇔q p q ∧⌝∧)( ⇔p q ⌝∧可满足式(4)q p p ↔⌝∧)(⇔q ↔0可满足式(5))(q p p ∨→⇔)(q p p ∨∨⌝ ⇔1重言式11．判断A,B 两公式是否等值。

(1))(q p A ∨⌝=，q p B ⌝∨⌝= (2)q p A ↔=，)()(p q q p B →∧→=解：（1）)(q p q p B ∧⌝=⌝∨⌝=，A 与B 不等值。

或作真值表如下：（2）A 与B 等值。

可用真值表验算。

作真值表如下：12．求公式r q p A →∧=)(，的成假赋值与成真赋值。

p q r q p ∧r q p →∧)(0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 11111成假赋值110，其余皆是成真赋值。

13．验证下列等值式。

(1)r q p r q p →∧⇔→→)()( (2)r q r q p r q p ∧⇔∧∧⌝∨∧∧))(())(( (3)q p q p ⌝∧⌝⇔∨⌝)( 解：(1))(r q p →→⇔)(r q p ∨⌝→ ⇔)(r q p ∨⌝∨⌝ ⇔r q p ∨⌝∨⌝)( ⇔r q p ∨∧⌝)( r q p →∧⇔)((2)))(())((r q p r q p ∧∧⌝∨∧∧⇔)()(r q p p ∧∧⌝∨ ⇔)(1r q ∧∧ r q ∧⇔(3)略。

可用真值表验证。

14．求公式p r q p →→∨))((的析取范式和合取范式。

⇔()()p r q p ∨∨∨⌝⌝ 消去→ ⇔()()()p r q p ∨⌝∧∨⌝⌝ ⌝内移 ⇔()()p r q p ∨⌝∧∨ 消去⌝⌝⇔()()p r q r p ∨⌝∧∨⌝∧ 分配律(∧对∨分配)上式即原式的析取范式，再利用第三步的结论，即： 原式⇔()()p r q p ∨⌝∧∨⇔()()p r p q p ∨⌝∧∨∨ 分配律(∨对∧分配) ⇔()()r p q p ⌝∨∧∨即原式的合取范式。

15．求14题中公式的主析取范式与主合取范式。

解：令A =p r q p →→∨))((， [方法一] 等值式法由第14题，A 的析取范式为()()p r q r p ∨⌝∧∨⌝∧A ⇔()p r q ∨⌝∧ (()p p r p ⇔∨⌝∧吸收律) ⇔()()()()()()r r q q p p p r q ⌝∨∧⌝∨∧∨⌝∨∧⌝∧⇔()()()()r q p r q p p r q p r q ⌝∧∧∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧ ()()r q q r q q ⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨⇔()()()()r q p r q p r q p r q p ⌝∧∧∨∧∧∨⌝∧∧⌝∨⌝∧∧ ()()r q q r q q ⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨ ⇔456726m m m m m m ∨∨∨∨∨ ⇔76542m m m m m ∨∨∨∨⇔()∑7,6,5,4,2A ⇔()()r p q p ⌝∨∧∨ 合取范式⇔()()()()()()q q r p r r q p ⌝∧∨⌝∨∧⌝∧∨∨⇔()()()()q r p q r p r q p r q p ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨∧⌝∨∨∧∨∨ ⇔()()()()r q p r q p r q p r q p ⌝∨⌝∨∧⌝∨∨∧⌝∨∨∧∨∨ ⇔310M M M ∧∧⇔()3,1,0∏[方法二] 真值表法1.利用真值表求命题公式A 的主析取范式。

步骤：(1) 列出A 的真值表， (2) 找出A 的所有成真赋值，(3) 求每个成真赋值对应的十进制数，即极小项的角码，将极小项按序析取即成。

A 的成真赋值有010，100，101，110，111对应的十进制数为2，4，5，6，7所以A 的主析取范式为 76542m m m m m ∨∨∨∨⇔()∑7,6,5,4,22.利用真值表求命题公式A 的主合取范式 步骤：(1) 列出A 的真值表， (2) 找出A 的所有成假赋值，(3) 求每个成假赋值对应的十进制数，即极大项的角码，将极大项按序合取即成。

A 的成假赋值有000，001，011，对应的十进制数为0，1，3。

所以A 的主合取范式： A ⇔310M M M ∧∧⇔()3,1,0∏16．试对下述问题进行符号化推理证明：（1）如果我上街，我一定去新华书店，我没上街，所以我没去新华书店； （2）前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r →（3）如果今天是星期一，则要进行英语或离散数学考试。

如果英语老师有会，则不考英语，今天是星期一，英语老师有会，所以进行离散数学考试。

注：(2)中“s r →”改为“s r ∨”。

解：（1）设p ：我上街，q ：我去新华书店，前提：q p →，p ⌝ 结论：q ⌝推理的形式结构为：()()q p q p ⌝→⌝∧→[方法一]()()q p q p ⌝→⌝∧→⇔320m m m ∨∨⇔()∑3,2,0 (过程略)其主析取范式中缺极小项1m ，所以推理不正确。

[方法二]()()q p q p ⌝→⌝∧→⇔()()q p q p ⌝→⌝∧∨⌝ 蕴涵等值式⇔q p ⌝→⌝ 吸收律 ⇔q p ⌝∨由于01是q p ⌝∨的成假赋值，并非重言式，推理不正确。

[方法三] 列出真值表，其最后一列不全为1(过程略)，所以推理不正确。