高中数学第二章变化率与导数24导数的四则运算法则教材基础素材北师大版2-2!

§4 导数的四则运算法则
前面我们已经学习了常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数的求导公式.当这些函数进行加、减、乘、除运算时，如何对这些函数求导呢？本节课我们就开始探讨这方面的问题. 高手支招1细品教材
一、导数的加、减法
状元笔记
对于和、差的求导法则，可以推广到任意有限个可导函数的情形，即［u(x)+v(x)+…+w(x)］′=u′(x)+v′(x)+…+w′(x).
1.导数的加、减法法则
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差).
2.表达式：［f(x)±g(x )］′=f′(x)±g′(x).
3.证明：令y=f(x)±g(x)，
Δy=［f(x+Δx)±g(x+Δx)］-［f(x)±g(x)］=［f(x+Δx)-f(x)］±［g(x+Δx)-g(x)］=Δf±Δg, ∴x y ∆∆=x f ∆∆±x g ∆∆，0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x (x f ∆∆±x g ∆∆)= 0lim →∆x x f ∆∆±0lim →∆x x
g ∆∆， 即［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x). 【示例】函数f(x)=
x 1-x 的导数是（ ） A.21x -x
1 B.-21x +x 21 C.21x -x 21 D.-21x -x 21 思路分析：(
x 1)′=-21x ,(x)′=x 21,∴f′(x)=-21x -x
21. 答案：D 二、导数的乘、除法
1.常数与函数的积的导数
（1）法则：常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积.
（2）表达式：［cf(x)］′=cf′(x).
2.两个函数的积的导数
（1）法则：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数.
（2）表达式：［f(x)g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
（3）证明：令y=f(x)g(x)，则Δy=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x)
=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)-f(x)g(x),
x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(g(x+Δx)+f(x)x
x g x x g ∆-∆+)()(, 因为g(x)在点x 处可导，所以当Δx→0时，g(x+Δx)→g(x)，
从而0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(g(x+Δx)+f(x)·0lim →∆x x
x g x x g ∆-∆+)()( =f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
【示例】设y=-2e x sinx,则y′等于（ ）
A.-2e x cosx
B.-2e x sinx
C.2e x sinx
D.-2e x (sinx+cosx)
思路分析：y′=-2(e x sinx+e x cosx)=－2e x (sinx+cosx).
答案：D
状元笔记
在计算导数时要注意：［f(x)g(x)］′≠f′(x)g′(x)，［)()(x g x f ］′≠)
(')('x g x f . 3.两个函数的商的导数
（1）法则：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方.
（2）表达式： ［)()(x g x f ］′=)
()(')()()('2x g x g x f x g x f -［g(x)≠0］. （3）证明：y=
)()(x g x f , Δy=)
()()()()()()()()()(x g x x g x x g x f x g x x f x g x f x x g x x f ∆+∆+-∆+=-∆+∆+ =)
()()]()()()([)]()()()([x g x x g x g x f x x g x f x g x f x g x x f ∆+-∆+--∆+ =
)()()]()()[()()]()([x g x x g x g x x g x f x g x f x x f ∆+-∆+--∆+, x y ∆∆=)
()()()()()()()(x g x x g x x g x x g x f x g x x f x x f ∆+∆-∆+-∆-∆+. 因为g(x)在点x 处可导，所以当Δx→0时，g(x+Δx)→g(x).
∴0lim →∆x x y ∆∆=)
()()(')()()('x g x g x g x f x g x f ∙-， 即［)()(x g x f ］′=)
()(')()()('x g x g x f x g x f -［g(x)≠0］. 【示例】y=x x 4
的导数是_____________. 思路分析：直接利用公式及运算法则. 答案：y′=
x x 44ln 1- 高手支招2基础整理
本节的内容就是关于导数的运算：导数的加、减法法则和应用，导数的乘、除法法则和应用.
主要内容如下：。