2016届广东省惠州市高考数学三调试卷(理科)
广东省惠州市2016届高三第二次调研考试理科数学试卷
惠州市2016届高三第二次调研考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合{}|24xA x =≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则A B 等于( )（A ）(1,2) （B ） (1,2] （C ） [1,2) （D ） [1,2]（2）在复平面内，复数11i i++所对应的点位于( ) （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率等于( )（A（B ）2（C（D（4）已知两个非零单位向量12,e e的夹角为θ，则下列结论不正确．．．的是( ) （A ）1e 在2e方向上的投影为cos θ （B ）2212e e =（C ）()()1212e e e e +⊥- （D ）121e e ⋅=（5）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示， 则该三棱锥的外接球表面积( ) （A ）29π （B ）30π （C ）292π（D ）216π 俯视图主视图侧视图（6）惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如右图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )（A ）31.6岁 （B ）32.6岁 （C ）33.6岁 （D ）36.6岁（7）函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图像如图所示，为了得到()cos 22g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒谦的图像，只需将()f x 的图像( )π7πx（A ） （B ） （C ） （D ）（9）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有( ) （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个（10）已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩,则32x y x +++的取值范围是( )（A ）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）45,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦（11）由等式4324321234123(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x ++++=+++++++4b +, 定义映射43214321),,,(b b b b a a a a f +++→，则→)1,2,3,4(f ( ) （A ）0 （B ）10 （C ）15 （D ）16（12）如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在ABC ∆中用余弦定理解得AC Rt ACH ∆中解得1cos 72AC =，据此可得cos 72 的值所在区间为( )（A ）()0.1,0.2 （B ）()0.2,0.3 （C ）()0.3,0.4 （D ）()0.4,0.5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
惠州市届调研三数学理科卷试题
7 8 994 4 6 4 7 3惠州市2008届高三第三次调研考试数学试题（理科卷 2008.1） 第Ⅰ卷（选择题，共40分）一．选择题：本大题共8小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分40分．1．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）.A ．1B ．3C ．4D ．82．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）.A ．－2B ．1C ．2D ．1或 －23．计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，那么将二进制数211611111）（个转换成十进制形式是（ ）.A ．1722-B ．1622-C ．1621-D ．1521-4．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）. A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.55．下图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）. A ．84，4.84 B ．84，1.6 C ．85，1.6 D ．85，46．定义运算a ⊕b=⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a ，则函数f(x)=1⊕2x的图象是（ ）.7．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622=+y x ，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）.A ．20B ．18C ．16D ．以上均有可能8．已知函数①x x f ln 3)(=；②xe xf cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=.其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量)()(,212x f x f x 使=3成立的函数是（ ）.A ．③B ．②③C ．①②④D ．④第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．每小题5分，满分30分．9．已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==则BC AC 与的夹角的大小为 . 10．按下列程序框图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x =5，则运算进行 次才停止。
2016年全国3卷高考理科数学真题及详细解析(解析版,学生版,精校版,新课标Ⅲ卷)
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，=|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。
【数学】2016年高考真题——全国Ⅲ卷(理)(word版含答案)(K12教育文档)
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2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3。
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S={}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x=--≥=>，则S T=( )（A) [2,3］ (B)（—∞，2] [3，+∞）（C) ［3,+∞） (D）(0,2］ [3,+∞）（2）若12z i=+,则41izz=-（ )(A）1 （B) —1 （C） i （D)-i（3）已知向量13(,)22BA= ,31(,),22BC=则∠ABC=( ）（A)300 (B） 450（C） 600 (D）1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A点表示十月的平均最高气温约为150C,B点表示四月的平均最低气温约为50C。
(全优试卷)广东省惠州市高三第三次调研考试数学理试题 Word版含解析
惠州市高三第三次调研考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图1中阴影部分所表示的集合为( )（A ）{0,1,2} （B ）{0,1} （C ）{1,2} （D ）{1} （2）设函数R x x f y ∈=),(,“)(x f y =是偶函数”是“)(x f y =的图像关于原点对称”的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）充要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）执行如右图2所示的程序框图, 则输出的结果为( ) （A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）11（4）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )（A ） 3 （B ） 2 （C ）2 （D ）3 （5）⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )（A ）－20 （B ）－5 （C ）5 （D ）20（6）某四棱锥的三视图如图3所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )（A ）1 （B ） 2 （C ） 3（D ）2图1图3（7）若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）正三角形（D ）等腰直角三角形（8）函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) （A ）34 （B ）1 （C ）32（D ）2 （9）已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )（A ）3 （B ）2 （C ）－2 （D ）－3 （10）函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为()（A ） （B ） （C ） （D ）（11）如图4是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为P A ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面P AD . 其中正确的有( )（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（12）已知函数21()(,g x a xx e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）21[1,2]e + （B ）2[1,2]e - （C ）221[2,2]e e +-（D ）2[2,)e -+∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广东省惠州市2016届高考数学三调试卷(理科)(解析版)
2016年广东省惠州市高考数学三调试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={5，a2﹣3a+5}，N={1，3}，若M∩N≠∅，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．4 D．1或22．复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．1+2i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i3．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1）∪（1，2]B．[0，1）∪（1，4]C．[0，1）D．（1，4]4．已知sinθ+cosθ=，，则sinθ﹣cosθ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣5．已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣2，2）D．[﹣3，3]6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（）种．A．24 B．48 C．72 D．1207．已知向量=（sinA，）与向量=（3，sinA+cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角A 的大小为（）A．B．C．D．8．某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A．1007 B．2015 C．2016 D．32049．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=2x无交点，则离心率e的取值范围是（）A．（1，2） B．（1，2]C．（1，）D．（1，]10．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2B．4 C．2D．211．设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．412．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f（x）=；②f（x）=2x；③f（x）=lg（x2+2）；④f（x）=cos（πx）．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（）A．①③B．②④C．①②D．③④二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a=﹣2sinxdx，则二项式（x2+）5的展开式中x的系数为．14．已知向量=（1，），=（3，m）．若向量在方向上的投影为3，则实数m=．15．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n=．16．设点P在曲线y=e x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．18．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F 分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．20．已知中心在原点的椭圆C：+=1的一个焦点为F1（0，3），M（x，4）（x＞0）为椭圆C上一点，△MOF1的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】请考生在第22、23、24题中任选一题作答．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（Ⅰ）求证：|AE|=|EB|；（Ⅱ）求|EF|•|FC|的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系x轴正半轴重合，单位长度相同．）（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l与x轴的交点，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2016年广东省惠州市高考数学三调试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={5，a2﹣3a+5}，N={1，3}，若M∩N≠∅，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．4 D．1或2【考点】交集及其运算．【专题】方程思想；转化法；集合．【分析】根据题意得，a2﹣3a+5=1或a2﹣3a+5=3，解方程即可．【解答】解：由题意得，a2﹣3a+5=1或a2﹣3a+5=3，即a2﹣3a+4=0或a2﹣3a+2=0；解a2﹣3a+4=0得，此方程无解；解a2﹣3a+2=0得，a=1或a=2；综上，a的值为1或2．故选：D．【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，也考查了一元二次方程的解法与应用问题，是基础题．2．复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．1+2i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z=+i3=﹣i=﹣（i﹣1）﹣i=1﹣2i，其共轭复数为1+2i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1）∪（1，2]B．[0，1）∪（1，4]C．[0，1）D．（1，4]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数y=f（x）的定义域，得出函数g（x）的自变量满足的关系式，解不等式组即可．【解答】解：根据题意有：，所以，即0≤x＜1；所以g（x）的定义域为[0，1）．故选：C．【点评】本题考查了函数定义域的应用问题，解题的关键是根据函数y=f（x）的定义域，得出函数g（x）的自变量满足的关系式，是基础题目．4．已知sinθ+cosθ=，，则sinθ﹣cosθ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意可得可得1＞cosθ＞sinθ＞0，2sinθcosθ=，再根据sinθ﹣cosθ=﹣，计算求得结果．【解答】解：由sinθ+cosθ=，，可得1＞cosθ＞sinθ＞0，1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=．∴sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．5．已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣2，2）D．[﹣3，3]【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意可得圆心（0，0）到直线l：x+y=a的距离d满足d＜r+1，根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：由圆的方程可知圆心为（0，0），半径为2．因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r+1=3，即d=＜3，解得﹣3＜a＜3．故选：A．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，属于基础题．6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（）种．A．24 B．48 C．72 D．120【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】甲、乙两人必须相邻，利用捆绑法与其余3人全排即可．【解答】解：由题意，利用捆绑法，甲、乙两人必须相邻的方法数为A22•A44=48种．故选：B．【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，正确运用捆绑法是关键．7．已知向量=（sinA，）与向量=（3，sinA+cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角A 的大小为（）A．B．C．D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由，可得sinA（sinA+cosA）﹣=0，化为=1，由于A∈（0，π），即可得出．【解答】解：∵，∴sinA（sinA+cosA）﹣=0，∴2sin2A+2sinAcosA=3，化为1﹣cos2A+sin2A=3，∴=1，∵A∈（0，π），∴∈．∴=，解得A=．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、和差化积、倍角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A．1007 B．2015 C．2016 D．3204【考点】程序框图．【专题】计算题；转化思想；定义法；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+（2016+1）=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是模拟程序运行的过程，得出程序运行后输出的算式的特征，是基础题目．9．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=2x无交点，则离心率e的取值范围是（）A．（1，2） B．（1，2]C．（1，）D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得，≤2，由此能求出离心率e的取值范围．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=2x无交点，∴由题意可得，≤2，∴e=，又∵e＞1，∴离心率e的取值范围是（1，]．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．10．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2B．4 C．2D．2【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，即可求出四面体的四个面中面积最大的面积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故选：C．【点评】本题考查三视图，考查面积的计算，确定三视图对应直观图的形状是关键．11．设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划的应用；基本不等式．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，∴4a+6b=12，即2a+3b=6，∴=（）×=（12+）≥4当且仅当时，的最小值为4故选D．【点评】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，确定a，b的关系是关键．12．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f（x）=；②f（x）=2x；③f（x）=lg（x2+2）；④f（x）=cos（πx）．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（）A．①③B．②④C．①②D．③④【考点】函数的值．【专题】计算题；新定义；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用“1的饱和函数”的概念对所给的四个函数分别验证，能求出结果．【解答】解：对于①，若存在实数x0，满足f（x0+1）=f（x0）+f（1），则，所以，该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数x0，满足f（x0+1）=f（x0）+f（1），则，解得x0=1，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x0，满足f（x0+1）=f（x0）+f（1），则，化简得，该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”；对于④，注意到，f（）+f（1）=，即f（）=f（）+f（1），因此是“1的饱和函数”，综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④．故选：B．【点评】本题考查“1的饱和函数”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a=﹣2sinxdx，则二项式（x2+）5的展开式中x的系数为﹣640．【考点】二项式系数的性质；定积分．【专题】对应思想；定义法；二项式定理．【分析】先求出a的值，再利用二项式的展开式通项公式求出x的系数．【解答】解：∵a=﹣2sinxdx=2=2（cosπ﹣cos0）=﹣4，∴二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=•x2（5﹣r）•=（﹣4）r••x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3，∴展开式中x的系数为（﹣4）3•=﹣640．故答案为：﹣640．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了定积分的应用问题，是基础题目．14．已知向量=（1，），=（3，m）．若向量在方向上的投影为3，则实数m=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由投影的定义即得，所以得到，解出m即可．【解答】解：根据投影的概念：；∴．故答案为：．【点评】考查投影的概念，两向量夹角余弦公式的坐标运算，数量积的坐标运算，根据向量坐标求其长度．15．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n=．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】令b n=nS n+（n+2）a n，由已知得b1=4，b2=8，从而b n=nS n+（n+2）a n=4n，进一步得到{}是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出{a n}的通项公式．【解答】解：设b n=nS n+（n+2）a n，∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，∴b1=4，b2=8，∴b n=b1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，即b n=nS n+（n+2）a n=4n当n≥2时，S n﹣S n﹣1+（1+）a n﹣（1+）a n﹣1=0∴=，即2•，∴{}是以为公比，1为首项的等比数列，∴=，∴．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，解答的关键是注意构造法和等差数列、等比数列的性质的合理运用，是中档题．16．设点P在曲线y=e x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两点间距离公式的应用．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】由于函数y=e x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数y=e x上的点P（x，e x）到直线y=x的距离为d=，设g（x）=e x﹣x，求出g（x）min=1﹣ln2，即可得出结论．【解答】解：∵函数y=e x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称函数y=e x上的点P（x，e x）到直线y=x的距离为d=设g（x）=e x﹣x，（x＞0）则g′（x）=e x﹣1由g′（x）=e x﹣1≥0可得x≥ln2，由g′（x）=e x﹣1＜0可得0＜x＜ln2∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，d min=由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2d min=．故答案为：．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．【考点】解三角形．【专题】综合题；解三角形．【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．【解答】解：（1）因为∠D=2∠B，cos∠B=，所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣．…因为∠D∈（0，π），所以sinD=．…因为AD=1，CD=3，所以△ACD的面积S===．…（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12．所以AC=2．…因为BC=2，，…所以=．所以AB=4．…【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查．18．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】（I）根据题意知每位乘客在第2层下电梯的概率都是，至少有一名乘客在第2层下电梯的对立事件是没有人在第二层下电梯，根据对立事件和相互独立事件的概率公式得到结果．（II）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，得到变量符合二项分布，根据二项分布的公式写出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，…则．…（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，…由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，．……．…【点评】本题看出离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是看出变量符合二项分布的特点，后面用公式就使得运算更加简单19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F 分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【专题】空间角．【分析】（1）由已知条件推导出△ABC为正三角形，从而得到AE⊥BC，AE⊥AD，再由PA⊥平面ABCD，得到PA⊥AE，由此能证明AE⊥平面PAD．（2）法一：H为PD上任意一点，连接AH，EH，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角，当AH 最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，由此能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．（2）法二：由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分13分）（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，∵E为BC的中点，∴AE⊥BC…又∵BC∥AD，∴AE⊥AD…∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE…而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD．…（2）解法一：H为PD上任意一点，连接AH，EH，由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角，…在RT△EAH中，，∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．…此时，∴，又∵AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2…∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD，过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，…在RT△AOE中，，又F是PC的中点，在RT△ASO中，，又，…在RT△ESO中，即所求二面角的余弦值为．…（2）解法二：由（1）可知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AP=a，则A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（，，），H（0，2﹣2λ，aλ）（其中λ∈[0，1]），…∴，面PAD的法向量为，，∵EH与平面PAD所成最大角的正切值为…∴的最大值为，即f（a）=（a2+4）λ2﹣8λ+7在λ∈[0，1]的最小值为5，∵函数f（a）对称轴，∴f（a）min=，解得a=2…∴=（，0，0），=（，，1）设平面AEF的一个法向量为=（x1，y1，z1），则∴，取z1=﹣1，则=（0，2，﹣1）…为平面AFC的一个法向量．…∴∴所求二面角的余弦值为…【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．20．已知中心在原点的椭圆C：+=1的一个焦点为F1（0，3），M（x，4）（x＞0）为椭圆C上一点，△MOF1的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆C的焦点为F1（0，3），可得椭圆C的方程为，利用M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF1的面积为，求出M的坐标代入椭圆C的方程，即可确定椭圆C的方程；（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程代入椭圆方程，消去y，可得一元二次方程，利用韦达定理，结合以线段AB为直径的圆恰好经过原点，，即可求得结论．【解答】解：（1）因为椭圆C的焦点为F1（0，3），∴b2=a2+9，则椭圆C的方程为∵M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF1的面积为∴，∴x=1，∴M（1，4）代入椭圆C的方程，可得∴a4﹣8a2﹣9=0∴a2=9∴椭圆C的方程为；（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程为y=4x+m，代入椭圆方程，消去y，可得18x2+8mx+m2﹣18=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以∴x1x2+y1y2=0．∴x1x2+16x1x2+4m（x1+x2）+m2=0∴17×﹣4m×+m2=0∴此时△=64m2﹣72（m2﹣18）＞0∴直线方程为y=4x．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆方程，正确运用韦达定理是关键．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（a x﹣1）lna，h'（x）=2+a x ln2a，当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0），故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）…（Ⅱ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：所以f（x）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．…因为，令，因为，所以在a∈（0，+∞）上是增函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即，函数在a∈（0，1）上是减函数，解得．综上可知，所求a的取值范围为．…【点评】本题考查了基本函数导数公式，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于难题．【选修4-1：几何证明选讲】请考生在第22、23、24题中任选一题作答．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（Ⅰ）求证：|AE|=|EB|；（Ⅱ）求|EF|•|FC|的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，EA为圆D的切线，由切割线定理能证明|AE|=|EB|．（Ⅱ）连结BF，推导出BF⊥EC，由射影定理能求出EF•FC的值．【解答】（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线…依据切割线定理得EA2=EF•EC，…另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，…同样依据切割线定理得EB2=EF•EC，…故|AE|=|EB|．…解：（Ⅱ）连结BF，∵BC为圆O直径，∴BF⊥EC，…由=，得BF==，…又在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=．…【点评】本题考查线段相等的证明，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理和射影定理的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系x轴正半轴重合，单位长度相同．）（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l与x轴的交点，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】转化思想；消元法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）利用cos2θ+sin2θ=1，可把曲线C的参数方程可化为普通方程；直线l的方程为ρsin （θ+）=．可化为=，，利用即可得出直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线c为圆，圆C的圆心坐标为（1，2），半径r=1，则|MC|=．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．【解答】解：（Ⅰ）利用cos2θ+sin2θ=1，可把曲线C的参数方程可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为ρsin（θ+）=．可化为=，可得：直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0．（Ⅱ）令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线c为圆，圆C的圆心坐标为（1，2），半径r=1，则|MC|=．∴|MN|≤|MC|+r=+1，∴|MN|的最大值为1．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6} …（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析能力，突出恒成立问题的考查，属于难题．。
2016届广东省惠州市高三第二次调研考试数学(理)试题(解析版)
惠州市2016届高三第二次调研考试数 学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合{}|24x A x =≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则A B 等于( )（A ）(1,2)（B ） (1,2]（C ） [1,2)（D ） [1,2]（2）在复平面内，复数11i i++所对应的点位于( ) （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率等于( )（A（B ）2（C（D（4）已知两个非零单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确．．．的是( ) （A ）1e 在2e 方向上的投影为cos θ （B ）2212e e = （C ）()()1212e e e e +⊥-（D ）121e e ⋅=（5）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示， 则该三棱锥的外接球表面积( ) （A ）29π （B ）30π （C ）292π（D ）216π俯视图主视图侧视图（6）惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如右图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( ) （A ）31.6岁 （B ）32.6岁 （C ）33.6岁 （D ）36.6岁（7）函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图像如图所示，为了得到()cos 22g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将()f x 的图像( )（A ）向左平移3π个长度单位 （B ）向右平移3π个长度单位 （C ）向左平移6π个长度单位 （D ）向右平移6π个长度单位（8）若函数()xxf x k a a-=⋅-（a >0且1a ≠）在(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图像是( )（A ） （B ） （C ） （D ）（9）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有( ) （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个（10）已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩,则32x y x +++的取值范围是( )（A ）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）45,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦（11）由等式4324321234123(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x ++++=+++++++4b +,定义映射43214321),,,(b b b b a a a a f +++→，则→)1,2,3,4(f ( ) （A ）0 （B ）10 （C ）15 （D ）16（12）如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在ABC ∆中用余弦定理解得xy O 12xy O 12xyO1-2xyO1-2π7πx88cos108AC =-，乙同学在Rt ACH ∆中解得1cos 72AC =，据此可得cos 72的值所在区间为( )（A ）()0.1,0.2 （B ）()0.2,0.3 （C ）()0.3,0.4 （D ）()0.4,0.5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
(完整版),2016全国三卷理科数学高考真题及答案,推荐文档
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S= S ={x P(x- 2)(x- 3) ≥ 0}, T ={x I x > 0}，则S I T=(A) [2，3] (B)（- ∞，2] U [3,+ ∞）(C) [3,+ ∞）(D)（0，2] U [3,+ ∞）4i（2）若z=1+2i ，则=zz -1(A)1 (B) -1 (C) i (D)-iu u v12u u u v31（3）已知向量BA = ( , ) , BC = ( , ), 则∠ABC=2 2 2 2(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C，B 点表示四月的平均最低气温约为50C。
下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在00C 以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于200C 的月份有5 个（5）若tan=3 4(A)64254，则cos2 + 2 sin 2=(B)48253 1(C) 1 (D)1625（6）已知a = 23 ，b = 44 ，c = 253 ，则（A） b <a <c （B）a <b <c （C）b <c <a （D）c <a <b （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A）3（B）4（C）5（D）6{（8） 在△ABC 中， B = π ，BC 边上的高等于 1BC ,则cos A =4 3（A ）3 1010（C ） - 10 （B ） 1010（D ）- 3 1010(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18 +36（B ） 54 +18 （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 内有一个体积为 V 的球，若AB ⊥ BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则 V 的最大值是 9（A ）4π（B ）（C ）6π2（D ）32 3x 2 + y 2=> >（11） 已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C ：a 2b 21(a b0) 的左焦点，A ，B 分别为 C 的左，右顶点.P为 C 上一点，且 PF ⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点， 则 C 的离心率为 112 3 （A ）（B ）（C ）（D ）3 234（12） 定义“规范 01 数列”{a n }如下：{a n }共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k ≤ 2m ，a 1 , a 2 , , a k 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m =4，则不同的“规范 01 数列”共有（A ）18 个（B ）16 个（C ）14 个（D ）12 个二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分x ‒ y + 1 ≥ 0 x ‒ 2y ≪ 0（13） 若 x ，y 满足约束条件 x + 2y ‒ 2 ≪ 0 则 z=x+y 的最大值为 . （14）函数y = sin x ‒ 3cos x 的图像可由函数y = sin x + 3cos x 的图像至少向右平移 个单位长度得到。
广东省惠州市高三上学期第三次调研考试——数学理(数
广东省惠州市2016届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，若，则实数的值为（ ） A ． B ． C ． D ．或 2．复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ． B ． C ． D ．3．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 5．已知圆：上到直线的距离等于1的点至少有2个， 则的取值范围为（ ）A ．B ．(,(32,)-∞-+∞C ．D ．6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）种。
A ． B ． C ． D ．7．已知向量与向量(3,sin )n A A =共线，其中是的内角， 则角的大小为（ ）A. B. C. D.8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ） A ．1007 B ．2015 C ．2016 D ．30249．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线无交点，则离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（ ）A ．B ．4C ．D ．11．设实数满足条件203600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若函数满足：在定义域内存在实数，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立，则称函数为“1的饱和函数”。
广东省惠州市届高三第三次调研考试数学理试题Word版含解析
惠州市2017届高三第三次调研考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图1中阴影部分所表示的集合为( )（A ）{0,1,2} （B ）{0,1} （C ）{1,2} （D ）{1} （2）设函数R x x f y ∈=),(,“)(x f y =是偶函数”是“)(x f y =的图像关于原点对称”的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）充要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）执行如右图2所示的程序框图, 则输出的结果为( ) （A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）11（4）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )（A ） 3 （B ） 2 （C ）2 （D ）3 （5）⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )（A ）－20 （B ）－5 （C ）5 （D ）20（6）某四棱锥的三视图如图3所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )（A ）1 （B ） 2 （C ） 3（D ）2图1图3（7）若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）正三角形（D ）等腰直角三角形（8）函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) （A ）34 （B ）1 （C ）32（D ）2 （9）已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )（A ）3 （B ）2 （C ）－2 （D ）－3 （10）函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为()（A ） （B ） （C ） （D ）（11）如图4是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为P A ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面P AD . 其中正确的有( )（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（12）已知函数21()(,g x a xx e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）21[1,2]e + （B ）2[1,2]e - （C ）221[2,2]e e +-（D ）2[2,)e -+∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2016届广东省惠州市高考数学三调试卷（理科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，若，则实数的值为A. B. C. D. 或2. 复数（为虚数单位）的共轭复数为A. B. C. D.3. 若函数的定义域是，则函数的定义域是A. B.C. D.4. 已知，，则的值为A. B. C. D.5. 已知圆：上到直线：的距离等于的点至少有个，则的取值范围为A.B.C.D.6. 甲、乙等人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有种．A. B. C. D.7. 已知向量与向量共线，其中是的内角，则角的大小为A. B. C. D.8. 某程序框图如图所示．该程序运行后输出的的值是A. B. C. D.9. 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是A. B. C. D.10. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为的等腰直角三角形，侧视图是边长为的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A. B. C. D.11. 设，满足条件若目标函数的最大值为，则的最小值为A. B. C. D.12. 若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“的饱和函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中是“的饱和函数”的所有函数的序号为A. ①③B. ②④C. ①②D. ③④二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知，则二项式的展开式中的系数为．14. 已知向量，．若向量在方向上的投影为，则实数．15. 设数列的项和为，且，为等差数列，则的通项公式．16. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 如图所示，在四边形中，，且，，．（1）求的面积；（2）若，求的长．18. 某商场一号电梯从层出发后可以在、、层停靠．已知该电梯在层载有位乘客，假设每位乘客在、、层下电梯是等可能的．（1）求这位乘客中至少有一名乘客在第层下电梯的概率；（2）用表示名乘客在第层下电梯的人数，求的分布列和数学期望．19. 如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，，，分别是，的中点．（1）证明：平面；（2）取，若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．20. 已知中心在原点的椭圆：的一个焦点为，为椭圆上一点，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于，两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点?若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．21. 已知函数．（1）求函数单调区间；（2）若存在，，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围．22. 如图，正方形边长为，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连接并延长交于点．（1）求证：；（2）求的值．23. 已知曲线的参数方程是（为参数），直线的极坐标方程为．（其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系轴正半轴重合，单位长度相同．）（1）将曲线的参数方程化为普通方程，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设是直线与轴的交点，是曲线上一动点，求的最大值．24. 已知函数．（1）解不等式；（2）对任意，都有成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. D 【解析】由题意得，或，即或；解得，此方程无解；解得，或；综上，的值为或．2. A 【解析】，其共轭复数为．3. C 【解析】根据题意有：所以即；所以的定义域为．4. B 【解析】由，，可得，，所以．所以．5. A【解析】由圆的方程可知圆心为，半径为．因为圆上的点到直线的距离等于的点至少有个，所以圆心到直线的距离，即，解得．6. B 【解析】由题意，利用捆绑法，甲、乙两人必须相邻的方法数为种．7. C 【解析】因为，所以，所以，化为，所以，因为，所以．所以，解得．8. D 【解析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：所以该程序运行后输出的值是．9. D 【解析】因为双曲线与直线无交点，所以由题意可得，，所以，又因为，所以离心率的取值范围是．10. C【解析】由三视图知该几何体为棱锥，其中平面；四面体的四个面中面的面积最大，三角形是边长为的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为．11. D 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大，所以，即，所以．当且仅当时，的最小值为．12. B 【解析】对于①，若存在实数，满足，则，所以，（，且），该方程无实根，因此①不是“的饱和函数”；对于②，若存在实数，满足，则，解得，因此②是“的饱和函数”；对于③，若存在实数，满足，则，化简得，该方程无实根，因此③不是“的饱和函数”；对于④，注意到，，即，因此是“的饱和函数”；综上可知，其中是“的饱和函数”的所有函数的序号是②④．第二部分13.【解析】因为，所以二项式的展开式中通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为．14.【解析】根据投影的概念：；所以．15.【解析】设，因为数列的前项和为，且，所以，，所以，即．当时，，所以，即，所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，所以．16.【解析】因为函数与函数互为反函数，图象关于对称．函数上的点到直线的距离为，设，则由可得，由可得．所以函数在单调递减，在单调递增．所以当时，函数，．由图象关于对称得：最小值为．第三部分17. （1）因为，，所以．因为，所以．因为，，所以的面积．（2）在中，．所以．因为，，所以．所以．18. （1）设位乘客中至少有一名乘客在第层下电梯的事件为，由题意可得每位乘客在第层下电梯的概率都是，则．（2）的可能取值为，，，，，由题意可得每个人在第层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，．．19. （1）因为四边形为菱形，，所以为正三角形，因为为的中点，所以．又因为，所以．因为平面，平面，所以．而平面，平面，，所以平面．（2）解法一：为上任意一点，连接，，由（1）知平面，则为与平面所成的角，在中，，所以当最短时，即当时，最大．此时，所以，又因为，所以，所以．因为平面，平面，所以平面平面，过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，，，又是的中点，在中，，又，在中，，即所求二面角的余弦值为．解法二：由（1）可知，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，，（其中，所以，面的法向量为，，因为与平面所成最大角的正切值为，所以的最大值为，即在的最小值为，因为函数对称轴，所以，解得．所以，．设平面的一个法向量为，则所以取，则．为平面的一个法向量．所以．所以所求二面角的余弦值为．20. （1）因为椭圆的焦点为，所以，则椭圆的方程为．因为椭圆上一点，的面积为．所以，所以，所以．代入椭圆的方程，可得．所以，所以，所以椭圆的方程为．（2）假设存在符合题意的直线存在，设直线方程为，代入椭圆方程，消去，可得．设，，则，，因为以线段为直径的圆恰好经过原点，所以所以．所以．所以．所以此时所以直线方程为．21. （1）函数的定义域为，．令，，当，时，，所以在上是增函数，又，所以，的解集为，的解集为，故函数的单调增区间为，单调减区间为．（2）因为存在，，使得成立，而当时，所以只要．又因为，，的变化情况如下表所示：所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．因为，令，因为，所以在上是增函数．而，故当时，，即；当时，，即．所以，当时，，即，而函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．综上可知，所求的取值范围为．22. （1）由以为圆心为半径作圆，而为正方形，所以为圆的切线．依据切割线定理得，另外圆以为直径，所以是圆的切线，同样依据切割线定理得，故．（2）连接，因为为圆直径，所以，由，得，又在中，由射影定理得．23. （1）利用，可把曲线的参数方程可化为，直线的方程为．可化为，可得：直线的直角坐标方程为．（2）令，得，即点的坐标为．又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，则．所以，所以的最大值为．24. （1），当时，，即，所以；当时，，即，所以；当时，，即，所以；综上，不等式的解集为：．（2），函数的图象如图所示：令，表示直线的纵截距，当直线过点时，；所以当，即时成立；当，即时，令，得，所以，即时成立，综上或．。