07-13年广东高考数学理科立体几何真题(含答案)
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何(修改)
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（ ）A ．35003cm πB ．38663cm πC ．313723cm πD ．320483cm π【答案】A2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【答案】D3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为 （ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．3C ．3D ．13【答案】A5 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A6 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ ）A ．1243V V V V <<< B．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 （ ）A ．1B C ．2D ．2【答案】C8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．143C ．163D ．6【答案】B9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 （ ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l【答案】D10．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】B11．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为 （ ）A ．5603B ．5803C ．200D ．240正视图俯视图侧视图第5题图【答案】C12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A ．2B ．C ．132D ．【答案】C13．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】A14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A15．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））在下列命题中,不是公理．．的是 （ ）A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 16．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A 17．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是【答案】D 二、填空题18．（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48ππ,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________【答案】2216ππ+.19．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___3π_____.【答案】3π 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32OK =,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60,则球O 的表面积等于______.【答案】16π21．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.【答案】 22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））如图,在三棱柱ABCC B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥A D E F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.【答案】1:2423．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .【答案】2424．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））如图,正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,P 为BC的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S的面积为2. 【答案】①②③⑤A BCAD EF BC25．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.【答案】1616π-26．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________【答案】12π27．（2013年上海市春季高考数学）在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______【答案】3π三、解答题28．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值D 1 C 1 B 1A 1D C AB【答案】29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））如图,四棱锥P A B C D-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.【答案】1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5°.AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ⋂=⊂⇒ 设面面直线且面面//AB m ⇒直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂ . 所以,ABCD D P PAB的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ) rPOOPF F CD r =︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒-︒=︒∠==︒⋅︒⇒=︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[21cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.法二:1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以//PQ 面BDC ;ABDPQM（第20题图）方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以////P O Q H P Q O H∴,且OH BCD ⊂,所以//PQ 面BDC ;(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以C H G ∠就是C B M D --的二面角;由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===, 在RT BCG ∆中,2sin BGBCG BG BCααα∠=∴=∴=,所以在R T B H G ∆中, 2133HG α=∴=,所以在RT CHG ∆中tan tan 603CG CHG HG ∠====tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ;2．（2013年上海市春季高考数学）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π,求该三棱柱的体积.【答案】[解]因为1CC 1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6π. 在Rt 1BC C ∆中,11tan 63BC CC BC C =⋅∠=⨯=从而24ABC S BC ∆==因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ∆=⋅==3．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）本小题满分14分.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC∴平面//EFG 平面ABC (2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ⊆平面SAB AF⊥SBABCS GFEB 1A 1C 1ACB∴AF⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF⊥BC又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB∴BC⊥SA4．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11A【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1ADC ∆中,11AC DC AD ==故132AD C S ∆= 所以,13123233V h h =⨯⨯=⇒=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23.5．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sinsin sin θαβ=.【答案】解:(I)EFAC ,AC ABC ⊆平面,EF ABC ⊆平面第19题图EF ABC∴ 平面⊆平面又EF BEF∴EF l∴ 平面l PAC(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ',因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故OH =,从而AH '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则C D OBE'AH.CO BDEA CDOBE'A图1图200n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,5n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5. 7．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD ,AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.【答案】8．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E,∵AB=1AA ,1BAA ∠=060,∴1BAA ∆是正三角形,∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵1CE A E ⋂=E,∴AB⊥面1CEA,∴AB⊥1AC ;(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,1EA ⊥AB,又∵面ABC⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴EC⊥面11ABB A ,∴EC⊥1EA ,∴EA,EC,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -, 有题设知A(1,0,0),1A(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则BC),1BB =1AA),1AC),设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,则100BC BB ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n ,即0x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,可取n∴1cos ,A C n =11|A C A C ∙n |n||∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C9．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.1A【答案】解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴⊂⊥11,,面且面 ;又因为,在正方形AB CD中,BD C A AC A C A AC A BD A AC O A BD AC ⊥⊂⊥=⋂⊥11111,，故面且面所以；且. 在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设.，所以由以上三点得且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =⋂⊂⊂111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕)(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.以O 为原点,以OC 为X 轴正方向,以OB 为Y 轴正方向.则)1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0111-=⇒C A B A C B ，，，，）（.由(Ⅰ)知, 平面BB 1D 1D 的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111）（==-==OB A n 设平面OCB 1的法向量为，则0,0,2122=⋅=⋅OC n OB n n ).1-,1,0(法向量2=n 为解得其中一个21221|||||,cos |cos 212111=⋅=⋅=><=n n n n θ.1A所以,平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ为3π 10．（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P A B-中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，,连接CE 并延长交AD 于F . (1) 求证:AD CFG ⊥平面;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.【答案】解:(1)在ABD ∆中,因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====,故,23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=,因为DAB DCB ∆≅∆,所以EAB ECB ∆≅∆, 从而有FED FEA ∠=∠,故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ,所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .(3) 以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则3(0,0,0),(1,0,0),(22A B C D ,(4)3(0,0,)2P ,故1333(0),(),(2222BC CP CD ==-=- ，设平面BCP 的法向量111(1,,)n y z = ,则111102233022y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩ ,解得1123y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即12(1,)33n =- .设平面DCP 的法向量222(1,,)n y z = ,则22232233022y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩,解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2(1n = .从而平面BCP 与平面DCP的夹角的余弦值为12124cos 4n n n n θ⋅=== 11．（2013年高考四川卷（理））如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠= ,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点.(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值.1C【答案】解:()I 如图,在平面ABC 内,过点P 做直线l //BC ,因为l 在平面1ABC 外,BC 在平面1ABC 内,由直线与平面平行的判定定理可知, l //平面1ABC . 由已知,AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥,则直线l AD ⊥.因为1AA ⊥平面ABC ,所以1AA ⊥直线l .又因为1,AD AA 在平面11ADDA 内,且AD 与1AA 相交,所以直线平面11ADD A()II 解法一:连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E ,过E 作1EF AM ⊥于F ,连接AF . 由()I 知,MN ⊥平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1A MN . 所以AE ⊥平面1A MN ,则1AM AE ⊥. 所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .故AFE ∠为二面角1A AM N --的平面角(设为θ). 设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==. 又P 为AD 的中点,所以M 为AB 的中点,且1,12AP AM ==, 在1Rt AAP 中, 1AP =;在1Rt A AM 中, 1AM从而,11AA AP AE A P ∙==11AA AM AF A M ∙==所以sin AE AF θ==所以cos θ===. 故二面角1A AM N --解法二:设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,A E A D ,1AA的方向为x轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点1A 重合).则()10,0,0A ,()0,0,1A .因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,故11,1,,122M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以11,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,()10,0,1A A =,)NM =.设平面1AA M 的一个法向量为()1111,,n x y z =,则1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 即11110,0,n A M n A A ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩故有()()()1111111,,,10,2,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎫∙=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪∙=⎩从而111110,220.x y z z ++=⎪⎨⎪=⎩取11x =,则1y =,所以()11,n =. 设平面1A MN 的一个法向量为()2222,,n x y z =,则212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 即2120,0,n A M n NM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩故有()())2222221,,,10,22,,0,x y z x y z ⎧⎛⎫∙=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪∙=⎪⎩从而222210,20.x y z ++=⎨⎪=⎩取22y =,则21z =-,所以()20,2,1n =-. 设二面角1A AM N --的平面角为θ,又θ为锐角, 则1212cos n n n n θ∙===∙故二面角1A AM N -- 12．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分10分.如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点 (1)求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值 (2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值.【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力.解:(1)以{}1,,为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -,则)0,0,0(A )0,0,2(B ,)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,)4,2,0(1C ∴)4,0,2(1-=A ,)4,1,1(1--=A∴10103182018,cos 11==>=<C A ∴异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值为10103 (2))0,2,0(= 是平面1ABA 的的一个法向量设平面1ADC 的法向量为),,(z y x =,∵)0,1,1(=,)4,2,0(1=AC 由1,AC ⊥⊥ ∴⎩⎨⎧=+=+0420z y y x 取1=z ,得2,2=-=x y ,∴平面1ADC 的法向量为)1,2,2(-=m设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ∴32324,cos cos =⨯-==><=θ, 得35sin =θ ∴平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值为3513．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））如图,四棱锥P ABCD-中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆ ，与PAD ∆都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小.【答案】14．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））如图所示,在三棱锥P ABQ -中,PB ⊥平面ABQ ,BA BP BQ ==,,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点, 2AQ BD =,PD 与EQ 交于点G ,PC 与FQ 交于点H ,连接GH .(Ⅰ)求证:AB GH ; (Ⅱ)求二面角D GH E --的余弦值.【答案】解:(Ⅰ)证明:因为,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,所以EF ∥AB ,DC ∥AB ,所以EF ∥DC , 又EF ⊂平面PCD ,DC ⊂平面PCD , 所以EF ∥平面PCD ,又EF ⊂平面EFQ ,平面EFQ 平面PCD GH =, 所以EF ∥GH , 又EF ∥AB , 所以AB ∥GH .(Ⅱ)解法一:在△ABQ 中, 2AQ BD =,AD DQ =,所以=90ABQ ∠,即AB BQ ⊥,因为PB ⊥平面ABQ ,所以AB PB ⊥,又BP BQ B = ,所以AB ⊥平面PBQ ,由(Ⅰ)知AB ∥GH ,所以GH ⊥平面PBQ ,又FH ⊂平面PBQ ,所以GH FH ⊥,同理可得GH HC ⊥, 所以FHC ∠为二面角D GH E --的平面角,设2BA BQ BP ===,连接PC ,在t R △FBC 中,由勾股定理得,FC ,在t R △PBC 中,由勾股定理得,PC ,又H 为△PBQ 的重心,所以13HC PC ==同理3FH =,在△FHC 中,由余弦定理得552499cos 5529FHC +-∠==-⨯,即二面角D GH E --的余弦值为45-.解法二:在△ABQ 中,2AQ BD =,AD DQ =,所以90ABQ ∠=,又PB ⊥平面ABQ ,所以,,BA BQ BP 两两垂直, 以B 为坐标原点,分别以,,BA BQ BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设2BA BQ BP ===,则(1,0,1)E ,(0,0,1)F ,(0,2,0)Q ,(1,1,0)D ,(0,1,0)C (0,0,2)P ,,所以(1,2,1)EQ =-- ,(0,2,1)FQ =- ,(1,1,2)DP =-- ,(0,1,2)CP =- ,设平面EFQ 的一个法向量为111(,,)m x y z =,由0m EQ ⋅= ,0m FQ ⋅=, 得111112020x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取11y =,得(0,1,2)m =.设平面PDC 的一个法向量为222(,,)n x y z =由0n DP ⋅= ,0n CP ⋅=,得222222020x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩ 取21z =,得(0,2,1)n = .所以4cos ,5m n m n m n ⋅==因为二面角D GH E --为钝角,所以二面角D GH E --的余弦值为45-.15．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱1111//ABCD A BC D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=,13AD AA==.(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.【答案】解: (Ⅰ)AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111,面且面是直棱柱D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11111,,⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥，面。
2013年广东省理科数学高考题答案及点评
2013年广东省高考理科数学试题2013.6.12参考公式：棱台体积()h S S S S V 221131+⋅+=，其中21,S S 为上、下底面面积，h 为棱台的高。
一 选择题：1.设集合M={}R x x x x ∈=+,02|2，N={}R x x x x ∈=-,02|2，则=N M （ D ） A.{}0 B.{}2,0 C.{}0,2- D.{}2,0,2-2.定义域为R 的四个函数y =x 3，y=2x ，y =x 2+1，y =2sin x 中，奇函数的个数是（ C ） A.4 B.3 C.2 D.13.若复数z 满足i z =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ C ） A.（2，4） B.（2，－4） C.（4，－2） D.（4，2）4.则X 的数学期望E （X ）＝（ A ） A.23 B.2 C.25D.3 5.某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（ B ）A.4B.314C.316 D.66.设m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面。
下列命题中正确的是（ D ） A.若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥ B.若βαβα⊂⊂n m ,,//，则n m // C.若βα⊂⊂⊥n m n m ,,，则βα⊥ D.若βα//,//,n n m m ⊥，则βα⊥7.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于23，则C 的方程是（ B ） A.15422=-y x B. 15422=-y x C. 15222=-y x D. 15222=-y x 8.设整数4≥n ，集合X ＝{}n ,,3,2,1 。
令集合 S=(){X z y x z y x ∈,,|,,，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}若()z y x,,和()x w z ,,都在S 中，则下列选项正确的是（ B ）图1俯视图侧视图正视图A.()()S w y x S w z y ∉∈,,,,,B. ()()S w y x S w z y ∈∈,,,,,C.()()S w y x S w z y ∈∉,,,,,D. ()()S w y x S w z y ∉∈,,,,, 二 填空题9.不等式022<-+x x 的解集为____()1,2-_____。
2013年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)(K12教育文档)
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年广东，理1，5分】设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ，{}2|20,N x x x x =-=∈R ，则MN =( ）（A ）{}0 （B){}0,2 （C ）{}2,0- （D ）{}2,0,2- 【答案】D【解析】易得{}2,0M =-，{}0,2N =,所以M N ={}2,0,2-，故选D ．（2)【2013年广东，理2，5分】定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是（ ）（A ）4 (B)3 （C ）2 （D ）1 【答案】C【解析】3y x =，2sin y x =为奇函数；21y x =+为偶函数；2x y =为非奇非偶函数．∴共有2个奇函数，故选C ．（3）【2013年广东，理3,5分】若复数z 满足i 24i z =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）（A ）()2,4 （B ）()2,4- (C)()4,2- （D ）()4,2 【答案】C【解析】由i 24i z =+，得24i (24i)(i)42i i i (i)z ++⋅-===-⋅-，故z 对应点的坐标为(4)2-，，故选C ． （4)【2013年广东,理4 X 1 2 3P35310110则X 的数学期望EX =（A ）32（B ）2 （C ）52(D ）3【答案】A【解析】33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==，故选A ． (5）【2013年广东,理5，5分】某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（ ）（A)4 （B ）143 （C ）163（D ）6 【答案】B【解析】解法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示, 其中上、下底面分别是边长为1，2的正方形,且1DD ⊥面ABCD ，上底面面积2111S ==,下底面面积2224S ==．又∵12DD =,∴()1122111411()442333V S S S S h =++=+⨯+⨯=台,故选B ．解法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示．在四棱台1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1都为正方形，2AB =,111A B =,且1D D ⊥平面ABCD ，12D D =． 分别延长四棱台各个侧棱交于点O ，设1OD x =，因为11OD C ODC ∆∆∽,所以111OD D C OD DC=, 即122x x =+，解得2x =．111111111114224112333ABCD A B C D O A A B B C O D CD V V V ---=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-=棱锥棱锥，故选B ．（6）【2013年广东,理6，5分】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）（A ）若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ (B ）若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n （C ）若m n ⊥,m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ （D ）若m α⊥，//m n ,//n β,则αβ⊥ 【答案】D【解析】选项A 中，m 与n 还可能平行或异面，故不正确;选项B 中，m 与n 还可能异面,故不正确；选项C 中,α与β还可能平行或相交，故不正确；选项D 中,∵m α⊥，//m n ，n α∴⊥． 又//n β，αβ∴⊥，故选D ． （7）【2013年广东，理7,5分】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ，离心率等于32，在双曲线C 的方程是（ ）（A)2214x -= （B ）22145x y -= （C ）22125x y -= (D)2212x = 【答案】B【解析】由曲线C 的右焦点为0(3)F ，，知3c =．由离心率32e =，知32c a =，则2a =，故222945b c a =-=-=,所以双曲线C 的方程为22145x y -=,故选B ．（8）【2013年广东，理8，5分】设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =．令集合(){,,|,,S x y z x y z X =∈且三条件x y z <<，,y z x z x y <<<<，}恰有一个成立，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（ ）（A)(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ （B ）(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈ （C ）(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ （D ）(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ 【答案】B【解析】解法一：特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈，()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ． 解法二:由()x y z S ∈，，，不妨取x y z <<，要使()z w x S ∈，，，则w x z <<或x z w <<．当w x z <<时, w x y z <<<,故()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,．当x z w <<时，x y z w <<<，故()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,．综上可知，()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,，故选B ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一）必做题（9～13）（9）【2013年广东，理9,5分】不等式220x x +-<的解集为 ． 【答案】()2,1-【解析】220x x +-<即()()210x x +-<，解得21x -<<，故原不等式的解集为1{|}2x x -<<． （10）【2013年广东，理10，5分】若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k = ． 【答案】1-【解析】1y xk '=+．因为曲线在点(1)k ，处的切线平行于x 轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得10|x y ='=，故10k +=，即1k =-．（11）【2013年广东,理11，5分】执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4,则输出s 的值为 ． 【答案】7【解析】第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后：2,3s i ==；第三次循环后：4,4s i ==;第四次循环后:7,5s i ==；故输出7．（12）【2013年广东,理12，5分】在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=,则573a a += ． 【答案】20【解析】依题意12910a d +=，所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=． 或：()57383220a a a a +=+=．(13）【2013年广东，理13,5分】给定区域D ：4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定 条不同的直线．【答案】6【解析】画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1，取得最大值时的整点为()0,4,()1,3，()2,2,()3,1及()4,0共5个整点．故可确定516+=条不同的直线．（二)选做题（14—15题,考生只能从中选做一题） (14)【2013年广东,理14,5分】（坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧⎪⎨⎪⎩(t 为参数)，C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 ．【答案】sin 4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的普通方程为222x y +=，其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（15）【2013年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若6AB =，2ED =，则BC= ．【答案】23【解析】依题意易知ABC CDE ∆∆，所以AB BCCD DE=，又BC CD =，所以212BC AB DE =⋅=，从而23BC =．三、解答题：本大题共6题,共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (16）【2013年广东，理16，12分】已知函数()2cos 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值;(2）若3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 解：（1)2cos 2cos 2cos 1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2）22cos 22cos 2cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以4sin 5θ=-，所以24sin 22sin cos 25θθθ==-，227cos2cos sin 25θθθ=-=-，所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭． （17）【2013年广东，理17，12分】某车间共有12名工人,随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数． （1）根据茎叶图计算样本均值;（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．解:(1）样本均值为1719202125301322266+++++==．(2）由（1)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人（3)设事件A ：从该车间12名工人中,任取2人，恰有1名优秀工人，则()P A =1148212C C C 1633=．（18）【2013年广东,理18，14分】如图1，在等腰直角三角形ABC中，90A ∠=︒，6BC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，2CD BE ==，O 为BC 的中点．将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中3A O '=．（1）证明：A O '⊥平面BCDE ；（2）求二面角D AF E －－的余弦值． 解：（1）在图1中，易得3,32,22OC AC AD ===，连结,OD OE ，在OCD ∆中,由余弦定理可得222cos 455OD OC CD OC CD =+-⋅︒=,由翻折不变性可知22A D '=，所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥，理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =，所以A O '⊥平面BCDE ．（2）解法一：过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ，连结A H '，因为A O '⊥平面BCDE ，所以A H CD '⊥，A HO '∴∠为二面角A CD B '--的平面角．由图1可知，H 为AC 中点，故322OH =，2230A H OH OA ''+， 所以15cos OH A HO A H '∠='，所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为15． 解法二:以O 点为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(3A '，()0,3,0C -,()1,2,0D -，所以()0,3,3CA '=，(3DA '=-，设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即330230y z x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩,解得3y xz x=-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =，得(1,1,3n =-由（1)知，(3OA '=为平面CDB 的一个法向量，所以15cos ,35n OA n OA n OA '⋅'==='⋅， 即二面角A CD B '--15． （19）【2013年广东，理19,14分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N ．（1)求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3)证明:对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<． 解：（1)依题意，12122133S a =---，又111S a ==，所以24a =．（2)当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---，()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------，两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---，整理得()()111n n n a na n n ++=-+， 即111n n a a n n +-=+，又21121a a -=，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为1的等差数列, 所以()111n an n n=+-⨯=，所以2n a n =．（3）当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---，此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<，综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<．（20）【2013年广东,理20,14分】已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l ：20x y --=的距离为2．设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．(1）求抛物线C 的方程；（2）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值． 解：（1）依题意，设抛物线C 的方程为24xcy =,2=结合0c >，解得1c =． 所以抛物线C 的方程为24x y =．（2）抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =，求导得12y x '=，设()11,A x y ，()22,B x y (其中221212,44x x y y ==）， 则切线,PA PB 的斜率分别为112x ，212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-， 即211122x x y x y =-+，即11220x x y y --=，同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=，所以()()1122,,,x y x y为方程00220x x y y --=的两组解．所以直线AB 的方程为00220x x y y --=． （3）由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++，联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=，由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-，2120y y y =，所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+， 又点()00,P x y 在直线l 上，所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当012y =-时， AF BF ⋅取得最小值，且最小值为92．（21）【2013年广东，理21，14分】设函数()()21x f x x e kx =--（其中k ∈R ）．（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M ．解：（1)当1k =时，()()21x f x x e x =--，()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-, 令()0f x '=，得0x =，ln 2x =，当x 变化时，()(),f x f x '的变化如下表：f x 0,ln 2,0-∞)ln 2,+∞．（2）()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-，令()0f x '=，得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-，则()1110k g k k k -'=-=>，所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<，从而()ln 2k k <，所以()[]ln 20,k k ∈，所以当()()0,ln 2x k ∈时，()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时，()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---,令()()311k h k k e k =--+，则()()3k h k k e k '=-，令()3k k e k ϕ=-，则()330k k e e ϕ'=-<-<，所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭，所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=，且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时，()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x上单调递减．17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =，()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当1k =时取得“="．综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--．。
2013年高考真题理科数学(广东卷)及答案(word精校版)
绝密★启用前 试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：台体的体积公式121()3V S S h =，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合2{|20,}M x x x x =+=∈R ，2{|20,}N x x x x =-=∈R ，则M N =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-2. 定义域为R 的四个函数3y x =，2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13. 若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是A ．(2,4)B ．(2,4)-C ．(4,2)-D ．(4,2)4. 已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望A ．32B ．2C ．52D ．3图1 正视图俯视图侧视图2 图3DABCO EA ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β7. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率 等于32，则C 的方程是 A ．2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x =8. 设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n = . 令集合{(,,)|,,,S x y z x y z X =∈且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}. 若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是 A ．(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∉S B ．(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∈S C ．(,,)y z w ∉S ，(,,)x y w ∈S D ．(,,)y z w ∉S ，(,,)x y w ∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题）9. 不等式220x x +-<的解集为 .10. 若曲线ln y kx x =+在点(1,)k处的切线平行于x 轴，则k = . 11. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值 为 .12. 在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a += .13. 给定区域D ：4440x y x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥. 令点集0000{(,)|,T x y D x y =∈∈Z ，00(,)x y 是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 条不同的直线.（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点（1,1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上， 延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若6AB =， 2ED =，则BC = .图41 7 92 0 1 53 0图6A 'BC 图5OCDEB三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-，x ∈R .（1）求()6f π-的值；（2）若3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求(2)3f πθ+.17.（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？其中A O '=（1）证明：A O '⊥平面BCDE ；（2）求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N . （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++< .20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为2，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值.21.（本小题满分14分）设函数2()(1)x f x x e kx =--()k ∈R .（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M .图41 7 92 0 1 53 02013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题）9. (2,1)- 10. 1-11. 7 12. 20 13.5 （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14.cos sin 20ρθρθ+-=（填sin()4πρθ+=cos(4πρθ-=15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-，x ∈R .（1）求()6f π-的值；（2）若3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求(23f πθ+. 16. 解：（1）())1661242f ππππ-=--=-==（2）因为3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈ 所以4sin 5θ==-所以4324sin 22sin cos 2()5525θθθ==⨯-⨯=-2222347cos 2cos sin ()()5525θθθ=-=--=-所以(2)))cos 2sin 233124f ππππθθθθθ+=+-=+=-72417(252525=---=17.（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？图6A 'A B C 图5OC D EBA 'OC DEBFC其中A O '=（1）证明：A O '⊥平面BCDE ；（2）求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.18. 解：（1）连结OD ，OE因为在等腰直角三角形ABC 中，45B C ∠=∠=，CD BE ==3CO BO ==所以在△COD 中，OD ==OE = 因为AD A D A E AE ''====A O '= 所以222A OOD A D ''+=，222A O OE A E ''+=所以90A OD A OE ''∠=∠=所以A O OD '⊥，A O OE '⊥，OD OE O = 所以A O '⊥平面BCDE（2）方法一：过点O 作OF CD ⊥的延长线于F ，连接A F ' 因为A O '⊥平面BCDE根据三垂线定理，有A F CD '⊥所以A FO '∠为二面角A CD B '--的平面角在Rt △COF 中，cos 45OF CO ==在Rt △A OF '中，A F '== 所以cos OF A FO A F '∠==' 所以二面角A CD B '--方法二： 取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，OH 、OB 、OA '分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,3,0),(1,2,0)O A C D '--(0,3)OA '=是平面BCDE 的一个法向量 设平面A CD '的法向量为(,,)x y z =nCA '= ，(1,1,0)CD =所以30CA y CD x y ⎧'⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，令1x =，则1y =-，z =所以(1,1=-n 是平面A CD '的一个法向量设二面角A CD B '--的平面角为θ，且(0,)2πθ∈所以cos 5OA OA θ'⋅==='⋅ n n所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为519.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N . （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++< .19. 解：（1）当1n =时，11221221133S a a ==---，解得24a =（2）32112233n n S na n n n +=--- ①当2n ≥时，321122(1)(1)(1)(1)33n n S n a n n n -=------- ②①-②得212(1)n n n a na n a n n +=----整理得1(1)(1)n n na n a n n +=+++，即111n n a a n n +=++，111n n a an n+-=+ 当1n =时，2121121a a -=-= 所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列 所以na n n=，即2n a n = 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =，*n ∈N （3）因为211111(1)1n a n n n n n=<=---（2n ≥） 所以222212111111111111111()()()123423341n a a a n n n+++=++++<++-+-++-- 11171714244n n =++-=-<20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为2，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点. （1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值. 20. 解：（1）焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离2d ===，解得1c = 所以抛物线C 的方程为24x y =（2）设2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x 由（1）得抛物线C 的方程为214y x =，12y x '=，所以切线PA ，PB 的斜率分别为112x ，212x所以PA :211111()42y x x x x -=- ①PB :222211()42y x x x x -=- ②联立①②可得点P 的坐标为1212(,)24x x x x +，即1202x x x +=，1204x xy = 又因为切线PA 的斜率为2011011142y x x x x -=-，整理得201011124y x x x =- 直线AB 的斜率221201212114442x x x x x k x x -+===- 所以直线AB 的方程为210111()42y x x x x -=-整理得20101111224y x x x x x =-+，即0012y x x y =-因为点00(,)P x y 为直线:20l x y --=上的点，所以0020x y --=，即002y x =-所以直线AB 的方程为00122y x x x =-+（3）根据抛物线的定义，有21114AF x =+，22114BF x =+所以2222221212121111||||(1)(1)()144164AF BF x x x x x x ⋅=++=+++ 22212121211[()2]1164x x x x x x =++-+ 由（2）得1202x x x +=，1204x x y =，002x y =+所以2222220000000001||||(48)121(2)214AF BF y x y x y y y y y ⋅=+-+=+-+=++-+22000192252()22y y y =++=++所以当012y =-时，||||AF BF ⋅的最小值为9221.（本小题满分14分）设函数2()(1)x f x x e kx =--()k ∈R . （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M . 21. 解：（1）当1k =时，2()(1)x f x x e x =--()(1)2(2)x x x f x e x e x x e '=+--=-令()0f x '=，解得10x =，2ln 20x => 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(ln 2,)+∞，单调减区间为(0,ln 2)（2）2()(1)x f x x e kx =--，[0,]x k ∈，1(,1]2k ∈()2(2)x x f x xe kx x e k '=-=-()0f x '=，解得10x =，2ln(2)x k =令()ln(2)k k k ϕ=-，1(,1]2k ∈11()10k k k k ϕ-'=-=≤ 所以()k ϕ在1(,1]2上是增函数所以11()()022k ϕϕ>=>，即0ln(2)k k <<所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：(0)1f =-，3()(1)k f k k e k =--()(0)f k f -=332(1)1(1)(1)(1)(1)(1)k k k k e k k e k k e k k k --+=---=---++2(1)[(1)]k k e k k =--++因为1(,1]2k ∈，所以10k -≤对任意的1(,1]2k ∈，x y e =的图象恒在21y k k =++下方，所以2(1)0k e k k -++≤ 所以()(0)0f k f -≥，即()(0)f k f ≥所以函数()f x 在[0,]k 上的最大值3()(1)k M f k k e k ==--。
2013年广东省高考理科数学试题及详细答案(清晰版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.参考公式：台体的体积公式()1213V S S h =，其中1S 、2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}220,M x x x x R =+=∈，{}220,N x x x x R =-=∈，则MN =（ ）{}.0A {}.0,2B {}.2,0C - {}.2,0,2D - 2.定义域为R 的四个函数3y x =，2xy =，21y x =+，2sin y x =，奇函数的个数是（ ） .4A .3B .2C .1D 3.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ）().2,4A ().2,4B - ().4,2C - ().4,2D 4.已知离散型随机变量则X 的数学期望(E X =（ ） 3.2A .2B 5.2C .3D 5.某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（ ）.4A 14.3B 16.3C .6D 6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题正确的是（ ）.A 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ .B 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n .C 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ .D 若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥7.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点()3,0F ，离心率等于32，则C 的方程是（ ）22.14x A = 22.145x y B -= 22.125x y C -= 22.12x D =8.设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =，令集合(){},,,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项中正确的是（ ）().,,A y z w S ∈，(),,x y w S ∉ ().,,B y z w S ∈，(),,x y w S ∈ ().,,C y z w S ∉，(),,x y w S ∈ ().,,D y z w S ∉，(),,x y w S ∉图3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~13题）9.不等式220x x +-<的解集为 .10.若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k = .11.执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 .12.在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a += .13.给定区域44:40x y D x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，令点集(){}0000,,T x y D x y Z =∈∈，()00,x y 是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点，则T 中的点共确定 条不同的直线.（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线 交AD 于E ，若6AB =，2ED =，则BC = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.图43 02 0 1 51 7 9某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数. （1）根据茎叶图求样本均值； （2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ （3）从该车间12名工人中任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.18.（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=，6BC =，D 、E 分别为AC 、AB上的点，CD BE ==O 为BC 的中点，将ADE ∆沿DE 折起，得到如图6所示的四棱锥A BCDE '-，其中A O '=.图5图6OEDCBA'（1）证明：A O '⊥平面BCDE ；（2）求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，n N *∈. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点为()()0,0F c c >在直线:20l x y --=.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点. （1）求抛物线C 的方程；（2）当()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值.21.（本小题满分14分）设函数()()()21x f x x e kx k R =--∈. （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求函数()f x 在(]0,k 上的最大值M .2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案数学（理科）一、选择题1-5．DCCAB 6-8．DBB 二、填空题9．(-2,1) 10．-1 11．7 12．20 13．6 14．2)4(sin =+πθρ 15．32三、解答题16．（1）由题意1222)4cos(2)126cos(2)6(=⨯=-=--=-ππππf（2）∵)2,23(,53cos ππθθ∈=，∴54-sin =θ．∴252453)54(2cos sin 22sin ,2571)53(21-cos 22cos 22-=⨯-⨯==-=-⨯==θθθθθ∴)4sin 2sin 4cos 2(cos 2)42cos(2)1232cos(2)32(πθπθπθππθπθ-=+=-+=+f2517)2524(2572sin 2cos )2sin 222cos 22(2=---=-=-=θθθθ．17．（1）样本均值为226302521201917=+++++=x ．（2）根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为3162=，故12名员工中优秀员工人数为41231=⨯（人）．（3）记事件A 为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”，由于优秀员工4人，非优秀员工为8人，故事件A 发生的概率为33166684)(2121814=⨯==C C C A P ， 即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为3316．18．（1）折叠前连接OA 交DE 于F ，∵折叠前△ABC 为等腰直角三角形，且斜边BC =6，所以OA ⊥BC ，OA=3，AC =BC =23 又2==BE CD∴BC ∥DE ，22==AE AD ∴OA ⊥DE ，22==AE AD ∴AF =2，OF =1折叠后DE ⊥OF ，DE ⊥A ′F ，OF ∩A ′F =F ∴DE ⊥面A ′OF ，又OF A O A '⊂'面 ∴DE ⊥A ′O又A ′F =2，OF =1，A ′O =3∴△A ′OF 为直角三角形，且∠A ′OF =90°∴A ′O ⊥OF ，又BCDE DE 面⊂，BCDE OF 面⊂，且DE ∩OF =F ， ∴A ′O ⊥面BCDE ．（2）过O 做OH ⊥交CD 的延长线于H ，连接H A '，∴OH =22AO =223，230)3()223(2222=+=+'='OH O A H A ∵∠A ′HO 即为二面角B CD A --'的平面角，故cos ∠A ′HO=5153023=='H A OH ． 19．（1）令*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+中n =1得,32131221---=a a ∴42212=+=a a （2）由*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+；得)2)(1(612326121231++-=---=++n n n na n n n na S n n n∴)3)(2)(1(612)1(21+++-+=++n n n a n S n n两式相减得)2)(1(2122)1(121++--+=-+++n n na a n S S n n n n∴)2)(1(2122)1(121++--+=+++n n na a n a n n n∴)2)(1(212)2(2)1(12++++=+++n n a n a n n n∴11212++=+++n a n a n n ，∴11212=+-+++n a n a n n又由（1）知112,22,111221=-==aa a a∴为公差的等差数列，为首相，是以11⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n ∴n n a n =． ∴)(*2N n n a n ∈=．（3）∵)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<n n n n n n∴)1111(21)4121(21)311(2111312111111222321+--++-+-+<++++=++++n n na a a a n 47)111(2147)111211(211<++-=+--++=n n n n 20．（1）依题意得0,22322>=--c c ，∴1=c ． ∴抛物线焦点坐标为（0,1），抛物线解析式为x 2=4y（2）设A （x 1，421x ），B （x 2，422x ），∴可设A 、B 中点坐标为M )82(222121x x x x ++， 所以直线PA ：424)(22112111x x x x x x x y -=+-=，直线PB ：424)(22222222x x x x x x x y -=+-= 两式相减得)2(244202121212221x x x x x x x x x x +--=-+-= ∵21x x ≠，∴0221≠-x x ，0221=+-x x x ∴2210x x x +=， ∴0212x x x =+将P （0x ，0x -2）带入PA ：42211x x x y -=得4422221212110x x x x x x x =-+=- ∴84021-=x x x∴2428168482)(8020020212212221+-=+-=-+=+x x x x x x x x x x ∴A 、B 中点坐标为M （0x ，242020+-x x ）∴直线AB 的斜率24)(4021122122x x x x x x x k AB =+=--= 故直线AB 的方程为22242)(20002000+-=+-+-=x x x x x x x x y ． （3）由于A 点到焦点F 的距离等于A 点到准线y =-1的距离，∴|AF |=1421+x ，|BF |=1422+x 29)23(2962142)2(14)4()14)(14(200200202022212212221+-=+-=++-+-=+++=++=⋅x x x x x x x x x x x x BF AF∴当230=x 时，BF AF ⋅取最小值29．21．（1）k =1时2)1()(x e x x f x --=∴)2(2)1()(-=--+='xx x e x x e x e x f当x <0时02<-x e ，故0)2()(>-='xe x xf ,)(x f 单调递增；0< x <ln2时02>-x e ，故0)2()(<-='xe x xf ，)(x f 单调递减； x>ln2时02>-x e ，故0)2()(>-='xe x xf ，)(x f 单调递增；综上，)(x f 的单调增区间为)0,(-∞和),2(ln +∞，单调减区间为)2ln ,0(．（2）)2(2)1()(k e x kx e x e x f x xx-=--+='∵121≤<k ，∴221≤<k 由（1）可知)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，+∞）上单调递增设)121(，2ln )(≤<-=x x x x g则xx x g 11221)(-=-='∵121≤<x ，∴211<≤x ，∴0111≤-<-x ∴x x x g 2ln )(-=在⎥⎦⎤⎝⎛121，上单调递减． ∵121≤<k ， ∴02ln 1)1()(>-=>g k g ∴02ln >-k k 即k k 2ln > ∴)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，k ）上单调递增． ∴)(x f 的在[0，k ]上的最大值应在端点处取得．而1)0(-=f ，1)1(2)1()(3-=<--=f k e k k f k ∴当x =0时)(x f 取最大值1-．。
【免费下载】13年高考真题理科数学7立体几何
2013高考真题分类汇编：立体几何1．【2013新课标】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球cm 面恰好接触水面时测得水深为6，如果不计容器的厚度，则球的cm 体积为( )（A ）（B ） （C ） （D ）35003cm π38663cm π313723cm π320483cm π2．【2013广东】设是两条不同的直线，是两个不同的,m n ,αβ平面，下列命题中正确的是( )（A ）若，，，则αβ⊥m α⊂n β⊂m n⊥（B ）若，，，则//αβm α⊂n β⊂//m n（C ）若，，，则m n ⊥m α⊂n β⊂αβ⊥（D ）若，，，则m α⊥//m n //n βαβ⊥3．【2013湖北8】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，，，，上面两个简单几何体均为1V 2V 3V 4V 旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )（A ） （B ）1243V V V V <<<1324V V V V <<<（C ） （D ）2134V V V V <<<2314V V V V <<<4．【2013大纲版】已知正四棱柱中1111ABCD A B C D -，则与平面所成角的正弦值等于( )12AA AB =CD 1BDC（A ） （B （C （D ）2315．【2013新课标】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) （A ） （B ） （C ） （D ）168π+88π+1616π+816π+6．【2013湖南】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于() （A ）1（B（C ）（D ）)12)12+7．【2013新课标】已知n m ,为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (理科) word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =++,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =U ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N =U {}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) A . 4 B ．3 C ．2 D ．1 【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2- D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ．4．已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52 D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ．5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．143C ．163D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =⨯=,故选B ．6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．正视图 俯视图侧视图第5题图7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是( ) A . 214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -=D ．212x = 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =L .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( ) A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题) 9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-.10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-.11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7.12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____. 【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 5是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若 6AB =,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆:,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭.17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.CD OBE 'AH(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD === 连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =I ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故OH =,从而A H '==所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角A CD '-向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=u u u r ,(1,DA '=-u u u u r. C O BD E A C D OBE'A图1 图2设(),,n x y z =r为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩r u u u rr u u uu r ,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =-r 由(Ⅰ) 知,(OA '=u u u r为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'==='r u u u rr u u u r r u u u r ,即二面角A CD B '--.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L . 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =；(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n an n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 11171714244n n =++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L .20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。
2013年高考理科数学广东卷-答案
M N=-{2,0,2}z①，x②，y③三个式子中恰有一个成立；x④，z⑤，w⑥+=条不同的直线．故可确定51612AB DE=，【提示】观察图形，根据已知条件，利用圆的性质，通过相似三角形求距离．cos45OC CD︒=，所以OD OE O⊥交CDCD-的平面角．CD B中点，故OH5A H'5所以(0,3,CA '=，(1,2,DA '=-设(,,)n x y z =00n CA n DA ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即⎩，得(1,1,n =-由（Ⅰ）知，(0,0,OA '=315,5||||35n OA n OA n OA ''==='22211111111111111434423341n a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭14244n n =++-=-< 174n a ++<项的关系式和首项，求第二项；根据题设条件，利用递推公式求通项公1(AF BF y =联立方程24x y⎨=⎪⎩12|||AF BF y y =02y =+，|||AF BF 取得最小值，且最小值为根据两直线的交点，联立两直线求直线方程；由直线与抛物线的位置关系得到关系式，求最小值．ln 21ln ≤-=k <，所以(0,ln(2))k 时，),)k +∞时，max{(0),f f 3e 30-<(1)e ϕ⎫⎛=⎪ ⎭⎝所以存在01,12x ⎛∈ ⎝【考点】利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性求最值。
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18.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BE x=V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？(3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值2008年广东高考试题（理科）20．（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P ABCD-的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，60ABD∠= ，45BDC∠= ，PD垂直底面ABCD，PD=，E F，分别是PB CD，上的点，且PE DFEB FC=，过点E作BC的平行线交PC于G．（1）求BD与平面ABP所成角θ的正弦值；（2）证明：EFG△是直角三角形；（3）当12PEEB=时，求EFG△的面积．FCPGEAB图5D18．（本小题满分１４分）如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内 的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值2010年广东高考试题（理科）18.（本小题满分14分）如图5，¼ABC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点．平面AEC 外一点F 满足FB DF ==，． （1）证明：EB ⊥FD ；（2）已知点Q,R 分别为线段FE,FB 上的点，使得22,33BQ FE FR FB ==,求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．18.(本小题满分13分)如图5.在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60，E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.2012年广东高考试题（理科）18.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。
（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；︒PA PD ==⊥18．（本小题满分4分）如图5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A =90°，BC =6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，2==BE CD ，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图6所示的四棱椎BCDE A -'，其中3='O A ．（1）证明：O A '⊥平面BCDE ；（2）求二面角B CD A --'的平面角的余弦值．答案解析2007年广东高考试题（理科）19.解:(1)11) (032V x x x=⋅<<即3V x=(0x<<;(2)22)1212V x x'==-,(0,6)x∴∈时,0;V'>x∴∈时,0;V'<6x∴=时()V x取得最大值.(3)以E为空间坐标原点,直线EF为x轴,直线EB为y轴,直线EP为z轴建立空间直角坐标系,则(0,6(3,6A C AC--=; (0,0,6),6)P F PF∴=-,设异面直线AC与PF夹角是θ1cos7θ∴==2008年广东高考试题（理科）20．解：（1）在Rt BAD∆中，60ABD∠=，,AB R AD∴==而PD垂直底面ABCD，PA===PB===,在PAB∆中，222PA AB PB+=,即PAB∆为以PAB∠为直角的直角三角形。
设点D到面PAB的距离为H,由P ABD D PABV V--=有PA AB H AB AD PD=,即AD PDH RPA===，AC图5sin H BD θ==; (2)//,PE PG EG BC EB GC∴=,而PE DF EB FC =,即,//PG DF GF PD GC DC=∴,GF BC ∴⊥，GF EG ∴⊥,EFG ∴∆是直角三角形； （3）12PE EB =时13EG PE BC PB ==,23GF CF PD CD ==,即11222cos 45,3333EG BC R GF PD ==⨯⨯︒===⨯=,EFG ∴∆的面积211422339EFG S EG GF R R R ∆==⨯⨯=2009年广东高考试题（理科）18.(1)解：∵点D,11,E G 分别是点A,Ｅ,Ｇ在平面11DCC D 内的正投影．∴四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为四边形11DE FG22)1121(12212211=⨯⨯⨯-⨯⨯-=DE FG S又1EE ⊥平面 11DCC D ，且11=EE所以，所求锥体的体积为11DE FG E V -=32123131111=⨯⨯=⋅EE S DE FG（２）证明：∵1EE ⊥平面 11DCC D ，⊂1FG 平面 11DCC D ，∴1EE ⊥1FG∵在正方形11DCC D 中，11,,G F E 分别是D D D C CC 1111,,的中点， ∴1111111====G D FD F C C E ，0111145=∠=∠FD G FC E∴O FG E 9011=∠ ∴F E 1⊥1FG又1EE ∩F E 1=1E ∴11FG FEE ⊥平面；（３）设1GG 的中点为H ，连结EH ，11G E则EH ∥11G E ∥CD ，且EH=11G E =CD=2，∠AEH 就是异面直线11E G EA 与所成角又CD ⊥平面11DD AA ， ∴EH ⊥平面11DD AA在RT △AEH 中，EH =2，AH=2，所以EA=6所以，异面直线11E G EA 与所成角的正弦值为3362sin ===∠EA AH AEH 。
解法2：（1）依题作点E 、G 在平面11DCC D 内的正投影1E 、1G ，则1E 、1G 分别为1CC 、1DD 的中点，连结1EE 、1EG 、ED 、1DE ，则所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其底面11FG DE 面积为111111E DG Rt FG E Rt FG DE S S S ∆∆+=221212221=⨯⨯+⨯⨯=，又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴323111111=⋅=-EE S V FG DE FG DE E .（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E 、)1,0,0(1G ，又)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，则)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=FE ，)1,1,0(1-=FE ， ∴01)1(01=+-+=⋅FE FG ，01)1(011=+-+=⋅FE FG ，即FE FG ⊥1，11FE FG ⊥， 又F FE FE =⋂1，∴⊥1FG 平面1FEE .（3）)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=EA，则62,cos 11=⋅>=<EA G E ，设异面直线11E G EA 与所成角为θ，则33321sin =-=θ.2010年广东高考试题（理科）18.（2）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG .由BQ=23FE,FR=23FB 知,||QR EB .而EB ⊂平面BDF ，∴||QR 平面BDF ， 而平面BDF 平面R Q D = DG ，∴||||Q R D G E B. 由（1）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ，而DR ⊂平面BDF ，BD ⊂平面BDF ， ∴,DG DR DG DQ ⊥⊥，∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角． 在Rt BCF ∆中，2CF a ===，sin FC RBD BF ∠===cos RBD ∠==．sin 29RDB ∠==． 故平面BED 与平面RQD所成二面角的正弦值是22929．2011年广东高考试题（理科）18.解：(1) 取AD 的中点G ，又PA =PD ，PG AD ∴⊥，由题意知ΔABC 是等边三角形，BG AD ∴⊥，又PG , BG 是平面PGB 的两条相交直线，AD PGB ∴⊥平面，//,//EF PB DE GB ，DEF PGB ∴平面//平面， AD DEF ∴⊥平面(2) 由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在Rt BGA ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-⋅.2012年广东高考试题（理科）18.（1）∵PA ABCD ⊥平面，∴PA BD ⊥，∵PC BDE ⊥平面，∴PC BD ⊥∴BD PAC ⊥平面（2）设AC 与BD 交点为O ，连OE ，∵PC BDE ⊥平面，∴PC OE ⊥ 又∵BO PAC ⊥平面，∴PC BO ⊥，∴PC BOE ⊥平面 ∴PC BE ⊥，∴BEO ∠为二面角B PC A --的平面角 ∵BD PAC ⊥平面，∴BD AC ⊥∴ABCD 四边形为正方形，∴BO =在PAC ∆中，133OE PA OE OC AC =⇒=⇒= ∴tan 3BOBEO OE∠== ∴二面角B PC A --的平面角的正切值为32013年广东高考试题（理科）18．（1）折叠前连接OA 交DE 于F ，∵折叠前△ABC 为等腰直角三角形，且斜边BC =6， 所以OA ⊥BC ，OA=3，AC =BC =23 又2==BE CD∴BC ∥DE ，22==AE AD ∴OA ⊥DE ，22==AE AD ∴AF =2，OF =1折叠后DE ⊥OF ，DE ⊥A ′F ，OF ∩A ′F =F ∴DE ⊥面A ′OF ，又OF A O A '⊂'面 ∴DE ⊥A ′O又A ′F =2，OF =1，A ′O =3∴△A ′OF 为直角三角形，且∠A ′OF =90° ∴A ′O ⊥OF ，又BCDE DE 面⊂，BCDE OF 面⊂，且DE ∩OF =F ， ∴A ′O ⊥面BCDE ．（2）过O 做OH ⊥交CD 的延长线于H ，连接H A '，∴OH =22AO =223，230)3()223(2222=+=+'='OH O A H A ∵∠A ′HO 即为二面角B CD A --'的平面角，故cos ∠A ′HO=5153023=='H A OH ．。