高考数学第1轮总复习 全国统编教材 8.2双曲线(第1课时) 理
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高考理科数学一轮复习课件双曲线
参数法适用于一些较复杂的双 曲线问题，如求轨迹方程、最 值问题等。
数形结合思想在求解中应用
数形结合思想是将代数问题和几何问题相互转化，通过图形直观理解问题并求解的 方法。
在双曲线问题中，可以通过画出双曲线的图形，利用几何性质来理解和求解问题。
数形结合思想在求解双曲线问题时非常有用，可以帮助我们更好地理解问题，并找 到正确的求解方法。
切线问题及其性质探讨
80%Байду номын сангаас
切线的定义
与双曲线只有一个公共点的直线 称为双曲线的切线。
100%
切线的性质
双曲线的切线满足切线方程与双 曲线方程联立后，判别式为零的 条件。
80%
切线的求解
通过联立切线方程和双曲线方程 ，消元后得到一元二次方程，由 判别式为零求得切线的斜率，从 而得到切线方程。
弦长公式应用举例
典型例题分析与解答
• 解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线 实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1| |PF2| = 2a2，由椭圆定义|PF1| + |PF2| = 2a1，可得|PF1| = a1 + a2，|PF2| = a1 - a2，又|PF1|⊥|PF2|，可得 |PF1|^{2} + |PF2|^{2} = 4c^{2}，即有(a1 + a2)^{2} + (a1 - a2)^{2} = 4c^{2}，化为a1^{2} + a2^{2} = 4c^{2}，即 有\frac{1}{{e{1}}^{2}} + \frac{1}{{e{2}}^{2}} = 4，可得 e{1}e{2} = \frac{c^{2}}{a{1}a{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(a{1} + a{2})}^{2}}{a{1}a{2}} = \frac{1}{4}(1 + \frac{a{1}}{a{2}} + \frac{a{2}}{a{1}}) ≥ 1，当且仅当a{1} = a{2}时等号成立．即有e{1}e{2} ≥ 1．故选A．
高三数学一轮复习 8.2 双曲线课件 文 大纲人教版
答案：C
3．(2009·安徽卷)下列曲线中离心率为 的是 ( ) 答案：B
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为
________________．
解析：∵双曲线的离心率为2，∴ ＝2，由焦点为(－4,0)、(4,0)可知
c＝4，且焦点在x轴上，∴a＝2，∴b＝
∴所求双曲线方程为
即标准方程为
＝1.
变式2：与椭圆x2＋5y2＝5共焦点，且一条渐近线方程为y＝ 的双曲线的方程是 ( )
解析：椭圆的标准方程为 ＋y2＝1， 其焦点为(±2,0)． 又∵y＝ 为双曲线的一条渐近线， 故可设其方程为x2－
答案：A
由双曲线方程研究性质或根据性质确定曲线方程时，首先要确定虚实轴在哪个 坐标轴上，否则就分类讨论． 渐近线是圆锥曲线中仅双曲线具有的特殊性质．渐近线确定了双曲线的开口程 度，但渐近线方程确定其对应的双曲线不一定确定．
2011届高三数学文大纲 版创新设计一轮复习课
件：8.2 双曲线
【考纲下载】
第2讲 双曲线
掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.
1．双曲线的定义 （1）第一定义：平面内到两定点F1，F2的距离的 差的绝对值 为常数(小 于|F1F2|)的动点的轨迹叫做双曲线，即||MF1|－|MF2||＝2a(|F1F2|＝2c)．这 两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离|F1F2|(|F1F2|＝2c) 叫做 焦距 ．
∴双曲线的方
程为
答案：
＝1
在第一定义中，||PF1|－|PF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|(a＞0)，当|PF1|－ |PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a时，点P的轨迹是双曲线的一支；当|F1F2|＝ 2a时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；当|F1F2|＜2a时，轨迹不存 在．在第二定义中，定点F不在定直线l上．若F∈l，则动点的轨迹为两 条直线(定点除外)．第一定义的应用主要是解焦点三角形问题．第二定 义的应用主要是与准线和焦点有关的距离的最大(小)问题．
高考数学一轮复习双曲线精品课件理新人教A版
,由
{ 题设得
a2+b2=100
a4 =
,
b3
解得a=8,b=6.
∴另一条双曲线方程为
y2 x2 - =1 .
64 36
【评析】双曲线
与 y2 - x2 =1 是一
64 36
对共轭双曲线，一般形式是
x2 a2
y2 - b2
=±1.
因而本题有另一解法，设双曲线方程为
x2 y2 32 - 42
=λ,
于是(3 |λ| )2+(4 |λ| )2=100,
16 9
考点三 双曲线的性质
双曲线
x2 y2 a2 - b2 =1
(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)
和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距
离之和s≥ 45c.求双曲线的离心率e的取值范围.
【分析】直接用已知的“距离之和s≥ 4 c”这个条件
5
列出只含有a和c的不等式,再通过构造法,将此不等式变 形为一个只有e= c 的不等式,再解不等式即可得解.
±
3.双曲线
bx, a
y2 x2 a2 - b2
x2 a2
-
y2 b2
=1（a＞0,b＞0）的渐近线方程是y=
=（1 a＞0,b＞0）的渐近线方程是y=± x.
4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明
斜率不存在的情况.
5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如， 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交 于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点.
考点一 双曲线的定义
已知动圆M与圆C1：（x+4）2+y2=2外切，与圆C2： （x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程. 【分析】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的 几何条件，结合双曲线定义求解.
高考理科数学一轮复习双曲线PPT教学课件(推荐)
y2 x2 1(y 1) 48
课堂互动讲练
变式1
已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求
动圆圆心M的轨迹方互动讲练
变式2
动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2及圆C2：(x－4)2 ＋y2＝2一个内切、一个外切，求动圆圆心M的轨迹 方程。
x2 a2
y2 b2
1的左右焦点，点M在E上，
MF1与x轴垂直，sin
MF2F1
1 3
《新坐标》P137
,则E的离心率为（ A）
例3（1）
A. 2 B. 3 C. 3 D.2 2
（2） 已知A,B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，三角形ABM为
等腰三角形，且顶角为1200，则E的离心率为（D ）
例 5 已知曲线 C：x2－y2＝1 及直线 l：y＝kx－1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2)若 l 与 C 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为 2， 求实数 k 的值． 【解】 (1)双曲线C与直线l有两个不同的交点， 则方程组xy2＝－kyx2－＝11 有两个不同的解， 代入整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. ∴1Δ－＝k42k≠2＋0，81－k2>0， 解得－ 2<k< 2且k≠±1. 故当－ 2<k< 2且k≠±1时，双曲线C与直线l有两个不同的交点．
高三（11）班高考数学第一轮复习
复习四十三 双曲线
一、双曲线的定义
平面内到两定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于常 数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线．
集合 P＝{M|︱|MF1|-|MF2|︱＝2a}，|F1F2|＝2c，
课堂互动讲练
变式1
已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求
动圆圆心M的轨迹方互动讲练
变式2
动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2及圆C2：(x－4)2 ＋y2＝2一个内切、一个外切，求动圆圆心M的轨迹 方程。
x2 a2
y2 b2
1的左右焦点，点M在E上，
MF1与x轴垂直，sin
MF2F1
1 3
《新坐标》P137
,则E的离心率为（ A）
例3（1）
A. 2 B. 3 C. 3 D.2 2
（2） 已知A,B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，三角形ABM为
等腰三角形，且顶角为1200，则E的离心率为（D ）
例 5 已知曲线 C：x2－y2＝1 及直线 l：y＝kx－1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2)若 l 与 C 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为 2， 求实数 k 的值． 【解】 (1)双曲线C与直线l有两个不同的交点， 则方程组xy2＝－kyx2－＝11 有两个不同的解， 代入整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. ∴1Δ－＝k42k≠2＋0，81－k2>0， 解得－ 2<k< 2且k≠±1. 故当－ 2<k< 2且k≠±1时，双曲线C与直线l有两个不同的交点．
高三（11）班高考数学第一轮复习
复习四十三 双曲线
一、双曲线的定义
平面内到两定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于常 数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线．
集合 P＝{M|︱|MF1|-|MF2|︱＝2a}，|F1F2|＝2c，
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
9
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
高考一轮复习理科数学课件双曲线
焦距
两焦点之间的距离称为焦距，用 $2c$表示。
离心率
离心率$e$定义为$e = frac{c}{a}$，表示双曲线的扁平
程度。
渐近线方程与性质
渐近线方程
对于标准方程$frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，其渐近线方 程为$y = pm frac{b}{a}x$。
性质
双曲线特点
双曲线有两支，分别位于平面两侧 ，且两支无限接近于两条渐近线。
椭圆、抛物线和双曲线异同点比较
异同点概述
三种圆锥曲线在形状、方程、性质等 方面存在差异。
性质比较
双曲线具有渐近线、离心率等独特性 质，与椭圆和抛物线不同。
方程比较
椭圆和双曲线方程均为二次方程，但 系数和符号不同；抛物线方程为一次 方程。
04
最后根据双曲线的定义 和性质，对图形进行深 入的分析和判断。
03
双曲线与直线、圆位置 关系判断
双曲线与直线交点求解方法
01
02
03
代数法
联立双曲线与直线方程， 通过求解方程组得到交点 坐标。
几何法
利用双曲线和直线的几何 性质，通过作图直观判断 交点个数及位置。
数值法
对于难以求解的方程组， 可以采用数值方法进行近 似求解。
利用双曲线与直线、圆的位置 关系解决实际问题，如求解最
短距离、最大面积等。
练习
提供多个双曲线与直线、圆相 关的练习题，加强学生对知识
点的掌握和应用能力。
04
圆锥曲线中双曲线知识 点整合
圆锥曲线概述及分类标准
圆锥曲线基本概念
由平面截圆锥得到的曲线，包括 椭圆、双曲线、抛物线等。
分类标准
北师大版高三数学(理)一轮复习《双曲线》课件
9.6 双曲线
第九章
9.6 双曲线
考考纲纲要要求求
知识梳理
双击自测
核心考点
学科素养
-2-
考纲要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简 单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 2.理解数 形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用.
第九章
9.6 双曲线
考纲要求
知知识识梳梳理理
点与点 P 连线的斜率为-3,即33���������������������������������-���-������������++2233-������������������������������++������������������--���0���=-3,化简得 4b2=a2,所以
A25-������ + 9,得两双曲线的焦距相等,选 A.
关闭
解析 答案
第九章
9.6 双曲线
考纲要求
知识梳理
双双击击自自测测
核心考点
学科素养
-9-
12345
4.“k>9”是“方程 A.充要条件
������2 9-������
+
������������-24B=.1充表分示不双必曲要线条”的件(
)
第九章
9.6 双曲线
考纲要求
知识梳理
双双击击自自测测
核心考点
学科素养
-10-
12345
5.设双曲线C经过点(2,2),且与
������2 4
-x2=1
具有相同渐近线,则C的方
程为
;渐近线方程为
.
关闭
设双曲线 C 的方程为������2-x2=λ,将点(2,2)代入上式,得 λ=-3,∴C 的方程
第九章
9.6 双曲线
考考纲纲要要求求
知识梳理
双击自测
核心考点
学科素养
-2-
考纲要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简 单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 2.理解数 形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用.
第九章
9.6 双曲线
考纲要求
知知识识梳梳理理
点与点 P 连线的斜率为-3,即33���������������������������������-���-������������++2233-������������������������������++������������������--���0���=-3,化简得 4b2=a2,所以
A25-������ + 9,得两双曲线的焦距相等,选 A.
关闭
解析 答案
第九章
9.6 双曲线
考纲要求
知识梳理
双双击击自自测测
核心考点
学科素养
-9-
12345
4.“k>9”是“方程 A.充要条件
������2 9-������
+
������������-24B=.1充表分示不双必曲要线条”的件(
)
第九章
9.6 双曲线
考纲要求
知识梳理
双双击击自自测测
核心考点
学科素养
-10-
12345
5.设双曲线C经过点(2,2),且与
������2 4
-x2=1
具有相同渐近线,则C的方
程为
;渐近线方程为
.
关闭
设双曲线 C 的方程为������2-x2=λ,将点(2,2)代入上式,得 λ=-3,∴C 的方程
高考理科数学一轮复习双曲线课件
渐近线是双曲线另一条重要的几何特性线，它与双曲线的形状和方向密切相关。渐近线的方程可以通 过将双曲线方程中的x或y替换为其极限值来求得。
离心率与渐近线的应用
总结词
离心率与渐近线的应用是双曲线复习中 的重点和难点，需要结合具体例题进行 讲解和练习，掌握离心率和渐近线在解 题中的应用技巧。
VS
详细描述
数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，参数方程和极坐标方程是解决双曲线相 关问题的常用方法，能够提高解题效率。
THANKS
高考理科数学一轮复习双曲线课件
$number {01}
目录
• 双曲线的定义与几何性质 • 双曲线的标准方程与焦点位置 • 双曲线的离心率与渐近线 • 双曲线的切线与法线 • 双曲线的参数方程与极坐标方程
01
双曲线的定义与几何性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由两个固定的点（焦点）和一条连接这两点的线段（准线）所形成的 所有点的集合。
详细描述
双曲线具有对称性，关于x轴和y轴都是对称的。离心率是双曲线的一个重要几何性质，表示焦点到中心的距离与 半径的比值，离心率越大，双曲线的开口越开阔。渐近线是双曲线接近无穷远时的边界线，其方程可以由标准方 程推导得出。
02
双曲线的标准方程与焦点位 置
双曲线标准方程的推导
1 2
3
定义法
根据双曲线的定义，通过两个焦点到任意一点P的距离之差 为常数（2a）来推导双曲线的标准方程。
法线定义
法线是与切线垂直并通过切点的直线 。
切线与法线的求法
切线求法
通过求导数或利用切线的定义，找到曲线在某一点的斜率，然后根据点斜式方程求出切 线方程。
法线求法
利用切线与法线垂直的关系，先求出切线的斜率，然后取其负倒数即为法线的斜率，再 根据点斜式方程求出法线方程。
离心率与渐近线的应用
总结词
离心率与渐近线的应用是双曲线复习中 的重点和难点，需要结合具体例题进行 讲解和练习，掌握离心率和渐近线在解 题中的应用技巧。
VS
详细描述
数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，参数方程和极坐标方程是解决双曲线相 关问题的常用方法，能够提高解题效率。
THANKS
高考理科数学一轮复习双曲线课件
$number {01}
目录
• 双曲线的定义与几何性质 • 双曲线的标准方程与焦点位置 • 双曲线的离心率与渐近线 • 双曲线的切线与法线 • 双曲线的参数方程与极坐标方程
01
双曲线的定义与几何性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由两个固定的点（焦点）和一条连接这两点的线段（准线）所形成的 所有点的集合。
详细描述
双曲线具有对称性，关于x轴和y轴都是对称的。离心率是双曲线的一个重要几何性质，表示焦点到中心的距离与 半径的比值，离心率越大，双曲线的开口越开阔。渐近线是双曲线接近无穷远时的边界线，其方程可以由标准方 程推导得出。
02
双曲线的标准方程与焦点位 置
双曲线标准方程的推导
1 2
3
定义法
根据双曲线的定义，通过两个焦点到任意一点P的距离之差 为常数（2a）来推导双曲线的标准方程。
法线定义
法线是与切线垂直并通过切点的直线 。
切线与法线的求法
切线求法
通过求导数或利用切线的定义，找到曲线在某一点的斜率，然后根据点斜式方程求出切 线方程。
法线求法
利用切线与法线垂直的关系，先求出切线的斜率，然后取其负倒数即为法线的斜率，再 根据点斜式方程求出法线方程。
高考数学理一轮复习 8-2双曲线精品课件
解得 k＝±55，检验知 Δ＞0， ∴直线 AB 的方程为 x± 5y－3＝0.
x＝ ，x＝－
y＝ ，y＝－
y＝ x，y＝－ x， y＝ x，y＝－ x
3.双曲线特例． (1)等轴双曲线的方程可为 x2－y2＝λ(λ≠0) ．
(2)共轭双曲线的方程可为
.
(3)共渐近线的双曲线的方程可为
．
4．双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1，或右(上)焦 点F2之间的线段长度称作焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝ |PF2|.
备考例题 1
已知椭圆xa221＋by212＝1(a1＞b1＞0)与双曲线
x2 a22
－yb222＝1(a2＞0，b2＞0)有公共焦点 F1、F2，设 P 是它们的一个
交点．
(1)试用 b1，b2 表示△F1PF2 的面积； (2)当 b1＋b2＝m(m＞0)是常数时，求△F1PF2 面积的最大 值．
[分析] 在△PF1F2中利用余弦定理得出|F1F2|、|PF1|、 |PF2|的关系，再利用双曲线定义，得到|PF1|·|PF2|与a、b、c 的关系，再利用三角形面积得到关于a，b，c的方程，解方
程组求得a，b，c，从而得到双曲线方程．
即 4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|. 又∵S△PF1F2＝2 3，
(1)求双曲线的离心率； (2)若此双曲线过 N( 3，2)，求此双曲线的方程； (3)在(2)的条件下的双曲线的虚轴端点分别为 B1，B2(B2 在 x 轴的正半轴上)，点 A，B 在该双曲线上，且B→2A＝μB→2B，求B→1A⊥B→1B 时直线 AB 的方程．
[分析] 第(1)问先由向量关系判断四边形OF1PM的形状， 进而得到a，c的关系，求出离心率．第(2)问设出双曲线方 程，将N点坐标代入得到；第(3)问，先设出直线方程，与 双曲线方程联立，再由根与系数的关系得到．
x＝ ，x＝－
y＝ ，y＝－
y＝ x，y＝－ x， y＝ x，y＝－ x
3.双曲线特例． (1)等轴双曲线的方程可为 x2－y2＝λ(λ≠0) ．
(2)共轭双曲线的方程可为
.
(3)共渐近线的双曲线的方程可为
．
4．双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1，或右(上)焦 点F2之间的线段长度称作焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝ |PF2|.
备考例题 1
已知椭圆xa221＋by212＝1(a1＞b1＞0)与双曲线
x2 a22
－yb222＝1(a2＞0，b2＞0)有公共焦点 F1、F2，设 P 是它们的一个
交点．
(1)试用 b1，b2 表示△F1PF2 的面积； (2)当 b1＋b2＝m(m＞0)是常数时，求△F1PF2 面积的最大 值．
[分析] 在△PF1F2中利用余弦定理得出|F1F2|、|PF1|、 |PF2|的关系，再利用双曲线定义，得到|PF1|·|PF2|与a、b、c 的关系，再利用三角形面积得到关于a，b，c的方程，解方
程组求得a，b，c，从而得到双曲线方程．
即 4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|. 又∵S△PF1F2＝2 3，
(1)求双曲线的离心率； (2)若此双曲线过 N( 3，2)，求此双曲线的方程； (3)在(2)的条件下的双曲线的虚轴端点分别为 B1，B2(B2 在 x 轴的正半轴上)，点 A，B 在该双曲线上，且B→2A＝μB→2B，求B→1A⊥B→1B 时直线 AB 的方程．
[分析] 第(1)问先由向量关系判断四边形OF1PM的形状， 进而得到a，c的关系，求出离心率．第(2)问设出双曲线方 程，将N点坐标代入得到；第(3)问，先设出直线方程，与 双曲线方程联立，再由根与系数的关系得到．
高考数学第1轮总复习 8.2双曲线(第1课时)课件 理(广西专版)
| PF1 |
| PF1 |
| PF1 |
• 此时|PF1|=2a，|PF2|=4a.
• 如图,|PF1|+|PF2|≥|F1F2| • 成立,即2a+4a≥2c，即6a≥2c， • 则e= ≤c３. • 又双曲线a的离心率e>1，
• 综合得双曲线离心率的取值
• 范围为(1，3］，故选A.
• 1.在求双曲线方程和研究双曲线的性质时，要 深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要
之_比__为_常__数____的点的轨迹，其中这个常数就是 双曲线离的心__率______，其取值范围(1是,+_∞_)_____； 这个定点F是双曲线的一焦个点______；这条定 直线是双曲线准的线一条_____.
• 3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半
焦距为c，则a、b、c三者的关系是 c2=a2+b2
_等_轴__双__曲__线________;其离心率e=2 ____;两渐 近线方y=程±为x ______.
• 1.过点(2，-2)且与双曲线 x2 - y2 有1 公共渐 近线的双曲线方程是( A ) 2
A.
y2 x2 -
1
24
B.
x2 y2 -
1
42
C.
y2 x2 -
1
42
D.
x2 y2 -
方法 2：设所求双曲线的方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1(－4<k<16)， 将点(3 2，2)代入得 k＝4， 所以所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
点评：待定系数法求双曲线方程最常用的设法：
(1)与双曲线ax22－by22＝1 有共同渐近线的双曲线方程可设为ax22－by22＝ t(t≠0)； (2)若双曲线的渐近线方程为 y＝±bax，则双曲线方程可设为ax22－by22＝ t(t≠0)；
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焦 两点条坐渐标近是线(方_±_程_c，_是_0_)__y__;_两__条_b .x准线方程是
_x_____a_2__;
c
ac
应准(线4)的双距曲离线(的焦离准心距率)是e=_b__2____a ___. __;一个焦点到相
c
(5)设P0(x0，y0)为双曲线上一点，F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|= __|a_+_e_x_0_| __;|PF2|= __|a_-_e_x_0|__.
3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，
半焦距为c，则a、b、c三者的关系是 _c_2_=_a_2_+_b_2__;
焦点在x轴上的双曲线的标准方程 是
_ax_22 _-by_22__1_(a__0_,b___0)；焦点在y轴上的双曲线的标准方 程是 _ay2_2 -_bx_22__1_(a__0_,b___0).
4.对于双曲线
x2 a2
-
y2 b2
1 (a>0，b>0):
(1)x的取值范围是(-_∞__,-_a_]∪__[_a_,_+_∞_)__;y的取值 范围是 _R__.
(2)双曲线既关于x_轴__、__y_轴____成轴对称图形， 又关于 _____原成点中心对称图形.
(3)双曲线的两个顶点坐标是 _(_±__a_，__0_)_;两个
题型1 求双曲线的标准问题
1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
(1) 经过点( 1 5 ，3)， 且一条渐近线4 方程为4x+3y=0;
(2)P(0，6)与两个焦点的连线互相垂直，
与两个顶点连线的夹角为 3
.
解：(1)因直线x= 1 5 与渐近线4x+3y=0的
交点坐标为(1 5
4
，-5)，而3<|-5|，故双曲线的
4
焦点在x轴上，设其方程为
由
(1 5 )2 4 a2
32 -
b2
1
解, 得
b2
a
2
(- 4 )2 3
x2 a2
a b
2 2
-
y b
2 2
9 1
. 6
1
.
故所求的双曲线方程为 x 2 - y 2 1 .
9 16
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点.
依题意，它的焦点在x轴上.
因为PF1⊥PF2，且｜OP｜=6，
|PF2|=e|PF1|.①
d | PF1 |
再由双曲线的第一定义,得｜PF2｜-|PF1|=2a.②
由①②，解得|PF1|e2-a1， |PF2|2ea-1e. 因为在△PF1F2中有|PF1|+|PF2|≥2c， 所以 2a 2ae 2c. ③
e-1 c e-1
利用e= a ，则式③为e2-2e-1≤0， 解得1- 2 ≤e≤1+ .2
第八章 圆锥曲线方程
第讲
（第一课时）
考 ●双曲线的第一、第二定义，焦点在x轴、y 点 轴上的标准方程
搜 ●双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离 索 心率、准线、渐近线、焦半径等基本性质
高 1. 求双曲线的标准方程，以及基本量的求解. 考 2. 以直线与双曲线为背景，求参数的值或取 猜 值范围，判定双曲线的有关性质，考查知识 想 的灵活与综合应用.
5.与双曲线 x 2 - y 2 1 (a>0，b>0)有共同渐
a2 b2
近线的双曲线系方程是
__ax_22_-_by_22____(_. 0)
6.实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做
__等__轴__双__曲__线______;其离心率e= __2__;两渐近线 方程为 y_=_±__x__.
1.过点(2，-2)且与双曲线 渐近线的双曲线方程是( A )
x2 2
-
y
2
1
有公共
A. y2 -x2 1 24
B. x2 -y2 1 42
C. y2 -x2 1 42
D. x2 -y2 1 24
解：可设所求双曲线方程为 x 2 - y 2 ， 把点(2，-2)的坐标代入方程得λ=-2，2 故选A.
2.如果双曲线 x 2 - y 2 1 上一点P到它 的右焦点的距离是186 ，9那么P到它的右准 线的距离是( D )
1. 平面内与两个定点F1、F2的距__离__之__差__的 _绝__对__值__为正常数(小于_|F__1F__2|_)的点的轨迹叫做 双曲线，这两个点叫做双曲线的_焦__点__.
2.双曲线也可看成是平面内到一个定点F的 距 离 与 到 一 条 定 直 线 l( 点 F 在 直 线 l 外 ) 的 距 离 _之__比__为__常__数_的点的轨迹，其中这个常数就是双 曲 线 的 __离__心__率__ ， 其 取 值 范 围 是 _(_1_,+__∞_)_ ； 这 个定点F是双曲线的一个焦__点____；这条定直线 是双曲线的一条准_线____.
题型2 求双曲线离心率的值或取值范围
2. 已知双曲线
x2 a2
-
y2 b2
1的左、右焦点分别
为F1、F2，左准线为l，在双曲线的左支上存在
点P，使得|PF1|是点P到l的距离d与|PF2|的等比
中项，求双曲线离心率的取值范围.
解：因为在左支上存在P点,使|PF1|2=|PF2|·d,
由双曲线的第二定义知, | PF1 | | PF2 | e，即
A. 10 C. 2 7
B. 32 7 7
D. 32 5
解：利用双曲线的第二定义知P到右 准线的距离为d88432, 故选D.
e 55
3.已知F是双曲线 x 2 - y 2 1的左焦点,A(1,4),
4 12
P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最 小值为__9_.
解：注意到点A在双曲线的两支之间,且双 曲 线 右 焦 点 为 F′(4,0), 于 是 由 双 曲 线 性 质 |PF||PF′|=2a=4, 而 |PA|+|PF′|≥|AF′|=5, 两 式 相 加 得 |PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F′三点共线时等号 成立.
所以2c=|F1F2|=2|OP|=12，所以c=6.
又P与两顶点连线的夹角为 ，
所以
a|OP|tan2
3 为
x2
-
y2
1.
12 24
点评：双曲线的标准方程有两个参数，
一般由两个独立条件得到这两个参数的方
程组，再求解即可.
(2010•全国课程标准卷)已知双曲 线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的 直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，-15)，则E的方程为( )