高考数学双曲线的定义知识点复习
双曲线及其性质-高考数学复习课件
且2 a ＝2，解得 a ＝1，又 c ＝3，
则 b 2＝ c 2－ a 2＝8，
2
所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2－ ＝1( x ≤－1).
8
2
2
(2)设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F 1， F 2， P 为双曲线右支
4
3
上一点， 1 ＝3 2 ，则∠ F 1 PF 2的大小为( C )
2. 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合 ||PF1 | −
|PF2 || = 2a，运用平方的方法，建立与 ｜PF1 ｜·｜PF2 ｜ 的联系.
跟踪训练
1. 已知平面内有两个定点 F 1(－5，0)和 F 2(5，0)，动点 P 满足｜ PF 1｜
－｜ PF 2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是(
双曲线及其性质
[学习要求] 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，
以及它的简单几何性质.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 双曲线的定义
满足以下两个条件的点的轨迹是双曲线：
= 2，
又൞ ＝ 2，
解得 a ＝ 2 ， c ＝2， b ＝ 2 ，
2 ＝ 2 − 2 ，
2
2
∴所求方程为 － ＝1.
2
2
考点三
双曲线的几何性质
◉角度(一) 渐近线
例3
2
2
(1)(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线 － ＝1的一条渐近线的距离
高考数学复习全套课件 第八章 第二节 双曲线
[思考探究1]
在双曲线的第一定义中，如果常数2a＝
|F1F2|,2a>|F1F2|，2a＝0时，则动点M的轨迹是什么？ 提示：如果2a＝|F1F2|，则M的轨迹是以F1，F2为端点的 两条射线；如果2a>|F1F2|，则轨迹不存在；如果2a＝0，
则M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示) 标准
∴x0＝a·
解得1－
≥a.∴e2－2e－1≤0，
≤e≤1＋ ，又∵e>1，∴1<e≤1＋
答案：C
3．双曲线
－y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线
上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2
，则△PF1F2的面积为
( )
A．1 C．2
B. D．4
解析：不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2
[思路点拨]
[课堂笔记] 法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y
＝0，当x＝4时，y＝2<yp＝3. ∴双曲线的焦点在y轴上．从而有 设双曲线方程为 ∴ ，∴b＝2a.
＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上， ＝1.
＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为
法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0， 即 －y＝0， －y2＝0.
∴|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，
∴λ＝ 答案：B
1．(2010· 合肥摸拟)已知双曲线
＝1(a>0，b>0)的
一条渐近线的方程为4x－3y＝0，则此双曲线的离心率 为 A. B. ( )
C.
D.
解析：因为双曲线
＝1的一条渐近线的方程为
4x－3y＝0，所以
备战高考数学复习考点知识与题型讲解67---双曲线
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第67讲双曲线考向预测核心素养考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，双曲线的离心率和渐近线是高考命题热点；直线与双曲线是高考新的命题点.直观想象、数学运算一、知识梳理1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1，F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2.常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2 a2 .2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 解析：选D.由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C.又由题意可知焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，所以b ＝c 2－a 2＝4，故点M 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．2．(人A 选择性必修第一册P 127习题3.2 T 6改编)经过点A (4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (4，1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 215＝1.答案：x 215－y 215＝13．(人A 选择性必修第一册P 120例1改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得焦点为(－1，0)，(1，0)，顶点为(－2，0)，(2，0)．所以双曲线的顶点为(－1，0)，(1，0)，焦点为(－2，0)，(2，0)．所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )(3)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1 e21＋1e22＝1.( )答案：(1)×(2)×(3)√二、易错纠偏1．(多选)(曲线方程中参数意义不明致误)若方程x23－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是( )A．若C为椭圆，则1<t<3B．若C为双曲线，则t>3或t<1C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2解析：选AD.若t>3，则方程可变形为y2t－1－x2t－3＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为x23－t－y21－t＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2<t<3，则0<3－t<t－1，故方程x23－t＋y2t－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1<t<2，则0<t－1<3－t，故方程x23－t ＋y2t－1＝1表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2，方程x23－t＋y2t－1＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.2．(忽视双曲线上的点的特征致误)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________．解析：设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4， 则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案：63．(忽视焦点的位置致误)坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，有ba＝3，则c ＝2a ，此时e ＝2. 若双曲线的焦点在y 轴上， 有a b ＝3，则c ＝233a ，此时e ＝233. 综上，e ＝2或e ＝233. 答案：2或233考点一 双曲线的定义及标准方程(多维探究)复习指导：了解双曲线的定义及几何图形； 会求双曲线的标准方程，理解两种类型的标准方程的差异．角度1 双曲线的定义(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B.x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D.x 2－y 28＝1(x ≥1)(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．【解析】 (1)设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.【答案】 (1)C (2)2 3在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→， 所以在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.答案：2双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．角度2 双曲线的标准方程(一题多解)已知双曲线过点(2，3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 【解析】 方法一：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，该方程组无解．综上，所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.方法二：设双曲线的方程为x 2m －y2n ＝1(mn >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4m －9n ＝1，nm ＝3，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.方法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由双曲线过点(2，3)，可得λ＝3×22－32＝3，故双曲线的方程为3x 2－y 2＝3，其标准方程为x 2－y 23＝1.【答案】 C若本例中“双曲线过点(2，3)”变为“焦距为2”，其他条件不变，则双曲线的标准方程为________．解析：由例题方法三知所求双曲线方程可设为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)即x 2λ3－y 2λ＝1.又双曲线焦距为2，所以c ＝1.若λ>0，方程化为x 2λ3－y 2λ＝1，所以λ3＋λ＝1，所以λ＝34.此时方程为x 214－y 234＝1；若λ<0，方程化为y 2－λ－x 2－λ3＝1，所以－λ－λ3＝1，所以λ＝－34.此时方程为y 234－x 214＝1.故所求双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1或y 234－x 214＝1.答案：x 214－y 234＝1或y 234－x 214＝1求双曲线标准方程的常用方法(1)定义法：根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x 2m2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)，再根据条件求解． (3)常用设法：①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．|跟踪训练|1．(多选)(2022·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( ) A ．双曲线的离心率为54B ．双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为4解析：选ABC.由题意可得焦点在x 轴上，且c ＝5，A 选项，若双曲线的离心率为54，则a ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故A 正确；B 选项，若双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，则⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－8116b 2＝1，a 2＋b 2＝25，得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，可设双曲线的方程为x 216－y 29＝m (m >0)，所以c 2＝16m ＋9m ＝25，解得m ＝1，所以此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故C正确；D 选项，若双曲线的实轴长为4，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝21，此时双曲线的方程为x 24－y 221＝1，故D 错误．故选ABC.2．经过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为所求双曲线经过点P (3，27)，Q (－62，7)，所以⎩⎨⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二 双曲线的几何性质(多维探究)复习指导：了解双曲线的几何性质．角度1 渐近线和离心率(1)(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )A.72B.132C.7D.13(2)(2021·高考全国卷乙)已知双曲线C：x2m－y2＝1(m>0)的一条渐近线为3x＋my＝0，则C的焦距为________．【解析】(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝m2＋9m2－2×3m×m×cos 60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|＝7m2m＝72.(2)双曲线x2m－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±1mx，即x±my＝0，又双曲线的一条渐近线为3x＋my＝0，即x＋m3y＝0，联立两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2a2＋b2＝4.【答案】(1)A (2)4角度2 双曲线性质的综合应用(1)(2022·潍坊模拟)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，则S△AF1F2S△ABF2＝( )A．1 B.12C.13D.23(2)(2022·合肥市名校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.53C.2D.73(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5【解析】 (1)如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a . 又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |， 所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12.故选B.(2)设P (x P ，y P )，则双曲线的焦半径|PF 1|＝ex P ＋a ， |PF 2|＝ex P －a ，由|PF 1|＝4|PF 2|可得ex P ＋a ＝4(ex P －a )， 即3ex P ＝5a ，所以x P ＝5a 3e. 由于点P 在双曲线的右支上，则x P ＝5a3e≥a ， 从而e ≤53，即此双曲线的离心率e 的最大值为53.(3)依题意，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24，将圆⎝⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a 2c ，所以点P ，Q 的横坐标均为a 2c .由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦， 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|PQ |22＝a 2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2， 即c 24＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2c 2＝a 2b 2c 2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ， 因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A. 【答案】 (1)B (2)B (3)A双曲线的几何性质(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法：①求出a ，b ，c 直接求离心率e ，写渐近线方程．②列出a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系．|跟踪训练|1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为42，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( )A ．2 B.4 C ．6D.8解析：选B.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线为y ＝±ba x ，两条渐近线互相垂直，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝－1，得a ＝b .因为双曲线的焦距为42，所以c ＝22，由c 2＝a 2＋b 2可知2a 2＝8，所以a ＝2，所以实轴长2a ＝4.故选B.2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5解析：选D.由题意，可得F (1，0)，直线l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±b a ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为b a.由|AB |＝4|OF |可得2b a ＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2，故双曲线的离心率e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝5.3．(2022·济宁模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为________．解析：因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点 A (a ，b )，c ＝4且（4－a ）2＋b 2＝4，又a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1考点三 直线与双曲线(综合研析)(2021·新高考卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解】 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)．(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 易知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21， 所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12， |TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝⎛⎭⎪⎫x B －12，则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12（x A ＋x B ）＋14 ＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k21－12·2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14 ＝（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16.同理得|TP |·|TQ |＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16.因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16，所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.(1)判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)弦长公式设直线y ＝kx ＋b 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.|跟踪训练|已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.(1)求与双曲线C 1有相同的焦点且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程； (2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点．当OA →·OB →＝3时，求实数m 的值．解：(1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ， 设A (x 1，2x 1)，B (x 2，－2x 2)．由⎩⎨⎧x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0.由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2＞0，得m ≠0.因为x 1x 2＝－m 23，OA →·OB →＝x 1x 2＋(2x 1)·(－2x 2)＝－3x 1x 2，所以m 2＝3，即m ＝± 3.[A 基础达标]1．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．11 B.9 C.5D.3解析：选 B.根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( )A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1D.x 22－y 28＝1 解析：选D.由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程x 22－y 28＝1.故选D.3．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积为( )A ．10 3B.8 3C.8 5D.16 5解析：选C.依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2， 因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8， 所以S △PF 1F 2＝12×8×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝8 5.4．(2022·长春市质量监测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±x B.y ＝±2x C ．y ＝±3xD.y ＝±2x解析：选C.设点P (x ，y )，由题意知k 1·k 2＝yx －a ·yx ＋a ＝y 2x 2－a 2＝y 2a 2y 2b 2＝b 2a 2＝3，所以其渐近线方程为y ＝±3x ，故选C.5．(2020·高考天津卷)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 2－y 24＝1C.x 24－y 2＝1 D.x 2－y 2＝1解析：选D.方法一：由题知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b )的直线方程为x ＋y b ＝1，而x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －yb ＝0，由l 与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1，故选D.方法二：由题知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则a ＝b ，即渐近线方程为x ±y ＝0，排除B ，C.又知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，l 过点(1，0)，(0，b )，所以b －00－1＝－1，b ＝1，故选D.6．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32 B.16 C.84D.4解析：选B.由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，ca ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B. 7．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nxD ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线解析：选ACD.对于A ，若m ＞n ＞0，则mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m＋y 21n＝1，因为m >n >0，所以0<1m ＜1n，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若m ＝n >0，则mx 2＋ny 2＝1可化为x 2＋y 2＝1n，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为x21m＋y21n＝1，此时曲线C表示双曲线．由mx2＋ny2＝0可得y＝± －mnx，故C正确；对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝1 n ，y＝±nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选ACD.8．(2021·高考全国卷乙)双曲线x24－y25＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．解析：由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝|3－8|12＋22＝ 5.答案： 59．已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．解析：双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±bax，一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得ba＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，可得a＝32，b＝3，即有c＝a2＋b2＝94＋9＝352，即焦距为2c＝3 5.答案：3 510．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为MF 1→·MF 2→<0， 所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33[B 综合应用]11．(多选)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其中一条渐近线上的一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1C ．点P 的横坐标为±1D ．△PF 1F 2的面积为 2解析：选ACD.等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确；由双曲线的方程可知|F 1F 2|＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误；点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上，不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以⎩⎨⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得S△PF1F2＝12×22×1＝2，故D正确．故选ACD.12.如图，F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝±a2b2b2－a2，所以2·a2b2b2－a2＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋2，所以e＝2＋ 2.答案：2＋ 213．(2022·陕西榆林二模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为12，则C的离心率为________．解析：把x＝c代入双曲线：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)得y＝b2a，所以B⎝⎛⎭⎪⎫c，b2a，又A(－a，0)，直线AB的斜率为12，所以b2aa＋c＝12，可得a2＋ac＝2c2－2a2，即2c2－3a2－ac＝0，即2e2－3－e＝0，因为e >1，所以e ＝32.答案：3214．(2022·临川一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1，2)，使得P i A 1→·P i A 2→＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：设c 为半焦距，则F (c ，0)，又B (0，b )， 所以BF ：bx ＋cy －bc ＝0，以A 1A 2为直径的圆的方程为⊙O ：x 2＋y 2＝a 2， 因为P i A 1→·P i A 2→＝0，i ＝1，2，所以⊙O 与线段BF 有两个交点(不含端点)，所以⎩⎨⎧bc b 2＋c 2<a ，b >a ，即⎩⎨⎧c 4－3a 2c 2＋a 4<0，c 2>2a 2，故⎩⎨⎧e 4－3e 2＋1<0，e 2>2，解得2<e <5＋12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 [C 素养提升]15．(2022·安徽皖南名校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其右支上存在一点M ，使得MF 1→·MF 2→＝0，直线MF 2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5解析：选D.由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2.不妨设直线MF 2平行于双曲线的渐近线l ：bx ＋ay ＝0，如图所示， 从而得l 是线段MF 1的垂直平分线，且直线MF 1的方程为y ＝ab(x ＋c )． 设MF 1与l 相交于点N (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a b（x ＋c ），y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a 2c ，y ＝abc ，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c .又F 1(－c ，0)，由中点坐标公式，得M ⎝⎛⎭⎪⎫c －2a 2c ，2ab c ， 将点M 的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫c －2a 2c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab c 2b2＝1， 化简得c 2＝5a 2，则离心率e ＝ca＝ 5.故选D.16．(2022·长沙雅礼中学模拟)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，则点P 的坐标为________．解析：如图，由双曲线C的方程可知c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，所以c＝3，所以左焦点E(－3，0)，右焦点F(3，0)，因为|AF|＝（－3）2＋（66）2＝15，所以当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，所以|PF|＝|PE|＋2，又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，所以△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝26x＋66，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，由x＝－2，得y＝26(负值已舍)，所以点P的坐标为(－2，26)．答案：(－2，26)17．(2021·上海春季高考卷节选)(1)某团队在基地O点西侧、东侧20千米处分别设有A，B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|－|PB|＝20千米，可知P在以点A，B 为焦点的双曲线上．以O点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴方向，正北方向为y轴正半轴方向，建立平面直角坐标系，点P在基地O点北偏东60°处，求双曲线的标准方程和P点的坐标．(2)该团队又在基地O点南侧、北侧15千米处分别设有C，D两站点，测量距离发现一点Q满足|QA|－|QB|＝30千米，|QC|－|QD|＝10千米，求|OQ|(精确到1千米)．解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a ＝10，c ＝20，所以b 2＝c 2－a 2＝300， 所以双曲线的标准方程为x 2100－y 2300＝1. 由题意可得直线OP ：y ＝33x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2100－y 2300＝1，y ＝33x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1522，y ＝562，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1522，562. (2)①由|QA |－|QB |＝30可得点Q 在以A ，B 为焦点，实轴在x 轴上且实轴长为30的双曲线右支上，设双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)，则a 1＝15，c 1＝20，所以b 21＝175，双曲线的方程为x 2225－y 2175＝1；②由|QC |－|QD |＝10可得点Q 在以C ，D 为焦点，实轴在y 轴上且实轴长为10的双曲线上支上，设双曲线方程为y 2a 22－x 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，则a 2＝5，c 2＝15，所以b 22＝200，双曲线的方程为y 225－x 2200＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2225－y 2175＝1，y 225－x 2200＝1，可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫14 40047， 2 97547，所以经计算器计算得，|OQ|≈19(千米)．。
双曲线及其性质-2023年高考数学一轮复习(全国通用)
整理可得 4c2
7a2 ，所以 e2
c2 a2
7 ，即e 4
7 ．故选：A 2
2 ． (2019 年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅱ 卷 理 科 ) 设 F 为 双 曲 线
C:
x2 a2
y2 b2
1 a 0,b 0 的右焦点，O 为坐标原点，以OF
为直径的圆与
圆 x2 y2 a2 交于 P ，Q 两点，若 PQ OF ，则C 的离心率为
2
b2 4c2
所以
6a
b ，整理可得b2 4c2 6a2 4b2 ，
2b 2c
c
即 4c2 6a2 3b2 3 c2 a2 所以c2 3a2 ，所以e 3 ，故选 C．
，其中θ为∠F1PF2.
6．巧设双曲线方程 (1)与双曲线x2－y2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为
a2 b2 (t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线．( ) (2)方程x2－y2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．( )
mn (3)双曲线mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－yn22＝0，即mx ±ny=0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )
考向1：双曲线的定义及其应用
1.已知双曲线 C：ax22－y92＝1(a>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，一条渐近线 与直线 4x＋3y＝0 垂直，点 M 在 C 上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝( ) A．2 或 14 B．2 C．14 D．2 或 10
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练31---双曲线的方程及几何性质(解析版)
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题31、 双曲线的方程及几何性质一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ⎪⎪⎪⎪| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 二 、双曲线的标准方程和几何性质一、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .题型一、双曲线的方程与渐近线的方程例1、【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a=±，所以b b a-=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．变式、【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.例2、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A．y =B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 变式、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF FO c ==， 故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B.题型二、双曲线的离心率例3、【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=，在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()a y x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ，解得：53e = ，或1e =-（舍）故选：C变式2、【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120FB F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 题型三、双曲线的综合问题例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．变式1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6【解析】2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PFB B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．1、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 2、【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0 D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的，则其渐近线方程为（ ）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±=【答案】C【解析】由题,离心率c e a ===,解得12b a =,因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±=故选：C4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ====,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上，则P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．6、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D ．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为e == 故选：D.7、【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=.故答案为：()3,08、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.9、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ==，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：3221/ 21。
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
高考数学复习考点知识与结论专题讲解54 双曲线的定义和性质
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第54讲 双曲线的定义和性质【知识通关】通关一通关一、、双曲线的标准方程当焦点在x 轴上时，22221(0,0)x y a b a b −=>>，其中222c a b =+；当焦点在y 轴上时，22221(0,0)y x a b a b −=>>，其中222c a b =+.要点诠释：1. 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；2. 在双曲线的两种标准方程中，都有0a >，0b >和222c a b =+；3. 双曲线的焦点总在实轴上：当焦点在x 轴上时，双曲线的焦点坐标为(),0c ，(),0c −；当焦点在y轴上时，双曲线的焦点坐标为()0,c ，()0,c −；4. 在两种标准方程中，可以根据系数的正负来判定焦点在哪一个坐标轴上.通关二通关二、、双曲线的几何性质图形通关三通关三、、求双曲线的方程的两种方法1. 定义法根据双曲线定义，确定2a ，2b 的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： （1）222c a b =+；（2）双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a .注意：求轨迹方程时，满足条件：122PF PF a −=()1202a F F <<为双曲线的一支，应注意条件合理取舍.2. 待定系数法（1）一般步骤①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于，，的方程或方程组； ④解：求解得到方程. （2）常见设法①与双曲线22221x y a b −=共渐近线的双曲线可设为()22220x y a b λλ−=≠；②若双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设为()22220x y a b λλ−=≠；③若双曲线过两个已知点，则可设为221(0)x y mn m n+=<； ④与双曲线22221x y a b −=共焦点的双曲线方程可设为()2222221x y b a a b λλλ−=−<<−+； ⑤与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有共同焦点的双曲线方程可设为()2222221x y b a a b λλλ+=<<−+. 结论一结论一、、双曲线定义的理解1. 设双曲线上的点M 到两焦点1F ，2F 的距离之差的绝对值为2a ，则有1202a F F <<，这一条①若122a F F =，则点M 的轨迹是分别以为端点的两条射线； ②若122a F F >，则点M 的轨迹不存在；③若20a =，则点M 的轨迹是线段12F F 的垂直平分线.2.若将双曲线的定义中“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支可借助图形来确定.【例1】到两定点()13,0F −，()23,0F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（） A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线【答案】D【解析】到两个定点的距离之差的绝对值小于两个定点间距离的点的轨迹是双曲线，等于两个定点间距离时，双曲线退化成两条射线，分别以两个定点为射线的两个端点.12126F A F A F F −==时，这三点共线，且点A 在1F ，2F 之外.也可通过求轨迹方程的办法求出，此时要注意自变量的取值范围.【变式】已知点()2,0M −，()2,0N ，动点P 满足条件PM PN −=，则动点P 的轨迹方程为____.【答案】()221022x y x −=>【解析】由4PM PN MN −=<=，结合双曲线定义可知动点P 的轨迹为以M ，N 为焦点的双曲线右支，双曲线中2a =，24c =，所以a =，2c =，所以b =，轨迹方程为()221022x y x −=>. 结论二结论二、、双曲线上点的性质若P 为双曲线22221x y a b −=上一点，1F ，2F 为双曲线的左、右焦点，则122PF PF a −=.【例2】若双曲线E ：221916x y −=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PFA. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a −==，即236PF −=，解得29PF =，故选B.【变式】P 是双曲线的右支上一点，M ，N 分别是圆和上的点，则的最大值为（） A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】由题意得双曲线221916x y −=的焦点分别为()15,0F −，()25,0F ，且这两点刚好为两圆的圆心.由题意可得，当且仅当P 与M ，1F 三点共线，以及P 与N ，2F 三点共线时所求的值最大，此时()()1221639PM PN PF PF −=+−−=+= .故选D.结论三结论三、、焦点三角形周长拓展过双曲线22221x y a b −=上一个焦点作弦AB （交到同一支上），与另一个焦点F 构造三角形F AB ，则FAB 的周长等于42a AB +.【例3】如图，已知双曲线的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与左支交于A ，B 两点，若5AB =，且实轴长为8，则2ABF 的周长为____.【答案】26【解析】由双曲线的定义知，212F A F A a −=，212F B F B a −=，两式相加得22114F A F B F A F B a +−−=.又115AB F A F B ==+，28a =，故2211416521F A F B a F A F B +=++=+=，故2ABF 的周长为21526+= .【变式】设1F ，2F 为双曲线22221(0,0)sin 2x y b b πθθ−=<≤>的两个焦点，过1F 的直线交双曲线的同支于A ，B 两点，如果AB m =，则2AF B 的周长的最大值是（） A. 4m − B. 4C. 4m + D. 42m +【答案】D【解析】由双曲线的定义有212sin AF AF θ−=，212sin BF BF θ−=，于是2AF B 的周长为22112sin 2sin 4sin 2AF BF m AF BF m θθθ++=+++=+，最大值当2πθ=时取得，最大值为42m +.故选D.结论四结论四、、双曲线的标准方程对于方程221x y m n+=， （1）表示双曲线的充要条件为0mn <；（2）表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件为0m >，0n <； （3）表示焦点在y 轴上的双曲线的充要条件为0m <，0n >.【例4】如果方程22121x y m m +=++表示双曲线，则m 的取值范围是（）A. ()2,+∞B. ()2,1−−C. (),1−∞−D. ()1,2【答案】B【解析】由题意知，()()210m m ++<，解得21m −<<−，故m 的取值范围是()2,1−−.故选B.【变式】若方程2221523x y m m m +=−−−表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围. 【答案】()5,+∞【解析】由双曲线的焦点在y 轴上可知，m 需满足250,230m m m −> −−>，解得5m >.故实数m 的取值范围为()5,+∞.结论五结论五、、求双曲线的渐近线求双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>或22221(0,0)y x a b a b −=>>的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令22220x y a b −=得b y x a =±，或令22220y x a b −=得ay x b =±.【例5】双曲线2214y x −=的渐近线方程为（）A. 12y x =± B. 2y x =± C. y = D. y =【答案】B【解析】令2204y x −=，得2y x =±，所以渐近线方程为2y x =±.故选B. 【变式】双曲线22149y x −=的渐近线方程是 A.32y x =± B. 23y x =± C. 94y x =± D. 49y x =±【答案】B【解析】渐近线方程为22049y x −=，即23y x =±.故选B.结论六结论六、、双曲线方程的设法1. 与双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>有相同渐近线的双曲线方程为2222(0)x y a b λλ−=≠2. 渐近线为ny x m =±的双曲线方程为2222(0)x y m nλλ−=≠3. 与双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>有共同焦点的双曲线方程为2222221()x y b a a b λλλ−=−<<−+ 4. 与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有共同焦点的双曲线方程为2222221()x y b a a b λλλ+=<<−+【例6】（1）与双曲线221169x y −=有相同的渐近线，且过点()3A −的双曲线方程是____. （2）与双曲线2211620x y −=有相同焦点，且经过点()5,2−的双曲线的标准方程是____.（3）与椭圆2214936x y +=有公共焦点，且经过点()2的双曲线的标准方程是____. 【答案】（1）224194y x −=（2）2212016x y −=（3）22194x y −= 【解析】（1）与双曲线221169x y −=有相同的渐近线方程的双曲线方程为()220169x y λλ−=≠，将点()3A −代入，得：()()22311694λ−=−=−.所以所求双曲线的方程为2211694x y −=−，即224194y x −=. （2）设所求双曲线方程为()22120161620x y λλλ−=−<<−+.因为双曲线过点()5,2−，所以25411620λλ−=−+，解得4λ=−或29λ=−（舍去），所以所求双曲线的方程为2212016x y −=.（3）设所求双曲线方程为()22136494936x y λλλ+=<<−−.因为双曲线过点()，所以18414936λλ+=−−，解得40λ=或23λ=（舍去），所以所求双曲线的方程为22194x y −=.【变式】已知双曲线过点(，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____.【答案】2214x y −=【解析】设双曲线方程为()2204x y λλ−=≠，将点(代入得1λ=，所以双曲线方程为2214x y −=.结论七结论七、、点到线距离定值双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b .【例7】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>，则b 等于（）.A.1 C.2D.【答案】B【解析】焦点(,0)c 到0bx ay −=b =，故b ，故选B.【变式】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（）.【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点为(,0)F c ，渐近线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c ==，可得离心率ce a==故选C. 结论八结论八、、比值为定值双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率.【例8】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为（）.A.y =±B.y =C.y =D.y = 【答案】A【解析】如图所示，双曲线顶点为A ，焦点为F ，过,A F 作渐近线的垂线，垂足为,B C ，所以OAB OFC ∆∆与相似（O 为坐标原点）.又由题意知31CF AB =，所以3OF c OA a ==，即3c a =，又因为222c b a =+，所以228b a =，即ba=.所以渐近线方程为：y =±，故选A.【变式】设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）.A.2C. D.4【答案】B【解析】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y x =±，所以a b =，因为顶点到一条渐近线的距离为11=，所以a b ==，所以双曲线C 的方程为22122x y −=，焦点坐标为(2,0),(2,0)−，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离d ==故选B.结论九结论九、、等轴双曲线已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b−=>>，当a b =时，称为等轴双曲线.（1）方程形式为22(0)x y λλ−=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直；（3）离心率e =.【例9】关于渐近线方程为0x y ±=的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等，②离心率是，③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等，④顶点到渐近线与焦点到.其中所有正确结论的编号是（）.A.①②B.①③C.①②③D.②③④【答案】C【解析】①因为渐进线的斜率为11b aa b ±=±±=±或，所以①正确；②离心率e ，所以②正确；③设双曲线的方程为222x y a −=，将x c =代入双曲线方程可得2222y c a b =−=，过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为22b a =，与实轴长相等，同理，当焦点在y 轴上时此结论也成立，所以③正确；④因为顶点到渐近线的距离小于焦点到渐近线的距离，所以④不正确.故选C.【变式】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两条渐近线互相垂直，焦距为实轴长为（）.A.3B.6C.9D.12【答案】B【解析】因为两条渐进线互相垂直，故可得21b a−=−，又因为焦距为，故可得2c =，结合222a b c +=，解得3a =，3b =，c =，故实轴长26a =.故选B.结论十结论十、、离心率与渐近线斜率关系在双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b −=>>中，c e a ====，所以双曲线的渐近线方程by x a=±可以表示为y =.【例10】设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线方程为C 的离心率为__________.【解析】双曲线的渐近线方程为y ==，23e =，e =.【变式】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a −=>的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率是__________. 【答案】32【解析】双曲线的渐近线方程为y ==，294e =，32e =. 结论十一结论十一、、过定点直线与双曲线相交问题1.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率为bk a=±；如图（a ）所示，1l ，2l 分别与渐近线平行，显然此时与双曲线只有一个交点； 2.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线的左右两支都有交点时，该直线的斜率满足(,)b bk a a∈−；如图（b ）所示，1l ，2l 分别与渐近线平行，如果直线与双曲线的左右两支都有交点，则动直线只需按箭头方向旋转即可；3.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线的单支有两个交点时，该直线的斜率满足(,)(,)b bk a a∈−∞−∪+∞.如图（c ）所示，1l ，2l 分别与渐近线平行，如果直线与双曲线的单支有两个交点，则动直线只需按箭头方向旋转即可.（a ）（b ）（c ）【例11】斜率为2的直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】)+∞【解析】直线l 与双曲线的两支分别相交，满足2b b a a −<<（其中ba±为双曲线的两条渐近线的斜率），即2b a ==>，解得e >.所以双曲线的离心率的取值范围是)+∞. 【变式】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A.(]1,2B.()1,2C.[)2,+∞D.()2,+∞【答案】C【解析】如图，1l 与2l 分别为与双曲线22221x y a b −=的渐近线平行的两条直线，直线l为过点F 且倾斜角为60°的直线，要使与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使tan 60b a ≥°=，所以2e =≥.故选C.结论十二、双曲线的通径过焦点做实轴的垂线与双曲线22221x y a b −=()0,0a b >>垂的交点为A ，B ，则AB 即为双曲线的通径，22b AB a=.【例12】已知F 已为双曲线C ：22221x y a b −=()0,0a b >>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为__________. 【答案】2【解析】由题意可得3BF AF =，而2b BF a =，AFc a =−，即23b a c a=−，变形得22233c a ac a −=−，化简可得2320e e −+=，解得2e =或1e =(舍去).【变式】已知双曲线22221x y a b −=()0,0a b >>的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x 轴的直线被双曲线截得的弦长为m ，则ma=__________. 【答案】6【解析】双曲线的焦距为2c ，则2ca =，即2c a =，则b =，由题意知m ，故32b m a =，所以2226m b a a==. 结论十三结论十三、、焦点三角形的面积若点()00,P x y 在22221x y a b−=()0,0a b >>在上，设12F PF θ∠=，则12F PF ∆的面积120F PF S c y ∆=2121sin 2tan 2b PF PF θθ==i .【例13】设双曲线C ：22221x y a b −=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ,.P 是C 上的一点，且12F P F P ⊥.若12F PF ∆的面积为4，则a =（）A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】因为12F P F P ⊥，所以1290F PF ∠=°，1222124tan 2F PF b S b F PF ∆===∠.因为222222c a b e a a +==2215b a=+=，所以244a =，21a =，即1a =.故选A.【变式】设1F ，2F 是双曲线C ：2213y x −=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 是C 上且2OP =，则12F PF ∆的面积为（）. A.72B.3C.52D.2【答案】B【解析】由已知，不妨设()12,0F −，()22,0F ，则1a =，2c =.因为12122OP F F ==，所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F PF ∆是以点P 为直角顶点的直角三角形，1222123tan 2F PF b S b F PF ∆===∠，故选B.结论十四结论十四、、焦半径最值F 为双曲线22221x y a b −=()0,0a b >>的右焦点，若P 是双曲线右支上的动点，则PF c a ≥−；若P 是双曲线左支上的动点，则PF c a ≥+.【例14】若椭圆或双曲线上存在一点P 到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线上存在“Γ点”的是（）.A.2211615x y += B.2212524x y += C.22115y x −= D.221x y −=【答案】D 【解析】在椭圆中，1221PF PF =>，122PF PF a +=，122PF PF =，即223aPF =，又2PF c a ≥−，故21333a a a c c e ≥−⇒≥⇒≥，又01e <<，故113e ≤<.在双曲线中，1221PF PF =>，22PF a =，2PF c a ≥−，故233a c a a c e ≥−⇒≥⇒≤，又1e >，所以13e <≤.A 选项：2211615x y +=，11,143e =∉ ，错误；B 选项：2212524x y +=，11,153e =∉，错误；C 选项：22115y x −=，(]41,3e =∉，错误；D 选项：221x y −=，(]1,3e =，正确.综上，故选D.【变式】已知双曲线C ：22221x y a b −=()0,0a b >>的左右焦点分别为()1,0F c −，()2,0F c ,若双曲线上存在一点P 使得1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】D【解析】在12PF F ∆中，由正弦定理可得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，则由已知得21a cPF PF =，即12c PF PF a =，由双曲线的定义可知122PF PF a −=，则222cPF PF a a −=，即222a PF c a =−，由双曲线的几何性质可知2PF c a >−，则22a c a c a >−−，即2220c ac a −−<，所以2210e e −−<，解得11e +<<+，又()1,e ∈+∞，故双曲线的离心率()1e ∈+.结论十五结论十五、、双曲线中的线段和差最值设双曲线方程为22221x y a b −=()0,0a b >>，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，()00,Q x y 为平面上一定点，M 为双曲线右支上任意一点.1.若定点()00,Q x y 与双曲线右焦点2F 在双曲线右支的同侧，则2MQ MF +的最小值是12QF a −，最大值不存在；2.若定点()00,Q x y 与双曲线右焦点2F 在双曲线右支的异侧，则2MQ MF +的最小值是2QF ，最大值不存在.【例15】已知F 是双曲线221412x y −=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为__________. 【答案】9【解析】设双曲线的右焦点为1F ，14PF PF =+，1min 1()5PF PF AF +==，则PF PA +的最小值为9.【变式】已知2F 是双曲线:C 221412x y −=的右顶点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆:E 22(2)1x y ++=上的一点，则2AB AF +的最小值为（）A.9B.8C.D.【答案】A【解析】设双曲线C 的左焦点为1F ，则21126AF AF a AF =+=+，所以216AB AF AB AF +=++=115559AB AF BE F E +++≥+=+=，故选A结论十六结论十六、、黄金双曲线双曲线22221x y a b −=()0,0a b >>中，若a ，b ，c 成等比数列，即212290b ac F B A =⇔∠=°,离心率e =. 【例16】已知双曲线22221x y a b−=()0,0a b >>.（1）若实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则该双曲线的离心率为__________. （2）若实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则该双曲线的离心率为__________.【答案】（1）53（2【解析】（1）由题设可知2b a c =+，且222c a b =+，故2222a c c a +−=，得4a c c a +−=，即35c a =，所以53c e a ==. （2）由题设可知2b ac =，且222c a b =+，故22c a ac −=，即220c ac a −−=，由ce a=可得210e e −−=，解得e =或e =（舍去），所以e =. 【变式】设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（）.【答案】D【解析】设双曲线的方程为22221x y a b−=(0,0)a b >>，不妨设一个焦点为(,0)F c ，虚轴的一个端点为(0,)B b ，则FB b k c =−.又渐近线的斜率为b a ±，所以由题意得1b b c a −⋅=−（b a−不符合，舍去），则2b ac =，又双曲线中222c a b −=，故22c a ac −=，即220c ac a −−=，由ce a=可得210e e −−=，解得e =或e =（舍去），故选D. 结论十七结论十七、、双曲线焦点弦弦长已知双曲线22221x y a b−=()0,0a b >>中，经过其焦点F 的直线交双曲线于A ，B 两点，直线AB的倾斜角为θ，双曲线的离心率为e ，则焦点弦长22221cos b a AB e θ=−. 【例17】过双曲线2214y x −=的右焦点为F 做A ，B 两点，则AB 为__________. 【答案】32【解析】由题知k =，所以1cos 2θ=，e =，由焦点弦长公式22221cos b a AB e θ=−得，2432AB ⋅=【变式】过双曲线22154x y −=的右焦点F 作一条斜率为2的直线与双曲线交于A ，B 两点，O 渐为坐标原点，则OAB ∆的面积为__________. 【答案】152【解析】由题意知2k =，所以cos θ=，e =，由焦点弦长公式22221cos b a AB e θ=−得AB ，O 到AB的距离d =，11522OAB S d AB ∆=××=.结论十八结论十八、、离心率的定义表示双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>中，121222F F c c e a a PF PF ===−.【例18】如图，已知ABCDEF 为正六边形，若以,C F 为焦点的双曲线恰好经过,,,A B D E 四点，则该双曲线的离心率为__________.1+【解析】设正六边形边长为1，则以FC 为x 轴，中垂线为y 轴建立直角坐标系，则(1,0)F −，(1,0)C ，故1c =.因为2FC =，1BC =，所以BF =，即12BF BC a −=−=，故a =.所以1ce a====.【变式】过双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左焦点(,0)(0)F c c −>，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =−，则双曲线的离心率是__________.【答案】√ଵଶ【解析】由ܱܲሬሬሬሬሬԦ=2ܱܧሬሬሬሬሬԦ−ܱܨሬሬሬሬሬԦ得 ܱܧሬሬሬሬሬԦ=ଵଶ(ܱܨሬሬሬሬሬԦ+ܱܲሬሬሬሬሬԦ),可知ܧ为ܲܨ的中点,令右焦点为ܨᇱ, 则ܱ为ܨܨᇱ的中点,ܲܨᇱ=2ܱܧ=ܽ.因为ܧ为切点,所以ܱܧ⊥ܲܨ,ܲܨᇱ⊥ܲܨ,ܲܨ−ܲܨᇱ=2ܽ,ܲܨ=3ܽ.又ܲܨଶ+ܲܨᇱଶ=ܨܨᇱଶ,则10ܽଶ=4ܿଶ,݁=√ଵଶ.结论十九结论十九、、离心率求值的正弦表示ܨଵ,ܨଶ为双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)的左右焦点,ܲ是双曲线上的动点,若∠ܲܨଵܨଶ=ߙ,∠ܲܨଶܨଵ=ߚ,则双曲线的离心率为݁=ୱ୧୬(ఈାఉ)|ୱ୧୬ఈିୱ୧୬ఉ|.【例19】双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)的左、右焦点分别是ܨଵ,ܨଶ,过ܨଵ作倾斜角为30∘的直线交双曲线右支于ܲ点,若ܲܨଶ垂直于ݔ轴,则双曲线的离心率为（） A.√6B.√3C.√2D.√ଷଷ【答案】B【解析】解法一设|ܲܨଶ|=ݐ,|ܲܨଵ|=2ݐ,则|ܨଵܨଶ|=√3ݐ,即2ܽ=ݐ,2ܿ=√3ݐ,݁=ଶଶ=√3.故选B 解法二݁=ୱ୧୬ (ଽ∘ାଷ∘)ୱ୧୬ ଽ∘ିୱ୧୬ ଷ∘=√3故选B.【变式】已知ܨଵ,ܨଶ是双曲线ܧ:௫మమ−௬మమ=1的左、右焦点,点ܯ在ܧ上, ܯܨଵ与ݔ轴垂直,sin ∠ܯܨଶܨଵ=ଵଷ,则ܧ的离心率为（） A √2B.ଷଶC √3D.2【答案】A【解析】解法一设ܯܨଵ=1,则ܯܨଶ=3,ܨଵܨଶ=2ܿ=2√2,2ܽ=ܯܨଶ−ܯܨଵ=2,݁=√2.故选A. 解法二݁=ୱ୧୬ (ଽ∘ା∠ெிమிభ)ୱ୧୬ ଽ∘ିୱ୧୬ ∠ெிమிభ=ୡ୭ୱ ∠ெிమிభଵିభయ=మ√మయమయ=√2.故选A.结论二十结论二十、、离心率的焦率的焦半半径比值表示若在双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)上存在一点ܲ,使|ܲܨଵ|=ߣ|ܲܨଶ|(ߣ>1),则1<݁⩽ఒାଵఒିଵ. 【例20】双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)的两个焦点分别为ܨଵ,ܨଶ若ܲ为其上一点,且 |ܲܨଵ|=2|ܲܨଶ|,则双曲线的离心率的取值范围是（） A.(1,3)B (1,3]C (3,+∞)D.[3,+∞)【答案】B【解析】解法一由双曲线的定义知,||ܲܨଵ|−|ܲܨଶ||=2ܽ|ܲܨଵ|=2|ܲܨଶ|,即 |ܲܨଵ|=4ܽ,|ܲܨଶ|=2ܽ.又|ܲܨଵ|+|ܲܨଶ|⩾|ܨଵܨଶ|=2ܿ,故6ܽ⩾2ܿ,即݁⩽3.又݁>1,故1<݁⩽3.故选B解法二利用|ிభ||ிమ|的单调性,|ிభ||ிమ|=|ிమ|ାଶ|ிమ|=1+ଶ|ிమ|,随着∣ܲܨଶ|的增加，|ிభ||ிమ|减小,也就是说,当点ܲ右移时,|ிభ||ிమ|值减小,故要在双曲线上找到一点ܲ,使得 |ிభ||ிమ|=2,而当点ܲ在双曲线的右顶点上时,|ிభ||ிమ|⩾2,得ାି⩾2,即3ܽ⩾ܿ,则1<݁⩽3故选B解法三由题知ߣ=2,结合1<݁⩽ఒାଵఒିଵ,所以1<݁⩽3,故离心率的取值范围为(1,3]故选B. 【变式】已知双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)的左、右焦点分别为ܨଵ,ܨଶ,点ܲ在双曲线的右支上,且|ܲܨଵ|=4|ܲܨଶ|,则此双曲线的离心率݁的最大值为________. 【解析】解法一由定义知|ܲܨଵ|−|ܲܨଶ|=2ܽ又已知|ܲܨଵ|=4|ܲܨଶ|,解得|ܲܨଵ|=଼ଷܽ,|ܲܨଶ|=ଶଷܽ.在△ܲܨଵܨଶ中,由余弦定理得ܿݏ∠ܨଵܲܨଶ=లరవమାరవమିସమଶ⋅ఴయ⋅మయ=ଵ଼−ଽ଼݁ଶ.要求݁的最大值,即求cos ∠ܨଵܲܨଶ的最小值.当ܲ为实轴的右端点时,cos ∠ܨଵܲܨଶ=−1,解得݁=ହଷ,即݁的最大值为ହଷ.解法二由定义知|ܲܨଵ|−|ܲܨଶ|=2ܽ,又已知|ܲܨଵ|=4|ܲܨଶ|,解得|ܲܨଵ|=଼ଷܽ,|ܲܨଶ|=ଶଷܽ,|ܲܨଶ|୫୧୬=ܿ−ܽ,从而只要ଶଷܽ⩾ܿ−ܽ,就能得到ܲ点存在,解得݁⩽ହଷ,等号可以取到,即݁的最大值为ହଷ解法三由题知ߣ=4,结合1<݁⩽ఒାଵఒିଵ,所以1<݁⩽ହଷ,故离心率的取值范围为ቀ1,ହଷቃ.结论二十一结论二十一、、双曲线焦半径比例模型1.已知双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0),经过其焦点ܨ的直线交双曲线于ܣ,ܤ两点,直线ܣܤ的倾斜角为ߠ,ܣܨሬሬሬሬሬԦ=ߣܨܤሬሬሬሬሬԦ,双由线的离心率݁满足:|݁cos ߠ|=ቚఒିଵఒାଵቚ或݁=√1+݇ଶቚఒିଵఒାଵቚ(其中݇=tan ߠ);2.已知双曲线௬మమ−௫మమ=1(ܽ>0,ܾ>0),经过其焦点ܨ的直线交双曲线于ܣ,ܤ两点,直线ܣܤ的倾斜角为ߠ,ܣܨሬሬሬሬሬԦ=ߣܨܤሬሬሬሬሬԦ,双曲线的离心率݁满足:|݁sin ߠ|=ቚఒିଵఒାଵቚ或 ݁=ට1+ଵమቚఒିଵఒାଵቚ(其中݇=tan ߠ)【例21】已知双曲线ܥ:௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)的右焦点为ܨ,过ܨ且斜率为√3的直线交ܥ于ܣ,ܤ两点,若ܣܨሬሬሬሬሬԦ=4ܨܤሬሬሬሬሬԦ,则ܥ的离心率为（） A.ହ B.ହC.ହ଼D.ଽହ【答案】A【解析】由题知ߣ=4,带入结论݁=√1+݇ଶቚఒିଵఒାଵቚ得݁=ට1+(√3)ଶቚସିଵସାଵቚ=ହ故选A .【变式】已知双曲线ܥ:௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)的离心率为√3,过右焦点ܨ且斜率为݇(݇>0)的直线与ܥ相交于ܣ,ܤ两点.若ܣܨሬሬሬሬሬԦ=3ܨܤሬሬሬሬሬԦ,则݇=（） A.√3B √10C √11D 2√3【答案】C【解析】由题知ߣ=3,带入结论݁=√1+݇ଶቚఒିଵఒାଵቚ得√3=√(1+݇^2)|(3−1)/(3+1)|,解得݇=±√11,因为݇>0,所以݇=√11,故选C.结论结论二十二二十二二十二、、斜率乘积定值模型(一)直线݈与双由线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)相交于ܣ,ܤ两点,若ܯ(ݔ,ݕ)为ܣܤ的中点,则 ݇⋅݇ைܯ=మమ,݇=మ௫బమ௬బ.【例22】已知双曲线ܧ的中心为原点,ܨ(3,0)是ܧ的焦点,过ܨ的直线݈与ܧ相交于ܣ,ܤ两点,且ܣܤ的中点为ܰ(−12,−15),则ܧ的方程为（） A.௫మଷ−௬మ=1 B.௫మସ−௬మହ=1 C.௫మ−௬మଷ=1 D.௫మହ−௬మସ=1【答案】B【解析】解法一设双曲线方程为௫మమ−௬మమ=1,ܣ(ݔଵ,ݕଵ),ܤ(ݔଶ,ݕଶ),代人双曲线方程两式相减可得(௫భି௫మ)(௫భା௫మ)మ=(௬భି௬మ)(௬భା௬మ)మ,从而௫భା௫మమ=௬భି௬మ௫భି௫మ×௬భା௬మమ,即ଶ×௫ಿమ=݇×ଶ௬ಿమ,即ିଶସమ=ିଷమ,整理可得5ܽଶ=4ܾଶ,又ܽଶ+ܾଶ=9,两式联立可得 ܽଶ=4,ܾଶ=5.双曲线方程为௫మସ−௬మହ=1.故选B.解法二由݇⋅݇ைெ=మమ可得ିଵହିଵଶ×ି(ିଵହ)ଷି(ିଵଶ)=మమ,即5ܽଶ=4ܾଶ,ܿ=3.故选B【变式】已知直线ݔ−2ݕ+1=0与双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)交于ܣ,ܤ两点,且线段ܣܤ的中点ܯ的横坐标为1,则该双曲线的离心率为（） A.√2B √ଶC.√ହଶD.√3【答案】B【解析】解法一因为直线ݔ−2ݕ+1=0与双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)交于ܣ,ܤ两点,且线段ܣܤ的中点ܯ的横坐标为1,所以݇ைெ=1.设ܣ(ݔଵ,ݕଵ),ܤ(ݔଶ,ݕଶ),则有ݔଵ+ݔଶ=2,ݕଵ+ݕଶ=2,௬భି௬మ௫భି௫మ=ଵଶ,௬భା௬మ௫భା௫మ=݇ைெ=1,ቐ௫భమమ−௬భమమ=1௫మమమ−௬మమమ=1,两式相减可化为ଵమ−ଵమ.௬భି௬మ௫భି௫మ⋅௬భା௬మ௫భା௫మ=0,可得మమ=ଵଶ,所以ܽ=√2ܾ,ܿ=√3ܾ,双曲线的离心率为=√ଷ√ଶ=√ଶ.故选B. 解法二由题知ܯ(1,1),由݇⋅݇ைெ=మమ得ଵଵ⋅ଵଶ=మమ,可得మమ=ଵଶ,所以ܽ=√2ܾ,ܿ=√3ܾ,双曲线的离心率为=√ଷ√ଶ=√ଶ.故选B 结论结论二十三二十三二十三、、斜率乘积斜率乘积定定值模值模型型(二)经过原点的直线݈与双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)相交于ܯ,ܰ两点,ܲ是双曲线上的动点,直线ܲܯ,ܲܰ的斜率都存在,则݇ெ⋅݇ே为定值మమ=݁ଶ−1【例23】过原点的直线与双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)交于ܯ,ܰ两点,ܲ是双曲线上异于ܯ,ܰ的一点,若直线ܯܲ与直线ܰܲ的斜率都存在且乘积为ହସ,则双曲线的离心率为________. 【答案】ଷଶ【解析】解法一由双曲线的对称性,可设ܲ(ݔ,ݕ),ܯ(ݔଵ,ݕଵ),则ܰ(−ݔଵ,−ݕଵ),由݇ெ⋅݇ே=ହସ,得௬బି௬భ௫బି௫భ⋅௬బା௬భ௫బା௫భ=ହସ,即ݕଶ−ݕଵଶ=ହସ(ݔଶ−ݔଵଶ),即ହସݔଶ−ݕଶ=ହସݔଵଶ−ݕଵଶ又 因为ܲ(ݔ,ݕ),ܯ(ݔଵ,ݕଵ)均在双曲线上,所以௫బమమ−௬బమమ=1,௫భమమ−௬భమమ=1,所以మమ=ହସ.所以 双曲线的离心率݁==ට1+మమ=ଷଶ.解法二݇ெ⋅݇ே=మమ=݁ଶ−1=ହସ,所以݁=ଷଶ【变式】ܲ(ݔ,ݕ)(ݔ≠±ܽ)是双曲线ܧ:௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)上一点,ܯ,ܰ分别是双曲线ܧ的左、右顶点,直线ܲܯ,ܲܰ的斜率之积为ଵହ,则双曲线的离心率为________.【答案】√ଷହ【解析】解法一点ܲ(ݔ,ݕ)(ݔ≠±ܽ)在双曲线௫మమ−௬మమ=1上,有௫బమమ−௬బమమ=1.由题意又有௬బ௫బି⋅௬బ௫బା=ଵହ,可得ܽଶ=5ܾଶ,ܿଶ=ܽଶ+ܾଶ=6ܾଶ,则݁==√ଷହ解法二݇ெ⋅݇ே=మమ=݁ଶ−1=ଵହ,所以݁=√ଷହ.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学双曲线的定义知识点复习
高考数学双曲线的定义知识点一
1.双曲线定义的文字表述
双曲线，是指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点的距离的差的绝对值始终为一定值时所成的轨迹叫做双曲线。
2.双曲线定义的分析
1点：两个定点，一个动点
2距离：三个
3量：两个常数
4关系式：两个;一个等式，一个不等式
3.判断一个动点轨迹是否是双曲线的标准
1看动点到两个定点的距离的差的绝对值是否为常数
2看这个常数是否小于两个定点之间的距离
高考数学双曲线的定义知识点二
感谢您的阅读，祝您生活愉快。