第十九章《一次函数》内容分析与教学建议

第十九章《一次函数》内容分析与教学建议广州市真光中学苏国东一、教材分析（一）本章地位和作用函数知识在中学数学教学中占有极为重要的地位，既是教学的重点，也是教学的难点之一。

本章学生第一次接触函数，是初中函数部分的起始章，是后续学习二次函数和反比例函数的基础。

对函数概念和函数图像的理解贯穿于整个函数的教学中，随着具体函数的学习而不断加深认识，同时对函数概念中体现的变化与对应思想的理解又决定了具体的一次函数、反比例函数、二次函数的学习能否顺利地进行。

一次函数是学生接触的第一类具体函数形式，由具体实例抽象出统一的函数形式、利用函数图像归纳函数性质、利用函数图像和性质解决实际问题，这种由特殊到一般再到特殊的研究方法是研究函数的基本方法。

变化对应、数形结合等思想方法贯穿函数学习的始终，要尽可能地使学生加深认识。

（二）新版教材的变动《一次函数》在旧版教材中是在初二上学期学习的内容，《反比例函数》是在初二下学期学习的内容。

而在新版教材中《一次函数》移至初二下学期，《反比例函数》移至初三下学期，使学生学习函数的难点后移。

新旧教材本章内容与课时安排有所调整，“用函数观点看方程（组）与不等式”并入“一次函数”一节，题目作了修改。

19.1节是基础部分，19.2节是重点内容，19.3节是拓展提高部分。

具体如下：k 的性质显得更为妥当。

二、本章知识结构框图三、内容分析（一）函数的相关概念1．理解函数的概念及对应关系：①两个变量相互联系，一个变量发生变化时另一个变量也随之变化；②函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的。

2．能根据实际问题列出解析式，写出自变量的取值范围（使解析式有意义、实际问题有意义），给出自变量的一个值，会求出相应的函数值（学生对函数与函数值可能混淆）。

3．能较准确地画出简单函数的图象，学会利用图象分析变量之间的数量关系。

函数图象直观反映变量间的单值对应关系，提供了数形结合地研究问题的方法。

对一些无法用解析式表达的函数，图象充当重要角色。

（二）一次函数1．理解正比例函数的概念和特征，能正确地画出正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象和性质，注意0k ≠。

解析式y kx =（k 为常数，且0k ≠） 自变量取值范围全体实数 图象 形状过原点和（1，k ）点的一条直线 k 的取值 0k > 0k < 位置经过一、三象限 经过二、四象限 趋势（从左向右） 上升下降 函数变化规律 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 （1）对正比例系数k 的理解：xy k =，与小学学过的正比例关系一致，只是小学的比值不涉及负数。

（2）对增减性的研究除了通过观察图象，对有条件的学生可给出证明方法：对任意21x x <，)(212121x x k kx kx y y -=-=-，根据k 的正负得出21y y 和的大小。

从数形两方面加深对这个性质的理解。

（3）有条件的学校可补充k 对直线倾斜程度的影响。

k 越大，图像越靠近y 轴，函数变化速率越大。

对k 的研究可采用右图方式。

2．理解一次函数的概念和特征，能正确画出图象，注意一次函数y kx b =+的解析式、图象、性质等方面与正比例函数y kx =的异同，从特殊到一般地认识问题。

理解k 、b 对一次函数y kx b =+的影响。

解析式y kx b =+（k 为常数，且0k ≠） 自变量取值范围全体实数 图象 形状过（0，b ）和（b k -，0）点的一条直线 k 、b 的取值0k > 0k < 0b > 0b < 0b > 0b < 位置经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 趋势（从左向右）上升 下降 函数变化规律 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小（1）k 决定直线的趋势（倾斜程度），b 决定它与y 轴交点位置，k 、b 共同决定直线经过哪几个象限。

注意看图识性，体现数与形的互化。

（2）对于y kx b =+和y kx =，从数来看，常数项有区别，其余部分相同，因此对x 的任一值，两函数值的差恒为一常数；从形来看，两图象上横坐标相同的点纵坐标总相差同一值，一图象总比另一图象高出同一高度。

这就把以前学习的图象平移与函数图象联系起来。

（3）建议补充：两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系与系数的关系：12k k ≠⇔1l 与2l 相交；12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 12k k =，且12b b =⇔1l 与2l 重合。

3．能用待定系数法求一次函数的解析式，体现形（两点确定一直线）与数的联系。

（1）常见的直接条件：对于正比例函数，根据除原点外的一点（0x ，0y ）确定k 。

对于一次函数，根据两点(1x ，1y )和(2x ，2y )，解方程组1122y kx b y kx b =+⎧⎨=+⎩，；确定k 、b 。

（2）间接条件：围成图形的面积、平行关系等。

4．用函数观点看方程（组）和不等式能直观地用函数的图象来反映方程（组）的解和不等式的解集，并解决简单的实际问题。

反之，能利用解方程（组）、解不等式来解决一次函数相关问题。

对不等式问题关键是找出分界点（即“=”时的点）。

（1）一次函数y kx b =+的图象与x 轴交点的横坐标⇔一元一次方程0kx b +=的解。

（2）一次函数11y k x b =+与22y k x b =+两图象的交点（公共点）⇔二元一次方程组1122y kx b y kx b =+⎧⎨=+⎩，．的解（公共解）。

（3）使一次函数y kx b =+的函数值c y >（或<）的x 的取值范围⇔一元一次不等式c b kx >+（或<）的解集。

（4）ax b cx d +>+（a c ≠，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标的范围。

5．一次函数的应用（1）在数学中的应用：会求某个一次函数的图象和两坐标轴围成的三角形面积；两个一次函数的图象和坐标轴围成的三角形面积或四边形面积等。

（2）在实际中的应用：如分段函数问题、方案问题等。

四、教学建议（一）重视概念的形成和发展，逐步深化学生对函数的认识1．对于函数的初步认识变量与函数的教学是学生从初等数学向高等数学学习的转变的初始阶段，为了便于学生的接受，可先借助生活中的实例，逐渐抽象到数学中的概念，让学生认识并理解函数的概念中最主要的基本要素．2．对于函数的再认识引导学生认识到：研究的问题是有在一定条件下进行的，即变量是有取值范围的，自变量和函数和人们研究的目的有关；变量之间是相互制约、相互依存的，它们之间的对应关系是客观存在的（包括那些只能用图象或列表方法才能表示的函数关系）．3．对于函数的深化认识给出不同形式的数量关系，紧扣函数定义，让学生判断它们是否为x 的函数。

例：判断哪些是x 的函数：○11y x=；○2 1xy =；○33x +；○4 y x =；○5 x y =；○6 2x y =；○7 2y x = ； ○8O x y ； ○9x=a x yO．（二）渗透数学思想方法，落实基础知识和基本技能本章涉及到的主要数学思想方法有：变化对应的思想、数形结合思想、数学建模思想、从特殊到一般的思想等。

本章中自变量取值范围、正比例函数和一次函数的定义、图像和性质、解析式的确定是所有学生必须掌握的基础知识，描点作图是最基本的技能，要反复练习，配备系列题组，使学生熟练掌握。

例1：函数的定义系列题组：1．已知y=(k-3)x+1是一次函数，则k______。

2．已知y=(2-m)x+2m-3，当m 为何值时，（1）此函数为正比例函数；（2）此函数为一次函数。

3．若函数m x m y m +-=||)1(是关于x 的一次函数，求该函数解析式。

例2：图像和性质系列题组：1．有下列函数：①y=3x ＋7 ② y=2x －8 ③y=－3x ④y=6－8x ，其中过原点的直线是________；函数y 随x 的增大而增大的是__________；函数y 随x 的增大而减小的是_________；图象在第一、二、三象限的是________。

2．某一次函数的图象经过点(－1,2),且y 随x 的增大而减小,请写出一个符合条件的函数关系式： 。

3．已知一次函数y=(m-2)x+4-m ,当m 为何值时,（1）直线经过第一、三象限。

（2）直线经过第一、二、三象限。

（3）直线与y 轴的交点不在x 轴的下方。

4．点A(-3，y1）、点B （2，y2)都在直线y= –4x+3上，则1y 与2y 的关系是（ ）A 21y y ≤B 21y y =C 21y y <D 21y y >5．一次函数y=mx+n 与y=mnx （mn ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④例3：确定函数解析式的系列题组：1．若y 是关于x 的一次函数，且当3x =时，5y =；当2x =时，2y =，求函数的解析式。

2．若y 与2x -成正比例关系，且4x =时，5y =，求y 关于x 的函数关系。

3．已知一次函数的图象过点（3，5）与（4-，9-），求这个一次函数的解析式。

4．已知直线(0)y kx b k =+≠与直线2y x =平行，且与y 轴的交点是（0，2-），求函数解析式。

1.52O y x 5．直线(0)y kx b k =+≠图象如右图，求k 和b 的值。

6．一次函数y=kx ＋b 的自变量的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。

7．求经过点（2，0）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式。

8．在实际问题中求解析式（略）。

例4：函数与方程、不等式的系列题组：3．已知直线y 1=ax+b 和y 2=mx+n 的图象如图所示，根据图象填空．（1）当x_ _时，y 1＞y 2；当x _时，y 1=y 2；当x___ _时，y 1＜y 2。

（2）方程组12y =ax+b y =mx+n⎧⎨⎩的解为 。

（三）加强对新旧知识之间内在联系的认识首先函数知识与坐标系联系密切，又如对y kx b =+和y kx =的异同，把以前学习的图象平移与函数图象联系起来；待定系数法与解方程组联系起来；“一次函数与方程、不等式”一节在更高的角度（变化和对应的角度），用一次函数把以前学习的方程和不等式等概念统一起来。

此外一次函数还能与三角形、面积、勾股定理等知识相联系产生综合性问题。