概率论与数理统计 林文浩 第五章习题

习题五 大数定律与中心极限定理B 组1．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且具有相同分布，它们的均值与方差分别为μ与2σ。

试证随机变量11n i i X X n ==∑（X 称为样本均值），满足()E X μ=，2()D X n σ=，22{}P X n σμεε-≥≤。

证111111()()()n n ni i i i i E X E X E X n n n μμ=======∑∑∑22221111111()()()n n n i i i i i D X D X D X n n n nσσ=======∑∑∑应用契比雪夫不等式，对于任意的0ε>，有222(){}D X P X n σμεεε-≥≤=2．设()g x 是正值非减函数，并且{()}E g X 存在，证明{()}{}()E g X P X a g a ≥≤。

证 因为()g x 是正值非减函数，故当x a ≥时，有()()0g x g a ≥>，或()1()g x g a ≥所以(){}()()()aag x P X a f x dx f x dx g a +∞+∞≥=≤⎰⎰1{()}()()()()E g X g x f x dx g a g a +∞-∞≤=⎰3．假设12,,,n X X X 是相互独立且在[,]a b 上服从均匀分布的随机变量，()f x 是在[,]a b 上连续的函数，试证明1()()n b pi n a i b a f X f x dx n →∞=-−−−→∑⎰ 证 设 ()(1,2,,)i i Y f X i n == ,由已知，i X 的概率密度为1,,()0,a x b g x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他.则11()()()bbi aa E Y f x dx f x dxb a b a==--⎰⎰ (1,2,,)i n = 且111()()()nn b bi a a i i n E Y f x dx f x dx b a b a ====--∑∑⎰⎰ 于是由契比雪夫大数定律，对于任意的0ε>，有1111lim {()}1n ni i n i i P Y E Y n n ε→∞==-<=∑∑ 即111lim {()()}1n bi an i P f X f x dx n b a ε→∞=-<=-∑⎰这意味着，当n 充分大时，必有111()()n bi a i f X f x dx n b aε=-<-∑⎰ 即111()()n b pi n a i f X f x dx n b a→∞=−−−→-∑⎰ 或1()()n b pi n a i b a f X f x dx n →∞=-−−−→∑⎰4．独立地测量一个物理量，每次测量产生的随机误差都服从[1,1]-的均匀分布。

（1）如果取n 次测量的算术平均值作为测量结果，求它与真值的差小于一个小的正数ε的概率；（2）计算当136,6n ε==时的近似值；（3）要使上述概率大于0.95α=，应进行多少次测量？解 设该物理量为a ，i X 为第i 次测量的结果，则依题设有 ~[1,1](1,2,,)i i Y X a U i n =--= （1）所求的概率为：111111{}{()}{}n n ni i i i i i P X a P X a P Y n n n εεε===-<=-<=<∑∑∑因为1()(11)02i E Y μ==-+=，2211()[1(1)]123i D Y σ==--= 且(1,2,,)i Y i n = 独立同分布，利用列维-林德伯格中心极限定理，有111{})}n ni i i i P X a P Y n n εμ==-<=-<∑∑1{)}2)1ni i P Y n μφ==<-<≈-∑（2）当136,6n ε==时，所求概率的近似值为：11{}2(16n i i P X a n εφ=-<≈-∑2(1.7321)120.958210.9164φ=-=⨯-= （3）应进行测量次数n 的计算：依题设，有11{}210.95n i i P X a n εφ=-<≈->∑，即0.975φ> 查正态分布表，有(1.96)0.975φ=1.96>，得212 1.9646.1n >⨯=，故应进行47次测量。

5．设某种电子器件的使用寿命服从参数10λ=（单位：小时）的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等。

已知每个器件为a 元，那么在年计划中一年至少需要多少元才能有95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）。

解 设需要n 个这样的器件，且第i 个器件的使用寿命为(1,2,,)i T i n = 小时，据已知有(1,2,,)i T i n = 独立同分布，而()10i E T μλ===，22()100i D T σλ===依题设，要求 1{8306}0.95ni i P T =≥⨯=∑，因为11{8306})nni i i i P T P T n μ==≥⨯=-≥∑∑11)ni i P T n μ==--<∑应有8306n μ⨯≤，即244810n ≤，于是利用列维-林德伯格中心极限定理，有10102448()})1)nii P T n μ=-≈=-∑ 故0.95Φ=查正态分布表，有(1.645)0.95φ=1.645=，即244.80n --=所以1.645 1.64531.33516.4922++===即272n ≈，因此在年计划中一年至少需要272a 元。

6．设随机变量12,,,n X X X 相互独立同分布，()1,()16i i E X D X ==，(1,2,,100)i = ，求{11}P X -≤，其中10011100i i X X ==∑。

解 设2()1,()16i i E X D X μσ==== (1,2,,100)i =则1001001010{11}{111}{}44iXP X P X P μ--≤=-≤-≤=-≤≤∑ (2.5)( 2.5)2(2.5)120.993810.9876≈Φ-Φ-=Φ-=⨯-=7．已知生男孩的概率为0.515，求在10000个新生婴儿中，女孩不少于男孩的概率。

解法一（应用列维-林德伯格中心极限定理）设1,0,i i X i ⎧=⎨⎩第个新生婴儿是男孩,第个新生婴儿是女孩.(1,2,,10000)i = 则~(1,0.515)i X B ，于是22()0.515,()0.515(10.615)0.4998i i E X D X μσ====-=(1,2,,10000)i =利用列维-林德伯格中心极限定理，所求概率为100001000011000050005150{5000}}1000.4998ii i XP X P μ=--≤=≤⨯∑∑1000010000 3.00}iXP μ-=≤-∑( 3.00)1(3.00)10.99870.0013≈Φ-=-Φ=-=解法二（应用德莫弗-拉普拉斯中心极限定理）设1,0,i i X i ⎧=⎨⎩第个新生婴儿是男孩,第个新生婴儿是女孩.(1,2,,10000)i =并令100001ii X X==∑，则~(10000,0.515)X B ，于是利用德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为10000100001100000.515{5000}iii XP XP =-⨯≤=≤∑∑10000100000.5153.0}iXP -⨯=≤-∑( 3.00)1(3.00)10.99870.0013≈Φ-=-Φ=-=8．某商店负责供应某地区1000人商品，某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6，假定在这一段时间，各人购买与否彼此无关系，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。

解 设商店应预备a 件这种商品及1,0,i i X i ⎧=⎨⎩第个人购买该商品,第个人不购买该商品.(1,2,,1000)i = 并令10001ii X X==∑，则~(1000,0.6)X B ，则依题设，要求 {}0.997P X a ≤=。

而利用德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有{}P X a P ≤=≤P =≈Φ查正态分布表，有(2.75)0.997Φ=2.75=，即600 2.75642.6a =+=所以，商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销9．设某保险公司的老年人寿保险一年内有1万人参加，每人每年交40元，若老人死亡，公司付给家属2000元，设老人死亡率为0.017，试求保险公司在这次保险中亏本的概率。

解 设1,0,i i X i ⎧=⎨⎩第个老人当年死亡,第个老人活过当年.(1,2,,10000)i = 并令100001ii X X==∑，则~(10000,0.017)X B ，于是利用德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，保险公司在这次保险中亏本的概率为{20004010000}{200}1{200}P X P X P X >⨯=>=-≤1P =-≤1 2.3207}P =-≤1(2.3207)10.98980.0102=-Φ=-=10．在一家保险公司里有10000万人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费，求：（1）保险公司没有利润的概率为多大？（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？解 设1,0,i i X i ⎧=⎨⎩第个人在一年内死亡,第个人活满一年以上.(1,2,,10000)i = 并令100001ii X X==∑，则~(10000,0.006)X B ，于是利用德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，保险公司没有利润的概率为{10001210000}{120}1{120}P X P X P X ≥⨯=≥=-≤1P =-≤17.7693}P =-≤1(7.7693)110≈-Φ≈-=而一年的利润不少于60000元的概率为{1210000100060000}{60}P X P X ⨯-≥=≤P =≤0}P =≤(0)0.5≈Φ=。