数列的综合应用教案

高中数学专题复习——数列的综合应用一、考点、热点回顾如何解数列应用题(1)解数列应用题一般要经历：设——列——解——答四个环节． (2)建立数列模型时，应明确是什么模型，还要确定要求是什么． (3)建立数学模型的一般方法步骤：①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.②抓住数学关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数学关系用数学式子表达．③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意引出满足题意的数学关系式(如函数、方程、不等式、数列等)．二：典型例题题型一：等差、等比数列的综合应用 例1：已知数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8. （1）确定常数k ，求a n ；（2）求数列92{}2nna -的前n 项和T n 。

解: （1）当n k N *=∈时，212n S n kn =-+取最大值，即22211822k k k =-+=，故4k =，从而19(2)2n n n a S S n n -=-=-≥，又1172a S ==，所以92n a n =-（1） 因为19222n n n n a n b --==，1222123112222n nn n n nT b b b ---=+++=+++++ 所以21211111222144222222n n n n n n n n n n n T T T -----+=-=++++-=--=-题型二：数列与函数的综合应用 例2：函数2()23f x x x =--。

定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点(4,5),(,(n n nP Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标。

（1）证明：123n n x x +≤<<； （2）求数列{}n x 的通项公式。

解：（1）为2(4)4835f =--=，故点(4,5)P 在函数()f x 的图像上，故由所给出的两点(4,5),(,())n n n P Q x f x ，可知，直线n PQ 斜率一定存在。

故有直线n PQ 的直线方程为()55(4)4n n f x y x x --=--，令0y =，可求得2284355(4)4422n n nn n n x x x x x x x x x --+--=-⇔=-⇔=-++ 所以1432n n n x x x ++=+下面用数学归纳法证明23n x ≤< 当1n =时，12x =，满足123x ≤<假设n k =时，23k x ≤<成立，则当1n k =+时，1435422k k k k x x x x ++==-++，由551152342512432442k k k k x x x x ≤<⇔≤+<⇔<≤⇔<≤-<++即123k x +≤<也成立综上可知23n x ≤<对任意正整数恒成立。

下面证明1n n x x +<由22143432(1)4222n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +++----+-=-==+++ 由2231120(1)43n n n x x x ≤<⇒≤-<⇒<--+≤，故有10n n x x +->即1n n x x +<综上可知123n n x x +≤<<恒成立。

（2）由1432n n n x x x ++=+得到该数列的一个特征方程432x x x +=+即2230x x --=，解得3x =或1x =-∴14333322n n n n n x x x x x ++--=-=++ ① 14355(1)122n n n n n x x x x x +++--=+=++②两式相除可得11331151n n n n x x x x ++--=⨯++,而1132311213x x --==-++ 故数列31n n x x ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以13-为首项以15为公比的等比数列1311()135n n n x x --=-⋅+,故11195143351351n n n n x ---⨯-==-⨯+⨯+。

【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。

先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。

【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。

既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题比较综合，有一定的难度。

做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可。

题型三：数列与不等式的综合应用例3：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1*1221()n n n S a n N ++=-+∈，且123,5,a a a +成等差数列。

（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式。

（3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< 【解析】（1）12112221,221n n n n n n S a S a +++++=-+=-+ 相减得：12132n n n a a +++=+12213212323,34613S a a a a a a =-⇔=+=+=+ 123,5,a a a +成等差数列13212(5)1a a a a ⇔+=+⇔=（2）121,5a a ==得132n n n a a +=+对*n N ∀∈均成立 1113223(2)n n nn n n n a a a a +++=+⇔+=+得：11223n nn na a ----+=+=+==+⇔=-（3）当1n =时，11312a =< 当2n ≥时，23311()()23222222n n n nn n n a a ≥>⇔>⨯⇔>⇔< 231211111111311222222n n n a a a +++<++++=+-< 由上式得：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<题型四：数列与几何的综合应用例4：函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2ka x =， 所以1135,1641212kk a a a a a +=++=++=。

例5:已知数列{a n }的首项a 1＝1，且点A n (a n ，a n ＋1)在函数y ＝xx ＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：弦A n A n ＋1的斜率随n 的增大而增大解析： (1)∵a n ＋1＝a n a n ＋1且a 1＝1，∴1a n ＋1＝1＋1a n，∴1a n ＋1－1a n ＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，∴1a n＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝1n.(2)证明：∵a n ＝1n ，a n ＋1＝1n ＋1，a n ＋2＝1n ＋2，∴弦A n A n ＋1的斜率k n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝1n ＋2－1n ＋11n ＋1－1n ＝nn ＋2，∴k n ＋1－k n ＝n ＋1n ＋3－n n ＋2＝n ＋n ＋－n n ＋n ＋n＋＝2n ＋n ＋＞0.∴弦A n A n ＋1的斜率随n 的增大而增大．题型五：数列与三角的综合应用 例6：数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________。

【3018】考点：数列和三角函数的周期性。

难度：中。

分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。

解答： 1012cos )14(12)14(cos )14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ， 1)24(1cos )24(12)24(cos )24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ，10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ，14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ， 所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a 。

即30186420122012=⨯=S 。

题型六：数列与概率的综合应用例7：现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】35。

【考点】等比数列，概率。

【解析】∵以1为首项，3-为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63=105。

题型七：数列的实际应用例8：用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若付150元之后的第一个月算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部付清后，实际共花了多少钱？ 解析： 购买当天付了150元，余欠款1 000元，按题意分20次还清．设每次付款依次构成数列{a n }，则a 1＝50＋1 000×0.01＝60元，a 2＝50＋(1 000－50)×0.01＝59.5元， a 3＝50＋(1 000－50×2)×0.01＝59元…a n ＝60－(n －1)×0.5，∴{a n }是以60为首项，－0.5为公差的等差数列． ∴a 10＝60－9×0.5＝55.5元．20期共还款S 20＝20×60－20×192×0.5＝1 105，故共花了1 105＋150＝1 255元．三、课后练习1、有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.2、数列{}n x 满足：2*110,()n n n x x x x c n N +==-++∈（I ）证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < （II ）求c 的取值范围，使数列{}n x 是单调递增数列。