平面向量与三角形四心问题
(完整版)平面向量中的三角形四心问题(可编辑修改word版)
讲义-一平面向量与三角形四心的交汇一. 四心的概念介绍(1) 重心一-中线的交点：重心将中线长度分成2： 1;(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等.二、 四心与向量的结合(I)鬲+亦+冼= 6Q 0是AABC 的*心.(2) OA OB = OB'OC = OC OA^ 0 为 AABC 由墓心.(3)设zb. C 是三兔形的三条边瓠0旻A A RC 的内心 aOA-i~bOB ±cOC = 0 o O 为 MBC 的内卍，三、典型例题:例1： 0是平®上L 定点• A. B 、C 是平®上不共ft 的三个勲 动点P 満足丽M 页+ >1(而+疋. X e [O.-i-oo) • «点P 的轨谜一定遷过例 2： (03全ffl 理4 )。
是孚面上一定点.A. B 、C 是孚®上不共些的三个点.动点P 満足AR AC T K- + =7), e [0,+oo).则点P 的轨连一定夏过MBC 的() AC是平面上的一定点• A . B , C 畏平B 上不共ft 的三个点，一 ------ + —).Ze[0.4oo). W 动点P 的轨迹L 定通过MBC 的(I AB \sinB I ACI sin C3》巳知0爰平《上的一定点.A. B. C 是平®上不共线的三个点，屁字gog.则动心轨―通过“吶2 lAfilcosfi lACIcosC (4)岡= OB = 0C oO 为AABCW 外心.A.外心B.内心 D.垂心0P = 04 +几(=• AB A.外心 B ・内心 C ・4心例 3： 1) 是平》上一定点，4. B. C 是平》上不共a 的三个点，0P = 0A + 2( AB I AC TfljcoH A.外心 )• A e [0,+®) •则点卩的紈逐一宦4过口5(?的(B,内心 C 重心 D.垂心2)巳知0 A ・童心 B ・垂心 C ・外心 D ・内心例4.已知商》0彳0戛0片満足条件+ O&+邮 =（h 丨少；曰O&14O 片1=1・求证：是正三角殆.例5. AABC 的外接B 的08心为Q •诵条边上的«的交点为R. O//=w （Q4 + O8 + OC ）・W 実*«・ 例6•点0晏三角恐ABC 卿i 平®内的一乩 為足moB=5B5c=oc54.則点o 赴人肋（？的（C.三条中ft 的交点 在△ABC 内求一点戸・ftAp2 + 3P'+Cp2*小.已知。
平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心之阿布丰王创作已知O 是ABC ∆内的一点,AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ,B S ,C S ,求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则图1 =OD BC DC OB +BC BDOC图2推论O 是ABC ∆内的一点,且0=++•••OC OB OA z y x ,则 有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心 O 是ABC ∆的内心 O 是ABC ∆的外心 O 是ABC ∆的垂心证明：如图O为三角形的垂心,DB CDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan =同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆,C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆ 奔跑定理是三角形四心向量式的完美统一“四心”的相关向量问题一．知识梳理： 四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点,重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点,高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）,角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）,外心到三角形各极点的距离相等.与“重心”有关的向量问题1 已知G 是ABC △所在平面上的一点,若0GA GB GC ++=,则G 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 如图⑴.A'A2已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,(0)λ∈+∞，,则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意()AP AB AC λ=+,那时(0)λ∈+∞，,由于()AB AC λ+暗示BC 边上的中线所在直线的向量,所以动点P 的轨迹一定通过图⑴图⑵ABC △的重心,如图⑵.3 .O 是△ABC 所在平面内一点,动点P 满足（λ∈（0,+∞））,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心 解：作出如图的图形AD ⊥BC,由于sinB=sinC=AD,∴=由加法法则知,P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．与“垂心”有关的向量问题3 P 是ABC △所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅,得()0PB PA PC ⋅-=,即0PB CA ⋅=,所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥,PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.4已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭,(0)λ∈+∞，,则动点P 的轨迹图⑶图⑷一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭, 由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭,即cos cos AB BCAC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 暗示垂直于BC 的向量,即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上,所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心,如图⑷. 5若H 为ABC △所在平面内一点,且222222HA BC HB CA HC AB+=+=+则点H 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 证明:2222HA HB CA BC-=-得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•=AB HC ∴⊥ 同理,AC HB BC HA ⊥⊥, 故H 是△ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题6已知I 为ABC △所在平面上的一点,且AB c =,AC b =,BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=,则I 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心图⑸图⑹【解析】∵IB IA AB =+,IC IA AC =+,则由题意得()0a b c IA bAB cAC ++++=,∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫ ⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+⎪⎝⎭, ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+⎪++⎝⎭．∵AB AB 与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单元向量,∴AI 与BAC ∠平分线共线,即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠,CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心,如图⑸.7已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足=OP OA +λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+AC AC AB AB ,(0)λ∈+∞，,则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭,∴那时(0)λ∈+∞，,AP 暗示BAC∠的平分线所在直线方向的向量,故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心,如图⑹.8若O 在△ABC 所在的平面内：=,则O 是△ABC 的（ ）O CA B解：∵向量的模即是1,因而向量是单元向量∴向量、和等都是单元向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形,∵可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC,OA 平分∠ACB, ∴O 是△ABC 的内心． 故选：C ．与“外心”有关的向量问题8已知O 是ABC △所在平面上一点,若222OA OB OC ==,则O 是ABC△的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】若222OA OB OC ==,则222OA OB OC==,∴OA OB OC==,则O 是ABC △的外心,如图⑺.9 已知O 是平面上的一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭,(0)λ∈+∞，,则动点P的轨迹一定通过ABC △的( ).图⑺ 图⑻【解析】由于2OB OC+过BC的中点,那时(0)λ∈+∞，,cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭暗示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释.）,所以P 在BC 垂直平分线上,动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心,如图⑻四心的相互关系设ABC △的外心为O,则点H为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++.设ABC△的外心为O,则点G为ABC△的重心的充要条件是1()3OG OA OB OC =++3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ,则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线）,且12OG GH=.相关题目10．设△ABC 外心为O,重心为G ．取点H,使．求证：（1）H 是△ABC 的垂心；（2）O,G,H 三点共线,且OG ：GH=1：2． 【解答】证明：（1）∵△ABC 外心为O, ∴又∵∴则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC,CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O,G,H三点共线,且OH=3OG即O,G,H三点共线,且OG：GH=1：2时间：二O二一年七月二十九日。
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平面向量基本定理与三角形四心已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0A如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则OB C图 1BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OCBC BCAOS BOB S C OC S B S C S B S CBDCOD SBODSCODSBODSCOD S AOA SBOASCOASBOASCOA S B S C图2ODS AOA S B S CS A OA S B OB S C OCS C S BS B S C S B S CS A? OA S B? OB S C? OC 0推论 O 是 ABC 内的一点，且x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心S BOC: S COA: SO 是ABC 的内心S BOC: S COA: SO 是ABC 的外心S BOC: S COA: S AOBAOBAOB1:1:1OA OB OC0a :b :c a ?OA b ?OB c ?OC0sin 2A :sin 2B : sin 2Csin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0O 是ABC 的垂心S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0COA D B证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD, tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DBS BOC: S COA DB : ADS BOC: S COA tan A : tan B同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2 三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2 ：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
平面向量与三角形的“四心”问题
平面向量与三角形的“四心”综合问题【例题精讲】例题1 已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→＝PC ―→·P A ―→，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心【解析】由|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|知，O 为△ABC 的外心； 由NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0知，N 为△ABC 的重心；因为P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→，所以(P A ―→－PC ―→)·PB ―→＝0， 所以CA ―→·PB ―→＝0，所以CA ―→△PB ―→，即CA △PB ，同理AP △BC ，CP △AB ，所以P 为△ABC 的垂心，故选C.例题2 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y △[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463C ．4 3D ．62【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部， 其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463，故选B.【知识小结】三角形“四心”的向量表示(1)在△ABC 中，若|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|或OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2，则点O 是△ABC 的外心．(2)在△ABC 中，若GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，则点G 是△ABC 的重心．(3)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12BC ―→，λ△(0，＋∞)，则直线AP 过△ABC 的重心． (4)OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→或者|OA ―→|2＋|OB ―→|2＝|OB ―→|2＋|OC ―→|2＝|OC ―→|2＋|OA ―→|2，则点O 为三角形的垂心．(5)|BC ―→|·OA ―→＋|AC ―→|·OB ―→＋|AB ―→|·OC ―→＝0，则点O 为三角形的内心．(6)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→＝OA ―→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|(λ>0)，则直线AP 过△ABC 的内心．【变式练习】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ△(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【解析】选C 由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.2．在△ABC 中，|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→，则直线AD 通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心解析：选D △|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，△12|AB ―→|＝34|AC ―→|＝32.设AE ―→＝12AB ―→，AF ―→＝34AC ―→，则|AE ―→|＝|AF ―→|.△AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→＝AE ―→＋AF ―→，△AD 平分△EAF ，△AD 平分△BAC ，△直线AD 通过△ABC 的内心。
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平面向量基本定理与三角形四心已知O 是厶ABC 内的一点， BOC^ AOC^ AOB 的面积分别为 S A , S B ,S C ,求证:S A ∙OA S B ∙OB S C ∙OC = 0S B S CS A ∙OA S B ∙OB S C ∙O^ 0推论0是ABC 内的一点，且X ・OA y ∙OB z*O^ = 0 ,则S BOC : S COA S AOB =x: y:ZOD洼OBID OCS BOBSB ' S CS B⅛OCOD OA_ S BOD SBOA_ S COD SlSCOABOD■ S CODSBOA ' S COAS A S B S COD =-S A OA—OAS B S CS⅛OBS⅛OC如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BD DC图1有此定理可得三角形四心向量式S AOB =1:1:1= OA QB OC = 0O 是:ABC 的外心二 S BQC : S-CQA : S AoB =Sin2A:Sin2B: Sin2C =Sin2AQA sin2B∙0B Sin2C QC = 0O 是ABC 的垂心U S-BOC : S 'COA : S AOB =tan A: tan B: tanC =tan A ∙0A tan B ∙0B tanC ∙0C = 0S BOC : S COA=DB : ADS 岳OC : S^COA =tan A: tan B同理得 S COA : S AO B ^tan B：tanC , S BOC : S-AO B^tan A ：tanCS BoC : S COA : S AOB H tan A: tan B : tanC奔驰定理是三角形四心向量式的完美统O 是ABC 的内心=abc =a ∙OA b*OBtan^≤D,tanBAD CD — =——=tan A: ta n B = DB: AD DBO 是ABC 的重心B证明：如图O 为三角形的垂心,4.2三角形“四心”的相关向量问题一•知识梳理:四心的概念介绍：垂心：高线的交点，高线与对应边垂直;如图⑴.Op=OA …（AB ∙AC）, ■（0, •：：）,则P 的轨迹一定通过△ ABC 的（）.A.重点B.外心C.内心D.垂心【解析】由题意AP=^.(AB AC),当…(0, •时，由于■ (AB ■ AC)表示BC边上3 Q程ABC所在平面内一点，动点P满足' -"λ(∈( 0, +∞)),则动点P的轨迹一定通过厶ABC的( )A.内心B.重心C.外心D.垂心重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2 : 1；内心：角平分线的交点(内切圆的圆心) ,角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心：中垂线的交点(外接圆的圆心) ,外心到三角形各顶点的距离相等。
(完整版)平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OC )CB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴ CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则（zy x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OA，O 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心-⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆)奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
平面向量与三角形的“四心”问题
平面向量与三角形的“四心,，综合问题【例题精讲】例题1已知O ,N ,P 在二MC 所在平面内，且iQri=rsri=iE |, 丽+血+眈=0,且卫矿•血=帀•疋=疋・方，则点 O, N, P 依次是二ABC 的（ ）A.重心外心垂心B.重心外心内心C.夕卜心重心垂心D.夕卜心重心内心【解析】由了| = |亦| = |龙|知，O 为JABC 的外心；由丽+血+丙厂=0知，N 为匚/EC 的重心； 因为眉•南=血•比，所以（眉一龙）<^=0, 所以_CZ >-W = 0,所以左了口帀\即CA1PB, 同理APZBC, CPLAB,所以P 为二ABC 的垂心，故选C.例题 2 在 JABC 中，28=5, AC=6, cos A=j, O 是 JABC 的 内心，若OP 、= x OB' +y 0（2,其中x, yD[O,l],则动点卩的轨迹所 覆盖图形的面积为（）【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以05 OC 为邻边的平行四边形及其内部,其面积为~BOC 的面积的2倍.在匚曲C 中，设内角儿B, C 所对的边分别为厲b, c, A. ]0& 3由余弦定理 a 2=b 2+c 2—2bccosA,得 a = 7. 设~ABC 的内切圆的半径为r, 则y/jcsiiiA=^(a+b+c)r ,解得 r=^~,所以S ：BOC= 故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2Sd°c=呼，故选B.【知识小结】三角形“四心"的向量表示(1) 在二拐C 中，若 1^1 = 1^1 = |^|或0了2 =亦2 =龙2, 则点O 是二4BC 的外心.(2) 在匚曲C 中，若~at+~GB"+~G^=O,则点G 是LABC 的重 心.(3) 对于匚MC, O, P 为平面内的任意两点，若亦一乙了 = /」初+*反入口(0, +oo),则直线APyiLABC 的重心.(^Tat ~OB "=~o^ =员・玄T 或者同F+|优平=|勿卩+|岔卩，则点o 为三角形的垂心.(5)|反>勿+|女|•亦+|対|•龙=0,则点O 为三角形的 内心.(6)对于匚45C, O, P 为平面内的任意两点，若~Of = ~oX +【变式练习】G>0),则直线APxldABC 的内心. |xt7Xr = |x7x^^=AB"~AB "1.已知O是平面上的一定点，厦，B, C是平面上不共线的三个动点，若动点卩满足亦=勿+久（莎+女），2j（0, +◎,则点P的轨迹一定通过匚卫3C的（）A.内心B.夕卜心C.重心D.垂心【解析】选C由原等式，得亦一岔=2（初+岔），即方=&（初+岔），根据平行四边形法则，知初+立=2訪（D为BC的中点），所以点P的轨迹必过~ABC的重心.故选C.] 3 2・在匚ABC中，|初| = 3, |五'| = 2, 方=于初+才羽，则直线2D 通过-ABC的（）A.重心B.外心C.垂心D.内心解析：选D 口|対| = 3, |女|=2,1 Q Q匚护閃=汩©=41 3设龙=齐硏，~AF"=^A^,贝IJI龙| = |匚护|.1 2匚如=丁硏+才女=农 +击，O4Z）平分LEAF, 二Q平分二BAC、匚直线乂0通过3ABC的内心。
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平面向量基本定理与三角形四心已知 O 是ABC 内的一点，BOC , AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0A如图 2 延伸 OA 与 BC 边订交于点 D 则OB C图 1BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OCBC BCAOS BOB S C OC S B S C S B S CBDCOD SBODSCODSBODSCOD S AOA SBOASCOASBOASCOA S B S C图2ODS AOA S B S CS A OA S B OB S C OCS C S BS B S C S B S CS A? OA S B? OB S C? OC 0推论 O 是 ABC 内的一点，且x?OA y?OB z?OC 0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心S BOC: S COA: SO 是ABC 的心里S BOC: S COA: SO 是ABC 的外心S BOC: S COA: S AOBAOBAOB1:1:1OA OB OC0a :b :c a ?OA b ?OB c ?OC0sin 2A :sin 2B : sin 2Csin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0O 是ABC 的垂心S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0COA D B证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD, tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DBS BOC: S COA DB : ADS BOC: S COA tan A : tan B同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C奔驰定理是三角形四心向量式的完满一致三角形“四心”的有关向量问题一．知识梳理：四心的观点介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分红2：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)心里：角均分线的交点（内切圆的圆心），角均分线上的随意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各极点的距离相等。
与“重心”有关的向量问题uuur uuur uuur0 ，则 G 是△ABC的( )．1 已知G是△ABC所在平面上的一点，若GA GB GCA．要点B．外心C．心里D．垂心如图⑴ .CPA' BMA G A CBO图⑴图⑵2已知 O 是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuur uuur uuur uuur(0，) ，则P的轨迹必定经过△ ABC 的( ).OP OA ( AB AC) ，A．要点B．外心C．心里D．垂心uuur uuur uuur(0，) 时，因为uuur uuur【分析】由题意 AP (AB AC) ，当( AB AC) 表示BC边上的中线所在直线的向量，因此动点P 的轨迹必定经过△ ABC 的重心，如图⑵.3.O 是△ ABC所在平面内一点，动点 P 知足（λ∈（ 0， +∞）），则动点 P 的轨迹必定经过△ ABC的（）A．心里B．重心C．外心D．垂心解：作出如图的图形AD⊥BC，因为sinB=sinC=AD，∴=由加法法例知， P在三角形的中线上故动点 P 的轨迹必定经过△ ABC的重心应选： B．与“垂心”有关的向量问题3P 是△ ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ，则P是△ABC的() A．要点B．外心C．心里D．垂心uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 【分析】由 PA PB PB PC ，得PB (PA PC) 0 ，即PB CA 0 ，因此 PB ⊥ CA ．同uuur uuur uuur uuur理可证 PC ⊥ AB ， PA ⊥ BC ．∴P是△ABC的垂心．如图⑶.ACB PCEHMPA FBO图⑶图⑷4已知 O 是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuur uuuruuur uuuruuurABuuurAC) ，则动点P的轨迹必定经过△ABCOP OA ，(0，AB cos B AC cosC的( ) ．A．要点B．外心C．心里D．垂心uuuruuur uuur uuurABuuurAC【分析】由题意 AP ，AB cos B AC cosCuuuruuur uuur因为 uuurABuuur AC0 ，BC AB cos B AC cosCuuur uuur uuur uuuruuuur uuuuruuur uuur AB BCAC BC BC CB 0 , 因此 AP 表示垂直于 BC 的向量，即 P 点 即 uuuruuurAB cos BAC cosC在过点 A 且垂直于 BC 的直线上，因此动点 P 的轨迹必定经过△ ABC 的垂心，如图⑷ .uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 25 若 H 为 △ ABC 所在平面内一点，且 HA BCHBCAHCAB则点 H 是 △ ABC 的 ( )A ．要点B ．外心C ．心里D ．垂心2 2 2 2证明 : Q HAHB CA BCA(HA HB ) ? BA (CA CB ) ? BA得 (HA HB CA CB ) ? BA 0即 (HCHC ) ? BA 0ABHC同理 ACHB , BC HA ，HBC图 6故 H 是△ ABC 的垂心与“心里”有关的向量问题6 已 知 I 为 △ ABC 所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且 AB c ， AC b ， BC a ． 若uur uur uuraIA bIB cIC 0 ，则 I 是 △ ABC 的 ()．A ．要点B ．外心C ．心里D ．垂心BCOcaIPABbC A图⑸图⑹uur uur uuur uur uur uuur uur uuur uuur 【分析】∵ IB IA AB ， IC IA AC ，则由题意得 (a b c)IA bAB c AC 0 ，uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AC∵ bAB cAC AC AB AB AC AC AB ，uuur uuurAB ACuur bc uuur uuur uuur uuuruuur uuur AB AC．∵AB AC∴ AIa buuur uuur uuur 与 uuur 分别为 AB 和 AC 方向上的单位向量，c AB AC AB ACuurAI 均分BAC ．∴ AI 与∠BAC均分线共线，即同理可证： BI 均分ABC ，CI 均分ACB ．进而 I 是△ ABC 的心里，如图⑸.7 已知O是平面上必定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点P 知足OPOA AB AC ，(0，) ，则动点P 的轨迹必定经过△ ABC 的AB AC( )．A．要点B．外心C．心里D．垂心uuur uuur uuuruuurAB ACBAC 的均分【分析】由题意得AP ，∴当(0，) 时， AP 表示uuur uuurAB AC线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹必定经过△ ABC 的心里，如图⑹.8若O 在△ABC 所在的平面内：=，则 O 是△ ABC 的（）A．垂心B．重心C．心里D．外心解：∵向量的模等于 1，因此向量是单位向量∴向量、和等都是单位向量∴由向量、为邻边组成的四边形是菱形，∵可得 AO在∠ BAC的均分线上同理可得 OB均分∠ ABC， OA均分∠ ACB，∴O是△ ABC的心里．应选： C．与“外心”有关的向量问题uuuur uuuur uuuur8 已知O是△ABC所在平面上一点，若OA2OB2OC2，则O是△ABC的( )．A．要点B．外心C．心里D．垂心CB AOBM POAC图⑺图⑻uuur 2 uuur 2 uuur 2uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur【分析】若 OA OB OC ，则OA OB OC ，∴ OA OB OC ，则 O 是△ABC 的外心，如图⑺。
9已知 O 是平面上的必定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuur uuur uuur uuur uuurOB OC uuurABuuurAC(0，) ，则动点P的轨迹必定经过OP ，2 AB cos B AC cosC△ ABC 的 ( )。
A ．要点B ．外心C ．心里D ．垂心uuur uuuruuur uuurOB OC(0， ) 时，ABAC表【分析】 因为过 BC 的中点， 当uuuruuur2AB cos B AC cosCuuur4 条解说。
），因此 P 在 BC 垂直均分线上，动点 P示垂直于 BC 的向量（注意：原因见二、的轨迹必定经过 △ ABC 的外心，如图⑻四心的互相关系1. 三角形外心与垂心的向量关系及应用设 △ ABC 的外心为 O ，则点 H 为 △ ABC 的垂心的充要条件是 uuuuruuuruuuruuurOH OA OB OC 。
2. 三角形外心与重心的向量关系及应用设 △ ABC 的外心为 O ，则点 G 为 △ABC 的重心的充要条件是uuur 1 uuuruuur uuurOG(OA OB OC )33. 三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设 △ ABC 的外心、重心、垂心分别为 O 、 G 、 H ，则 O 、 G 、 H 三点共线（ O 、 G 、 H1三点连线称为欧拉线） ，且 OGGH 。
2有关题目10．设△ ABC 外心为 O ，重心为 G ．取点 H ，使．求证：（1）H 是△ ABC 的垂心；（ 2） O ， G ， H 三点共线，且 OG ：GH=1：2．【解答】 证明：（1）∵△ ABC 外心为 O ，∴又∵∴则 = ? = =0即AH⊥ BC同理 BH⊥AC，CH⊥AB即H 是△ ABC的垂心；（ 2）∵ G为△ ABC的重心∴=3=3 + = 即=3即O，G，H 三点共线，且 OH=3OG即O，G，H 三点共线，且 OG： GH=1： 2。