基本不等式专项基础练习
不等式练习题
不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b，求证：a + c > b + c。
2. 已知x > 3，求证：x^2 > 9。
3. 已知0 < x < 1，求证：x^3 < x。
4. 已知a, b均为正数，求证：a^2 + b^2 > 2ab。
5. 已知|x| > |y|，求证：x^2 > y^2。
二、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 4。
2. 解不等式：5 2(x 3) ≤ 3x 1。
3. 解不等式：2(x 1) 3(x + 2) > 7。
4. 解不等式：4 3(x 2) ≥ 2x + 5。
5. 解不等式：5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。
三、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 0。
2. 解不等式：2x^2 3x 2 < 0。
3. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 0。
4. 解不等式：3x^2 + 4x 4 > 0。
5. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0。
四、分式不等式1. 解不等式：x / (x 1) > 2。
2. 解不等式：1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。
3. 解不等式：(x 1) / (x + 1) < 0。
4. 解不等式：(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。
5. 解不等式：(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。
五、含绝对值的不等式1. 解不等式：|x 2| > 3。
2. 解不等式：|2x + 1| ≤ 5。
3. 解不等式：|3x 4| < 2。
4. 解不等式：|x + 3| |x 2| > 1。
5. 解不等式：|x 5| + |x + 1| < 6。
六、综合应用题1. 已知不等式组：$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$，求x的取值范围。
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
专项训练：基本不等式
专项训练：基本不等式一、单选题1．若两个正实数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞1时，≥2C．当x≥2时，x+有最小值2D．当0＜x≤2时，x﹣有最大值3．（题文）在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是A．9B．10C．11D．124．的内角的对边分别为，已知，，则的面积的最大值为A．B．C．D．5．已知lg a＋lg b＝0，则lg(a＋b)的最小值为( )A．lg 2B．2 C．－lg 2D．26．若，，则的最小值为A．B．C．D．7．下列结论正确的是( )A．当，时，B．当时，的最小值为C．当时，D．当时，的最小值为8．下列各式中，最小值等于2的是（）A．B．C．D．9．已知，，，则的取值范围是( )A．B．C．D．10．若，则的最小值为（）A．-1B．3C．-3D．1A ． 1B ．C ．D ．12．若正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．13则f(x)=A ． 最大值B ． 最小值C ． 最大值1D ． 最小值114．下列函数中，最小值为4的是（ ）A ． y=x+B ． y=sinx+（0＜x ＜π）C ． y=e x +4e ﹣xD ． y=+15x 的值为（ ） A ． 1 D ． 2 16．若实数 ， 满足，则 的最小值为A ．B ．C ．D ．17．下列函数中， y 的最小值为4的是 （ ） A ．C ． 18．在平面直角坐标系中，已知第一象限的点(),a b 在直线2310x y +-=上，则 23a b +的最小值为（ ） A ． 24 B ． 25 C ． 26D ． 2719，则()f x 取最小值时对应的x 的值为（ ）A ． 1- D ． 1 20．已知实数 ， 满足 ，其中 ，则 的最小值为（ ）A ． 4B ． 6C ． 8D ． 1221．若a ＞b ＞1,P=,Q =(lg a +lg b ),R =lg(),则 A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q b a lg lg ⋅212b a +二、填空题22．已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则ab的最大值为________．23．已知，则函数的最小值为______．24．若，则的最小值为__________．25________．26．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是__________．27__________．专项训练：基本不等式参考答案1．A【解析】【分析】根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．【详解】∵两个正实数x，y满足=1，∴x+2y=（x+2y）（）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号即x=4，y=2，故x+2y的最小值是8．故选：A．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2．B【解析】【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A 中不满足“正数”，C中“=”取不到．【详解】A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选：B．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．3．D【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：，三点共线，则：，据此有：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是12.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B【解析】【分析】根据三角形面积公式和不等式性质，可求得三角形面积的最大值。
高三复习基本不等式练习题
高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。
本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。
练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。
希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。
复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。
在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。
基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。
因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。
希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。
不等式练习题及答案解析
基本不等式练习题一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( C )A ．x ＋12xB ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－x D ．x (1－x )2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( D )A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3解析： y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.3．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是( A )A ．200B ．100C ．50D ．20解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立． 4．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；w w w .x k b 1.c o m④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2(－x y )(－yx)＝－2.其中正确的推导过程为( D )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的； ④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有( C )A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.7．若xy ＞0，则对 x y ＋yx说法正确的是( B )A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定8．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是( A )A ．400B ．100C ．40D ．20 9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( D ) A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cosx ＋1cosx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x<π2C ．y ＝x2＋3x2＋2D ．24-+=x xee y [解析] x<0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；∵0<x<π2，∴0<cosx<1，∴y ＝cosx ＋1cosx ≥2中等号不成立，故B 错；∵x2＋2≥2，∴y ＝x2＋2＋1x2＋2≥2中等号也取不到，故C 错∴选D.10.已知正项等比数列{an}满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得nm a a ＝4 a 1，则1m＋4n 的最小值为( A ) A.32B.53C.256D ．不存在[解析] 由已知an>0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q ，则a6q ＝a6＋2a6q ，∴q2－q －2＝0，∵q>0，∴q ＝2，∵aman ＝4a1，∴a12·qm＋n －2＝16a12，∴m ＋n －2＝4， ∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32， 等号在n m ＝4mn，即n ＝2m ＝4时成立．11． “a＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( A )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[解析] ∵a ＝14，x>0时，x ＋ax ≥2x·a x ＝1，等号在x ＝12时成立， 又a ＝4时，x ＋a x ＝x ＋4x≥2x·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A. 12．设a ，b ∈R ，则“a＋b ＝1”是“4ab≤1”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件[解析] a ，b 中有一个不是正数时，若a ＋b ＝1，显然有4ab≤1成立，a ，b 都是正数时，由1＝a ＋b≥2ab 得4ab≤1成立，故a ＋b ＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a ＋b ＝1，如a ＝－5，b ＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.13．若a>0，b>0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( D )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab， ∵ab ≤a ＋b 2，∴ab≤a ＋b 24＝14.∴原式≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.二、填空题1．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为____1____．2．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最___大_____值，其值为___116_____．解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.3．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为___3_____．解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．答案：34．已知x ≥2，则当x ＝_2___时，x ＋4x有最小值__4__．5．已知t>0，则函数y ＝t2－4t ＋1t 的最小值为__-2_____．[解析] y ＝t2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4因为t>0，y ＝t ＋1t－4≥2t·1t －4＝－2.,等号在t ＝1t，即t ＝1时成立．6．已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c 的最小值为 [答案] [解析]1a ＋1b ＋1c ＝a ＋2b ＋c a ＋a ＋2b ＋c b ＋a ＋2b ＋c c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋2b c ＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c 同时成立时成立,即a ＝c ＝2b ＝1－22时等号成立．7.已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则xy 的最大值是____112____．[解析] ∵lg2x ＋lg8y ＝lg2，∴2x·8y ＝2，即2x ＋3y ＝2，∴x ＋3y ＝1，∴xy ＝13x·(3y)≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22＝112，等号在x ＝3y ，即x ＝12，y ＝16时成立． 三、解答题1．已知f (x )＝12x＋4x .(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值； (2)当x ＜0 时，求f (x )的最大值．解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0. ∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x ·(－4x )＝83，当且仅当12－x＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.2．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；(2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最值．解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2 (x ＋1)·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴x ＝1时，函数的最小值是9.(2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0.∴(x －1)＋9x －1＋2≥2(x －1)·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立，∴y 有最小值8.3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)≥8.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c ，以上三个不等式两边分别相乘得 (1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．4．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
不等式基础题
不等式基础题一、选择题（1 - 10题）1. 若a > b，则下列不等式一定成立的是（）- A. a + 2 < b+2- B. a - 2 > b - 2- C. -2a>-2b- D. (a)/(2)<(b)/(2)- 解析：根据不等式的性质，不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
- 对于选项A，a>b，则a + 2>b + 2，A错误。
- 对于选项B，a>b，a−2>b−2，B正确。
- 对于选项C，a>b，则-2a<-2b，C错误。
- 对于选项D，a>b，则(a)/(2)>(b)/(2)，D错误。
- 答案：B2. 不等式3x - 6≥slant0的解集是（）- A. x>2- B. x≥slant2- C. x<2- D. x≤slant2- 解析：解不等式3x−6≥slant0，首先将-6移到右边得到3x≥slant6，然后两边同时除以3，得到x≥slant2。
- 答案：B3. 不等式组cases(x + 1>0 x-2<0)的解集是（）- A. x>-1- B. x<2- C. -1 < x < 2- D. 无解- 解析：解不等式x + 1>0，得x>-1；解不等式x - 2<0，得x<2。
所以不等式组的解集是-1 < x < 2。
- 答案：C4. 不等式2x+9≥slant3(x + 2)的正整数解是（）- A. 1，2，3- B. 1，2- C. 1- D. x≤slant3- 解析：首先解不等式2x+9≥slant3(x + 2)，展开括号得2x + 9≥slant3x+6，移项得9 - 6≥slant3x - 2x，即x≤slant3。
正整数解为1，2，3。
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋abc ≥2bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋ca ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．A.12 B ．1 C ．2 D ．44．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．45．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2 b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
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基本不等式专项基础练习
@
1.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ） C.32 D.432
2.设0,0>>b a ，若3是a 3与b 3的等比中项，则b a 1
1
+的最小值为（
） D.41
3.若0>x ，则x x 2
+的最小值为 此时x 的值为( )
若x<0则x x 2
+有最（ ）值为_______
4.4.已知a,b 为正实数，且b a b a 1
1
,12+=+则的最小值为（ ）
A ．24
B ．6
C ．3－22
D ．3+22
；
5.若y
x y x y x 21,14,0,0+=+>>则且的最小值为（ ） A ．9 B ．28 C ．249+ D ．24
6.已知，且满足，则xy 的最大值为_____
7.已知232=+y
x )0,0(>>y x ，则xy 的最小值是_____________。
8.已知,则函数的最小值为 ___________
9若21x y +=，则24x y +的最小值是______
10 正数,x y 满足21x y +=，则
y x 11+的最小值为______
11若x >0，求函数y ＝x ＋4x
的最小值，并求此时x 的值； (2)设0<x <32
，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值； ·
(3)已知x >2，求x ＋4x －2
的最小值； (4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y
＝1，求x ＋y 的最小值．
,x y R +∈134x y +=t o >2t 41t y t -+=
11解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x
，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4. (2)∵0<x <32
，∴3－2x >0， ∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]
≤2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34
时，等号成立． ∵34∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，32. ?
∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92
. (3)∵x >2，∴x －2>0，
∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2
＋2 ≥2 x －2·4x －2
＋2＝6， 当且仅当x －2＝
4x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以x ＋4x －2
的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y
＝1，
∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y
＋10 ≥6＋10＝16，
当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y
＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．
》
故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.
方法二 由1x ＋9y
＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)． 可知x >1，y >9，
∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10
≥2x －1y －9＋10＝16，
当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.。