培优材料之三数列基本性质培优教案

数列基本性质
1等差数列的判定方法:
（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列
（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列
2等差数列的前n 项和:
（1）2
)(1n n a a n S += （2）d n n na S n 2)
1(1-+=
3等差数列的性质:
（1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m
项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= （2）对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+
也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a 4等比数列的判定方法：
（1）定义法：对于数列{}n a ，若
)0(1
≠=+q q a a n
n ，则数列{}n a 是等比数列
（2）等比中项：对于数列{}n a ，若2
12++=n n n a a a ，则数列{
}n a 是等比数列 5等比数列的前n 项和：
（1）)1(1)
1(1≠--=
q q
q a S n n （2）)1(11≠--=q q q a a S n n （3）当1=q 时，1na S n =
6等比数列的性质：
（1）等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，
且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=
（2）对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅ 也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a
例题
例1 已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且142(1,2,)n n S a n +=+= ，11a =
⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2
==
n a c n n
n ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和
例2 设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，
0,3≠-≠m m 且
（1）求证：{a n }是等比数列；
（2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且1113
,()(*,2),2
n n b a b f b n N n -==
∈≥ 1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
求证为等差数列，并求n b
练习．
1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()11log 2+=+n S n ，求n a ，并判断是否为等差数列
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥==2,21,3n n a n n 提示：23,22,121111≠===-=≥-=-+S a S S a n S n n n n n n 时，当 不是等差数列。

2。

在数列{a n }中，a n =lg
1
23
5+n ,证明该数列是等差数列。

（证略）
例3（1）等差数列{}n a 中，若3456750a a a a a ++++=，求258a a a ++的值；
（2）等比数列{}n a 中，各项都是正数，且6103541a a a a ⋅+⋅=，484a a ⋅=，求48a a +
例4． 在等比数列{a n }的前n 项中，a 1最小，且a 1+a n =66，a 2 a n -1=128，前n 项和S n =126, 求n 和公比q
练习
1．在等差数列中，69121520a a a a +++=，20S =____________（100） 2．等比数列{a n }中，a 1+a 2=30,a 3+a 4=120,则a 5+a 6是 （ ） A.240 B.±240 C.480 D.±480 3．在等比数列{a n }中,已知a 2a 8=9，则a 3a 5a 7等于 .()27± 4．已知等差数列
{a n }
的公差d ≠0，且
a 1,a 3,a 9
成等比数列，求
5261654321a a a a a a a a a a +++=____⎪⎭
⎫
⎝⎛411
5．已知数列4,,,121--a a 成等差数列，4,,,,1321--b b b ，成等比数列，则
2
1
2b a a -的值是 （ ） A.
21 B.21- C. 21-或21 D. 4
1
（A ）
6. 设a ,b,c 成等比数列，x 为a ,b 的等差中项，y 为b,c 的等差中项，求证2a c
x y
+=.（略）
7．已知等差数列}{n a 的公差d 大于0，且2a 、5a 是方程027122
=+-x x 的两根，
数列}{n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 2
1
1-= )(*∈N n 。

（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
=-=n
n n b n a 32,12 8．已知数列{a n }的通项公式是)(,)
1(1
2
N n n a n ∈+=
，记)1()1)(1(21n n a a a b ---= （1）写出数列{b n }的前三项；（（1）8
5,64,43321===b b b ；） （2）猜想数列{b n }通项公式。

（（2）)
1(22
++=
n n b n ，）
9．在等比数列{})(+∈N n a n 中，11>a ，公比0>q ．设n n a b 2log =，且6531=++b b b ，
0531=b b b ．
（1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求{}n b 的前n 项和n S 及{}n a 的通项n a ； （3）试比较n a 与n S 的大小．
（1）略 （2）2
9)1(2)1(42n n n n n S n -=-⨯-+=． )(25+-∈=N n a n
n ． （3）显然02
5>=-n
n a ，当n ≥9时，2
)
9(n n S n -=
≤0． ∴ n ≥9时，n n S a >．
∵ 161=a ，82=a ，，，，，，，8
14121124876543===
===a a a a a a ，
，，，，，，，479101097487654321========S S S S S S S S ∴ 当876543，，，，
，=n 时，n n S a <； 当21
，=n 或n ≥9时，n n S a >．。