天津市蓟州区2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
天津市部分区2020~2021学年度第一学期期中高二数学试题及答案
天津市部分区2020－－2021学年度第一学期期中练习高二数学一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1. 已知向量(2,3,1),(2,0,3),a b =-=则()a a b +=（ ）A.21B. －21C.20D.－202. 经过()(),2,,3A m B m m -+两点的直线的斜率是1，则实数m 的值为（ ）A.3B.－3C.13D.－133. 若向量(1,,0),(2,1,2),a b λ==-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ）A. 0B.－43C.0或－43D.0或434. 过点()3,2且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为则（ ）A.50x y +-=B.230x y -=C. 50x y +-= 或 230x y -=D.50x y ++=或320x y -=5. 已知向量(1,1,0),(1,0,2),m n ==-且km n +与2m n -互相平行，则实数k 的值是（ ）A. －35B.75C.35D.－2 6. 两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 内切D.外切7. 在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =,则1AB 与1BC 所成角的大小为（ ）A. 90B.60C.105D.758.已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得的弦的长度为4，则实数a 是（ ）A.－2B.－8C.－4D.－69.如图，在四面体OABC 中，OA OB OC ==,,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥,则二面角B AC O --的余弦值为（ ）A.3 B. 22 C. 1 D.13 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分10.已知()()1,0,1,0,1,1A B -，则AB =11. 过点()4,1P -且与直线3460x y -+=垂直的直线方程是12. 已知(3,,)(,)u a b a b a b R =+-∈是直线l 的方向向量，(1,2,3)n =是平面α的法向量，如果l α⊥，则a b +=13. 以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程为14. 已知两条平行直线12:210,:0()l x y l x ay a R -+=+=∈，则1l 与2l 间的 距离15. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 中点，则点1B 到直线1A E 的距离为＝三、解答题：本大题共5小题，共60分。
2020-2021学年度高二数学上学期期中考试题目(含有答案解析)
高二文科数学上学期期中考试题目一、选择题 1.直线的倾斜角为A.B. C. D.2.若点()1,a 到直线10x y -+=的距离是322，则实数a 的值为（ ） A ．1-B ．5C ．1-或5D ．3-或33．一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为4π，则这个圆锥的体积为（ ） A ．153π B ．833C ．153D ．833π 4.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm 的正方形，则原图形的周长是（ ）A. 6cmB. 8cmC.D.5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个 数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6.《九章算术》是我国古代的数学专著.在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC-A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上,且AB=AC=1.若球O 的表面积为3π,则这个三棱柱的体积是( ) A.61 B.31 C.21D.17.已知光线从点A(-3,4)射出,到x 轴上的点B 后,被x 轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,6),则BC 所在直线的方程为( ) A.5x-2y+7=0 B.2x-5y+7=0 C.5x+2y-7=0 D.2x+5y-7=08．已知点A (2,-3)，B (-3,-2)，直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．434≤≤-kD ．443≤≤k 10．已知b a 、为不重合的直线，α为平面，下列命题：（1）若//,//a b a α，则//b α；（2）若//a α，b α⊂，则//a b ；（3）若,//a b b ⊥α，则a α⊥；（4）若a ⊥α,b a ⊥，则//b α，其中正确的个数有（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．39.球面上有三点A,B,C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点,其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则该球的表面积为( ) A.1200πB.1400πC.1600πD.1800π11．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，动点E 在线段11C A 上， F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ） A ．11//FM AC B ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面BEF //平面11CCD D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值12．如图所示，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点F E ,分别是棱1,CC BC 的中点，P 是侧面11B BCC 内一点，若//1P A 平面AEF ，则线段P A 1长度的取值范围为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,423C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,25 D ．]3,2[二、填空题13．过点)3,2(A 且垂直于直线052=-+y x 的直线方程为 ．14． 圆台的上、下两个底面圆的半径分别为1和2,母线与底面的夹角是60∘,则圆台的侧面积为____ ．15.直线l 过250x y ++=和70x y -+=的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ．16．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为 ． 三、解答题17．已知直线01)3(2:1=+-+y m mx l ，022:2=++m my x l ． (1)若21l l ⊥，求实数m 的值； (2)若21//l l ，求实数m 的值．18.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：（1）P A ∥平面BDE ；（2）平面P AC ⊥平面BDE ．19．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，N M 、分别为棱11B A AC 、的中点，且BC AB =．（1）求证：平面⊥BMN 平面11A ACC ； （2）求证：MN ∥平面11B BCC ．20．已知直线l ：kx -y +1+2k =0(k ∥R) (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设∥AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．DABCOEP21.在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．(1)请判断与平面的位置关系，并给出证明；(2)证明：平面；(3)求三棱锥B-AEN的体积．22.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAP CDP∠=∠=．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD∠=，且四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．4cm ABCD E F、BC CD、M N、AB CF、AE AF EF、、B C D、、BMN AEFAB⊥BEF1-5.DCABC 6-10.CAAAA 11-12.CB13.x －2y ＋4＝0 14.π6 15.3x ＋4y ＝0或x ＋y ＋1＝0 16.62 17.18.19．(1) 证明：因为M 为棱AC 的中点，且BC AB =，所以AC BM ⊥， 因为111C B A ABC -是直三棱柱，所以⊥1AA 平面ABC ， 因为⊂BM 平面ABC ，所以BM AA ⊥1，又⊂1AA AC 、平面11A ACC ，且A AA AC =1 ，所以⊥BM 平面11A ACC ， 因为⊂BM 平面BMN ，所以平面⊥BMN 平面11A ACC ；(2)取BC 的中点P ，连接P B 1和MP ，因为P M 、为棱BC AC 、的中点，所以AB MP //，且AB MP 21=， 因为111C B A ABC -是棱柱，所以1111,//B A AB B A AB =， 因为N 为棱11B A 的中点，所以BA N B //1，且BA N B 211=， 所以MP N B //1，且MP N B =1，所以P MNB 1是平行四边形， 所以1//PB MN ，又因为⊄MN 平面11B BCC ，⊂1PB 平面11B BCC ， 所以//MN 平面11B BCC ．20．(1) 因为直线l :kx -y +1+2k =0(k ∥R )⇔ y -1=k (x +2)，所以直线l 过定点(-2,1)； (2) 由于直线l 恒过定点（-2,1），画出图形，知： 要使直线l 不经过第四象限必须且只需0≥k ， 故k ∥[0, ∞+)；(3)由直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B 知：k >0， 由直线l :kx -y +1+2k =0中，令,120k x y --=⇒=则)0,12(k A --， 再令120+=⇒=k y x ，则)12,0(+k B ，所以有：()2212k 11441111(44)842222k k s k k k k +++=⋅=⋅=++≥⨯=（（当且仅当 21=k 时，取等号）， 所以，S 的最小值为4，此时l 的方程为：x -2 y +4=0． 21.22.。
2020~2021学年度第一学期高二期中测试数学试题
2020~2021学年度第一学期高二级期中测试数学试题注意事项：1.本试题共4页，四大题，22小题，满分120分，考试时间120分钟，答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效，考试结束后，只交答题卡。
2.作答前，认真浏览试卷，请务必规范、完整填写答题卡的卷头。
3.考生作答时，请使用0.5mm黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答。
第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=4，则此三角形的最大边长为()A. 5√2B. 5√3C. 4√2D. 4√32.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−b2−c2=−√2bc，则角A的数为()A. 30°B. 45°C. 120°D. 135°3.在△ABC中，c=√3，b=1，B=30∘，则△ABC的面积为()A. √32或√3 B. √34或√32C. √34或√3 D. √34.已知正数组成的等比数列{a n}，若a3⋅a18=100，那么a7+a14的最小值为()A. 20B. 25C. 50D. 不存在5.已知1、a1、a2、3成等差数列，1、b、4成等比数列，则a1+a2b=()A. 54B. −2C. 2D. ±26.在递增的等比数列{a n}中，a4，a6是方程x2−10x+16=0的两个根，则数列{a n}的公比q=()A. 2B. ±2C. 12D. 12或27.已知a>0，那么a−2+4a的最小值是()A. 1B. 2C. 4D. 58.设a>b，c>d则下列不等式中一定成立的是()A. a+c>b+dB. ac>bdC. a−c>b−dD. a+d>b+c9. 设p ：2x 2−3x +1≤0，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. [0,12]B. (0,12)C. (−∞,0]∪[12,+∞)D. (−∞,0)∪(12,+∞)10. 命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是( )A. ∀x ≤0，x 2−4x +3<0B. ∃x 0≤0，x 02−4x 0+3<0 C. ∀x >0，x 2−4x +3≥0D. ∃x 0>0，x 02−4x 0+3≥011. 若平面α的一个法向量为(1,2，0)，平面β的一个法向量为(2,−1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 重合12. 在空间直角坐标系中，点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( )A. (−3,4，5)B. (−3,−4,5)C. (3,−4,−5)D. (−3,4,−5)第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知空间向量m ⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则x +2y +3z =__． 14. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)与点B(1,−3,1)，则|AB |=________，若在z轴上有一点M 满足|MA |=|MB |，则点M 的坐标为_________． 15. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a n =2a n−1+1，则S 6= 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sinAsinB =ba+c ，a =2c ，则cos A =________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (1)求角C ；(2)若c =2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．18.设向量a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(cosx,√3cosx)，x∈R，函数f(x)=a⃗•(a⃗+b⃗ ).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)ΔABC中边a，b，c所对的角为A，B，C，若acosB+bcosA=2ccosC，c=√3，)取最大值时，求△ABC的面积．当f(B219.已知数列{a n}满足：21⋅a1+22⋅a2+23⋅a3+⋯+2n⋅a n=(n−1)⋅2n+1+2对一切n∈N∗成立．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和S n．(2)求数列{1a n⋅a n+2(3n+S n)对一切正整数n都成立，20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=12(1)证明：数列{a n+3}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；(a n+3)，求数列{b n}的前n项和B n．(2)设b n=n321.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱AB的中点．(1)证明：A1B//平面D1CE；(2)求平面A1BC1与平面CED1所成二面角的正弦值．22.已知四棱锥P−ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2,CD=1,AD=√2，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：MQ//平面PCB；(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；(3)求点A到平面MCN的距离．答案和解析1. 解：∵B =135°，∴b 为最大边，A =180°−135°−15°=30°， 由正弦定理得b =asinB sinA=4×√2212=4√2．故选：C ．2.解：因为a 2−b 2−c 2=−√2bc ，由余弦定理可得，cosA =b2+c 2−a 22bc=√22， 因为A 为三角形的内角，故A =45°．故选：B ．3.解：中，B =30∘，b =1，c =√3，，∴sinC =√32，∴C =60∘或120∘，∴A =90∘或30∘，∴△ABC 的面积为12bcsinA =√32或√34．故选B ．4.解：∵正数组成的等比数列{a n }，a 3⋅a 18=100，∴a 14⋅a 7=a 3⋅a 18=100，a 7>0，a 14>0，∴a 7+a 14≥2√a 14⋅a 7=2√100=20， 当且仅当a 7=a 14时取等号，∴a 7+a 14的最小值为20．故选：A ．5.解：由1、a 1、a 2、3成等差数列，可得a 1+a 2=1+3=4，又1、b 、4成等比数列，可得b 2=4，解得b =±2，则a 1+a 2b=42=2或a 1+a 2b=4−2=−2，故选：D ．6.解：根据题意，a 4，a 6是方程x 2−10x +16=0的两个根，则有{a 4+a 6=10a 4a 6=16，解可得：{a 4=8a 6=2或{a 4=2a 6=8，又由等比数列{a n }是递增的，必有{a 4=2a 6=8，则有q 2=a6a 4=4，即q =2；故选：A ．7.解：根据题意，a −2+4a =a +4a −2，又由a >0，则a −2+4a =a +4a −2≥2√a ×4a −2=2，当且仅当a =2时等号成立，即a −2+4a 的最小值是2；故选：B ．8.解：∵b <a ，d <c ，∴设b =−1，a =−2，d =2，c =3选项B ，(−2)×3>(−1)×2，不成立选项C ，−2−3>−1−2，不成立 选项D ，−2+2>−1+3，不成立故选：A ．9.解：p ：2x 2−3x +1≤0，解得：12≤x ≤1，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，解得：a ≤x ≤a +1．若q 是p 的必要不充分条件，则{a ≤121≤a +1，解得：0≤a ≤12．故选：A ．10.解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是∀x >0，x 2−4x +3≥0．故选：C ．11.解：由题意可得(1,2，0)⋅(2，−1，0)=1×2−2×1+0×0=0，故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，故选C ．12.解：在空间直角坐标系中，关于yOz 平面对称，y ，z 不变．点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为(−3,4，5)， 故选A ． 13.解：因为空间向量m⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ， 所以{1=y−2x +1=32=x +z ，所以x =−1，y =1，z =3，所以x +2y +3z =−1+2+9=10;故答案为10．14.解：∵点A(1,0，2)与点B(1,−3,1)，∴|AB|=√(1−1)2+(−3−0)2+(1−2)2=√10， ∵在z 轴上有一点M 满足|MA|=|MB|，∴设M(0,0，c)，则√(1−0)2+(0−0)2+(2−c)2=√(1−0)2+(−3−0)2+(1−c)2， 解得c =−3，∴点M 坐标为(0,0，−3)．故答案为：(0,0，−3)．15.解：∵a n =2a n−1+1， ∴a n +1=2(a n−1+1)，故数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1=2n ， 则a n =2n −1，∴S n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2，则S 6=27−8=120．16.解：由题意，sin Asin B =ba+c ，由正弦定理可得ab =ba+c ，因为a =2c ，所以a b =ba+a 2，即b 2=3a 22，所以b =√32a ，所以在△ABC 中由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=32a 2+14a 2−a 22×√2a×2=√64．故答案为√64．17.解：(1)由m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． 所以2ccosA =2b −a ．由正弦定理得：2sinCcosA =2sinB −sinA ． 2sinCcosA =2sin(A +C)−sinA =2sinAcosC +2cosAsinC −sinA ，整理得2sinAcosC =sinA ，由sinA >0，可得cosC =12，由于0<C <π，所以C =π3． (2)由于，△ABC 的面积为√3，所以12absinC =√3，整理得ab =4，由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2abcosC =4，整理得(a +b)2−4=3ab ，解得a +b =4． 所以三角形的周长为a +b +c =4+2=6．18.解：(1)由已知f(x)=a →⋅(a →+b →)=sinx(sinx +cosx)+cosx(cosx +√3cosx)=12sin2x +√32cos2x +1+√32=sin(2x +π3)+1+√32，所以的最小正周期是T =2π2=π;(2)由正弦定理得sinAcosB +sinBbcosA =2sinCcosC ， 即sin(A +B)=sinC =2sinCcosC ， 因为sinC ≠0，所以cosC =12，又0<C <π，所以C =π3，又f(B 2)=sin(B +π3)+1+√32，因为B ∈(0,2π3)，所以 B =π6时f(B2)取到最大值， 此时A =π2，又c =√3,所以b =1，得S ΔABC =12bcsinA =√32．19.解：(1)由题意，当n =1时，21⋅a 1=2，解得a 1=1，当n ≥2时，由21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2，可得 21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n−1⋅a n−1=(n −2)⋅2n +2， 两式相减，可得2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2−(n −2)⋅2n −2=[2(n −1)−(n −2)]⋅2n =n ⋅2n ， ∴a n =n ，当n =1时，a 1=1也符合上式，∴a n =n ，n ∈N ∗． (2)由(1)知，1a n ⋅a n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴S n =1a 1⋅a 2+1a 2⋅a 3+1a 3⋅a 4+1a 4⋅a 5+⋯+1a n−1⋅a n+1+1a n ⋅a n+2=12(1−13)+12(12−14)+12(13−15)+12(14−16)+⋯+12(1n −1−1n +1)+12(1n −1n +2) =12(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n −1−1n +1+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)=n(3n+5)4(n+1)(n+2)．20.解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =12(3n +S n )，由已知得S n =2a n −3n ①，所以S n+1=2a n+1−3(n +1)② 由②−①得：a n+1=2a n +3，即a n+1+3=2(a n +3)，所以a n+1+3a n +3=2(常数)，又a 1=2a 1−3，解得 a 1=3．所以数列{a n +3}是以6为首项，2为公比的等比数列． 故a n +3=6⋅2n−1，即a n =3(2n −1)．(2)由于b n =n3(a n +3)，所以b n =n3⋅(3×2n −3+3)=n ⋅2n ．设B n =1⋅2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ③2B n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1 ④ ④−③得：B n =−(2+22+23+⋯+2n )+n ⋅2n+1=−2n+1−22−1+n ⋅2n+1．整理得B n =2+(n −1)⋅2n+1．21.(1)证明：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1= //BC ，∴四边形ABCD 为平行四边边形，∴A 1B//CD 1，∵CD 1⊂平面D 1CE ，A 1B ⊄平面D 1CE ，∴A 1B 平行平面D 1CE ， (2)解：如图：以点D 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D −xyz ：设AB =2，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，E(2,1，0)，C 1(0,2，2)，A 1(2,0，2)，D 1(0,0，2)，C(0,2，0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 由A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，则{A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =2y −2z =0,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =−2x +2y =0,取x =1，y =1，z =1，则n ⃗ =(1,1，1) 设平面CED 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，由D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)， 则{D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =2b −2c =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =−2a +b =0,取a =1，b =2，z =2，则m⃗⃗⃗ =(1,2，2)， 可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=√3，cos <m⃗⃗⃗ ·n ⃗ >=53√3=5√39， ∴平面A 1BC 1与平面CED 1所成二面角的正弦值为√1−(5√39)2=√69．22.解：以A 为原点，以AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系O −xyz ，由AB =2,CD =1,AD =√2，PA =4PQ =4，M ，N 分别是PD ，PB 的中点， 可得：A(0,0,0),B(0,2,0),C(√2,1,0),D(√2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(√22,0,2),N(0,1,2)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−4)，MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1) 设平面的PBC 的法向量为n 0⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有：{n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(√2,−1,0)=0⇒√2x −y =0n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(0,2,−4)=0⇒2y −4z =0令z =1，则x =√2,y =2⇒n 0⃗⃗⃗⃗ =(√2,2,1)，(3分) ∴MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1)⋅(√2,2,1)=0，又MQ ⊄平面PCB ，∴MQ//平面PCB ；(2)设平面的MCN 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−1,2),CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,2) 则有：{n ⃗ ⊥CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√22,−1,2)=0⇒−√22x −y +2z =0n ⃗ ⊥CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√2,0,2)=0⇒−√2x +2z =0令z =1，则x =√2,y =1⇒n ⃗ =(√2,1,1)， 又AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4)为平面ABCD 的法向量， ∴cos〈n ⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=42×4=12，又截面MCN 与底面ABCD 所成二面角为锐二面角，∴截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小为π3，(3)∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,0)，∴所求的距离d =|n ⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ |=|−√2×√2−1×1+1×0|2=32；。
2020-2021学年高二数学上学期期中测试试题
2020-2021学年高二数学上学期期中测试试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、 本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题纸上交。
2、 答题前，请务必将自己的姓名、考试证号、座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题纸上。
3、 作答时必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4、 如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
1. 命题“∀0x ∈R ，02x>0”的否定是 ▲ .2. 经过点()2,1P 且与直线0943=++y x 垂直的直线方程是 ▲ .3. 已知正四棱柱的底面边长为2cm ，高为1cm ，则正四棱柱的侧面积是 ▲ 2cm .4. 圆心是（-1，0）且过原点的圆的方程是 ▲ .5. 已知m 为实数，直线1:30l mx y ++=，2:(32)20l m x my -++=， 则“1m =”是“12//l l ”的 ▲ 条件.（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要” 中选择一个）6. 设直线x y =与圆C ：0222=-+ay y x 相交于A ，B 两点，若32=AB ，则圆C 的半径为 ▲ .7. 已知圆柱M 的底面半径为3，高为2，圆锥N 的底面直径和高相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 ▲ . 8. 已知平面α，β，直线n m ,，给出下列命题：①若βα⊥， ,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥.②若//m α，//,n m n β⊥，则βα⊥， ③若//αβ，//,//m n αβ，则||m n ，④若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥， 其中是真命题的是 ▲ .（填写所有真命题的序号）9. 圆221:4450C x y x y ++--=与圆222:8470C x y x y +-++=的公切线有 ▲ 条. 10. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ .11. 已知命题12:≤-x p ，命题0)4)((:≤+--a x a x q ，若q p 是成立的充分非必要 条件，则实数a 的取值范围是 ▲ .12. 关于x 的方程222+=-kx x x 有两个不同的实数根，则k 的范围为 ▲ . 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线)2(+=x k y 上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围为 ▲ .14. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a －4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为 ▲ . 二、解答题：(本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设命题p ：032,2>--∈a a R a ；命题q ：不等式x 2＋ax ＋1>0∀x ∈R 恒成立，若p 且q为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,, 的中点.已知 AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC 求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0),AB 边所在直线的方程为,063=--y x 点()1,1-T 在AD 边所在直线上.(1)求AD 边所在的直线方程及A 的坐标. （2）求矩形ABCD 外接圆方程.18.(本小题满分16分)在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ：(2)若过点A 作直线⊥l 平面ABC ，求证：l //平面PBC ．19. (本小题满分16分)已知圆O :122=+y x 和A (4，2)(1)过点A 向圆O 引切线l ,求切线l 的方程.(2)设P 为圆A ：9)2-()4-(22=+y x 上的任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为B.试探究：平面内是否存在一定点C,使得PCPB为定值，若存在，求出此定值，若不存在，说明理由.20. (本小题满分16分)已知圆M 的方程为062222=---+y x y x ，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切.(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E ，F 两点，圆N 内的动点D 使得DE ，DO ，DF 成等比数列，求DEDF •的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A ，B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行?并说明理由.xx 第一学期期中测试高二数学试题参考答案一、填空 1、02,00≤∈∃x R x 2、0234=+-y x 3、8 4、()1122=++y x5、充分不必要6、67、 68、①④9、3 10、21 11、[]5,312、⎪⎭⎫⎢⎣⎡--43,1 13、[]1,1-14、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---222,222 二、解答 15.解：由题知 q p ,一真一假。
天津市部分区2020-2021学年高二上学期期中数学答案
天津市部分区2020—2021学年度第一学期期中练习高二数学参考答案一、选择题题号123456789答案ADCCDBACA二、填空题1011．01334=-+y x 12．613．25)2()2(22=++-y x 14．515．35三、解答题16．解：（Ⅰ）AB 中点M 的坐标是(1,1)，∴312213CM k -==---………………………2分∴中线CM 所在直线的方程是21(1)3y x -=--，即中线CM 所在直线的方程是2350x y +-=………………………6分（Ⅱ） 302)2(4=---=AB k ………………………8分311-=-=AB CH k k ………………………10分∴高线CH 所在直线方程为13(2)3y x -=-+即073=-+y x ………………………12分17．证明：以A 为原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,2(B ，)0,2,2(C ，)0,2,0(D ，)2,0,0(P .………………………1分（Ⅰ） E 是PC 的中点,E ∴的坐标为)1,1,1(，∴)1,1,1(=AE ，又)2,2,0(-=PD ………………………………3分∴0)2(12101=-⨯+⨯+⨯=⋅PD AE ∴PD AE ⊥，即有PD AE ⊥；………………………5分（Ⅱ）由已知可得AC BD ⊥，AP BD ⊥，所以平面PAC 的法向量为)0,2,2-=（BD ，………………………………………6分设平面PBD 的法向量为),,(z y x n =，)2,0,2(-=PB ，)2,2,0(-=PD 由题意得PDn PB n ⊥⊥,，00n PB n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴，……………………8分⎩⎨⎧=-=-∴022022z y z x ，取1=z 解得)1,1,1(=n ，………………………10分00021)2(1=⨯+⨯+-⨯=⋅BD n ，BD n ⊥∴，即平面PBD ⊥平面PAC .………………………12分18解：将圆方程变为标准方程为4)2()2(22=-+-y x ，其圆心为)2,2(，半径为2=r ...........2分（Ⅰ）由题意，过P 点且与CP 垂直的弦长最短，∵圆心C 点坐标为)2,2(，∴12123-=--=PC k ，............4分∴所求直线的斜率1=k ，代入点斜式方程得13-=-x y ，即02=+-y x .........................6分（Ⅱ）设切线方程为)1(+=x k y ，即0=+-k y kx ，圆心C 到切线的距离21|22|2=++-=k k k d .................8分解得512=k ，或0=k ………………………10分∴所求切线方程为012512=-+y x ，或0=y .……………12分19解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C .............2分（Ⅰ）1111(1,0,1)(1,,1)0,.DA D E x DA D E ⋅=⋅-=⊥因为所以............4分（Ⅱ）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，.............................6分)1,0,1(1-=AD ，设平面1ACD 的法向量为),,(c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01AD n AC n .............................8分也即⎩⎨⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩⎨⎧==c a b a 2，取2c =，从而)2,1,2(=n ，..............10分所以点E 到平面1ACD 的距离为.313212||1=-+==n n E D h .............................12分20.解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B 1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)AC E C 设(0,0,)F z .…………………2分11////(2,0,)(2,0,2),2.(0,0,2).(2,4,2).||26, 6.AF EC AF EC z z F BF BF BF λ∴-=-=∴∴=--=由得解得于是即的长为……4分…………………6分（Ⅱ）设1n 为平面1AEC F 的法向量，),,(1z y x n =设⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0202040,0,011z y x z y x AF n AE n 得由……………………8分⎪⎩⎪⎨⎧-===⎩⎨⎧=+-=+.41,11,022,04y x z z x z y ，得，取即……………………10分与设又11),3,0,0(CC CC =1n 的夹角为α，则.333341161133||||cos 1111=++⨯=⋅=n CC n CC α所以，直线1CC 与平面1AEC F 的夹角的正弦值为33334…………12分。
2020-2021学年天津二十中高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年天津二十中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共27分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知空间向量，，若与垂直，则等于( )A. B. C. D.2.若直线与直线平行，则m的值为( )A. 或B. 或C.D.3.方程表示圆，m的取值范围是( )A. B. 或 C. D.4.若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 或 D.5.直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为( )A. B. C. D.6.曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是( )A. B. C. D.7.在直三棱柱中，，且，点M是的中点，则异面直线MB与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.8.在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点到平面的距离是( )A. B. C. D.9.以椭圆内一点为中点的弦所在的直线方程是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24分）10.已知，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______.11.经过圆C：的圆心，且与直线垂直的直线方程是__________.12.已知，两点，直线l过点且与线段AB相交，直线l的斜率k的取值范围是______.13.在棱长为2的正方体中，E是的中点，则点到到直线BE的距离为______.14.设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为______ .15.已知F为双曲线的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若，则此双曲线的离心率为______.三、解答题（本大题共5小题，共49分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.本小题9分已知双曲线C：求以C的焦点为顶点、以C的顶点为焦点的椭圆的标准方程；求与C有公共的焦点，且过点的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．17.本小题10分已知圆C的圆心坐标，直线l：被圆C截得弦长为求圆C的方程；过点作圆的切线，求切线方程．18.本小题10分已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．求椭圆的方程；当直线l的倾斜角为时，求的面积．19.本小题10分如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，平面ABCD，且，求证：；求AP与平面CMB所成角的正弦值；求二面角的余弦值．20.本小题10分已知椭圆C：经过点，离心率为求椭圆C的方程；过点的直线l交椭圆于A，B两点，F为椭圆C的左焦点，若，求直线l的方程．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是向量的数量积判断向量垂直，其中根据两向量垂直数量积为利用向量垂直关系，与垂直，则，即可得出．【解答】解：，，，与垂直，，，解得，，故选：2.【答案】B【解析】【分析】由题意，分类讨论，利用两条直线平行的性质，求得m的值．本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．【解答】解：直线与直线平行，当时，两直线即，，显然两直线平行，满足条件．当时，两直线即，，显然两直线不平行．由，求得，综上可得，或，故选：3.【答案】B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程表示圆，必有，即可求出m的取值范围．本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程表示圆，则有【解答】解：根据二元二次方程表示圆的条件，方程表示圆，必有，解可得，或，故选：4.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．先求出双曲线的渐近线，再由点到的距离，即，再由离心率公式可得所求值．【解答】解：由已知，双曲线的渐近线方程为，又点到渐近线的距离为，，即，又，，，故选：5.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆相交时弦长问题，以及点到直线的距离公式，属于基础题．求出圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，由此利用直线被圆截得的弦长为，由勾股定理能求出【解答】解：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为，由勾股定理得，解得故选：6.【答案】D【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线l过，，又曲线图象为以为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离，即，解得：；当直线l过B点时，直线l的斜率为，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为故答案为：要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围．此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MB 与所成角的余弦值．【解答】解：在直三棱柱中，，且，点M是的中点，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，设异面直线MB与所成角为，则异面直线MB与所成角的余弦值为故选：8.【答案】D【解析】解：设所求距离为因为：，中EF边的高为，而E到平面的距离故选直接根据和的体积相等来求点到平面的距离即可．本题主要考查点、线、面间的距离计算．一般在求点到面的距离直接不好找时，常利用体积相等来求．9.【答案】B【解析】解：设所求直线与椭圆相交于，，则，，分别把，代入椭圆方程，再相减可得，，，以点为中点的弦所在直线方程为，整理，得：故选：设所求直线与椭圆相交的两点的坐标，然后利用点差法求得直线的斜率，最后代入直线方程的点斜式得答案．本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了点差法求与中点弦有关的问题，是中档题．10.【答案】【解析】解：，，与的夹角为钝角，，解得又与不共线，实数t的取值范围是故答案为：利用空间向量夹角公式直接求解．本题考查实数的取值范围的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题主要考查圆的一般方程的特征，两条直线互相垂直的性质，用待定系数法求直线方程，属于基础题．先求出圆心坐标为，设与直线垂直的直线方程是，把点代入此直线方程，求得c的值，可得所求的直线方程．【解答】解：由于圆C：的圆心为，设与直线垂直的直线方程是，把点代入此直线方程，求得，故所求的直线方程为，故答案为：12.【答案】【解析】解：根据题意，画出图形，如图所示；直线AC的斜率是，直线BC的斜率是，直线l的斜率应满足，即时，直线l与线段AB相交．斜率k的取值范围是故答案为：根据题意，画出图形，结合图形，求出直线AC、BC的斜率，从而求出直线l的斜率k的取值范围．本题考查了直线方程的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目．13.【答案】【解析】解：由题意可知几何体的图形如图：正方体中棱长为2，所以，，，在中，，，则点到到直线BE的距离为：故答案为：画出图形，转化求解三角形的边长，然后求解点到到直线BE的距离．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，空间点、线、面距离的求法，考查计算能力．14.【答案】9【解析】解：设两圆和圆心分别为A，B，则A，B正好为双曲线两焦点，，即最大值为9，故答案为：由题意及已知圆的方程，利用几何的知识可知当点P与M，B三点共线时使得取最大值．此问重点考查了利用几何知识及点P，M，的位置，利用三角形中两边之差小于第三边，进而求出最值．15.【答案】【解析】解：设，，渐近线方程为，则直线AF的方程为，即，联立方程组，解得，即，，，，，，即，故答案为：设，，渐近线方程为，求出AF的方程与联立可得B点坐标，利用，可得a，c的关系，从而求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.【答案】解：双曲线C：的焦点为，顶点为，设椭圆的标准方程为，可得，，，则椭圆的方程为；设所求双曲线的方程为，由题意可得，，解得，，即所求双曲线的方程为，则这条双曲线的实轴长为、焦距为、离心率为以及渐近线方程为【解析】求得双曲线的焦点和顶点坐标，可得椭圆的a，c，求得b，可得椭圆方程；设所求双曲线的方程为，由题意可得，，解方程可得m，n，进而得到所求双曲线的其他性质．本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．17.【答案】解：设圆C的方程为：，圆心到直线l：即的距离为：，，故圆C的方程为：；当切线的斜率不存在时，显然为圆的一条切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为：，即，由圆心到直线的距离为半径可得：，解得，所以切线方程为，即，综上：切线方程为和【解析】由圆心到弦中点的距离，弦长的一半和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求出圆的半径，进而得出圆的方程；过圆外的一点作圆的切线，先检验斜率不存在时是否符合题意，再利用点斜式设出直线方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径，求出直线的斜率，得出切线方程．本题考查了直线与圆的位置关系、直线与圆相交的性质，以及点到直线的距离公式和切线方程的求法，属于中档题．18.【答案】解：椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为，离心率，由题得：…………………………………………………………分解得，……………………………………………………………………………………分椭圆的方程为……………………………………………………………………………分，直线l的方程是……………………………………分联立，得，……………………………………………………分设，，，，…………………………………………分………………………………………分，故的面积是………………………………．…………………………………………分【解析】由题意，由此能求出椭圆的方程．由，求出直线l的方程是，由，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出的面积．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.【答案】证明：平面ABCD，，四边形ABCD是矩形，，又，PD、平面PAD平面PAD，又平面PAD，，解：以D为原点，以DA，DC，DP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，，设平面BCM的法向量为，则，即，取可得，，，与平面CMB所成角的正弦值为解：，设平面BCP的法向量为，则，即，取可得，二面角的余弦值为【解析】证明平面PAD即可得出；建立空间坐标系，求出平面BCM的法向量，计算和的夹角得出AP与平面CMB所成角的正弦值；求出平面BCP的法向量，计算的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与线面角、二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：设椭圆C的焦距为，则，，椭圆方程为将点代入，得，解得，则，椭圆C的方程为；①当直线l的斜率为0时，l与椭圆交于，，而，此时，不符合题意；②当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，设，，将直线l的方程代入椭圆方程并化简得：，解得或由韦达定理可得：，，，即解得：，符合题意．因此，直线l的方程为或【解析】由题意离心率可得a，b与c的关系，得到椭圆方程，把点代入求得c，则椭圆方程可求；当直线l的斜率为0时，l与椭圆交于，，而，此时，不符合题意；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，设，，将直线l的方程代入椭圆方程并化简，得关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合数量积公式求解m值，则直线方程可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．。
2020-2021学年天津市第二中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年天津市第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线320x +-=的倾斜角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【分析】化直线一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于直线的斜率求得倾斜角.【详解】由320x +-=，得3y =+设直线的倾斜角为θ，则tan θ=[)20,,3πθπθ∈∴=， 故选C.【点睛】若直线l 的倾斜角2πα≠，则斜率tan .k α=2．圆22221x y x y ++-=的圆心和半径分别是（ ）A ．()1,1-；1B ．(1,1)-C ．()1,1-；1D ．()1,1-【答案】D【分析】将圆的方程转化为标准方程求解. 【详解】圆22221x y x y ++-=的标准方程是：()()22113x y ++-=，所以圆的圆心和半径分别是()1,1-. 故选：D3．直线230x y ++=与圆22:(1)1C x y ++=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【分析】利用几何法判断，求出圆心()0,1-到直线的距离与半径比较大小即可判断.【详解】由圆22:(1)1C x y ++=得圆心()0,1C -，半径1r =， 圆心()0,1C -到直线230x y ++=的距离为：15d ==<， 所以直线230x y ++=与圆22:(1)1C x y ++=相交， 故选：A【点睛】方法点睛：直线与圆的位置关系的判断（1）几何法：求圆心到直线的距离d 与半径r 比较大小，d r <时相交，d r =时相切，d r 时相离；（2）代数法：联立直线与圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，0∆>时相交，0∆=时相切，∆<0时相离.4．椭圆2221x y +=的离心率为（ ）A ．12B．2CD ．2【答案】B【分析】由方程求出,a c ，再由离心率公式得出答案.【详解】因为22112x y +=，所以1,22a b c ====即212c e a ===故选：B5．已知直线()1:2580l x a y ++-=，()2:34350l a x y a +++-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．1-或7- B ．7-C ．1-D ．133-【答案】B【分析】当1l 与2l 平行时，有(3)(5)248a a ++=⨯=且(5)(35)84a a +-≠-⨯，然后解方程得a 的值即可.【详解】若直线()1:2580l x a y ++-=，()2:34350l a x y a +++-=平行，则有(3)(5)248a a ++=⨯=且(5)(35)84a a +-≠-⨯， 解得：7a =-. 故选：B ．【点睛】本题考查根据两条直线的平行求参数的值，解答时，易错解为2534a a +=+，得7a =-或1a =-，注意当1-时，2583435a a a +-==+-，1l 与2l 重合． 6．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ） A ．4 B ．2C．D【答案】A【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可．【详解】因为226240x y x y +-++= 所以22(3)(1)6x y -++=，圆心到直线的距离为d =直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长4l =；故选：A ．【点睛】计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.7．命题p ：“35m <<”是命题q ：“曲线22135x y m m+=--表示椭圆”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据椭圆的标准方程，满足305035m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，求出m 的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】曲线22135x y m m+=--表示椭圆，可得305035m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得35m <<且4m ≠，所以35m <<不能推出35m <<且4m ≠，反之则成立，所以“35m <<”是命题q ：“曲线22135x y m m+=--表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C8．若直线l 的方向向量为(1,3)a =，则直线l 的斜率为（ ）A ．12B．2C．3D【答案】D【分析】设向量(1,3)a =起点为原点，终点为A ，则直线OA 的斜率即为直线l 的斜率.【详解】取坐标平面内两点()0,0O和A ，则(1,a OA ==，则直线OA 斜率即为直线l 的斜率，而OA k =l . 故选：D ．9．过点()1,0P 作圆22(2)(2)1x y -+-=的切线，则切线方程为（ ） A ．1x =或3430x y +-= B ．1x =或3430x y --= C ．1y =或4340x y -+= D ．1y =或3430x y --=【答案】B【分析】按照过点P 的直线斜率是否存在讨论，结合直线与圆相切的性质及点到直线的距离公式即可得解.【详解】圆22(2)(2)1x y -+-=的圆心为()2,2，半径为1，点P 在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，点()2,2到该直线的距离等于1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-即kx y k 0--=，1=，解得34k =，所以该切线方程为3430x y --=；所以切线方程为1x =或3430x y --=. 故选：B.【点睛】方法点睛：求过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程的方法 几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程;代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.10．唐代诗人李原的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含带一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()1,2P -处出发，河岸线所在直线方程为35x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马回首”的最短总路程为（ ）A ．4B ．5C D 1【答案】A【分析】先求出点()1,2P -关于直线35x y +=的对称点(),Q a b ，再求得点Q 到圆心O 的距离减去半径即可. 【详解】如图所示：设点()1,2P -关于直线35x y +=的对称点为(),Q a b ，则231123522b a a b +⎧=⎪⎪-⎨+-⎪+⨯=⎪⎩，交点34a b =⎧⎨=⎩，所以()3,4Q ，点Q 到圆心O 的距离为22345OQ =+=， 所以 “将军饮马回首”的最短总路程为4 故选：A二、填空题11．椭圆22143x y +=的通径长为________．【答案】3【分析】根据椭圆方程，求得a ，b ，c ，令x c =与椭圆22143x y+=联立求解.【详解】因为椭圆22143x y +=，所以2,3,1a b c ===，令1x =与椭圆22143x y +=联立解得32y =±， 所以通径长33322⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故答案为：312．两圆2240x y +-=与226860x y x y ++++=的公共弦长为______．【答案】【分析】将两圆的方程相减可得两圆公共弦所在直线的方程，求出圆心到公共弦所在直线的距离d ，由.【详解】两圆2240x y +-=与226860x y x y ++++=方程相减得：68100++=x y ，即3450x y ++=，由2240x y +-=得圆心()0,0，半径2r，所以圆心()0,0到直线3450x y ++=的距离为1d ==，所以公共弦长为==，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是两圆方程相减求出公共弦所在直线的方程，由弦心距、半径、和弦长一半满足勾股定理即可求得弦长.13．已知圆()()2245169x y -+-=，过点()1,1的直线交圆于A ，B 两点，则AB 的取值范围为____________． 【答案】[]24,26【分析】由点与圆的位置关系判断出点(1,1)C 在圆O 内部，由圆的对称性求出AB 的最小值，再由弦AB 恰好为直径求出AB 的最大值. 【详解】由题意可知，该圆的圆心为(4,5)O因为22(14)(15)169-+-<，所以点(1,1)C 在圆O 内部 由圆的对称性可知，当(1,1)C 为弦AB 的中点时，弦AB 最短且24AB === 当弦AB 恰好为直径时，弦AB 最长，即26AB = 则[]24,26AB ∈故答案为：[]24,2614．如图，过椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点1F 作直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，O 为坐标原点，连接BO 并延长交椭圆E 于C 点，若1CF AB ⊥，且113CF AF =，则该椭圆E 的离心率e 为____________．【答案】22【分析】设椭圆的右焦点为2F ，连2BF ，2CF ，2AF ，根据点的对称性和1CF AB ⊥推出四边形12BF CF 为矩形，所以2AB BF ⊥，设1||AF m =，利用椭圆定义得到2||AF 和1||BF ，根据勾股定理可得2a c =，从而可得离心率.【详解】设椭圆的右焦点为2F ，连2BF ，2CF ，2AF ，如图：因为,B C 关于原点对称，12,F F 关于原点对称，所以四边形12BF CF 为平行四边形， 又1CF AB ⊥，所以四边形12BF CF 为矩形，所以2AB BF ⊥，设1||AF m =，因为113CF AF =，所以1||3CF m =，所以2||3BF m =，22||AF a m =-，1||23BF a m =-，在直角三角形2ABF 中，由22222||||||AB BF AF +=得222(23)(3)(2)a m m m a m -++=-，化简得3a m =，所以1||BF a =， 2||BF a =，在直角三角形12BF F 中，由2221212||||||BF BF F F +=得2224a a c +=，即2a c =，所以椭圆E 的离心率e 2c a ==. 故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中利用椭圆定义以及勾股定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．15．已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，M 为2PF 上的三等分点，且满足22MF PM =，若1OP MF ⊥，则该椭圆的离心率e 的取值范围是______．【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设()00,P x y ，根据22MF PM =，求出点M ，再由21MF OP k k ⋅=-可得220002y x x =--，代入椭圆方程可得22200220c x cx b a++=，使方程在[],a a -上有解，利用零点存在性定理即可求解. 【详解】设()00,P x y ，(),M x y ，则()00,PM x x y y =--，()200,PF c x y =--，213PM PF =，()()00001,,3x x y y c x y ∴--=--，00212,333M x c y ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，2002324233MF y y k x c x c ∴==++，00OPy k x ∴=， 1OP MF ⊥，22020012MF OPy k k x cx ∴⋅==-+， 220002y x cx ∴=--，又2220021⎛⎫=- ⎪⎝⎭x y b a ，222200022b b x x cx a∴-=--，22200220c x cx b a∴++=， P 存在，0x ∴存在，22222224440c b c c c a a∴∆=-⋅=⋅≥，显然恒成立， 又[]0,x a a ∈-，22200220c x cx b a∴++=在[],a a -上有解，令()22200022cf x x cx b a=++，对称轴202222c a x a c ca =-=-<-， 且P 不在x 上，()2220f a c ac b ∴-=-+<，()2220f a c ac b =++>，解得112e <<，即1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率，解题的关键是根据1OP MF ⊥，将问题转化为22200220c x cx b a++=在[],a a -上有解，考查了计算能力.三、解答题16．在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为直角梯形，侧面PAD 为等边三角形，M 、N 分别为AD 、PD 的中点，PM ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD AB ⊥，2PD CD ==，1AB =．（1）求证：//AN 平面PBC ，（2）求异面直线PB 与NC 所成角的余弦值； （3）求B 到平面MNC 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）35719. 【分析】（1）取PC 的中点E ，连接BE 、EN ，证明出四边形ABEN 为平行四边形，进而可得出//AN BE ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）取BC 的中点F ，连接MF ，可得出MF AD ⊥，然后以点M 为坐标原点，MA 、MF 、MP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，写出PB 、NC 的坐标，利用空间向量法可求得异面直线PB 与NC 所成角的余弦值；（3）求出平面MNC 的一个法向量的坐标，利用空间向量法可求得点B 到平面MNC 的距离．【详解】（1）如下图所示，取PC 的中点E ，连接BE 、EN ，N 、E 分别为PD 、PC 的中点，则//EN CD 且12EN CD =，由已知条件可得//AB CD 且12AB CD =，//EN AB ∴且EN AB =，所以，四边形ABEN 为平行四边形，则//AN BE ，AN ⊄平面PBC ，BE ⊂平面PBC ，//AN ∴平面PBC ；（2）取BC 的中点F ，连接MF ， 在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 、F 分别为AD 、BC 的中点，则MF 为梯形ABCD 的中位线，//MF AB ∴，AB AD ⊥，MFAD ，PM ⊥平面ABCD ，以点M 为坐标原点，MA 、MF 、MP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系M xyz -，如下图所示：则()1,1,0B 、()1,2,0C -、(3P 、()0,0,0M 、13,0,22N ⎛- ⎝⎭， (1,1,3PB =-，13,2,22NC ⎛=-- ⎝⎭，3cos ,5PB NC PB NC PB NC ⋅<>==⋅， 因此，异面直线PB 与NC 所成角的余弦值为35； （3）设平面MNC 的法向量为(),,n x y z =，1322MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,2,0MC =-，由00n MN n MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得130220x z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，令23x =3y =2z =， 所以，平面MNC 的一个法向量为()23,3,2n =， 又()1,1,0MB =，所以，点B 到平面MNC 的距离为333571919MB n d n⋅===因此，点B 到平面MNC 357. 【点睛】方法点睛：求点A 到平面BCD 的距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体ABCD 的体积，然后计算出BCD △的面积，利用锥体的体积公式可计算出点A 到平面BCD 的距离；（2）空间向量法：先计算出平面BCD 的一个法向量n 的坐标，进而可得出点A 到平面BCD 的距离为AB n d n⋅=.17．在边长为2正方体1AC 中：（1）求证1AC ⊥平面11B CD ；（2）求直线1CC 与平面11B CD 所成角的正弦值；（3）线段AB 上是否存在一点M （不与端点重合，使得二面角11A MC C --所成平面26，若存在，求||AM 的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（23（3）见解析 【分析】（1）以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面11B CD 的法向量为n ，再由1//AC n 证明1AC ⊥平面11B CD ；（2）利用数量积公式求出直线1CC 与平面11B CD 所成角的正弦值；（3）设,01AM AB λλ<=<，从而得出(2,0,0)M λ，分别求出平面1A MC 、平面1MC C 的法向量，再由数量积公式求出λ的值.【详解】（1）以点A 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系1(0,0,0),(2,2,2)A C ，11(2,0,2),(2,2,0),(0,2,2)B C D1111(2,2,2),(0,2,2),(2,2,0)AC BC B D ==∴-=- 设平面11B CD 的法向量为(,,)n x y z =11102202200B C n y z x y B D n ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，则(1,1,1)n = 又12AC n =，1//AC n ∴ 则1AC ⊥平面11B CD（2）1(0,0,2)CC =11123sin ,323C n nC CC CC n ∴⋅===⨯ 则直线1CC 与平面11B CD 所成角的正弦值为3（3）设,01AM AB λλ<=<，(2,0,0)B ，则(2,0,0)M λ即(2,0,0),(2,0,0)AB AM λ==，11(2,0,2),(2,2,2)AM AC λ=-=- (22,2,0)CM λ=--，1(0,0,2)CC =设平面1A MC 的法向量为()1111,,n x y z =111111111022022200A M n x z x y z AC n λ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩，则1(1,1,)n λλ=- 同理可得出平面1MC C 的法向量2(1,1,0)n λ=-2122221(1)cos ,261(1)1(1)n n λλλλ+-==+-+⋅+-∣ 即21210λλ+-=，解得113λ=-（舍），214λ=即存在1||2AM =使得二面角11A MC C --所成平面角的余弦值为2618．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，1F ，2F 分别为左右焦点．O 为坐标原点，过O 作直线1l 交椭圆于A ，B 两点，若△1ABF 周长的最小值为2(21)+，面积的最大值为1．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线()2:,0l y kx m m =+>交椭圆E 于M ，N 两点， （i ）若2k =MON △的面积为22，求m 的值．（ii ）若x 轴上任意一点到直线2MF 与2NF 的距离均相等，求证：直线2l 恒过一定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2212x y +=;（2）1m =;(2,0)【分析】由椭圆对称性知当AB 与短轴重合时周长最小，△1ABF 面积最大，列方程得解.（2）（i ）22y x m =+与椭圆方程联解,得到23(2)MN m =-，求得O 点到直线的距离为26m d =得解（ii ）由x 轴上任意一点到直线2MF 与2NF 的距离均相等，得到x 轴为直线2MF 与2NF 的夹角的角平分线，得到220MF NF k k +=化简得2m k =- 得解 【详解】（1）由椭圆对称性知△1ABF 周长等于11122AB AF BF AB AF AF AB a ++=++=+所以当AB 与短轴重合时周长最小，此时△1ABF 面积最大，2222+21)1212a b b c a b c ⎧=⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩解得1,1a b c === 所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=（2）（i）2y x m =+与椭圆方程联解得2210x m +-= 设1122(,),(,)M x y N x y则：2200m m ∆=->⇒<<，12,x x += 2121x x m =-12MN x =-== O220y m -+=的距离为d =所以11222d MN ⨯⨯===解得1m =±（舍负），所以1m = （ii ）2211221122,,1111MF NF y kx m y kx mk k x x x x ++====---- 若x 轴上任意一点到直线2MF 与2NF 的距离均相等，则x 轴为直线2MF 与2NF 的夹角的角平分线，所以220MF NF k k +=1212121202()()2011kx m kx m kx x m k x x m x x +++=⇒+-+-=-- y kx m =+与椭圆方程2212x y +=联解得222(12)4220k x kmx m +++-=1224,12km x x k-+=+ 21222212m x x k -=+ 所以2222242()201212m kmk m k m k k --⨯+--=++解得2m k =- 2:2(2)l y kx m kx k k x =+=-=-所以直线2l 恒过一定点，该定点的坐标为(2,0) ．【点睛】直线过定点问题关键是对直线中的双参变量化为单变量得解.属于难题.。
天津市蓟县高二上学期期中考试数学试题
高二数学期中测试卷答案二填空题11. )2121(-， 12. π24 13. 相交 14. ]2,6[ππ 15.556 16. 解：（1）781606BC k -==-- 做BC 边上的高BC AD ⊥于D 16AD BCk k ∴=-= ……………………………………………2分 由直线的点斜式方程可知直线AD 的方程为：()064y x -=-化简得： 624y x =-……………………………………………. 4分（2）取BC 的中点()00,E x y ，连接AE由中点坐标公式得000632871522x y +⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即点153,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ……………………………..6分 由直线的两点式方程可知直线AE 的方程为：43021540--=--x y 化简得：060215=-+y x ………………………………………………………9分17. 解: （1）连接1BD ,BDABCD BD 平面⊥1DBD ∠∴即1BD 与平面ABCD 所成的角……………………………………2分 24=BD ，31=DD ，411=BD 4124cos 1=∠DBD ……………………………………4分 （2）连接D A 1， D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角. …………………………………6分 连接BD ，在△DB A 1中，24,511===BD D A B A ，则D A B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠259552322525=⋅⋅-+=………………………….9分18. 解：设圆心为(3,),t t 半径为3r t =， ………………………………………..2分令d ==而22222,927,1r d t t t =--==± ……………………………………6分 22(3)(1)9x y ∴-+-=，或22(3)(1)9x y +++=… …………………………………9分 19证明：（Ⅰ）ABCD PA 平面⊥，ABCD DC 平面⊂，所以DC PA ⊥，又因为AD CD ⊥，A AD PA =⋂所以PAD DC 平面⊥，………………………………………………….4分因为PDC DC 平面⊂所以平面PDC PAD ⊥平面…………………………………………….6分（Ⅱ）取PD 中点E ，连接EA ，EF ，因为F 是PC 中点，所以EF CD 2=，AB CD 2=，所以EF ∥AB ，且AB EF =，所以四边形ABFE 是平行四边形，BF ∥AE ，PAD AE 平面⊂，PAD BF 平面⊄，所以//BF PAD 平面。
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A． B． C． D．
4．二次不等式 的解集是 的条件是
A． B． C． D．
5．设 是双曲线 上一点， ， 分别是双曲线左、右两个焦点，若 ，则 等于( )
A．1B．17
C．1或17D．以上答案均不对
6．p: ， ，则 是 的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
【分析】
由数列的前 项和公式求得 ，当 时，由 求得 ，验证 后得答案．
【详解】
，
当 时， ；
当 时，
．
验证 时上式不成立，
,故选C．
【点睛】
本题主要考查由数列的前 项和求数列的通项公式，是中档题．已知数列前 项和，求数列通项公式，常用公式 ，将所给条件化为关于前 项和的递推关系或是关于第 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用 与通项 的关系求 的过程中，一定要注意 的情况.
9．C
【分析】
由题意结合均值不等式的结论即可求得 的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
由题意可得：
，
当且仅当 时等号成立.
即 的最小值是 .
故选：C.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
8．B
【分析】
化简 ，利用裂项相消法可得结果.
【详解】
因为 ，
所以 ，故选B．
【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ；（3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
5．B
【解析】
【分析】
根据双曲线定义直接求解.
【详解】
由双曲线 有 .则 .
由题意知 ，所以 点在双曲线的左支,
则由双曲线的定义有 ，故 .选 .
【点睛】
本题主要考查双曲线定义的简单运用.解题中很容易因忽略双曲线上的点到焦点的距离的取值范围而错选 .
6．B
【解析】
【分析】
利用绝对值不等式的解法化简命题 ，根据充分条件和必要条件的定义，结合集合的包含关系进行判断即可．
10．
【分析】
直接根据等差数列的求和公式计算即可．
【详解】
正整数数列前 个奇数的和为
，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式，意在考查对基本公式的掌握情况，属于基础题
11．
【解析】
C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件
7．关于 不等式 的解集是 ，则 的值是
A．3B． C． D．
8．数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）
A．1B． C． D．
9．已知 则 的最小值是 ( )
A． B．4C． D．5
二、填空题
10．正整数数列前 个奇数的和为______．
11．不等式 的解集是______．
12．双曲线 的渐近线方程为______．
13．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是______．
14．等比数列 的各项均为正数，且 ，则 __________；
三、解答题
15．已知等比数列 ，其前 项和为 ， ， ．
Ⅰ 求 ；
Ⅱ 求 ．
16．已知等差数列 ，其前 项和为 ， ， ．
由二次不等式 解集是 ，可知其对应的二次函数图象开口向下，且与 轴没有交点，利用判别式小于零可得结果．
【详解】
因为二次不等式 的解集是 ,
所以对应的二次函数 的图象开口向下，且与 轴没有交点，
所以 且 ,故选D．
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解集与二次函数图象之间的关系，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力以及转化与划归思想的应用，是基础题．
3．D
【解析】
【分析】
等差数列8，5，2， 中，首项 ，公差 ，由等差数列的通项公式可得结果.
【详解】
等差数列8，5，2， 中，
可得首项 ，
公差 ，
等差数列8，5，2， 的第20项为：
,故选D．
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义与通项公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题．
4．D
【解析】
【分析】
Ⅰ 求抛物线 的方程；
Ⅱ 求 上一点 ，使得点 到直线 的距离最短．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
直接利用抛物线方程求出 ，从而可得结果．
【详解】
因为抛物线 ，
所以， ，
则该抛物线的准线方程
即为 ,故选A．
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程与简单性质的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，是基础题．
2．C
【详解】
由 可得， ，即 ，
所以 ， ，
不能推出 能推出 ，
是 必要不充分条件，故选B．
【点睛】
本题考查了充分必要条件的判断，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
Ⅰ 求 和 ；
Ⅱ 求使得 最大的序号 的值．
17．已知二次函数 ．
Ⅰ 若关于 的不等式 有两个不等正实根，求实数 的取值范围．
18．椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
Ⅰ 求椭圆方程
Ⅱ 过椭圆右焦点做斜率为1的直线交椭圆于 两点，求线段 的长
19．如图，已知直线与抛物线 交于 两点，且 ， 交 于点 ，点 的坐标为 ．
7．D
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可得， 和4是 的两个实数根，利用韦达定理可求得 的值．
【详解】
关于 不等式 的解集是 ，
和4是 的两个实数根，
即 和4是 的两个实数根，
利用韦达定理可得 ，
，故选D．
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解集和一元二次方程的解之间的关系，以及韦达定理的应用，属于基础题．
【区级联考】天津市蓟州区2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知抛物线 ，则该抛物线的准线方程为
A． B． C． D．
2．已知数列 的前 项和 ，则
A． B． C． D．