平面基本力系

第二章平面基本力系

平面汇交力系和平面力偶系是两种最简单、最基本的力系，是研究一切复杂力系的基础。本章研究平面基本力系的合成与平衡问题。

§2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法

1. 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则

平面力系中，各力作用于同一点的力系称为平面共点力系，共点力系是汇交力系的特殊情形。设某刚体受一平面汇交力系作用，如图2.1a所示。根据力的可传性定理，可将各力沿其作用线移至汇交点A，形成一等效的共点力系，如图2.1b所示。

图

为合成此力系，可根据力的平行四边形法则，逐步两两合成各力，最后得到一个通过汇交点A的合力F R。用此方法可求平面汇交力系的合力，但求解过程比较繁琐。

用力多边形法则可比较简单地求出平面汇交力系的合力。任取一点a为起点，先作力三角形求出F1与F2的合力F R1，再作力三角形合成F R1与F3得F R2，最后合成F R2与F4得合力F R，如图2.1c所示。多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形，矢量ae称为力多边形的封闭边。封闭边矢量ae 即表示此汇交力系的合力F R，合力的作用线仍通过原汇交点A，如图2.1b 中的F R。以上求汇交力系合力的方法，称为力多边形法则。

若任意改变各分力矢的作图顺序，可得到形状不同的力多边形，但其合力矢的大小、指向均不变，如图2.1d所示。

结论：平面汇交力系可合成为一合力，合力的大小、方向由各分力矢的矢量和所决定，合力的作用线通过汇交点。即有

∑==+++=n i i n R F

F F F F 121

（2.1） 2. 平面汇交力系平衡的几何条件

平面汇交力系的作用效果可以用其合力来代替，所以平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力为零，即 0

F F n 1i i R ==∑=

（2.2）

从几何角度看，汇交力系平衡时力多边形中最后一力的终点应与第一力的起点重合，此时力多边形自行封闭。所以，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何条件。

用几何法求解平面汇交力系平衡问题举例如下。

例2.1 支架的横梁AB 与斜杆CD 彼此以铰链联接，并以铰链联接在铅直墙壁上，如图2.2a 所示。已知AD=DB ；杆DC 与水平线成45°角，载荷F =10kN ，作用于B 处。设梁和杆的自重忽略不计，求铰链A 处的约束反力和杆DC 所受的力。

解：选取横梁AB 为研究对象。横梁在B 处受载荷F 作用。结构中DC 为二力杆，它对横梁D 处的约束反力为F D ，其作用线平行于DC 。铰链A 处的约束反力为F A ，其作用线可根据三力平衡汇交定理确定，即通过另两个力的交点E ，如图2.2b 所示。 图

杆AB 处于平衡状态，根据平面汇交力系平衡的几何条件，作用在AB 上的三个力应构成一个自行封闭的力三角形。先按照一定比例画出力矢ab 代表F ，再由点b 作直线平行于F D ，由点a 作直线平行于F A ，这两直线相交于点c ，如图2.2c 所示。由力三角形abc 即可确定出F D 和F A 。

在力三角形中，线段ac 和bc 的长度分别表示力F A 和F D 的大小，量出它们的长度，按比例换算可得：F A =22.4kN ；F D =28.3kN 。或者通过三角函数关系求得F A 、F D 的大小。

根据作用与反作用关系，作用于杆DC 上的力F'D 与F D 互为反作用力。由此可知，杆DC 受压力作用，压力大小为F D =28.3kN 。

由上例可以看出，用几何法求解平面汇交力系的合成与平衡问题简单明了，对于三力平衡问题还可用三角函数关系求出其精确解。而对于多力平衡问题，用几何法难以求出其精确解，累积误差较大；对空间问题，更是难以作出力多边形。所以，在实际应用中多用解析法求解平面汇交力系的合成与平衡问题。

§2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法

1. 力的投影及其求法

若已知力F 的大小为F ，它与x 、y 轴的夹角分别为α、β，则F 在x 、y 轴上的投影分别为 ⎩⎨⎧==ααsin cos F F F F y x

(2.3)

由上式可以看出，力在坐标轴上的投影是代数量。当力F 与坐标轴平行（或重合）时，力在坐标轴上投影的绝对值等于力的大小，力的指向与坐标轴正向一致时，投影为正，反之为负；当力与坐标轴垂直时，力在坐标轴上的投影为零。力在坐标轴上的投影与力的大小和方向有关，而与力作用点或作用线的位置无关。

若已知力F 在直角坐标轴上的投影F x 、F y ，可以求出力F 的大小和方向为

⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y y x F F F F F αtg 2

2

（2.4）

式中α为力与x 轴的夹角。

必须指出，投影和分力是两个不同的概念。分力是矢量，投影是代数量；分力与作用点的位置有关，而投影与作用点的位置无关；它们与原力的关系分别遵循不同的规则，只有在直角坐标系中，分力的大小才与在同一坐标轴上投影的绝对值相等。

2. 合力投影定理

设刚体受F 1，F 2两个汇交力的作用，用力的平行四边形法则可求出其合力F R ，如图2.4a 所示。在其作用面内任取直角坐标系O xy ，并将力F 1，F 2及F R 分别向x 轴投影，根据合矢量投影定理可得 ⎩⎨⎧+=+=y y y R x x x R F F F F F F 2121

若刚体受F 1，F 2，…，F n 构成的汇交力系的作用，由汇交力系的合成结果有

∑=+++=i n 21F F F F F R

将上式分别向两个坐标轴上投影，可得

图2.3 图2.4

⎪⎩⎪⎨⎧=+++==+++=∑∑iy ny y y Ry ix nx x x Rx F F F F F F F F F F 2121

（2.5）

上式说明，合力在任意轴上的投影等于诸分力在同一轴上投影的代数和，此即合力投影定理。

既然合力投影与分力投影之间的关系对于任意轴都成立，那么，在应用合力投影定理时，应注意坐标轴的选择，尽可能使运算简便。也就是说，选择投影轴时，应使尽可能多的力与投影轴垂直或平行。

3. 平面汇交力系合成的解析法

根据合力投影定理，分别求出合力在x 、y 轴的投影F Rx 和F Ry ，由投影与分力的关系可确定出合力沿x 、y 轴方向的分力分别为F Rx 、F Ry ，由图2.5可知，合力F R 的大小为 ∑∑+=+=2

222)()(iy ix Ry Rx R F F F F F

（2.6） 合力的方向可由合力矢与x 轴的夹角α决定 ∑∑==ix

iy

Rx Ry

F F F F αtg （2.7）

4. 平面汇交力系的平衡方程

由上一节可知，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力为零。由式（2.6）可得

0)()(22=+∑∑iy ix F F

欲使上式成立，必须同时满足

⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑00iy ix F

F

（2.8）

即刚体在平面汇交力系作用下处于平衡状态时，各力在两个坐标轴上投 图2.5