刚体动力学的基本概念
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
第七章 刚体动力学(讲义)
MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意，主矩的的计算与参考点的选取有关。例如，将参考点由 O 改成 O′ ，于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量，它只给出矢量的大小和方向，不过问作用点的位置。 对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系，合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量 和，即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力，因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考 点的力矩是矢量，我们可以求这些矢量的和，并称为主矩，记为 MO ，即有
（II）刚体绕质心的转动：
dLc = ∑ ric × Fi （对质心的角动量定理） dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学，可以解出刚体的平动运动部分（三个方程解三个运 动变量） 。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω （ L 与 ω 有一定的关系） ，于是刚体的运动 就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7．2 作用在刚体上的力和力矩 通常矢量指的是所谓自由矢量（free vector） ：只有大小和方向，它可以平行自由移动。 作为物理量的矢量则不然，例如，力矢量 F ，为了完全确定这个力，还要说明力的作用点， 若用 r 表示作用点的话，则要有两个矢量 F 和 r ，这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定 位矢量（bound vector） 。除了力矢量是定位矢量外，质点的速度和加速度等也是定位矢量的例 子。 还有一种矢量，称为滑动矢量（sliding vector） ，它可在包含该矢量的一直线上自由移动。 例如，作用在刚体上的力（见下面的讨论） 。
刚体运动的基本原理与动力学分析
刚体运动的基本原理与动力学分析刚体运动是物理学中的重要概念，研究刚体的基本原理和动力学分析对于理解力学运动规律具有重要意义。
本文将从刚体的定义、刚体运动的基本原理，以及刚体的动力学分析等方面展开论述。
一、刚体的定义刚体是指在力的作用下，保持形状和体积不变的物体。
刚体的特点是不易变形，内部各点之间的相对位置保持不变。
二、刚体运动的基本原理1. 平动和转动刚体运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体上所有点按照相同方向和相同距离运动，转动是指刚体绕着某个轴旋转。
2. 受力和力矩刚体的运动受到外力的作用，外力可以分为接触力和非接触力。
接触力是指物体之间直接接触施加的力，非接触力是指物体间通过场的相互作用施加的力，如重力和电磁力等。
另外，刚体的转动还受到力矩的影响。
力矩是由作用力与力臂的乘积，用来描述力对刚体的转动效果。
力矩的方向由右手定则确定，大小等于力的大小与力臂的长度之积。
3. 刚体的运动学方程刚体的运动学方程描述了刚体在运动过程中各个部分的位置、速度和加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律和运动学关系可以得到刚体的运动学方程。
三、刚体的动力学分析1. 平动的动力学分析刚体的平动运动可以通过牛顿第二定律进行动力学分析。
根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力等于刚体的质量与加速度的乘积。
2. 转动的动力学分析刚体的转动运动需要通过力矩和转动惯量进行动力学分析。
根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。
此外，刚体的角动量和动能也是进行动力学分析的重要物理量。
角动量等于刚体的转动惯量与角速度的乘积，动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。
四、刚体运动的应用刚体运动的研究在工程、医学等领域有广泛应用。
例如在机械工程中，对机械零件的运动进行分析可以用于设计和优化机械结构；在生物医学中，对人体骨骼系统的运动学和动力学分析可以用于疾病的诊断和康复治疗。
总结：刚体运动的基本原理和动力学分析是研究力学运动规律中的重要内容。
动力学中的刚体运动分析
动力学中的刚体运动分析动力学是物理学的一个分支，研究物体在受到力的作用下的运动规律。
刚体运动是动力学中的一个重要内容，刚体是指形状不会发生变化的物体，它的各个部分在同一时间内有相同的速度和加速度。
本文将对动力学中的刚体运动进行详细分析。
一、刚体的基本概念刚体是一个理想化的物体，它具有以下基本特征：1. 完全刚性：刚体的所有部分都是刚性连接的，不会发生形状上的变化。
2. 不可伸缩：刚体的各个部分不会发生伸缩变形。
3. 不可旋转：刚体在运动过程中不会发生自转。
刚体可以用来模拟很多实际物体，如棍子、车辆等，通过对刚体的运动进行研究，我们可以更好地理解物体在力的作用下的运动规律。
二、刚体运动的基本性质刚体运动具有以下几个基本性质：1. 平动：刚体上的任意两点都具有相同的位移和速度。
2. 定点旋转：刚体绕固定轴线作定点旋转运动，其各个部分仅有的位移是纯粹的旋转位移。
3. 平面运动：刚体运动可以限制在一个平面内进行。
三、刚体运动的描述刚体的运动可以通过位置、速度和加速度三个方面的描述来进行分析。
1. 位置描述：刚体的位置可以通过选择一个坐标系以确定刚体的位置矢量来描述。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
2. 速度描述：刚体的速度可以通过位置的变化率来描述，即位置矢量对时间的导数。
刚体的速度矢量与位矢的方向相同。
3. 加速度描述：刚体的加速度可以通过速度的变化率来描述，即速度矢量对时间的导数。
刚体的加速度矢量与速度矢量的方向相同。
四、刚体的运动方程刚体的运动可以通过牛顿运动定律以及动力学中的一些基本定理来描述。
1. 牛顿第二定律：刚体受到的合外力等于其质量与加速度的乘积，即F=ma。
2. 刚体的角动量定理：刚体的角动量的变化率等于合外力对刚体的力矩，即L=dL/dt=τ。
3. 刚体的动能定理：刚体的动能的变化率等于合外力对刚体的功，即dK/dt=P。
根据这些定律和公式，我们可以对刚体的运动进行定量的描述和计算。
刚体力学基础
非专业训练，请勿模仿
例 解 由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长 度成反比，竹竿越长越安全。
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
-------------------------------------------------------------------------------
二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
刚体动力学计算受力
刚体动力学计算受力刚体动力学是物理学中一个重要的分支，主要研究刚体在受力作用下的运动规律。
刚体是指具有固定几何形状且各部分之间相对位置不会改变的物体。
受力是指外界施加在刚体上的力量，可以是作用在刚体上的外力，也可以是刚体内部的相互作用力。
在刚体动力学中，我们可以通过计算来确定刚体在受力作用下的加速度、速度和位移等运动参数。
这需要应用牛顿第二定律和刚体的转动定律。
牛顿第二定律描述了物体在受力作用下的加速度与施加力之间的关系。
对于刚体，牛顿第二定律可以表示为F=ma，其中F是刚体所受的合外力，m是刚体的质量，a是刚体的加速度。
根据这个公式，我们可以计算出刚体在受力作用下的加速度。
刚体的转动定律则描述了刚体在受力作用下的转动运动规律。
对于刚体的转动，我们需要考虑刚体的转动惯量和力矩。
刚体的转动惯量表示了刚体对转动的惯性，可以用I表示。
力矩是指作用在刚体上的力对刚体产生转动效果的程度，可以用M表示。
根据转动定律，我们可以得到以下公式：M=Iα，其中M是力矩，I是转动惯量，α是刚体的角加速度。
通过解这个公式，我们可以计算出刚体在受力作用下的角加速度。
除了牛顿第二定律和转动定律，我们还可以利用刚体的动量守恒和能量守恒来计算刚体的运动参数。
动量守恒描述了刚体在受力作用下动量的守恒，即刚体所受的合外力为零时，刚体的动量保持不变。
能量守恒描述了刚体在受力作用下能量的守恒，即刚体所受的合外力做功等于刚体动能的增量。
通过应用动量守恒和能量守恒原理，我们可以计算出刚体在受力作用下的速度和位移等运动参数。
在实际应用中，我们可以利用计算机模拟和数值计算来求解刚体动力学问题。
通过建立刚体的数学模型，我们可以使用数值方法来解决刚体受力计算问题。
例如，我们可以使用欧拉法或龙格-库塔法等数值方法来求解刚体的运动参数。
刚体动力学是物理学中一个重要的研究领域，通过计算可以确定刚体在受力作用下的运动规律。
牛顿第二定律、转动定律、动量守恒和能量守恒等原理为我们提供了计算刚体受力的基本工具。
刚体动力学
刚体动力学
刚体动力学是指研究力和质量对刚体运动的影响，它涉及物理
和数学，主要研究力对物体运动的影响。
它广泛应用于工程和物理领域，用于描述物体在局部或全局中的运动状态。
如何利用运动学理论
来分析和解释物理世界中物体的运动轨迹，最终揭示物体运动的物理
原理至关重要。
在刚体动力学的概念中，物体的运动被建模为一种力对对对象的
瞬时影响。
通过应用力，物体的运动可以得到估计。
瞬时力是指在特
定时空会给物体造成瞬时影响的力。
可以从特征定律出发，将其用于
物体运动分析。
这些定律涉及到物理力学，牛顿力学和拉普拉斯力学，上述定律可将物体的运动状态的分类。
与此同时，通过测量物体的加
速度、速度和位移，有可能解释其运动轨迹，解析物体的运动和定义
有关的物理参数，这些物理参数的累积可以描述物体的运动状态，从
而揭示物体运动的原理。
刚体动力学的原理也可以用来处理运动学中更加抽象的问题，例
如变换，尤其是物体受力时联合受力的问题。
此外，它还可以用于研
究物理系统中某些复杂的力的运动模式，包括动量、角动量、能量和
声学等。
可以说，它是物理上最基本的模型，用于解释物体的局部或
全局运动。
利用刚体动力学的原理，可以研究物体运动在各种复杂条
件下的变化，从而揭示物体运动的物理原理。
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运动学： 研究物体运动的几何性质，而不研究引起物 体运动的原因。
研究受力物体的运动状态及其变化与作用力 动力学： 之间的关系。
加速度a＝0 加速度a≠0 平衡 动力学
静力学
THEORETICAL MECHANICS
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第二篇 动力学
Theoretical Mechanics
§5-2 力系的分类及其基本公理
一、力系的分类
力系： 汇交力系
若所有力的作用线交于一点，则该力系称为汇交力系
F1
F1
F2
F3
F2 F4
F3
平面汇交力系
THEORETICAL MECHANICS
空间汇交力系
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§5-2 力系的分类及其基本公理 力系：平行力系
一、力系的分类
二、基本公理
? question
FC
左边两个图中，
C B
FB
B C
FC F
那个杆（构件）
是二力构件？
A
D
W
A
FD
THEORETICAL MECHANICS
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
公理三（加减平衡力系公理） 在作用于刚体上的已知力系中，加上或减 去任意的平衡力系，不改变原力系对刚体的作 用效应。
THEORETICAL MECHANICS
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§5-2 力系的分类及其基本公理 力系的简化：
一、力系的分类
Fq
q
W
DAM
M Fy
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Fx
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结
若 {P1 , P2 ,, Pm } {0} 则 {F1 , F2 ,, Fn }
{F1 , F2 ,, Fn , P1 , P2 ,, Pm }
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
推论1 力的可传性 作用于刚体上某点的力，可以 沿其作用线移动到刚体内任意点，而不改变该力
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§5-2 力系的分类及其基本公理
一、力系的分类
等效力系: {F1 , F2 ,, Fn } {P1 , P2 ,, Pm } 对同一刚体产生相同作用效应的力系。 合力 ：与某力系等效的力 {F1 , F2 ,, Fn } {FR } 分力：力系中的各力，则称为此合力的分力
例 题
将力Fxy向x，y 轴投影
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
沿各轴的分力为
Fx ( Fn cos sin ) i Fy ( Fn cos cos ) j Fz ( Fn sin ) k
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
二力构件
只受两个力作用而平衡的刚体叫二力构件（或二力体）。
二力杆
不是二力构件
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§5-2 力系的分类及其基本公理
平衡力系： {F1 , F2 ,, Fn} {0}
对刚体不产生任何作用效应的力系
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§5-2 力系的分类及其基本公理 力系的简化：
一、力系的分类
为了便于寻求各种力系对于物体作用的总效应 和力系的平衡条件，需要将力系进行简化，使其变 换为另一个与其作用效应相同的简单力系。这种等 效简化力系的方法称为力系的简化。
Fx x
Fz
z F
O
Fy y
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§5-1 力与力的投影 2.二次投影法
Fz Fcos Fx Fsin cos
z
Fz
二、
力的投影
F
O
Fy Fxy
y
Fy Fsin sin
x
Fx
力在轴上的投影是一个重要的概念，应用投影的 概念，可将力的合成由几何运算转换为代数运算。
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第五章 刚体动力学的基本概念
本章我们将学习什么内容
静力学基本概念及公理 约束与约束反力 物体的受力分析图
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§5-1 力与力的投影
力是物体间的相互的机械作用
静力学
静力学的核心问题是利用平衡方程求解物体
或物体系统的平衡问题。而研究力系的等效简化 则是为了探求、建立力系的平衡条件。
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第二篇 动力学
静力学，又称刚体静力学，是将实际物体抽象为刚体， 亦即以刚体作为分析问题的模型，研究物体在力系作用下 的平衡规律。包括三方面内容：
§5-3 力矩与力偶
1、力对点之矩的数学描述 （1）矢量表示式 M O r F
M O Fd
一、力对点之矩
MO
O
z F
d
x
y
r
问题1：已知力 F（矢量）以及该力对 O 点的 矩 M O （矢量），能否确定力F 的作用线？ 问题2：已知作用在长方体上的某个力 对A、O 两点之矩的矢 量方向，能否确 定该力的方向及其作用线？
两力等值、反向、共线，分别作用在两个相互作用
的物体上。
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
作用力与反作用力 F F’ 作用力和反作用力作用于不 同的物体 二力平衡情况下，两个力作 用的对象是同一个物体
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§5-1 力与力的投影 解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
例 题
Fz Fn sin Fxy Fn cos
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§5-1 力与力的投影
Fz Fn sin Fxy Fn cos
力F 沿某轴的分量的大小与在该轴上投影 是否相等？
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§5-1 力与力的投影
例 题
例5-1 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已 知斜齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角α，试求力Fn沿x，y 和 z 轴的分力。
THEORETICAL MECHANICS
下平衡，其中两个力的作用线汇交于一点，则第三
个力的作用线必通过此汇交点，且三个力共面。
F1 F F2 A2 F1 A A3 F2
证明：
F
A1 A A3
=
=
A
A3
F3
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
公理四（作用与反作用定律） 作用力与反作用力总是同时出现、同时消失，
物体的受力分析－分析结构或构件所受到的各个力 的方向和作用线位置。 力系的等效与简化－为了寻求各种力系对于物体作用 的总效应和力系的平衡条件，需要将力系进行简化，将其 变换为另一个与其作用效应相同的简单力系（可能是一个 力、力偶或力螺旋或零矢量）。 力系的平衡条件与平衡方程－研究物体处于平衡状态 时作用在其上的各种力系应满足的条件。利用平衡条件建 立所对应的数学方程，称为平衡方程。
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§5-1 力与力的投影
在直角坐标系中力F 的解析式
二、
力的投影
F Fxi Fy j Fzk
Fx，Fy，Fz分别为力矢F在x、y、z轴上的投影，为代 数量。 若已知力F在直角坐标轴上的三个投影，其大小和 方向分别为
F Fx2 F y2 Fz2
F1
FR
F2 A
F1 A F1 A
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
公理二 （二力平衡公理） 作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | 方向相反 F1 = –F2 作用线共线， 作用于同一个 F F F
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§5-1 力与力的投影
二、
力的投影
1. 直接投影法
若已知力F与直角坐标系Oxyz三轴之间的夹角分别为α 、 β、γ，力F在各轴上投影为
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
对刚体的作用。
F1
B
A B
F2
F
B F2
F1
A
F
A
F1 －F2 F
F B