指数与指数函数

指数与指数函数指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( )(4)函数y ＝a x 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞). ( )2.若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝( )A.1B.2C. 3D.33.某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为( )A.y ＝a (1＋p %)x(0<x <m ) B.y ＝a (1＋p %)x(0≤x ≤m ，x ∈N)C.y ＝a (1＋xp %)(0<x <m )D.y ＝a (1＋xp %)(0≤x ≤m ，x ∈N)4.设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12 B.a 56 C.a 76 D.a 325. 已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数6.设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <c D.b <c <a考点一 指数幂的运算 【例1】 化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b13(a >0，b >0).【训练1】 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1) ÷(4a 23·b －3)12.考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·镇海中学检测)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 (2)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.【训练2】 (1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________.考点三 指数函数的性质及应用 角度1 指数函数的单调性【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.角度2 与指数函数有关的复合函数的单调性 【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是______.(2)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2＋2x ＋3的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________.角度3 函数的最值问题【例3－3】 如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.【训练3】 (1)(2019·山师附中测评)设函数f (x )＝x2－a与g (x )＝a x(a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1的大小关系是( )A.M ＝NB.M ≤NC.M <ND.M >N (2)函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的单调递增区间为________，单调递减区间为________.(3)已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24).若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数m 的最大值为________.【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )A.y ＝sin xB.y ＝x 3C.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.y ＝log 2x2.函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )3.(2019·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A.y ＝1－xB.y ＝|x －2|C.y ＝2x－1 D.y ＝log 2(2x )4.设x >0，且1<b x <a x，则( )A.0<b <a <1B.0<a <b <1C.1<b <aD.1<a <b5.若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]二、填空题6.化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5＝________.7.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.8.设偶函数g (x )＝a |x ＋b |在(0，＋∞)上单调递增，则g (a )与g (b －1)的大小关系是________.三、解答题9.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1，2). (1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值.10. 已知函数f (x )＝3x＋a3x ＋1为奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并加以证明.11.(2019·天津河西区质检)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )12.(2019·衡阳检测)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－2，1)B.(－4，3)C.(－3，4)D.(－1，2)13.(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q＝36pq ，则a ＝________.14.已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |， (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围.15.(多填题)若f (x )＝a （2x ＋1）－22x＋1是R 上的奇函数，则实数a 的值为________，f (x )的值域为________.答案1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×【解析】(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y＝a x(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝a x2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错. 2.【答案】 C【解析】依题意可知a2＝13，解得a＝33，所以f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫33x，所以f(－1)＝⎝⎛⎭⎪⎫33－1＝ 3.3.【答案】 B【解析】设年产量经过x年增加到y件，则第一年为y＝a(1＋p%)，第二年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)2，第三年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)3，…，则y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m且x∈N). 4.【答案】 C【解析】由题意得a2a·3a2＝a2－12－13＝a76.5. 【答案】B【解析】 函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x ＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数.又y ＝3x 在R 上是增函数，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数.6. 【答案】 C【解析】 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 【例1】【答案】见解析【解析】(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝a b. 【训练1】【答案】见解析【解析】(1)原式＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷(a 13b －23)＝－54a －12·b －23＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.【例2】【答案】(1)C (2)(0，2)【解析】(1)y＝(a－1)2x－a2＝a⎝⎛⎭⎪⎫2x－12－2x，令2x－12＝0，得x＝－1，故函数y＝(a－1)2x－a2恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0，2).【训练2】【答案】(1)D (2)[－1，1]【解析】(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1. 函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].【例3－1】【答案】(1)B (2)(－3，1)【解析】(1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；C中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.(2)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1， 则2－a<8，解之得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1.综上知，实数a 的取值范围是(－3，1).【例3－2】【答案】 (1)(－∞，4] (2)(－∞，－1]【解析】 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫m2，＋∞上是增加的，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，m 2上是减少的.而y ＝2t在R 上是增加的，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上是增加的，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4].(2)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3，由于f (x )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19， 所以g (x )的值域是[2，＋∞).因此有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －44a＝2，解得a ＝1，这时g (x )＝x 2＋2x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋2x ＋3.由于g (x )的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]. 【例3－3】【答案】 3或13【解析】 令a x＝t ，则y ＝a 2x＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13. 【训练3】【答案】 (1)D (2)[4，＋∞) (－∞，1] (3)56【解析】 (1)因为f (x )＝x2－a 与g (x )＝a x(a >1，且a ≠2)在(0，＋∞)上具有不同的单调性. 所以a >2. 因此M ＝(a －1)0.2>1，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1<1. 故M >N .(2)依题意知x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1，令u ＝x 2－5x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－94，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，所以当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数，当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数.而3>1，所以由复合函数的单调性可知，f (x )＝3x 2－5x ＋4在区间(－∞，1]上是减函数，在区间[4，＋∞)上是增函数.(3)把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在区间(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在区间(－∞，1]上的最小值不小于m 即可. 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在区间(－∞，1]上为减函数， 所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.所以只需m ≤56即可.所以m 的最大值为56. 【基础巩固题组】1. 【答案】 B【解析】 y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数.而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是非奇非偶函数，不符合题意； y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意.2. 【答案】 D【解析】 若a >1时，y ＝a x －1a在R 上是增函数，当x ＝0时，y ＝1－1a∈(0，1)，A ，B 不满足. 若0<a <1时，y ＝a x －1a在R 上是减函数， 当x ＝0时，y ＝1－1a<0，C 错，D 项满足. 3. 【答案】 A【解析】 f (x )过定点A (1，1)，将点A (1，1)代入四个选项，y ＝1－x 的图象不过点A (1，1).4. 【答案】 C【解析】 ∵x >0时，1<b x ，∴b >1.又x >0时，b x <a x ，∴x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1.∴a b >1，∴a >b ，∴1<b <a .5. 【答案】 B【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.6. 【答案】 1a【解析】 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 7. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 【解析】 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为x ∈[－3，2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57. 8. 【答案】 g (a )>g (b －1)【解析】 由于g (x )＝a|x ＋b |是偶函数，知b ＝0， 又g (x )＝a |x |在(0，＋∞)上单调递增，得a >1.则g (b －1)＝g (－1)＝g (1)，故g (a )>g (1)＝g (b －1).9. 【答案】见解析【解析】(1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0， 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t >0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0， 又t >0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，解得x ＝－1， 故满足条件的x 的值为－1.10. 【答案】见解析【解析】(1)因为函数f (x )是奇函数，且f (x )的定义域为R ；所以f (0)＝1＋a 1＋1＝0，所以a ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，函数f (x )在定义域R 上单调递增. 理由：设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2（3x 1－3x 2）（3x 1＋1）（3x 2＋1）. 因为x 1<x 2，所以3x 1<3x 2，所以3x 1－3x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在定义域R 上单调递增.11. 【答案】 D【解析】 设原有荒漠化土地面积为b ，经过x 年后荒漠化面积为z ，则z ＝b (1＋10.4%)x ，故y ＝z b＝(1＋10.4%)x ，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.12. 【答案】 D 【解析】 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，知⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2. 故原不等式恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.13. 【答案】 6【解析】 因为f (x )＝2x 2x ＋ax＝11＋ax 2x ，且其图象经过点P ，Q ， 则f (p )＝11＋ap 2p ＝65，即ap 2p ＝－16，① f (q )＝11＋aq 2q ＝－15，即aq 2q ＝－6，② ①×②得a 2pq 2p ＋q ＝1，则2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ， 所以a 2＝36，解得a ＝±6，因为a >0，所以a ＝6.14. 【答案】见解析【解析】(1)当x <0时，f (x )＝0，故f (x )＝32无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ， 由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12， 因为2x >0，所以2x＝2，所以x ＝1.(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t－1)，因为22t －1>0，所以m ≥－(22t ＋1)，因为t ∈[1，2]，所以－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞).15. 【答案】 1 (－1，1)【解析】 ∵函数f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∴2a －22＝0，解得a ＝1，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1.∵2x＋1>1，∴0<22x＋1<2，∴－1<1－22x＋1<1，∴f(x)的值域为(－1，1).。