几何背景入手代数方法出来

几何背景入手，代数方法出来
——由浙江2010年高考理科数学第21题谈解析几何解题策略
奉化高级中学 胡尤
摘要:解析几何题一直以来是高考的重头戏，对考生而言也是个“烫手的山芋”。

算不快、算
不对、没有思路等等问题始终困扰着考生，且影响着考分。

归根结底，关键之处在于条件的转化与化归，而这其中很重要一点就是几何条件的转化，本文以浙江2010年高考理科数学第21题为载体来谈解析几何解题策略之“几何背景入手，代数方法出来”. 关键词：几何条件、代数方法、优化
案例：（2010浙江，21）已知1>m ，直线,02:2=--m my x l 椭圆21222
,,1:F F y m
x C =+ 分别为椭圆C 的左、右焦点.
（1）当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程； （2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，
21F AF ∆，21F BF ∆的重心分别为G ，H.
若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.
一、考查知识点
第（1）小题考查椭圆的几何性质。

第（2）小题为取值范围问题，主要考查直线与椭圆、点与圆的位置关系。

知识要求：
1. 能解决点与圆，直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.
2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题
3.能运用数量积表示两个向量的夹角
二、解题分析
1.解题思路探索：（1）引参数（题目已给出——m ）（2）由题目所给几何条件建立关于
m 的不等式（函数法本题不适合）
2.确定解题突破点：（1）如何把已知几何条件“原点O 在以线段GH 为直径的圆内”转化为代数操作性强的不等关系。

（2）如何把几何不等关系转化为代数不等式。

解1. （Ⅰ）略
（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，
由22
22
,21
m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得 22
2104m y my +++=
则由2
2
28(1)804
m m m ∆=--=-+>知 28m <
且有212121
,.282
m m y y y y +=-=
-
由2,2AG GO BH HO ==，可知1122(
,),(,)3333
x y x y
G H
222
1212()()||.99x x y y GH --=+ 设M 是GH 的中点，则1212
(,)66x x y y M ++
由题意可知，2||||MO GH < 得22
2212121212()()4[()()]6699
x x y y x x y y ++--+<+ 即12120.x x y y +<
而2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++22
1(1)(),82m m =+- 所以
21
0.82
m -< 即2 4.m < 又因为10.m >∆>且 所以1 2.m << 所以m 的取值范围是（1，2）。

此解法把点在圆内这个几何条件转化为了“点到圆心的距离小于半径”，从而得到
2||||MO GH <，是对题意较为直接的阐释。

解2.（优化几何条件）因为O 在以HG 为直径的圆内，所以HOG ∠为钝角或平角
则0<⋅，即
1212
0.3333
x x y y +<即12120.x x y y +<以下同解1. 此解法就把“点在圆内”的几何条件转化为与直径两端点的连线夹角为钝角或平角的问题，进而辅以向量解决，较解1剩了很多计算步骤。

解3（偷换HOG ∠）.因为G 、H 分别在OA 、OB 上，则HOG ∠为钝角或平角也即AOB
∠为钝角或平角，所以0<⋅，则12120.x x y y +<以下同解1.
此解法较解2就更加直接。

3.方法比较
解1把几何条件转化为2
|
|||HG OM <
，用两点间距离公式 解2把几何条件转化为HOG ∠为钝角或平角，并利用向量方法。

解3HOG ∠为钝角或平角直接转化为了AOB ∠为钝角或平角，同时用了向量方法。

三种方法通过对“原点O 在以线段GH 为直径的圆内”这一几何条件步步递进的转化，并利用向量运算，使得代数运算量逐步降低，达到了解析几何“减少运算量”的目的。

因此如何转化题目中的几何条件来简化运算成了解析几何题一个很重要的解题手段，也是学生的难点之一。

三、教学启发
1.学生的困惑：
（1）重心坐标及重心在三角形中的位置不熟悉； （2）向量法在平面几何中的应用不熟练。

2.教学归纳：
（1）重视图形几何性质的最优转化。

（2）重视向量在平面几何问题中的应用——夹角
解析几何是用代数方法解决几何问题，其难点是繁琐的代数运算，通过这个题目的解题思路我们能感悟出某种简化代数运算的方法吗——本题给我们的启发和纲要性总结
应当是：解析几何——先析“几何”，再解“代数”，辅以“向量”！ 那么这种思想方法在书本上是否有体现呢？ 四、回归课本
出处所在
课本习题（人教版数学必修2，第124页习题4.1第5题）：
已知圆上一条直线端点分别是),(),,(2211y x B y x A ，求证：此圆的方程是
0))(())((2121=--+--y y y y x x x x .
分析 设动点为M ，利用0=⋅，立即可得. 同时，我们可得以下三个定性结论： （1）M 在圆上⇔0=⋅MB MA
（2）M 在圆内⇔0>⋅ （3）M 在圆外⇔0<⋅
同时，我们根据圆方程的向量表示，还可以得到另一种解法
另解.（利用圆方程的向量表示）
以HG 为直径的圆的方程为： 0)3
)(3()3)(3(2121=--+--
y
x y y x x x x 因为O 在以HG 为直径的圆内，所以0)3
0)(30()30)(30(2121=--+--y
y x x 也即12120.x x y y +<下面同解1.
五、知识拓展
(12福建）如图，椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的
左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率2
1
=
e 。

过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8。

（1）求椭圆E 的方程。

（2）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相较于点
Q 。

试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，
求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

解1：（1）椭圆E 的方程为13
42
2=+y x .（详略） （2）方法1.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134
22y
x m
kx y ，得01248)34(222=-+++m kmx x k 因为动直线l 与椭圆E 有且仅有一个公共点),(o o y x P ，所以0,0=∆≠且m 即).(034,0)124)(34(4642
2
2
2
2
2
*=+-=-+-m k m k m k 化简得 此时)3,4(,3,43
440
020m m k P m m kx y m k k km x -=+=-=+-=所以 由)4,4(4
m k Q m
kx y x +⎩⎨
⎧+==得
设圆上任意一点为)4,4(),3
,4(),,(m k x MQ m
x m k MP y x M +-=--
=则 由0312441602=+++-+-=m
k
x x m kx m k MQ MP 得圆方程为：
提取参数得034)44(2
=++--x x x m k 令⎩⎨⎧=+-=-0340442x x x 得0=x ，即圆过定点)0,1(
此解法循规蹈矩，要求学生的基本功要求也很高，那么能否通过几何条件来简化运算呢？
方法2.假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性可知，点M 必在x 轴上.
取),3,4(),3,0(,3,0Q P m k 此时==
4)3()2(22=-+-y x PQ 为直径的圆方程为以，
交x 轴于点)0,3(),0,1(21M M
取)0,4(),0,1(,2,2
143M M m k 此时易求=-= 所以若符合条件的点M 存在，则M 点必为)0,1(，
以下证明M 就是满足条件的点：
)4,3(),3
,14(),0,1(m k m m k M +=--
=则因为，从而MQ MP m k
m k MQ MP ⊥=++-=，故03123-12，即证.
方法总结：
方法1.（直接法——用参数表示圆方程）
（1）先析几何：应用圆上点满足0= （2）再解代数：求出Q P ,点坐标及圆的向量方程
（3）辅以向量：用向量形式化简圆方程
方法2.（先求后证）
（1）先析几何：先用图形的几何性质分析定点的位置在x 轴上
（2）再解代数：用特殊的两组m k ,求出定点坐标
（3）辅以向量：再用向量方法证明所求点为定点。

因此，对待解析几何，我们要从这个题中得到解题和教学启发：
我们的目的是用尽可能少的步骤和思维量在短时间内完成题目的解答，而几何性质的运用就是达成这一目的的很好途径，所以当我们拿到一个题目时，务必先析“几何”，再解“代
数”，辅以“向量”，也即我们要教会学生在解解析几何题目时“几何背景入手，代数方法出来”。