正弦交流电的基本概念
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第五章正弦交流电
0 ωt i d(UmSinω t) u=C dt =ω CUmcosω t (a) (b) =ω CUmSin(ω t+90°)=ImSin(ω t+90°) · I 由上式得: （1）i与u是同频率的正弦量。 （2）i超前u相位角。 · U (c) （3）u与i的有效值（或最大值）之比称为容抗。 XC=U/I=Um/Im=1/ω C=1/2∏fC 若电压U和C电容确定时，当f较高时,容抗XC较少，电容中通过的电流较 大，说明电容对高频电流的阻碍作用较小；当f较低时，容抗XC较大，电 容中通过的电流较小，说明电容对低频电流的阻碍作用较大；当f=0,即直 流XC=∞,电容可视为开路. （4）电压u与电流i的波形如图（b） （5）电压与电流相量之比称为复容抗，即
+j
• （2）相量图求。
8v
· U1 10v · U
00
ψ =23° ψ =-30°
6v · U2
+1
第三节电阻元件的正弦交流电路
• 一、电阻的伏安特性： • u=Ri • 设电流i=ImSinω t, 代人得 • u=Ri=RImSinω t=UmSinω t • 则可得，u与i的伏安特性如下： （1）u是与i同频同相的正弦电压。 • （2）u与i的幅值或有效值间是线性关 • 系其比值是线性电阻R，即 • Um/Im=U/I=R • （3）u与i的波形如图（b） 。 • （4）u与i伏安关系的相量形式为: · • I=Iej0°=I∠0°=I, ˙ U=Uej0°=U∠O°=U · U U ej0° U • ·= = = R
第四节电感元件的正弦交流电路
• 一、电感的伏安特性： di • u=-e=L dt • 设电流为参考正弦量代人得
• • • • • • • •
正弦交流电基本概念 向量分析法
图2-1
u Um 0 （a） ωt
Um
u
0
u Um
φ0 （b）
ωt
0
φ0 （c）
ωt
图（a）中，φ0=0，u=Umsinωt；
图（b）中，φ0>0，u=Umsin(ωt+φ0)；
图（c）中，φ0<0，u=Umsin(ωt－φ0)。 φ0的正、负问题。
－π<φ0<π
2.相位差
两同频率的正弦量之间的相位角之差或初相位之差。
则 u 与 I 的相位差为 ui= (30) ( 60) = 90，即 u 比 I 滞 后 90，或 I 比 u 超前90。 已知某正弦电压在t=0时为 110 2V ，初相角为30°，求其有效值
u Um sin(wt 30。 )
u(0) U m sin 30 U Um
u u1 u2 u3 u4
何谓反相？同 相？超前？滞 后？
不能！因为180V的正弦交流 电，其最大值≈255V >220V!
u1与u2反相，即相位差为180°； ωt
u3超前u190°，或说u1滞后u390°，
u1与u4同相，即相位差为零。
第3章
3.2 正弦量的表示法
1 9
3.2.1 复数
＋j b r A 复平面 上有向 线段
。
u(0) 110 2 Um V 220 2V 。 sin 30 0.5
220 2 V 220V 2 2
i
0
同相 O i2 i1
t
i
反相
O
i2 i1
t
相位差φ的大小与时间t、角频率ω无关，它仅取决于两 个同频正弦量的初相位。
正弦交流电
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(2) 平均功率(有功功率)P
i
瞬时功率在一个周期内的平均值
+
u
1T
1T
P T 0 p dt T 0 u i dt
大写 1 T 1
p
_ p
R
T
0 2 UmIm(1 cos 2ω t)dt
P
1T
UI(1 cos2ω t)dt UI
T0
O
ωt
P U I I 2R U 2 单位:瓦（W）
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(3)相量的两种表示形式
相量式: U Uejψ U ψ U( cos ψ jsin ψ)
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
I
U
（4）只有同频率的正弦量才能画在同一相量图中。
(5)相量的书写方式 • 模用最大值表示 ，则用符号：
U m 、Im
• 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、I
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？负号 ？ U 100 ej15 V
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2.3 电阻元件、电感元件与电容元件
2.3.1 电阻元件
1 电压与电流的关系
u Ri
2 电阻元件的参数
i 2π
O
ωt
T
周期 T：变化一周所需要的时间（s）
频率 f ：1s 内变化的周数（Hz）
f
=
1 T
角频率ω： 正弦量 1s 内变化的弧度数
ω = 2πf
=
2π T
正弦交流电的基本概念
U Um 2 0.707 Um
正弦交流电动势的有效值为
E Em 2 0.707E m
2.周期、频率、角频率
（1）周期
正弦交流电完成一次循环变化所用的时间叫做周期， 用字母 T 表示，单位为秒：s 。显然正弦交流电流或电压相 邻的两个最大值 ( 或相邻的两个最小值 ) 之间的时间间隔即 为周期，由三角函数知识可知
正弦交流电的基本概念
一、交流电的产生
如果电流的大小及方向都随时间做周期性变化，并且 在一个周期内的平均值为零的电流称为交流电。
二、正弦交流电
大小及方向均随时间按正弦规律做周期性变化的电流、 电压、电动势叫做正弦交流电流、电压、电动势，在某一 时刻 t 的瞬时值可用三角函数式(解析式)来表示，即
i ( t ) = Imsin( t i 0) u ( t ) = Umsin( t u0) e ( t ) = Emsin( t e0)
一、解析式表示法 二、波形图表示法 三、相量图表示法
一、解析式表示法
i(t) = Imsin( t i0) u(t) = Umsin( t u0) e(t) = Emsin( t e0) 例如已知某正弦交流电流的最大值是 2 A，频率为 100 Hz， 设初相位为 60 ，则该电流的瞬时表达式为 i(t) = Imsin( t i0) = 2sin(2f t 60) = 2sin(628t 60)A
3.相位、初相位、相位差 任意一个正弦量 y = Asin( t 0 )的相位为( t 0 )， 本章只涉及两个同频率正弦量的相位差 (与时间 t 无关)。设 第一个正弦量的初相为 01 ，第二个正弦量的初相为 02 ， 则这两个正弦量的相位差为 12 = 01周期的倒数叫做频率(用符号 f 表示)，即 f 1
正弦交流电动势的有效值为
E Em 2 0.707E m
2.周期、频率、角频率
（1）周期
正弦交流电完成一次循环变化所用的时间叫做周期， 用字母 T 表示，单位为秒：s 。显然正弦交流电流或电压相 邻的两个最大值 ( 或相邻的两个最小值 ) 之间的时间间隔即 为周期，由三角函数知识可知
正弦交流电的基本概念
一、交流电的产生
如果电流的大小及方向都随时间做周期性变化，并且 在一个周期内的平均值为零的电流称为交流电。
二、正弦交流电
大小及方向均随时间按正弦规律做周期性变化的电流、 电压、电动势叫做正弦交流电流、电压、电动势，在某一 时刻 t 的瞬时值可用三角函数式(解析式)来表示，即
i ( t ) = Imsin( t i 0) u ( t ) = Umsin( t u0) e ( t ) = Emsin( t e0)
一、解析式表示法 二、波形图表示法 三、相量图表示法
一、解析式表示法
i(t) = Imsin( t i0) u(t) = Umsin( t u0) e(t) = Emsin( t e0) 例如已知某正弦交流电流的最大值是 2 A，频率为 100 Hz， 设初相位为 60 ，则该电流的瞬时表达式为 i(t) = Imsin( t i0) = 2sin(2f t 60) = 2sin(628t 60)A
3.相位、初相位、相位差 任意一个正弦量 y = Asin( t 0 )的相位为( t 0 )， 本章只涉及两个同频率正弦量的相位差 (与时间 t 无关)。设 第一个正弦量的初相为 01 ，第二个正弦量的初相为 02 ， 则这两个正弦量的相位差为 12 = 01周期的倒数叫做频率(用符号 f 表示)，即 f 1
正弦交流电的基本概念
例4.2 已知 u 220 2 sin(t 235 ) V
i 10 2 sin(t 45) A
求u和i的初相及两者间的相位关系
解
u 220 2 sin(t 235 ) 220 2 sin(t 125 ) V
所以电压u的初相角为 125 电流i的初相角为45
ui
u
i
125 45
。
电视载波频率为30MHz～300 MHz。
正弦交流电的基本概念
3. 初相
①θ称为正弦电流的初相。它是正弦量在t＝0时的相位，即
θ = (ωt + θ) t=0
②初相的正负与大小与计时起点的选择有关。通常在 的主值 范围内取值。如果离坐标原点最近的正弦量的最大值出现在时间起点之前， 则式中的 θ＞0；如果离坐标原点最近的正弦量的最大值出现在时间 起点之后，则式中的θ＜0。
170 0
表明电压u滞后于电流i170
注意：初相的取值范围为
正弦交流电的基本概念
例4.3 分别写出图4.6中各电流i1
i1 i2 的相位关系。
i
i1
i2
i2 的相位差，并说明
i i1
3
2
2
2
0
t
i2
0
2
3
2 t
2
(a)
(b)
i
i1
i2
ii1i2来自 2 t22(c)
3 2
t
2
2
3 4
(d)
2. 角频率
①正弦量的相位 随时间变化的角度 (t+ ) 称为正弦量的相位。
②角频率 角频率 d (t ) ，即 是相位随时间的变化率。
dt
反映了正弦量变化的快慢程度，其单位为弧度／秒(rad／s)。
正弦交流电的基本概念、相量表示法
在复平面中，以实轴为电阻轴，虚轴为感抗和容抗之和，将阻抗的相量标在图上，形成阻抗相量 图。
04
交流电路的分析
交流电路的元件
01
02
03
电阻元件
在交流电路中，电阻元件 的阻抗不随时间变化，其 值由电阻的物理性质决定。
电感元件
在交流电路中，电感元件 的感抗随频率变化，其值 由电感的物理性质决定。
电容元件
幅角
相量与实轴正方向的夹角，表示正弦交流电的 相位。
相量运算
加标法题
将•两个文同字频内率容的相量 • 文字内容
按•平行文四字边内形容法则进 • 文行字合内成容。
减法
将一个相量减去另一 个相量，等于将一个 相量的起点平移到另 一个相量的终点后再
进行加法运算。
数乘
一个标量与一个相量 的乘积，表示该标量 乘以相量的模长和幅
表示发电机或变压器的输出功率与输入功 率的比值，反映了设备本身的损耗。
THANKS
角。
比例关系
对于两个同频率的相 量，其比值等于相应 正弦量的比值，即电 压与电流的比值为电 阻，电压与感抗的比 值为电感，电流与容 抗的比值为电容。
03
正弦交流电的相量表示
电压的相量表示
电压的相量表示法
将正弦交流电压的幅度和初相角用复数表示，即$U = U_{m}angletheta$。其 中，$U_{m}$表示电压的幅度，$theta$表示电压的初相角。
电压相量图
在复平面中，以实轴为幅度轴，虚轴为相位轴，将电压的相量标在图上，形成 电压相量图。
电流的相量表示
电流的相量表示法
将正弦交流电流的幅度和初相角用复 数表示，即$I = I_{m}angletheta$。 其中，$I_{m}$表示电流的幅度， $theta$表示电流的初相角。
04
交流电路的分析
交流电路的元件
01
02
03
电阻元件
在交流电路中，电阻元件 的阻抗不随时间变化，其 值由电阻的物理性质决定。
电感元件
在交流电路中，电感元件 的感抗随频率变化，其值 由电感的物理性质决定。
电容元件
幅角
相量与实轴正方向的夹角，表示正弦交流电的 相位。
相量运算
加标法题
将•两个文同字频内率容的相量 • 文字内容
按•平行文四字边内形容法则进 • 文行字合内成容。
减法
将一个相量减去另一 个相量，等于将一个 相量的起点平移到另 一个相量的终点后再
进行加法运算。
数乘
一个标量与一个相量 的乘积，表示该标量 乘以相量的模长和幅
表示发电机或变压器的输出功率与输入功 率的比值，反映了设备本身的损耗。
THANKS
角。
比例关系
对于两个同频率的相 量，其比值等于相应 正弦量的比值，即电 压与电流的比值为电 阻，电压与感抗的比 值为电感，电流与容 抗的比值为电容。
03
正弦交流电的相量表示
电压的相量表示
电压的相量表示法
将正弦交流电压的幅度和初相角用复数表示，即$U = U_{m}angletheta$。其 中，$U_{m}$表示电压的幅度，$theta$表示电压的初相角。
电压相量图
在复平面中，以实轴为幅度轴，虚轴为相位轴，将电压的相量标在图上，形成 电压相量图。
电流的相量表示
电流的相量表示法
将正弦交流电流的幅度和初相角用复 数表示，即$I = I_{m}angletheta$。 其中，$I_{m}$表示电流的幅度， $theta$表示电流的初相角。
正弦交流电的基本概念
正弦交流电的基本概念
正弦交流电是一种周期性变化的电信号，其波形呈现出正弦曲线。
以下是正弦交流电的几个基本概念：
1. 周期（Period）：正弦交流电的周期是指一个完整波形所经过的时间，在物理上通常用秒（s）表示。
周期记作 T。
2. 频率（Frequency）：频率是指单位时间内正弦交流电波形重复的次数，用赫兹（Hz）表示。
频率与周期的倒数成反比关系，即频率 f = 1 / T。
3. 幅值 （Amplitude）：正弦交流电的幅值是指波形的最大偏移量或振幅，用伏特 （V）表示。
幅值决定了波形的峰值大小。
4. 相位（Phase）：正弦交流电的相位表示波形在一个周期内的位置。
相位可以用角度（°）或弧度（rad）来度量，并相对于参考点进行测量。
5. 波形表示：正弦交流电的波形通常用函数表达式或图形表示。
函数表达式可以写为 V(t) = Vm * sin(ωt + φ)，其中 V(t) 是时刻 t 的电压值，Vm 是幅值，ω 是角频率，t 是时间，φ 是相位差。
6. 相位差 （Phase Difference）：如果存在不同频率或相位的两个正弦交流电信号，它们之间的相位差表示波形的时间偏移量。
相位差可以用角度或时间表示，常常用来描述电路中的相位关系和信号延迟。
正弦交流电是电力系统中最常见的电信号类型，广泛应用于各种电子设备、电路和电力传输。
掌握这些基本概念有助于理解和分析交流电路行为，并在实际应用中进行电气工程设计和故障排除。
单相交流电路之正弦交流电
变压器：改变电压和电流，实现能量传输和转换
电感：储存磁场能量，阻碍电流变化
导线与开关
导线：连接电源和负载的导线，用于传输电流
开关：控制电路通断的开关，用于保护电路和设备安全
单相交流电路的分析方法
03
阻抗分析法
阻抗分析法的定义：通过分析电路中各元件的阻抗，来求解电路中电流、电压等参数的方法。
添加标题
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功率分析法
功率的测量方法：使用功率表或电能表进行测量
功率的用途：用于分析电路的能耗和效率
功率的定义：电压与电流的乘积
功率的种类：有功功率、无功功率、视在功率
功率的计算公式：P=UI
相量分析法
相量分析法的基本概念和原理
添加标题
相量分析法在单相交流电路中的应用
添加标题
相量分析法的优点和局限性
并联谐振的条件：当电路中的电感L和电容C的频率相同时，电路中的电流达到最大，这种现象称为并联谐振。
滤波器的工作原理
滤波器是一种能够滤除特定频率信号的电子设备
滤波器的工作原理主要是利用电容、电感等元件的频率特性来实现信号的滤波
滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等类型
滤波器的性能指标主要包括通带增益、阻带衰减、截止频率等
效率：交流电的转换效率，单位为百分比（%）
单相交流电路的组成
02
电源
交流电源：提供交流电能
直流电源：提供直流电能
变压器：将交流电能转换为直流电能
整流器：将交流电能转换为直流电能
滤波器：滤除交流电中的杂波和噪声
稳压器：稳定交流电的电压和频率
负载
电阻：消耗电能，产生热量
电容：储存电场能量，阻碍电压变化
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代数式 三角式 指数式 极坐标式
第3章 交流电路
二、复数的运算方法 复数的运算：加、减、乘、除法。
设： A1 = a1＋j b1 = c1 ψ1 A2 = a2＋j b2 = c2 ψ2 ≠０
加、减法：A1±A2 = (a1±a2) + j (b1±b2)
乘法:
A1 A2 = c1 c2 ψ1＋ψ2
=
–
21.79
–
a
(
–
60
) = 38.21
15
第3章 交流电路
3.3 单一参数交流电路
一、 纯电阻电路
1. 电压、电流 的关系
ui
(1) 波形图
(2) 大小关系
O
ωt
U= R I
Um = R Im (3) 相量关系：U = R I
如 ：U = U 0
则：I=I 0 a
16
I
U
第3章 交流电路
2.功率关系
(1) 采用相量运算
(2) 相量图
I1m = 20 60 A
+j
I1m
I2m = 10 – 45 A
Im= I1m+ I2m = 19.9 30.9 A
Im 60°
30.9°
i = Im sin(ωt +ψ)
O
45°
+1
= 19.9 sin(ωt + 30.9a ) A
I2m
13
第3章 交流电路
(3) 因值为之间i1 不+ i能2 的代初数相相位加不。同，故最大值和有效
=ψu －ψi = －60a－30 =－90
7
第3章 交流电路
iu
0＜ ＜180°
i u －180°＜ ＜ 0°
O
ωt
O
ωt
u 超前于 i
u 滞后于 i
iu
= 0°
iu
= ±180°
O
8
ωt
O
u 与 i 同相位 a
ωt
u 与 i 反相
第3章 交流电路
3.2 正弦交流电的相量表示法
(a) 旋转矢量 +j
i = 10 sin（1 000 t + 30°）A u = 311sin（314 t－60°）V
相位: ωt + ψ 初相位:ψi = 30° , ψu =－60°
相位 初相位
相位差: 同频率的正弦电量的初相位之差。
i = 100 sin（314 t + 30）A u = 311sin（314 t－60）V
(b) 正弦交流电
ω
ωt1
ωt2
ψ
O
O
+1
ψ
ωt
ωt1
正弦交流电可以用
ωt2
一个固定矢量表示
+j
Im
最大值相量 Im
I
有效值相量 I
ψ
aO
+1
9
第3章 交流电路
一、复数的表示方法
+j
b
p
ψ
模
O
a +1
Op = a + j b
= c (cosψ + j sinψ )
= c e jψ
=c ψ a
10
辐角
+1
a j I1
12
第3章 交流电路
例 3.2.1 (ωt－45º) A
。已两知者i1相=加20的si总n 电(ω流t +为60i º，) A即，i =i2i1=+1i02
sin
。
(1) 求 i 的数学表达式；(2) 画出相量图； (3) 说明 i 的
最等大于值解i1 是和：否i2 等的于有效i1 和值之i2 和的，最并大说值明之为和什，么i 的？有效值是否
二、交流电瞬时值、最大值、有效值
e、i、u
瞬时值
Em、Im、Um E、I、U
最大值 有效值
IR
i
R
Wd = RI 2T
Wa =∫ R0T i 2 dt
如果热效应相当 Wd = Wa 则 I 是 i 的有效值。 正弦电量的有效值：
I
=
Im √2
U =a√2Um
E =√2Em
6
第3章 交流电路
三、交流电的相位、初相位、相位差
电
工 技
第 3 章 交流电路
术
3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦交流电的相量表示法 3.3 单一参数交流电路 3.4 串联交流电路 3.5 并联交流电路 3.6 交流电路的功率 3.7 电路的功率因数 3.8 电路中的谐振 3.9 非正弦周期信号电路
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第3章 交流电路
除法：
A1 A2
=
c1 c2
ψ1－ψ2
a
11
第3章 交流电路
由于： e±j90 = 1 ±90 =±j
则
j I = I e j90 = I ejψ ·ej90 = I e j(ψ + 90 )
－j I = I e j90 = I ejψ·e j90 = I ej(ψ 90 )
+j
j I1
I
ψ1
O
(1) 瞬时功率
p iu
p = ui = Um sinωt Im sinωt
= Um Im sin2ωt
P
= U I (1－cos2ωt)
O
ωt
(2) 平均功率 (有功功率):
P=
1 T
∫
p0T
dt
= U I (W)
p≥0 —— 耗能元件。
p 与 u2 和 i2 成比例。
a
17
第3章 交流电路
1 =ψ –ψ1
U1
U1= 100 0 A U2 = 60 – 60 A U = U1 + U2
2 =ψ –ψ2
U2 ψ2 = 60
U
相量图
=（100 0 + 60 – 60 ）V = 140 – 21.79 V
(2) 1 =ψ –ψ1= – 21.79 – 0 = – 21.79
2
=ψ
–ψ2
a
14
第3章 交流电路
例 3.2.2 已知 u1 和 u2 的有效值分别为U1 = 100 V，
U2 = 60 V，u1 超前于 u2 60º，求： (1) 总电压 u = u1 + u2
的有效值并画出相量图； (2) 总电压 u 与 u1 及 u2 的相位
差。
解： (1) 选 u1为参考相量
ψ ψ2
i 0＜ψ＜180°
O
ωt
O
ψ
ωt
i －180°＜ψ ＜ 0°
i
ψ = ±180°
O
ωt
O
ωt
ψ
a
3
第3章 交流电路
一、交流电的周期、频率、角频率
i 2π
O
ωt
T
周期 T ：变化一周所需要的时间（s）
频率 f ：1s 内变化的周数（Hz）。
f
=
1 T
角频率ω ： 正弦量 1s 内变化的弧度数。
ω = 2πf
=
a
2π T
(rad/s)
4
第3章 交流电路
常见的频率值
各国电网频率：中国 和欧洲国家 50 Hz， 美国 、日本 60 Hz
有线通信频率：300 ~ 5 000 Hz； 无线通讯频率：30 kHz ~ 3×104 MHz 高频加热设备频率：200 kHz ~ 300 kHz。
a
5
第3章 交流电路
3.1 正弦交流电的基本概念
交流电: 大小和方向都周期性变化、在一个周期 上的函数平均值为零。
正弦交流电: 按正弦规律变化的交流电。
i
i = Imsin(ωt +ψ)
Im
瞬时值最大值 角频 初相位 率
O
ωt
ψ
最大值
角频率 正弦交流电的三要素
初相位
a
2
第3章 交流电路
ห้องสมุดไป่ตู้
正弦交流电的波形:
i
ψ = 0°
第3章 交流电路
二、复数的运算方法 复数的运算：加、减、乘、除法。
设： A1 = a1＋j b1 = c1 ψ1 A2 = a2＋j b2 = c2 ψ2 ≠０
加、减法：A1±A2 = (a1±a2) + j (b1±b2)
乘法:
A1 A2 = c1 c2 ψ1＋ψ2
=
–
21.79
–
a
(
–
60
) = 38.21
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第3章 交流电路
3.3 单一参数交流电路
一、 纯电阻电路
1. 电压、电流 的关系
ui
(1) 波形图
(2) 大小关系
O
ωt
U= R I
Um = R Im (3) 相量关系：U = R I
如 ：U = U 0
则：I=I 0 a
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I
U
第3章 交流电路
2.功率关系
(1) 采用相量运算
(2) 相量图
I1m = 20 60 A
+j
I1m
I2m = 10 – 45 A
Im= I1m+ I2m = 19.9 30.9 A
Im 60°
30.9°
i = Im sin(ωt +ψ)
O
45°
+1
= 19.9 sin(ωt + 30.9a ) A
I2m
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第3章 交流电路
(3) 因值为之间i1 不+ i能2 的代初数相相位加不。同，故最大值和有效
=ψu －ψi = －60a－30 =－90
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第3章 交流电路
iu
0＜ ＜180°
i u －180°＜ ＜ 0°
O
ωt
O
ωt
u 超前于 i
u 滞后于 i
iu
= 0°
iu
= ±180°
O
8
ωt
O
u 与 i 同相位 a
ωt
u 与 i 反相
第3章 交流电路
3.2 正弦交流电的相量表示法
(a) 旋转矢量 +j
i = 10 sin（1 000 t + 30°）A u = 311sin（314 t－60°）V
相位: ωt + ψ 初相位:ψi = 30° , ψu =－60°
相位 初相位
相位差: 同频率的正弦电量的初相位之差。
i = 100 sin（314 t + 30）A u = 311sin（314 t－60）V
(b) 正弦交流电
ω
ωt1
ωt2
ψ
O
O
+1
ψ
ωt
ωt1
正弦交流电可以用
ωt2
一个固定矢量表示
+j
Im
最大值相量 Im
I
有效值相量 I
ψ
aO
+1
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第3章 交流电路
一、复数的表示方法
+j
b
p
ψ
模
O
a +1
Op = a + j b
= c (cosψ + j sinψ )
= c e jψ
=c ψ a
10
辐角
+1
a j I1
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第3章 交流电路
例 3.2.1 (ωt－45º) A
。已两知者i1相=加20的si总n 电(ω流t +为60i º，) A即，i =i2i1=+1i02
sin
。
(1) 求 i 的数学表达式；(2) 画出相量图； (3) 说明 i 的
最等大于值解i1 是和：否i2 等的于有效i1 和值之i2 和的，最并大说值明之为和什，么i 的？有效值是否
二、交流电瞬时值、最大值、有效值
e、i、u
瞬时值
Em、Im、Um E、I、U
最大值 有效值
IR
i
R
Wd = RI 2T
Wa =∫ R0T i 2 dt
如果热效应相当 Wd = Wa 则 I 是 i 的有效值。 正弦电量的有效值：
I
=
Im √2
U =a√2Um
E =√2Em
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第3章 交流电路
三、交流电的相位、初相位、相位差
电
工 技
第 3 章 交流电路
术
3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦交流电的相量表示法 3.3 单一参数交流电路 3.4 串联交流电路 3.5 并联交流电路 3.6 交流电路的功率 3.7 电路的功率因数 3.8 电路中的谐振 3.9 非正弦周期信号电路
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第3章 交流电路
除法：
A1 A2
=
c1 c2
ψ1－ψ2
a
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第3章 交流电路
由于： e±j90 = 1 ±90 =±j
则
j I = I e j90 = I ejψ ·ej90 = I e j(ψ + 90 )
－j I = I e j90 = I ejψ·e j90 = I ej(ψ 90 )
+j
j I1
I
ψ1
O
(1) 瞬时功率
p iu
p = ui = Um sinωt Im sinωt
= Um Im sin2ωt
P
= U I (1－cos2ωt)
O
ωt
(2) 平均功率 (有功功率):
P=
1 T
∫
p0T
dt
= U I (W)
p≥0 —— 耗能元件。
p 与 u2 和 i2 成比例。
a
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第3章 交流电路
1 =ψ –ψ1
U1
U1= 100 0 A U2 = 60 – 60 A U = U1 + U2
2 =ψ –ψ2
U2 ψ2 = 60
U
相量图
=（100 0 + 60 – 60 ）V = 140 – 21.79 V
(2) 1 =ψ –ψ1= – 21.79 – 0 = – 21.79
2
=ψ
–ψ2
a
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第3章 交流电路
例 3.2.2 已知 u1 和 u2 的有效值分别为U1 = 100 V，
U2 = 60 V，u1 超前于 u2 60º，求： (1) 总电压 u = u1 + u2
的有效值并画出相量图； (2) 总电压 u 与 u1 及 u2 的相位
差。
解： (1) 选 u1为参考相量
ψ ψ2
i 0＜ψ＜180°
O
ωt
O
ψ
ωt
i －180°＜ψ ＜ 0°
i
ψ = ±180°
O
ωt
O
ωt
ψ
a
3
第3章 交流电路
一、交流电的周期、频率、角频率
i 2π
O
ωt
T
周期 T ：变化一周所需要的时间（s）
频率 f ：1s 内变化的周数（Hz）。
f
=
1 T
角频率ω ： 正弦量 1s 内变化的弧度数。
ω = 2πf
=
a
2π T
(rad/s)
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第3章 交流电路
常见的频率值
各国电网频率：中国 和欧洲国家 50 Hz， 美国 、日本 60 Hz
有线通信频率：300 ~ 5 000 Hz； 无线通讯频率：30 kHz ~ 3×104 MHz 高频加热设备频率：200 kHz ~ 300 kHz。
a
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第3章 交流电路
3.1 正弦交流电的基本概念
交流电: 大小和方向都周期性变化、在一个周期 上的函数平均值为零。
正弦交流电: 按正弦规律变化的交流电。
i
i = Imsin(ωt +ψ)
Im
瞬时值最大值 角频 初相位 率
O
ωt
ψ
最大值
角频率 正弦交流电的三要素
初相位
a
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第3章 交流电路
ห้องสมุดไป่ตู้
正弦交流电的波形:
i
ψ = 0°