8. 回归分析与相关分析
简要说明相关分析与回归分析的区别
相关分析与回归分析的区别和联系
一、回归分析和相关分析主要区别是：
1、在回归分析中,y被称为因变量,处在被解释的特殊地位,而在相关分析中,x与y处于平等的地位,即研究x与y的密切程度和研究y与x的密切程度是一致的；
2、相关分析中,x与y都是随机变量,而在回归分析中,y是随机变量,x 可以是随机变量,也可以是非随机的,通常在回归模型中,总是假定x是非随机的；
3、相关分析的研究主要是两个变量之间的密切程度,而回归分析不仅可以揭示x对y的影响大小,还可以由回归方程进行数量上的预测和控制.
二、回归分析与相关分析的联系：
1、回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
2、在专业上研究上：
有一定联系的两个变量之间是否存在直线关系以及如何求得直线回归方程等问题,需进行直线相关分析和回归分析。
3、从研究的目的来说：
若仅仅为了了解两变量之间呈直线关系的密切程度和方向,宜选用线性相关分析；若仅仅为了建立由自变量推算因变量的直线回归方程,宜选用直线回归分析.
三、扩展资料：
1、相关分析是研究两个或两个以上处于同等地位的随机变量间的相关关系的统计分析方法。
例如，人的身高和体重之间；空气中的相对湿度与降雨量之间的相关关系都是相关分析研究的问题。
2、回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析回归分析是通过建立一个数学模型来研究自变量对因变量的影响程度。
回归分析的基本思想是假设自变量和因变量之间存在一种函数关系，通过拟合数据来确定函数的参数。
回归分析可以分为线性回归和非线性回归两种。
线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系，非线性回归是指自变量和因变量之间存在非线性关系。
回归分析可用于预测、解释和控制因变量。
回归分析的应用非常广泛。
例如，在经济学中，回归分析可以用于研究收入与消费之间的关系；在医学研究中，回归分析可以用于研究生活方式与健康之间的关系。
回归分析的步骤包括确定自变量和因变量、选择合适的回归模型、拟合数据、检验模型的显著性和解释模型。
相关分析是一种用来衡量变量之间相关性的方法。
相关分析通过计算相关系数来度量变量之间的关系的强度和方向。
常用的相关系数有Pearson相关系数、Spearman相关系数和判定系数。
Pearson相关系数适用于连续变量，Spearman相关系数适用于顺序变量，判定系数用于解释变量之间的关系。
相关分析通常用于确定两个变量之间是否相关，以及它们之间的相关性强度和方向。
相关分析的应用也非常广泛。
例如，在市场研究中，相关分析可以用于研究产品价格与销量之间的关系；在心理学研究中，相关分析可以用于研究学习成绩与学习时间之间的关系。
相关分析的步骤包括确定变量、计算相关系数、检验相关系数的显著性和解释相关系数。
回归分析与相关分析的主要区别在于它们研究的对象不同。
回归分析研究自变量与因变量之间的关系，关注的是因变量的预测和解释；相关分析研究变量之间的关系，关注的是变量之间的相关性。
此外，回归分析通常是为了解释因变量的变化，而相关分析通常是为了量化变量之间的相关性。
综上所述，回归分析和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
回归分析用于确定自变量与因变量之间的关系，相关分析用于测量变量之间的相关性。
回归分析和相关分析在实践中有广泛的应用，并且它们的步骤和原理较为相似。
相关分析和回归分析
即r (x x)( y y) 或r (x x)( y y)
n x y
(x x)2 ( y y)2
•协方差的意义
①显示x与y是正相关还是负相关 协方差为负，是负相关， 协方差为正，是正相关。 ②协方差显示x与y相关程度的大小 当相关点在四个象限呈散乱的分布，相关程度很低 当相关点分布在x与y的平均值线上时，表示不相关 当相关点靠近一直线，表示相关关系密切 当相关点全部落在一直线，表示完全相关
2、相关图被形象地称为相关散点图 3、因素标志分了组，结果标志表现为组平均数，
所绘制的相关图就是一条折线，这种折线又叫 相关曲线。
三、相关系数的计算：
1、符号系数：把两个同平均值的离差数列做对称 比较。
①如果一个数列的离差与另一个数列的离差有很 多同号，就可以认为这两标志之间存在正相关。
②如果大多数为异号，就可以认为他们之间存在 负相关。
.............b
xx x
y x
2
y
xy
1 n
x
y
x2
1 n
x2
当出现权数时：
方程为：a f b xf yf ................a xf b x2 f xyf
解得：a y bx
•相关系数的r的推导公式：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
r
xy nxy
(
x2
2
nx )
y2
2
ny
r
xy x y
相关分析与回归分析的基本原理
相关分析与回归分析的基本原理1. 引言相关分析与回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法，它们可以帮助研究者理解变量之间的关系，并根据这些关系进行预测。
本文将介绍相关分析和回归分析的基本原理，包括其定义、应用场景以及计算方法。
2. 相关分析2.1 定义相关分析是一种用来研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
它通过计算相关系数来衡量变量之间的相关性。
相关系数的取值范围为-1到1，其中-1表示完全的负相关，1表示完全的正相关，0表示无相关关系。
2.2 应用场景相关分析可应用于许多领域，如市场研究、医学研究、金融分析等。
例如，在市场研究中，我们可以使用相关分析来研究产品销量与广告投入之间的关系，了解其相关性，并根据相关性进行决策。
2.3 计算方法计算两个变量之间的相关系数可以使用皮尔逊相关系数或斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续变量，而斯皮尔曼相关系数适用于有序变量或非线性关系。
3. 回归分析3.1 定义回归分析是一种用来研究变量之间关系的统计方法，其基本思想是通过构建适当的数学模型来描述一个或多个自变量对因变量的影响。
回归分析可以帮助预测未来的观察值，并理解变量之间的因果关系。
3.2 应用场景回归分析可以应用于各种预测和建模的场景。
例如，在金融领域，回归分析可以用来预测股票价格的变动，了解影响股价的各种因素，并根据这些因素进行投资决策。
3.3 计算方法回归分析通常使用最小二乘法来拟合变量间的线性关系。
在回归分析中，自变量可以是单个变量或多个变量，而因变量是需要预测或解释的变量。
通过最小化残差平方和，可以得到最佳拟合的回归模型。
4. 相关分析与回归分析的联系与区别4.1 联系相关分析和回归分析都是用来研究变量之间关系的统计方法，它们都可以帮助研究者理解变量之间的相关性和影响程度。
4.2 区别相关分析主要关注变量之间的相关性，通过计算相关系数来衡量相关性的强度和方向；而回归分析则更加关注自变量对因变量的影响程度和预测能力，适用于建立因果关系和预测模型。
第8章 相关与回归分析
32
估计标准误差
估计标准误差（standard error of estimate）是 对各观测数据在回归直线周围分散程度的一个度 量值，它是对误差项ε的标准差σ的估计。 估计标准误差Sy可以看作是在排除了X对Y的线性 影响后，Y随机波动大小的一个估计量。
33
从估计标准误差的实际意义看，它反映了用估计 的回归方程预测因变量Y时预测误差的大小。若 各观测数据越靠近回归直线，Sy越小，回归直线 对各观测数据的代表性就越好，根据估计的回归 方程进行预测也就越准确。
当一个变量取一定数值时，另一个变量有确定值 与之相对应，这种关系称为确定性的函数关系。 当一个变量取一定数值时，与之相对应的另一变 量的数值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定 的范围内变化，这种关系称为不确定性的相关关 系。
7
变量间的关系: 函数关系
y
ห้องสมุดไป่ตู้
x
是一一对应的确定关系 记为 y = f (x)， x 称为自变 量，y 称为因变量 – 某种商品的销售额(y)与 销售量(x)之间的关系可 表示为 y = p x (p 为单 价) – 圆的面积(S)与半径之间 的关系: S = R2
19
复相关系数和偏相关系数
复相关系数反映一个变量Y与其他多个变量X1， X2，…Xk之间的线性相关程度 偏相关系数 反映在X2，…Xk不变的情况下，变量 Y与X1之间的线性相关程度
20
第三节 简单线性回归分析
回归分析的内容
回归分析的特点
相关分析与回归分析的区别与联系
21
相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度， 但是相关分析不能指出变量间相互关系的具体形 式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量 的变化情况。 回归分析则是研究变量之间相互关系的具体形式， 它对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测 定，确定一个回归方程，根据这个回归方程可以 从已知量来推测未知量，从而为估算和预测提供 了一个重要的方法。
相关分析与回归分析
这是一种不检验F和Tolerance，一次将全部自变量无条件地
纳入回归方程。
二强行剔除Remove一次性剔除
指定某些变量不能进入方程。这种方法通常同别的方法联合
使用，而不能首先或单独使用，因为第一次使用或单独使用
将意味着没有哪个变量进入方程。
三逐步进入Stepwise
▪ 回归分析是研究客观事物变量间的关系，它是建立在对客
观事物进行大量试验和观察的基础上，通过建立数模型寻
找不确定现象中所存在的统计规律的方法。回归分析所研
究的主要问题就是研究因变量y和自变量x之间数量变化规
律，如何利用变量X，Y的观察值样本，对回归函数进行
统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等。
差
▪ “Plots”
该对话框用于设置要绘制的图形的参数。
“X”和“Y”框用于选择X轴和Y轴相应的变量。
左上框中各项的意义分别为：
• “DEPENDNT”因变量。
• “ZPRED”标准化预测值。
• “ZRESID”标准化残差。
• “DRESID”删除残差。
• “ADJPRED”调节预测值。
• “SRESID”声氏化残差。
利用的是非参数检验的方法。
定序变量又称为有序ordinal变量顺序变
量，它取值的大小能够表示观测对象的某种顺
序关系等级方位或大小等，也是基于“质”因
素的变量。例如，“最高历”变量的取值是：
一—小及以下二—初中三—高中中专技校四—
大专科五—大本科六—研究声以上。由小到大
的取值能够代表历由低到高。
Spearman等级相关系数为
– 四. Multinomial Logistic 多元逻辑分析。
第八章 相关分析与回归分析习题答案
第八章 相关分析与回归分析习题参考答案一、名词解释函数关系：函数关系亦称确定性关系，是指变量（现象）之间存在的严格确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，必定有另一个且只有一个变量有确定的值与之对应。
相关关系：是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，可以有另一变量的若干数值与之相对应。
这种关系不能用完全确定的函数来表示。
相关分析：相关分析主要是研究两个或者两个以上随机变量之间相互依存关系的方向和密切程度的方法，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，多元相关用复相关系数表示。
回归分析：回归分析是研究某一随机变量关于另一个（或多个）非随机变量之间数量关系变动趋势的方法。
其目的在于根据已知非随机变量来估计和预测随机变量的总体均值。
单相关：单相关是指仅涉及两个变量的相关关系。
复相关：复相关是指一个变量对两个或者两个以上其他变量的相关关系。
正相关：正相关是指两个变量的变化方向是一致的，当一个变量的值增加（或减少）时，另一变量的值也随之增加（或减少）。
负相关：负相关是指两个变量的变化方向相反，即当一个变量的值增加（或减少）时，另一个变量的值会随之减少（或增加）。
线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈一条直线，则称为线性相关。
非线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈现出某种曲线形式，则为非线性相关。
相关系数：相关系数是衡量变量之间线性相关密切程度及相关方向的统计分析指标。
取值在-1到1之间。
两个变量之间的简单样本相关系数的计算公式为：()()niix x y y r --∑二、单项选择1.B;2.D;3.D;4.C;5.A;6.D 。
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1.×; 2.×; 3.√; 4.×; 5.×; 6.×; 7.×; 8.√. 四、简答题1、什么是相关关系？相关关系与函数关系有什么区别？答：相关关系，是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
相关分析和回归分析的区别
相关分析和回归分析的区别:1, 在相关分析中，解释变量X与被解释变量Y之间处于平等的位置。
而回归分析中，解释变量与被解释变量必须是严格确定的。
2 相关分析中，被解释变量Y与解释变量X全是随机变量。
而回归，被解释变量Y是随机的，解释变量X可能是随机的，可能是非随机的确定变量。
3 相关的研究主要主要是为刻画两变量间线性相关的密切程度。
而回归不仅可以揭示解释变量X和被解释变量Y的具体影响形式，而且还可以由回归方程进行预测和控制。
如果两变量间互为因果关系，解释变量与被解释变量互换位置，相关分析结果一样，回归分析结果不同。
样本回归函数与总体回归函数的区别: 1 总体是未知的，是客观唯一存在的。
样本是根据样本数据拟合的，每抽取一个样本，变可以拟合一条样本回归线。
2 总体中的β0和β1是未知参数，表现为常数。
而样本中的是随机变量，其具体数值随样本观测值的不同而变化。
3 随机误差ui是实际Yi值与总体函数均值E(Yi)的离差，即Yi与总体回归线的纵向距离，是不可直接观测的。
而样本的残差ei是yi与样本回归线的纵向距离，当拟合了样本回归后，可以计算出ei的具体数值。
一元的五个基本假定:1 随机扰动项ui的均值为零，即E(ui)=02 随机扰动项ui的方差为常数Var(ui)=E[ui－E（ui）]^2=E(ui^2)=σ^23 任意两个随机扰动项ui和uj互不(i不等于j)互不相关，其其协方差为0Cov(ui,uj)=04 随机扰动项ui与解释变量Xi线性无关Cov(ui,Xi)=05 随机扰动项服从正态分布，即ui~N(0,σ^2)样本分段比较法适用于检验样本容量较大的线性回归模型可能存在的递增或递减型的异方差性，思路是首先量样本按某个解释变量从大到小或小到大顺序排列，并将样本均匀分成两段，有时为增强显著性，可去掉中间占样本单位1/4或1/3的部分单位；然后就各段分别用普通最小二乘法拟合回归直线，并计算各自的残差平方和，大的用RSS1，小的用RSS2表示，如果数值之比明显大于1，则存在异方差异方差性的后果:1 参数估计值虽然是无偏的，但却不是有效的。
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第6次 4. ABEL tutorial
Yurii Aulchenko, 2019
回归分析和相关分析
生物统计学研究所 张洪
1. 线性回归 1.1 回归直线 1.2 参数估计方法：最小二乘估计 1.3 参数推断：F-检验、t-检验、区间估计 1.4 回归模型的诊断：残差分析 1.5 多重线性回归 1.6 Box-Cox变换
1.2 参数估计方法：最小二乘估计 (Least Squares 估计)
观测值与预测值（黑线）的误差
两条回归直线
观测值与预测值（蓝线）的误差
总体上看，蓝线比黑线 拟合效果要好（从拟合误差看）
观测值： (xi , yi ),i 1,..., n.
残差：ei yi ( xi )
几个有用的函数： summary、names
变量过多：降低估计的效率,可能使得那些真正对因变量有贡献的
自变量的效应不显著，过度拟合也会降低预测的准确性(overfit).
变量选择：将真正有对因变量有贡献的自变 量选出来。
பைடு நூலகம்
理论上可以选出任意阶交互效应， 阶数小于等于自变量的个数。
准则
1) Akaike Information Criterion (AIC)准则； 2) Bayesian Information Criterion (BIC)准则； 筛选方法：逐步法
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.
自由度
平均平方
P-值
平方和
F
t 检验: 回归系数的显著性检验
零假设：回归系数等于0
T
ˆ se( ˆ )
零假设成立且误差独立同分布 且服从正态分布时，T 服从 自由度为n-2的t分布tn-2
dat = data.frame(y,x1,x2,x3,x4); fit = lm(y~.^4, data=dat); fit.aic = step (fit);
1.6 Box-Cox变换
通过残差诊断发现残差不太正态时，可以考虑进行Box-Cox变换 （power transformation），使得因变量变换后进行回归分析的 残差更正态，统计分析结果更可信。
SStot
SStot
> summary(fit)$r.squared [1] 0.693347
F检验 H0 : 0
F统计量
F SSreg /1 SSerr /(n 2)
如果误差独立同分布 服从正态分布，则 零假设成立时，F服从 自由度为1和n-2的F分布
适用条件：误差e1,…,en独立同分布，服从正态分布。
随机误差: 未被身高解释的部分： 饮食、种族、地域…
均值为0: E[Y | X x] x
1.1 回归直线
y x
量化X与Y的关系
对于新的个体，如果知道 与 ，可用X来预测Y。
问题： 如何估计参数？ X能解释Y的比例是多少？
假设检验问题： 0?
线性模型是否适用？ 如果模型不适用，如何修正？
# install.packages('TeachingDemos'); require(TeachingDemos); weight.bc = bct(dat$weight,lambda);
最大似然值对应的lambda 用变换后的因变量代替原有因变量
…
2. 相关分析
2.1 Pearson相关系数 2.2 相关系数的统计推断 2.3 偏相关系数 2.4 秩相关、多重相关
课程安排
1. 回归模型与相关分析 2. 方差分析 3. 属性数据分析 4. 生存数据分析 5. 实验设计 6. 全基因组关联分析
参考书
第1,2,3,5次 1. Experimental Design and Data Analysis for Biologists
Gerry P. Quinn and Michael J. Keough Cambridge University Press, Cambridge, 2019.
Coefficients: (Intercept) height
-88.6774 0.8902
R代码 输出的结果
> print(fit$coef);
Coefficients:
(Intercept)
x
-88.6774 0.8902
方差分解
1.3 参数推断
预测值：
yˆi ˆ ˆxi
yi y ( yi yˆi ) ( yˆi y)
强影响点：对回归方程有较大影响的点
如位于散点图的两端且 对于斜率的影响大，则应被剔出； 位于中上、中下的点对截距影响大， 但对斜率影响小，关系不大。
有强影响点 后的回归直线
没有强影响点 的回归直线
1. 残差散点图 2. 残差Q-Q图 3. 位置(拟合值)
-尺度图 4. Cook距离与
杠杆图
Cook距离>1 或
Box-Cox变换
z
(x)
x 1
,
0
log(x), 0
给出不同 lambda值 对应的似然值
require(MASS); bc = boxcox(weight~., data=dat, lambda=seq(-1,2,0.1));
lambda = bc$x[which.max(bc$y)];
第16个观测值杠杆很大
稳健回归法：最小一乘估计 (最小绝对偏差，LAD)
> require(quantreg); > d = rq(weight~height,data=dat1); 警告信息： In rq.fit.br(x, y, tau = tau, ...) : Solution may be nonunique > lines(dat1$height, d$coef[1]+ d$coef[2]*dat1$height,
杠杆(leverage)，由“帽 子矩阵”计算得到，其 值越大对回归方程的影 响力越大。
height weight 1 180 68 2 160 51 11 165 57 12 185 76 14 164 58 16 190 200
lev 0.1084227 0.2496730 0.1358880 0.2038975 0.1544598 0.3516872
leverage>2p/n 为强影响点
发现并剔除残差大的强影响点
1) 有些强影响点残差不大，不应被提出 2) 有些残差大的点不是强影响点，剔除与否关系不大
> dat1 = rbind(dat,c(180,200)); > fit1 = lm(weight~height,data=dat1); > fit1.hat = lm.influence(fit1)$hat; > influence1 = cbind(dat1,lev=fit1.hat); > print(influence1[fit1.hat>2/n,]);
估计方法 R中线性模型拟合
(1) 最小二乘估计
e n 2
i1 i
min!
(ˆ, ˆ)
(2) 最小一乘估计
n|
i 1
ei
|
min!
(ˆ, ˆ)
dat 是一个data frame，有两个变量：height 和 weight
> fit = lm(weight~height, data=dat); > print(fit); Call: lm(formula = weight ~ height, data = dat)
2. 相关分析 2.1 Pearson相关系数 2.2 相关系数的统计推断：z-检验、区间估计 2.3 偏相关系数 2.4 秩相关与多重相关
3 实例分析
总的趋势： 随着身高增加， 体重也跟着增加
与函数关系的区别： 同一身高可以体重不同， 体重随身高增加的关系 不是严格成立， 只是有这种趋势
为什么? 因为身高只能解释 体重的一部分原因, 还有其他未被考虑 的因素, 如饮食、地域、人种等
> summary(fit)$coef
适用条件： 误差 e 独立同分布服从正态分布
样本量不太小时，误差分布偏离正态分布 不是很大时仍适用，即对正态性假设不是很 敏感
当样本量大时总是适用的，因为此时 T 依 分布收敛于标准正态分布与tn-2接近(不管正 态假设成立与否)。
Estimate Std. Error t value
没有一个方法可以完全打败其他的方法， 需要在实践中根据具体情况选择最合适的方法
1.5 多重线性回归
多个自变量 X1,…,Xp
Y 1X1 p X p e
... Y 1X1 p X p 12 X1X 2 13 X1X 3 X X p1, p p1 p e
自变量越多，拟合的残差越小
2. Biostatistical Design and Analysis Using R: A Practical Guide Murray Logan Wiley-Blackwell, Chichester, West Sussex, 2019.
第4次 3. Survival Analysis: A Self-Learning Text, 2nd edition
Pearson相关系数与回归系数的关系
Pr(>|t|)
(Intercept) -88.6774259 28.3051787 -3.132905 0.0079283231
x
0.8901553 0.1641884 5.421548 0.0001167570