§16.1平面点集与多元函数解读

§16.1 平面点集与多元函数教学目标：正确理解平面点集的基本概念，二元函数的概念。

教学重点：二元函数的概念。

教学难点：n 元函数教学方法：讲授法，启发式。

一、平面点集1、坐标平面.将有序实数对),(y x 的集合},|),{(R y R x y x ∈∈称为二维空间，表为2R R R 或⨯。

对),(),,(222111y x P y x P ∀，用非负实数221221)()(y y x x -+-表示),(),(222111y x P y x P 与的距离，记：21P P -。

由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x , y )的全体, 即R 2=R ⨯R ={(x , y )|x , y ∈R }就表示坐标平面.2.平面点集坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集, 记作E ={(x , y )| (x , y )具有性质P }.例如, 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )| x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成C ={P | |OP |<r }.3、邻域:点A 的δ圆形邻域：设A (x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点A (x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点A 的δ圆邻域, 记为U (A , δ, 即(,){| ||}U A P PA δδ=<或2200(,){(, )| ()() }U A x y x x y y δδ=-+-<.邻域的几何意义: U (A , δ)表示xOy 平面上以点A (x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.点A 的δ方邻域：以A (x 0, y 0)为心，以2δ为边长的正方形内的点),(y x ，即：00{(,)|,}x y x x y y γδ-<-<，称为A (x 0, y 0)的δ（方形）邻域。

00(,){(, )| ||,|| }U A x y x x y y δδδ=-<-<圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.点A 的去心δ邻域, 记作(, )U A δ, 即 (, ){| 0||}U A P AP δδ=<<.注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (A )表示点A 的某个邻域, 点A 的去心邻域记作()U A .注意:空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.4、点与点集之间的关系:任意一点A ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点: 如果存在点A 的某一邻域U (A ), 使得U (A )⊂E , 则称A 为E 的内点;(2)外点: 如果存在点A 的某个邻域U (A ), 使得U (A )⋂E =∅, 则称A 为E 的外点;(3)边界点: 如果点A 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称A P 点为E 的边点.E的边界点的全体,称为E的边界,记作∂E.E的内点必属于E;E的外点必定不属于E;而E的边界点可能属于E,也可能不属于E.聚点:如果对于任意给定的δ>0,点A的去心邻域U0（A）内总有E中的点,则称A是E 的聚点.由聚点的定义可知,点集E的聚点A本身,可以属于E,也可能不属于E.例如,设平面点集D={(x,y)|1≤x2+y2<4}.满足1<x2+y2<4的一切点(x,y)都是D的内点;满足x2+y2=1的一切点(x,y)都是D的边界点,它们都属于D;满足x2+y2=4的一切点(x,y)也是D的边界点,它们都不属于D;点集D以及它的界边∂D上的一切点都是D的聚点.开集:如果点集E的点都是内点,则称E为开集.闭集:如果点集的余集E c为开集,则称E为闭集.开集的例子:E={(x,y)|1<x2+y2<4}.闭集的例子:E={(x,y)|1≤x2+y2≤4}.集合{(x,y)|1<x2+y2≤2}既非开集,也非闭集.连通性:如果点集E内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于E,则称E为连通集.开域:连通的开集称为区域或开区域.例如E={(x,y)|1x2+y22}.闭域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.开区域与闭区域是直线上开、闭区间的推广，一般说，区域是指开区域。

有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.例如, 集合{(x , y )|1≤x 2+y 22}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域;集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.直径：1212,()(,)sup P P Ed E P P ρ∈=其中r(P 1,P 2)表示P1与P2两点之间的距离 d(E)有限的充要条件为E 为有界集 5. n 维空间设n 为取定的一个自然数, 我们用R n 表示n 元有序实数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合, 即R n =R ⨯R ⨯⋅⋅⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ⋅⋅⋅, n }.R n 中的元素(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ⋅⋅⋅, n )都为零时, 称这样的元素为R n 中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量.为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n 中定义线性运算如下:设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )为R n 中任意两个元素, λ∈R , 规定x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n + y n ), λx =(λx 1, λx 2, ⋅ ⋅ ⋅ , λx n ).这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间.R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )和点 y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )间的距离, 记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ.显然, n =1, 2, 3时, 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至. R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中, 通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||nx x x ⋅⋅⋅++=x . 采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x .在n 维空间R n 中定义了距离以后, 就可以定义R n 中变元的极限:设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n .如果||x -a ||→0,则称变元x 在R n 中趋于固定元a , 记作x →a .显然,x →a ⇔ x 1→a 1, x 2→a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n →a n .在R n 中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n (n ≥3)维空间中来, 例如,设a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n , δ是某一正数, 则n 维空间内的点集U (a , δ)={x | x ∈ R n , ρ(x , a )<δ}就定义为R n 中点a 的δ邻域. 以邻域为基础, 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点, 以及开集、闭集、区域等一系列概念.平面点集的几个基本定理二 R 2上的的完备性平面点列：{}{(,)|,,}n n n n nP x y x R y R n N +=∈∈∈，若P 0为平面上的固定点，对P 0任何一个邻域U(P 0,)，N n N >∍∃,，有0(,)n P O P ε∈，则称点列｛P n ｝收敛于P 0，记为0lim n n P P →∞=或0n P P →即),(),(00y x y x n n →用不等式描述：N n N N >∍∈∃>∀+,,0ε，有ε<-+-2020)()(y y x x n n可以得到：0n P P →⇔00,()n n x x y y n →→→∞，且极限唯一。

三、二元函数概念1、引例不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。

例如例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V =πr 2h .这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系VRT p =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定.例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系2121R R R R R +=. 这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定.这些都是多元函数的例子。