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第十六章多元函数的极限与连续
§ 1平面点集与多元函数
（一）教学1=1的：
了解平面中的邻域,开集,闭集，开域，闭域的定义,了解疋的完备性,掌握二元及多元函数的定
义.
（二）教学内容：
平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义；的完备性；二元及多元函数的定义.
（1）基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及A?的完备性，掌握二元及多元函数的定义.
（2）较高要求：拿握的完备性定理.
（三）教学建议：
（1）要求学牛清处地了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关的概念, 可布置
适量习题.
（2）有关$的完备性定理的证明可对较好学生提出要求.
平面点集:平面点集的表示:E = {(兀,刃I (兀,y)满足的条件P}・
余集E c =R2\E・
1.常见平而点集：
全平面：R2 = { (x,y) I _0° < ^ < +00 , -oo < ^ < +oo}
半平ffi {(x,y)lx>0), {(x,y) I x > 0}, {(x,y)\x> a}f
{(x,y) I y > ax + b}等.
矩形域：[a,b]x[c,d], {(x,y) | I x I + I y l< 1}}.
圆域：C = {(x,y) I x2 + y2 < r~ }和{(厂,0) I r < 2asin&}.
邻域：圆邻域和方邻域
■■■\ 厂―
\ 1
1
11
♦
♦
■ ♦•・・・•・・■ ••
11
圆邻域内有方邻域, 方邻域内有圆邻域
d h
1—
■、1
1 /\ 1
11/ 1
1 0-
■
A
空心邻域
■•・、
■■
■
/ 6•11
1 O 11
•
1
■ % ■
■
■ •• ■ •••
11
{(x, y)IO<lx-x o I2 +1 y-y Q \2<3}
{(x, y)丨0 vl 兀一兀o Iv 5, 0 <1 y — y° l< 5}的区别•
一.点集拓扑的基本概念：
内点：若存在点P的某邻域U(P)使得U(P)uE,则称P是集合E的内点外点“若存在点P的某邻域U(P),使得U(P)C]E =①，则称P是集合E的外点。

P.
E
界点：若P的任何邻域内既有属于E的点，乂有不属于E的点，则称点P是
E的界点
集合的内点G E,外点纟£ ,界点不定.
边界表示为6E.
例1确定集E = ｛ (x,y)IOv(x — l)2+(y + 2)2 <1 ｝的内点、外点集和边界.
例2 E = { (x, y) I 0 W y W £>(工)，x G [0,1 ] }, D(x)为Dirichlet数.确定集E的内点、外点和界点集・
定义(聚点)若P的任何空心邻域内都含有E小的的点，则称点P是E的聚点。

定义(孤立点)：若存在力〉0,使得，则称点A是E的孤立点。

孤立点必为界点.
例3 E = {{x, y) I y = sin —}.确定集E的聚点集. X
解E的聚点集=Eu[ —1,1].
开集：若E的每一个点都是E的内点,即
intE =E时，称E为开集。

闭集:若E的聚点集uE ,称E为闭集。

E
比如例1是开集，矩形域[a,b]x[c,〃]和｛(x,y)| 1兀丨+丨『151｝｝是闭集。

存在非开非闭集，比如圆环E = ｛ (x,y)l 1<(兀一I)?+().，+2尸v 2 ｝；此外环约定F和空集。

为既开乂闭的点集.
开区域：若非空开集E具冇连通性，即E中任何两点都可以用一条完全含于E的冇限折线链接起来，则称E为开区域。

闭区域：开域连同其边界所构成的点集称为闭域。

区域：开域、闭域，或者开域连同其部分边界所构成的点集，统称区域。

例如E = { (x,)')IO<(x-l)2+(y + 2)2 <1 }是开域:\a y b\Ac.cl\是闭域；/既是开域又是闭域。

E = { (x,y)lxy >0 }(即I ,111 象限)
xy >0
虽然是开集，但不具冇连通性，所以不是开域，也不是区域。

有界集：对于平面点集E ,若存在某一正数r>0,使得
£<z(/(O;r)
则称E是冇界点集，否则称为无界点集。

例如
均为无界集。

两点的距离：。

（片，卩2）= J（山一兀2）2+（风一儿）2
点集的直径d（E）= sup Q（片，佗）
三角不等式：P（P\,p2）<P（P\,P）+p｛p,PJ
二A?中的完备性定理：
定理16.1 （Cauchy准则）平面点列｛代｝收敛的充要条件是：对任意£〉0,存在
N, n>N时，对一切正整数p,都有
P（Pn，P叭pg
先证｛（兀“，儿）｝为Cauchy列O ｛x n｝和｛y n｝均为Cauchy列.
定理16.2 （闭域套定理）设｛D”｝是/?2屮的闭域列，满足：
i)D n =2+i , 〃= 1,2,…；
ii)limt/(DJ = O
n->co
则存在唯一点P° 訴，川= 1,2,…
定理16. 3 （聚点原理）设EUR?为冇界无限点集，则E在/?2中至少冇一个聚点。

推论：有界无限点列｛P tl｝^R\必存在收敛了；了列｛P nk｝ o
定理16.4 （有限复盖定理）设E U F为有界闭域，｛A」为开域族，它们覆盖E （即£<=UA a）,
则在｛△」中必存在有限个开域 $,亠，…，△〃，它们同样覆盖E （即E cz U A,. ）o /=!
三二元函数：
1.二元函数的定义、记法、图彖:
球面Z = ±&2 +于
定义域:
例4 求定义域:
1 )
^-x2-y2 7x2 +y2 -1
ii)
In y
ln(y - x2 +1)
例5求二元函数
/(兀y)=
arcsin(3-x2 -y2)
的定义域
3 -兀2 _ y2 s 1
x - y2 > 0
2<x2 + y2 < 4
V x> y2
函数的定义域为 D = {(x9y^\2<x2+y2<4,x>y2}.
二元函数求值：
例6 f(x,y)=2x-3y2f求/(I,2).
X 例7 /(x, y) = ln(l + 兀2 +『2),求f(QCOS0 , psin0).。