平面点集与多元函数汇总
数学分析下——平面点集与多元函数知识点
数学分析下定义定理整理第一章多元函数的极限与连续第一节平面点集与多元函数1、坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，并记作E={(x,y)|(x,y)满足条件P}.2、内点——若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)ÌE，则称点A是点E的内点.E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作int E.3、外点——若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)∩E=Æ，则称A是点集E的外点.4、界点——若在点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称A是集合E的界点.即对任何正数d，恒有U(A;d)∩E≠Æ且U(A;d)∩E c≠Æ，其中E c=R2\E是E关于全平面的余集.E的全体界点构成E的边界，记作¶ E.注：E的内点必定属于E，E的外点必定不属于E，E的界点可能属于E，也可能属于E，也可能不属于E.5、聚点——若在点A的任何空心邻域U0(A)内都含有E中的点，则称A是E的聚点，聚点本身可能属于E，也可能不属于E.6、孤立点——若点A∈E，但不是E的聚点，即存在某一正数d，使得U0(A;d)∩E=Æ，则称点A是E的孤立点.注：孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点.7、开集——若平面点集所属的每一点都是E的内点(即int E=E)，则称E为开集.8、闭集——若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集.若点集E没有聚点，这时也称E为闭集.注：只有R2与Æ是既开又闭的点集.9、开域——若非空开集具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接，则称E为开域.10、闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域.11、区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域.12、有界点集——对于平面点集E，若存在某一正数r，使得EÌU(O;r)，其中O是坐标原点(也可以是其他固定点)，则称E是有界点集.否则就是无界点集.13、定义1设{P n}ÌR2为平面点列，P0∈R2为一固定点.若对任给的正数e，存在正整数N，使得当n>N时，有P n∈U(P0;e)，则称点列{P n}收敛于点P0，记作lim P n=P0 或P n®P0，n®¥.n14、定理16.1（柯西准则）平面点列{P n}收敛的充要条件是：任给正数e，存在正整数N ，使得当n>N 时，对一切正整数p ，都有 r (P n ,P n+p )<e .15、定理16.2(闭域套定理) 设{D n }是R 2中的闭域列，它满足：（i ）D n ÉD n+1，n=1，2，…；（ii ）d n =d(D n )，nlim d n =0， 则存在惟一的点P 0∈D n ，n=1，2，….推论 对上述闭域套{D n }，任给e >0，存在N ∈N +，当n>N 时，有D n ÌU(P 0;e ).16、定理16.3(聚点定理) 设E ÌR 2为有界无限点集，则E 在R 2中至少有一个聚点.17、定理16.3’ 有界无限点列{P n }ÌR 2必存在收敛子列{P n k }.18、定理16.4(有限覆盖定理) 设D ÌR 2为一有界闭域，{D α}为一开域族，它覆盖了D （即D Ìaα），则在{D α}中必存在有限个开域D 1，D 2，…，D n ，它们同样覆盖了D （即D Ì1n i =D α）. 19、定以2 设平面点集D ÌR 2，若按照某对应法则f ，D 中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数(或称f 为D 到R 的一个映射)，记作F ：D ®R ，。
高等数学第九章第一节 多元函数的基本概念
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
29
一般地，求 lim f (P) 时，如果 f (P) 是初等函 P P0
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
1
一、平面点集
1. 平面点集
平面上的点P与有序二元实数组 ( x, y) 之间
是一一对应的。
R2 R R (x, y) | x, y R 表示坐标平面。
平面上具有性质P的点集，称为平面点集，记作
边界上的点都是聚点也都属于集合．
9
二、多元函数概念
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例７ 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
30
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
31
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
（整理）《数学分析》第十六章多元函数的极限与连续.
（整理）《数学分析》第十六章多元函数的极限与连续.第十六章多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}.1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面: }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1|||| ),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是}cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域:-X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<="">二. 点集的基本概念:1. 内点、外点和界点：集合E 的全体内点集表示为E int , 边界表示为E ?.集合的内点E ∈, 外点E ?, 界点不定.2. 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .例1 确定集} 4)2()1(1|),( {22<++-≤=y x y x E 的内点、外点集、边界和聚点.3. 开集和闭集: E int E =时称E 为开集,E 的聚点集E ?时称E 为闭集.存在非开非闭集.2R 和空集φ为既开又闭集.4. 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .5. 有界集与无界集:6. 点集的直径)(E d ：两点的距离) , (21P P ρ.7. 三角不等式：||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.三. 点列的极限:设) , (n n n y x P =, ) , (000y x P =.定义0l i m P P n n =∞→的定义 ( 用邻域语言 ) . 例2 ) , (n n y x → ) , (00y x ?0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .例3 设0P 为点集E 的一个聚点. 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞→. 四. 2R 中的完备性定理:1. Cauchy 收敛准则:先证{) , (n n y x }为Cauchy 列?} {n x 和} {n y 均为Cauchy 列.2. 闭集套定理: [1]P 89.3. 聚点原理: Weierstrass 聚点原理，列紧性.4. 有限复盖定理:五. 二元函数:1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例4 求定义域：ⅰ> ),(y x f 192222-+--=y x y x ; ⅱ> ),(y x f )1ln(ln 2+-=x y y . 3. 有界函数:4. n 元函数:Ex [1]P 92—93 1—8 .§2 二元函数的极限 ( 3 时 )一. 二元函数的极限:1. 二重极限A P f D P P P =∈→)(lim 0的定义: 也可记为),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =或A y x f y y x x =→→),(lim 00例1 用“δε-”定义验证极限7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x .[1]P 94 E1.例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2220=+→→y x xy y x . 例3 设??=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .(用极坐标变换 ) [1]P 94 E2.Th 1 A P f DP P P =∈→)(lim 0?对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有A P f E P P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ?1,0P 是1E 的聚点.若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在, 则极限)(lim 0P f DP P P ∈→也不存在. 推论2 设D E E ?21,,0P 是1E 和2E 的聚点.若存在极限1)(lim 10A P f E P P P =∈→,2)(lim 20A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠,则极限)(lim 0P f DP P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f DP P P ∈→存在?对D 内任一点列} {n P ,0P P n →但0P P n ≠,数列)}({n P f 收敛 .2 方向极限:方向极限A y x f =+++→)sin , cos (lim 000θρθρρ的定义. 通常为证明极限)(lim 0P f P P →不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等?/ 二重极限存在( 以下例5 ).例4 设??=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. (考虑沿直线kx y =的方向极限). [1]P 95 E3.例5 设+∞<<-∞<<=.,0,0,1),(2其余部分时，当x x y y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f yx →不存在. [1]P 95 E4.二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限:ⅰ> )0,0(),(lim →y x 222yx y x +; ⅱ> )0,3(),(lim →y x y xy sin ; ⅲ> )0,0(),(lim →y x xy xy 11-+; ⅳ> )0,0(),(lim →y x 2222)1ln(yx y x +++. 3．极限),(lim),(),(00y x f y x y x →+∞=的定义: 其他类型的非正常极限，→),(y x 无穷远点的情况.例7 验证)0,0(),(lim →y x +∞=+22321yx . Ex [1]P 99—100 1⑴—⑹，4，5.二. 累次极限:1. 累次极限的定义: 定义.例8 设22),(yx xy y x f +=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . [1]P 97 E6. 例9 设2222),(yx y x y x f +-=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 例10 设xy y x y x f 1sin 1sin ),(+=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限与二重极限. 2. 二重极限与累次极限的关系:⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 )⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数yx y x f 1sin ),(=在点) 0 , 0 (的情况 .⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. (例10)⑷ 两个累次极限存在(甚至相等) ?/二重极限存在. ( 参阅例4和例8 ).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →和累次极限),(lim lim0y x f y y x x →→(或另一次序)都存在,则必相等. ( 证 ) [1]P 98. 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在?/全面极限不存在. 参阅⑵的例.Ex [1]P 99 2§3 二元函数的连续性 (2 时 )一．二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.1.2.连续的定义:定义用邻域语言定义连续.注: 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .例1 设=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例1 设+∞<<∞-<<=., 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f ( [1]P 101)证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (不全面连续但在点) 0 , 0 (f 对x 和y 分别连续.2. 函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3. 函数在区域上的连续性.4. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. (仅证复合函数连续性[1]P102).二.一致连续性: 定义.三.四.有界闭区域上连续函数的性质:1.有界性与最值性. ( 证)2.3.一致连续性. ( 证)4.介值性与零点定理. ( 证)Ex [1]P104—105 1 ⑴—⑸，2，4，5.。
多元函数的基本概念汇总
邻域 设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 点P0的 邻域记为U(P0 ) 它是如下点集
U (P0, ) {P | | PP 0 | } 或 U (P0, ) {( x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 } 点 P0 的去心 邻域 记作 U (P0, ) 即
f (x, y) 0
必须注意 (1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无 限接近于A
(2) 如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的
值 则函数的极限不存在 •讨论
xy 2 2 x y 0 2 2 函数 f (x, y) x y 在点(0 0)有无极限？ 2 2 0 x y 0
一、平面点集 n维空间
1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质P} 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集 合是 C{(x y)| x2y2<r2} 或 C{P| |OP|r} 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离
•外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点 •边界点 如果点P的任一邻域内既有属 于E的点 也有不属于E的点 则称P点为 E的边点
外点
边界点
内点
E的边界点的全体 称为E的边界 记作E 提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于E？
二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为 二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 举例
zaxbyc表示一张平面
方程x2y2z2a2确定两个二元函数
(完整word版)多元函数微分学及其应用归纳总结,推荐文档
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限✧00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=（或0lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。
✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用εδ-定义证明2222(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y →+=+例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数222222()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。
例3 设222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →是否存在？例4（07年期末考试 一、2，3分）设2222422,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0)lim (,)→x y f x y 是否存在？例5．求222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+3、多元函数的连续性0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔=✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1． 讨论函数33222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 在（0，0）处的连续性。
多元函数的基本概念
平面点集，n维空间
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一、 平面点集 n维空间
直线R中的点集
R{x| x }实数集，一维空间
A { x|a x b } [a ,b ] 区间
a
b
N{1,2,3, ,n, } 自然数集
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若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
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(2) 聚点与孤立点
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
所以 f(u,v)(u)22v 得 f(x,y)x22y
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多元函数的极限
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三、多元函数的极限
回忆：一元函数的极限 limf(x)A:
xx0
0 , 0 或 对 x x对 :0 U o (|x x 0, x )0 | |f (x) | f(A x)| A .|.
E
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(4) 开区域及闭区域
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D 。。
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例如，在平面上
(x ,y )x y 0 开区域 (x ,y )1 x 2 y 2 4
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C {x ,y (,z )| x 2 y 2 za 2 x 2 y 2 } z x2 y2
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。
xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。
)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
华东师范大学数学系《数学分析》讲义-第十六章至第十九章【圣才出品】
是二元函数 f 的图像．z＝f（x，y）的图像是一空间曲面，f 的定义域 D 是该曲面在 xOy 平 面上的投影．
4．n 元函数 所有有序实数组（x1，x2，…，xn）的全体称为 n 维向量空间，简称 n 维空间，记作 Rn．其中每个有序实数组（x1，x2，…，xn）称为 Rn 中的一个点，n 个实数 x1，x2，…，xn 是这个点的坐标． 设 E 为 Rn 中的点集，若有某个对应法则 f，使 E 中每一点 P（x1，x2，…，xn）都有唯 一的一个实数 y 与之对应，则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数（或称 f 为 E R2 到 R 的一个 映射），记作
f：E→R 也常把 n 元函数简写成
y＝f（x1，x2，…，xn），（x1，x2，…，xn）∈E 或
y＝f（P），P∈E
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圣才电子书 十万数的极限 1．二元函数的极限
（1）设 f 为定义在 D R2 上的二元函数，Pn 为 D 的个聚点，A 是一个确定的实数， 若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当 P U 0 (P0; ) D 时，都有
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第 16 章 多元函数的极限与连续[视频讲解] 16.1 本章要点详解 本章要点
■点和点集之间的关系 ■R2 上的完备性定理 ■二元函数的极限 ■累次极限 ■累次极限与重极限的关系 ■有界闭域上连续函数的性质
重难点导学
f：D→R 且称 D 为 f 的定义域 P∈D 所对应的 z 为 f 在点 P 的函数值，记作 z＝f（P）或 z＝f（x，y）
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(ii) 外点——若 0, 使 U ( A; ) E , 则称
点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合
称为 E 的外部. (iii) 界点—— 若 0, 恒有
U ( A; )
E 且 U ( A; )
Ec
c 2 ( 其中 E R \ E ), 则称点 A 是 E 的界点; 由 E
( 圆形 )
( 方形 ).
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y
y d
C
O
r
x
S
O a
c
b x
(a) 圆 C
y
图 16 – 1
y
(b) 矩形 S
O
A
x
O
A
x
(a) 圆邻域
图 16 – 2
(b) 方邻域 前页 后页 返回
由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一
方邻域之内(反之亦然), 因此通常用“点 A 的 邻 域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域, 并 用记号 U ( A; ) 或 U ( A) 来表示.
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注意: 不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指出 错在何处? )
( x, y )
0 | x x0 | , 0 | y y0 | .
2
※ 点和点集之间的关系
2 之间必有 E R 任意一点 A R 与任意一个点集
以下三种关系之一 : (i) 内点——若 0, 使 U ( A; ) E , 则称点 A 是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为 E 的内部, 记作 int E.
一、平 面 点 集
※ 平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定 义域是坐标平面上的点集, 因此在讨论二元函数
之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念. 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数 对 ( x , y ) 与平面上所有点之间建立起了一一对应. 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平
面点集, 记作
E ( x , y ) ( x , y ) 满足条件 P .
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例如：
(i) 全平面:
R 2 ( x , y ) | x , y . (1)
(ii) 圆: C ( x , y ) x y r
(iii) 矩形: S ( x, y ) a x b, c y d ,
图 16 – 3
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点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分 的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近 旁 是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系:
(i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 U ( A) 内都
含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点． 注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E. 注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域
§1 平面点集与多元函数
多元函数是一元函数的推广 , 它保留着一元 函数的许多性质, 同时又因自变量的增多而产 生了许多新的性质, 读者对这些新性质尤其要 加以注意. 下面着重讨论二元函数, 由二元函数 可以方便地推广到一般的多元函数中去.
一、平面点集 二、 R2 上的完备性定理 三、 二元函数
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的全体界点所构成的集合称为 E 的边界; 记作 E . 注 E 的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于 E; E 的界点可能属于 E, 也可能不属于 E. 并请注意:
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只有当 E E 时, E 的外部与 E c 才是两个相同 的集合.
例1 设平面点集（见图 16 – 3）
点 A 的空心邻域是指:
( x , y ) 0 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 2 ( 圆 )
或
( x, y ) | x x0 | , | y y0 | ,( x, y ) ( x0 , y0 ) (方),
并用记号 U ( A; ) ( 或 U ( A) ) 来表示.
U ( A) 内都含有 E 中的无穷多个点”.
注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记
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作 E (或 E) ; 又称 E
d
E d 为 E 的闭包, 记作 E .
例如, 对于例1 中的点集 D, 它的导集与闭包同为
D d ( x, y ) 1 x 2 yy 2 4 的那些聚点不属于D, 而其余
所有聚点都属于 D. (ii) 孤立点—— 若点 A E , 但不是 E 的聚点（即
有某δ > 0, 使得 U ( A; )
E 的孤立点.
E ), 则称点 A 是
注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必
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为聚点; 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点.
例2 设点集 E ( p, q ) p, q 为任意整数 . 显然,
E 中所有点 ( p, q ) 全为 E 的孤立点; 并有
E d , int E , E E .
※ 一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集. 开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集.
D ( x , y ) 1 x 2 y 2 4 . (4)
y
满足 1 x 2 y 2 4 的一切点都 是 D 的内点; 满足 x y 1
2 2
O
1
2
x
的一切点是 D 的界点, 它们都属 于D; 满足 x 2 y 2 4 的一切点也 是 D 的界点, 但它们都不属于 D.
2
2
2
.
(2) (3)
也常记作： S [a , b] [c, d ].
(iv) 点 A ( x0 , y0 ) 的 邻域:
( x , y ) ( x x0 )2 ( y y0 )2 2
| x x0 | , | y y0 |
与
( x, y )