高三一轮复习函数与方程
高三数学一轮复习知识点
高三数学一轮复习知识点高三是每个学生都经历的一段关键时期，无论是对于学习压力还是备考任务，都是非常巨大的挑战。
而在高三中，数学作为一门重要科目，更是需要学生们下大功夫去复习和巩固。
在这篇文章中，我们将探讨一些高三数学一轮复习的重点知识点，帮助学生们更好地备考。
一、函数与方程在高中数学中，函数与方程是一个非常基础且重要的概念。
学生们需要掌握函数的定义、性质以及各种常见的函数关系。
此外，还要熟练掌握一元一次方程、一元二次方程以及一元一次不等式的解法。
这些内容是后续学习的基础，因此需要学生们牢固掌握。
二、三角函数与向量三角函数是数学中一个非常重要的分支，学生们需要理解三角函数的定义、性质以及应用。
此外，学生们还需了解三角函数与直角三角形、单位圆、平面向量等的关系。
而在向量部分，学生们需要熟悉向量的基本运算、向量的模、方向以及与点、直线、平面的关系等。
三、数列与数学归纳法数列作为数学中的一个重要概念，对于高考复习来说也是不能忽略的一部分。
学生们需要了解数列的定义、性质以及数列的收敛性等。
此外，数学归纳法也是数学中的一个重要证明方法，学生们需要能够熟练运用数学归纳法解决各种题目。
四、平面几何与立体几何几何在高中数学中占有重要地位，学生们需要掌握平面几何和立体几何的相关知识。
在平面几何中，学生们需要熟悉各种图形的性质、相似与全等的判定以及平行线与垂直线的性质。
而在立体几何中，学生们需要了解各种立体图形的性质、平行线与垂直线的判定等。
五、导数与微分导数与微分是高中数学中一个比较难的知识点，但同样也是需要学生们掌握的重要内容。
学生们需要理解导数的定义、性质以及各种基本导数的计算方法。
此外，学生们还需懂得利用导数解决各种相关的问题，如最值、极值等。
六、概率与统计概率与统计在数学复习中也扮演着重要的角色。
学生们需要了解概率的定义、性质以及常见概率事件的计算方法。
此外，对于统计部分，学生们需要熟悉统计数据的整理和分析，掌握常见统计量的计算方法，同时能够灵活运用统计知识解决实际问题。
高考数学一轮复习 基本初等函数、函数与方程及函数的应用专题训练(1)
基本初等函数、函数与方程及函数的应用一、基础知识要记牢指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图像和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2012·四川高考)函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )(2)(2013·全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c[解析] (1)当x ＝－1时，y ＝1a －1a ＝0，所以函数y ＝a x－1a的图像必过定点(－1,0)，结合选项可知选D.(2)a ＝log 36＝log 33＋log 32＝1＋log 32， b ＝log 510＝log 55＋log 52＝1＋log 52， c ＝log 714＝log 77＋log 72＝1＋log 72， ∵log 32>log 52>log 72，∴a >b >c . [答案] (1)D (2)D比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较. 三、预测押题不能少1．(1)函数y ＝x －x 13的图像大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x ，可得x 2>1，故x >1，结合选项，选A. (2)若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ，c ＝e ln x，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >b >cD ．b >a >c解析：选B 依题意得a ＝ln x ∈(－1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ∈(1,2)，c ＝x ∈(e －1,1)，因此b >c >a .一、基础知识要记牢确定函数零点的常用方法：(1)解方程判定法，方程易解时用此法； (2)利用零点存在的判定定理；(3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解． 二、经典例题领悟好[例2] (1)函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] (1)由f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0及零点定理，知f (x )的零点在区间(－1,0)上．(2)当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点． [答案] (1)B (2)C函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图像与x 轴的交点，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法.在解决函数零点问题时，既要注意利用函数的图像，也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算，把数与形紧密结合起来. 三、预测押题不能少2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1. 答案：(0,1]一、经典例题领悟好[例3] 某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)其中年固定成本与年生产的件数无关，为待定常数，其值由生产产品的原材料价格决定，预计m ∈[6,8]．另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划．[解] (1)由年销售量为x 件，按利润的计算公式，有生产A ，B 两产品的年利润y 1，y 2分别为y 1＝10x －(20＋mx )＝(10－m )x －20(x ∈N,0≤x ≤200)，y 2＝18x －(8x ＋40)－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40(x ∈N,0≤x ≤120)．(2)因为6≤m ≤8，所以10－m >0，函数y 1＝(10－m )x －20在[0,200]上是增函数，所以当x ＝200时，生产A 产品有最大利润，且y 1max ＝(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)．又y 2＝－0.05(x －100)2＋460(x ∈N,0≤x ≤120)，所以当x ＝100时，生产B 产品有最大利润，且y 2max ＝460(万美元)． 因为y 1max －y 2max ＝1 980－200m －460 ＝1 520－200m ⎩⎪⎨⎪⎧>0，6≤m <7.6，＝0，m ＝7.6，<0，7.6<m ≤8.所以当6≤m <7.6时，可投资生产A 产品200件；当m ＝7.6时，生产A 产品或生产B 产品均可(投资生产A 产品200件或生产B 产品100件)；当7.6<m ≤8时，可投资生产B 产品100件．解决函数实际应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解. 二、预测押题不能少3．某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？(2)现在该集团准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大．解：(1)设投入广告费t (百万元)后由此增加的收益为f (t )(百万元), 则 f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)． 所以当t ＝2时，f (t )max ＝4，即当集团投入两百万元广告费时，才能使集团由广告费而产生的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告的费用为(3－x )(百万元)，则由此两项所增加的收益为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)． 对g (x )求导，得g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝－x 2＋4＝0， 得x ＝2或x ＝－2(舍去)．当0≤x <2时，g ′(x )>0，即g (x )在[0,2)上单调递增； 当2<x ≤3时，g ′(x )<0，即g (x )在(2,3]上单调递减． ∴当x ＝2时，g (x )max ＝g (2)＝253.故在三百万元资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样集团由此所增加的收益最大，最大收益为253百万元．函数的性质与零点的交汇函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有： (1)零点或零点存在区间的确定； (2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题．函数的性质与零点的交汇问题成为新的命题点． 一、经典例题领悟好[例] (2012·湖南高考)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8学审题——审结论之逆向分析函数y ＝f (x )－sin x 的零点――→转化 y ＝f (x )与y ＝sin x 图像交点――→作用 f (x )的范围――――→函数f x的性质确定f ′(x )的正负――――→分类讨论 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2·f ′(x )>0. 用“思想”——尝试用“转化与化归思想”解题∵⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，x ∈(0，π)且x ≠π2，∴当0<x <π2时，f ′(x )<0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减．当π2<x <π时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增．∵当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1.∴当x ∈[π，2π]，则0≤2π－x ≤π. 又f (x )是以2π为最小正周期的偶函数， 知f (2π－x )＝f (x )．∴x ∈[π，2π]时，仍有0<f (x )<1.依题意及y ＝f (x )与y ＝sin x 的性质，在同一坐标系内作y ＝f (x )与y ＝sin x 的简图．则y ＝f (x )与y ＝sin x 在x ∈[－2π，2π]有4个交点． 故函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上有4个零点． [答案] B1本题在求解时，用了转化与化归、数形结合、分类讨论思想.个别学生不会利用题设条件判定y ＝f x 的值域以及函数y ＝f x 图像的变化趋势，导致求解受阻. 2函数与方程应用转化与化归的常见类型①判断函数零点个数常转化为两函数的图像交点.②由函数的零点情况确定参数范围，常转化为利用函数图像求解. ③方程根的讨论转化为函数零点的问题. 二、预测押题不能少函数y ＝f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，当x ∈[－1,4]时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在区间[0,2012]上零点的个数为( )A ．2 011B ．2 012C ．1 026D ．1 027解析：选D 根据f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，可得f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋52＝－f (x )，进而得f (x ＋5)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以5为周期的周期函数．当x ∈[－1,4]时，f (x )＝x 2－2x，在[－1,0]内有一个零点，在(0,4]内有x 1＝2，x 2＝4两个零点，故在一个周期内函数有三个零点．又因为2 012＝402×5＋2，故函数在区间[0,2 010]内有402×3＝1 206个零点，在区间(2 010,2 012]内的零点个数与在区间(0,2]内零点的个数相同，即只有一个零点，所以函数f (x )在[0,2 012]上零点的个数为1 207.1．(2013·广州惠州调研)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为( )A.14 B ．－14 C ．2 D ．－2解析：选A 设f (x )＝x a，由其图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⇒a ＝12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.2．(2013·陕西高考)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：选B 利用对数的换底公式进行验证，log a b ·log c a ＝log c blog c a ·log c a ＝log c b ，则B 对．3．(2013·河北质检)若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e x －1B ．y ＝f (x )e －x＋1C ．y ＝e x f (x )－1D ．y ＝e xf (x )＋1解析：选C 由已知可得f (x 0)＝－e x 0，则e －x 0f (x 0)＝－1，e －x 0f (－x 0)＝1，故－x 0一定是y ＝e xf (x )－1的零点．4．(2013·天津一中模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4，c ＝log 34(log 34)，则( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b解析：选C 由题意得0<a <1，b >1，而log 34>1，c ＝log 34(log 34)，得c <0，故c <a <b .5．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D ．[1,2)解析：选D 法一：当2－x >1，即x <1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x <2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 法二：f (x )＝|ln(2－x )|的图像如图所示．由图像可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D.6．(2013·东北三校联合模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≤0，log 12x ，x >0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选B 若a ＝0，当x ≤0时，f (x )＝0，故f (f (x ))＝f (0)＝0有无数解，不符合题意，故a ≠0.显然当x ≤0时，a ·2x≠0，故f (x )＝0的根为1，从而f (f (x ))＝0有唯一根，即为f (x )＝1有唯一根．而x >0时，f (x )＝1有唯一根12，故a ·2x＝1在(－∞，0]上无根，当a ·2x ＝1在(－∞，0]上有根可得a ＝12x ≥1，故由a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根可知a <0或0<a <1. 7．已知a ＝5－22，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 解析：由题意知，a ＝5－22∈(0,1)，故函数f (x )＝a x是减函数，由f (m )>f (n )得m <n . 答案：m <n 8．(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为________(m)．解析：如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x .则S ＝x (40－x )≤x ＋40－x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．答案：209．(2013·江苏扬州中学期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋ax ，x ≤1，ax －1，x >1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由已知∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则需x ≤1时，f (x )不单调即可，即对称轴a 2<1，解得a <2. 答案：a <210．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解：(1)∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e(x >0)， 当且仅当x ＝e 2x时取等号． ∴当x ＝e 时，g (x )有最小值2e.因此g (x )＝m 有零点，只需m ≥2e.∴m ∈[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，则函数g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点．如图所示，作出函数g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图像． ∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其对称轴为x ＝e ，f (x )max ＝m －1＋e 2.若函数f (x )与g (x )的图像有两个交点，必须有m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1.即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，则m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．11．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解：(1)当0＜x ≤100时，p ＝60；当100＜x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0＜x ≤100，62－0.02x ， 100＜x ≤600.(2)设利润为y 元，则当0＜x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100＜x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ， 0＜x ≤100，22x －0.02x 2， 100＜x ≤600.当0＜x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000； 当100＜x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，所以当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050.显然6 050＞2 000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．12．(2013·江西七校联考)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，即(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12. (2)依题意令log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －a )， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋1＝a ·2x －a ·2x ，a ·2x －a >0.令t ＝2x ，则(1－a )t 2＋at ＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意．①当a ＝1时，t ＝－1，不合题意，舍去．②上式有一正一负根t 1，t 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－41－a >0，t 1t 2＝11－a <0，经验证满足a ·2x－a >0，∴a >1. ③上式有两根相等，即Δ＝0⇒a ＝±22－2，此时t ＝a 2a －1，若a ＝2(2－1)，则有t ＝a 2a －1<0，此时方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0无正根，故a ＝2(2－1)舍去； 若a ＝－2(2＋1)，则有t ＝a 2a －1>0，且a · 2x －a ＝a (t －1)＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2a －1－1＝a 2－a 2a －1>0， 因此a ＝－2(2＋1)．综上所述，a 的取值范围为{a |a >1或a ＝－2－22}．。
“函数与方程”一轮复习教学及反思
才 能提取方法． 在学生头脑里有东西 的前 提下 ， 可
以放 手 让 学 生 体 验 “ 选 择 方 法——尝 试——失 败—— 再 选 择 …… ” 这一过程 ， 从 而在 此 过 程 中逐
步提 高 能力 ．
２ ． ４ 注意 解题 思路 的讲解
因为题 目是千变万化 的 ， 永远做不 完 ， 不能盲 目地追 求做 多少 题 ， 或 只是 机 械地 做 了讲 ， 讲 了
题 目．
１ 教学 目标要求
（ １ ） 理解函数 ） 的零点即方程 ） ＝ ０的实 数根， 也即 ） 的图像与 轴交点的横坐标 ；
（ ２ ） 掌握 求 函数 零 点 、 方程 实 根 的 常用 方 法 ， 体 会 数形 结合 、 转化 等数 学思 想 ； （ ３ ） 提高 学生 审题 、 运算 及 分 析 问题 、 解 决 问题 的能力．
《 数学之友》
２ ０ １ ５年第 １ ６期
“ 函数与方程＂ 一轮复习教学及反思
吴 ； ＾ ； 峤 琼 、
（ 南京市第 十二 中学 ， ２ １ ０ ０ １ １ ）
函数与方程是一种重要的数学思想 ， 也是高考 重要考查 内容． 在学生已掌握二次函数性质、 零点存 在性定理及导数等知识 的前提下 ， 如何通过一轮复 习使学生进一步强化对函数与方程相互转化的认识
做， 不思 考 不 总结 提高． 我 们要 借 助 题 目这个 载 体， 回到定 义性 质 上来 ， 加 深 对知 识 点定 义 的理 解， 同时渗透数学的思想方法 ， 很好地去解决新题 目． 一轮复习 中要注重讲思 路 ， 寻找 思路 的过 程 ， 逐步加深对概念 的理解 ， 从而提高学生分析问题 、 解决 问题 的 能力 ．
一
第一轮复习11----函数与方程
k , k 1k N , 求k的值。 在的区间为
3
零点位置 若a b c, 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分
别位于区间（ C.b, c 和c, 内 A.a, b 和b, c 内 B.- , a 和a, b 内 ) D.- , a 和c, 内
x
个数为（ ） A.1 B.2
C.3
D.4
B
若定义在R上的偶函数f x 满足 f x 2 f x , 且当x 0,1时， ） D.2个 f x x, 则函数y f x log3 | x | 的零点个数是（ A.多于4个 B.4个 C.3个
零点个数
3
若函数g x f x loga | x | 至少有5个零 点，则a的取值范围是（ A.1,5 1 C. 0, 5, 5 ） 1 B. 0, 5, 5 1 D. ,1 1,5 5
f x 2 f x , 当 - 1 x 1时，f x x ,
5 1 a 4
零点问题的取值范围
1 若存在负实数使得方程 2 a x 1 成立，则实数a的取值范围是（ ） A.2, B.0, C.0,2 D.0,1
x
C
零点问题的取值范围
若函数f x a x aa 0且a 1
x
有2个零点，则实数 a的取值范围是__
第一轮复习-函数与方程
上饶中学数学组 俞振
函数的零点：函数 y f x 的图像与x轴的 交点的横坐标。
方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像
函数的零点存在性定理 若函数y f x 在区间a, b上的图像是连续曲线， 并且在区间端点的函数 值符号相反即 f a f b 0, 则在区间a, b 内，函数y f x 至少有一个零点，即 相应方程f x 0在区间a, b 内至少有一个实数解。
第06讲 函数与方程(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)
第06讲函数与方程（5类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度不定，分值为5-6分【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容1、函数的零点一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图象，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。
高考数学一轮复习：函数与方程(Word版,含解析)
函数与方程基础练一、选择题1．[2021·河南濮阳模拟]函数f (x )＝ln2x －1的零点所在区间为( )A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(0,1)D ．(1,2)2．函数f (x )＝x 2＋ln x －2021的零点个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．03．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B ．C ．(1,2) D ．(2,3)4．[2021·四川绵阳模拟]函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)5．[2021·大同调研]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]二、填空题6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 7．[2021·新疆适应性检测]设a ∈Z ，函数f (x )＝e x ＋x －a ，若x ∈(－1,1)时，函数有零点，则a 的取值个数为________．8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，求m 的取值范围．能力练11．[2021·天津部分区质量调查]已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫34，1C.⎝⎛⎭⎫34，2D.⎝⎛⎭⎫32，212．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤01x ，x >0，若方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4－23)B ．(4－23，4＋23)C ．(0,4－23]D ．(0,4－23)13．[2021·山西省六校高三阶段性测试]函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(－15≤x ≤10)的图象与函数y＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2图象的所有交点的横坐标之和为______．参考答案：1．解析：由f (x )＝ln2x －1，得函数是增函数，并且是连续函数，f (1)＝ln2－1<0，f (2)＝ln4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f (x )的零点位于区间(1,2)上，故选D.答案：D2．解析：由题意知x >0，由f (x )＝0得ln x ＝2021－x 2，画出函数y ＝ln x 与函数y ＝2021－x 2的图象(图略)，即可知它们只有一个交点．故选C.答案：C3．解析：设f (x )＝e x －(x ＋2)，则f (1)＝－0.28<0，f (2)＝3.39>0，故方程e x －x －2＝0的一个根在区间(1,2)内．故选C.答案：C4．解析：由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C 项． 答案：C5．解析：h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，即方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f (x )的图象和直线y ＝－x ＋a ，如图所示，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点，则有a >1，故选B.答案：B 6．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－127．解析：根据函数解析式得到函数f (x )是单调递增的．由零点存在性定理知若x ∈(－1,1)时，函数有零点，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)>0⇒1e －1<a <e ＋1，因为a 是整数，故可得a 的可能取值为0,1,2,3.答案：48．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点．令f (x )＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0,1]．答案：(0,1]9．解析：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0,1)．10．解析：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2. (2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)>0，g (2)<0，g (4)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋m >0，2－2m <0，10－4m >0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，52. 11．解析：假设a <b <c ，通过作图可得a ∈⎝⎛⎭⎫－12，0，b ＋c ＝2，所以a ＋b ＋c ∈⎝⎛⎭⎫32，2，故选D 项．答案：D12．解析：方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根可化为函数y ＝f (x )与y ＝a (x ＋3)的图象有四个不同的交点，易知直线y ＝a (x ＋3)恒过点(－3,0)，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合函数图象，可知a >0且直线y ＝a (x ＋3)与曲线y ＝－x 2－2x ，x ∈[－2,0]有两个不同的公共点，所以方程x 2＋(2＋a )x ＋3a ＝0在[－2,0]上有两个不等的实数根，令g (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋3a ，则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2＋a )2－12a >0－2<－2＋a 2<0g (0)＝3a ≥0g (－2)＝a ≥0，解得0≤a <4－23，又a >0，所以实数a 的取值范围是(0,4－23)，故选D.答案：D 13．解析：函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(x ∈R )的图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2，当x ＝－1时，y ＝0，当x ≠－1时，易知函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2＝5x ＋1＋1x ＋1在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且当x ∈(－1，＋∞)时，y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2的最大值为52，函数图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5，当x ＝0时，y ＝5sin π5>5sin π6＝52，所以在(－1,0)内两函数图象有一个交点．根据两函数图象均关于点(－1,0)对称．可知两函数图象的交点关于点(－1,0)对称，画出两函数在[－15,10]上的大致图象，如图，得到所有交点的横坐标之和为－1＋(－2)×3＝－7.答案：－7。
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
高考一轮复习第二章 第九节 函数与方程
f(1.375)＝－
0.260
f(1.437 5)＝
0.162
f(1.406 25)＝－
0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为
________． 返回
[自主解答]
通过参考数据可以得到：
f(1.375)＝－0.260<0，f(1.437 5)＝0.162>0，且1.437 5－ 1.375＝0.062 5<0.1， 所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4. [答案] 1.4
返回
[巧妙运用] 当x<2时，f ′ (x)＝3(x－1)2≥0，说明函 数在(－∞，2)上单调递增，函数的值域
是(－∞，1)，又函数在[2，＋∞)上单调
递减，函数的值域是(0,1]．方程f(x)＝k有两个不同的实 根，转化为函数y＝f(x)和y＝k有两个不同的交点，如图 所示，当0<k<1时直线y＝k与函数f(x)图像有两个交点， 即方程f(x)＝k有两个不同的实根． 答案：(0,1)
1＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
解析：方程sin2x＋cos x＋m＋1＝0⇒m＝cos2x－cos x－2. 12 9 2 令y＝cos x－cos x－2得，y＝(cos x－ ) － . 2 4 9 因此，ymin＝－ ，ymax＝0. 4 因此，方程sin2x＋cos x＋m＋1＝0有实数解时，实数m的 9 取值范围是[－ ，0]． 4 9 答案：[－ ，0] 4
不同的交点，因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可． f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1， 故极值为f(－1)和f(1)，f(－1)＝a＋2，f(1)＝a－2， 所以应有(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)． 答案： A
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3.二分法的定义 f(a)· f(b)<0 对于在区间[a，b]上连续不断且________________ 的函数y＝
f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使 零点 ，进而得到零点近似值的方 区间的两个端点逐步逼近______
法叫 做 二分法． 温馨提醒：二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其 实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围,当达 到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零 点的近似值．
第二章
基本初等函数、导数及其应用
函数零点的综合问题
x 2 －1，x＞0， (1)已知函数 f(x)＝ 若函数 y＝f(x) 2 －x －2x，x≤0，
(0，1) ； －m 有 3 个不同的零点，则实数 m 的取值范围是________
(2)(2014· 湖北荆州市质量检测)函数 f(x)＝xex－a 有两个零 1 (－ ，0) 点，则实数 a 的取值范围是__________________ ． e
第二章
基本初等函数、导数及其应用
1 (2014· 陕西西安质检)函数 f(x)＝log2x－ 的零点所在的区间 x 为( C ) 1 A.0，2 C．(1，2) 1 B.2，1 D．(2，3)
第二章
基本初等函数、导数及其应用
判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活 处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能 直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性 定理也无法判断时可画出图象判断．
两 3．函数y＝|x|－cos x在(－∞，＋∞)内有________ 个零点． 4．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0，1)上有零点，则 (－2，0) a的取值范围为____________ ．
第二章
基本初等函数、导数及其应用
函数零点所在区间的确定
(2013· 高考重庆卷)若 a<b<c， 则函数 f(x)＝(x－ a)(x － b)＋ (x－b)(x－ c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间 ( A ) A． (a，b)和 (b， c)内 C． (b，c)和 (c，＋∞)内 B． (－∞，a)和(a，b)内 D． (－ ∞，a)和(c，＋ ∞)内
1．函数的零什么？零点是点吗？
提示：对于函数y＝f(x)(x∈R)，我们把使f(x)＝0的实数x，叫 做函数的零点，函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，是 函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，它是一个实数
第二章
基本初等函数、导数及其应用
(2)几个等价关系 x轴 有 交 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______ 点⇔函数y＝f(x)有______ 零点 ． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
基本初等函数、导数及其应用
温馨提醒： (1)函数f(x)的零点是一个实数，是 方 程f(x)＝0 的根，也是函 数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． (2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而 不是 必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称 性 或 结合函数图象．
第二章
基本初等函数、导数及其应用
第二章
基本初等函数、导数及其应用
关于 x 的一元二次方程 x2－2ax＋a＋2＝0， 当 a 为何实数时： (1)方程有两个不同正根； (2)方程在(1，3)内有两个不同实数根．
第二章
基本初等函数、导数及其应用
已知函数有零点 (方程有根)求参数取值范围常用的方法： (1)直接法： 直接根据题设条件构建关于参数的不等式， 再通 过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离， 转化成求函数值域问题加以 解决． (3)数形结合法： 先对解析式变形， 在同一平面直角坐标系中， 画出函数的图象，然后数形结合求解．
第二章
基本初等函数、导数及其应用
第 9讲
函数与方程
第二章
基本初等函数、导数及其应用
[考情分析]
从近两年的高考试题来看，函数的零点、方程的根的问
题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答 题。在考察函数的零点、方程根的基础上，又注重考察 转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法。
第二章
基本初等函数、导数及其应用
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不 断的一 条
f(a)· f(b)<0 ，那么函数y＝f(x)在区间 曲线，并且有____________ (a，b) 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________ f(c)＝0 ，这个 ________
c 也 就 是f(x)＝0的根．
第二章
第二章
基本初等函数、导数及其应用
1．如图所示的函数图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法 求图中交点横坐标的是( B )
A．①② C．①④
B．①③ D．③④
第二章
基本初等函数、导数及其应用
2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( B ) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2)
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c (a＞0)的图 象 与x轴的交 点 零点个数 (x1，0) (x2，0) _______,_______ 2 (x1，0)或 (x2，0) 1 无交点 0
Δ＝0
Δ＜0
第二章
基本初等函数、导数及其应用
第二章
基本初等函数、导数及其应用
确定函数零点个数
x 2 －1，x≤1， 已知函数 f(x)＝ 则函数 f(x)的零 1＋log2x，x＞1，
点为( D ) 1 A. ，0 2 1 C. 2
B．－2，0 D．0
第二章
基本初等函数、导数及其应用
（1）(2013· 高考天津卷)函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数 为( C ) A．1 C．3 B．2 D．4
x＋1，x≤0， （2）已知函数 f(x)＝ 则函数 y＝f(f(x))＋1 的 log2x，x＞0，
零点个数是( A ) A．4 C．2
B．3 D．1
第二章
基本初等函数、导数及其应用
判断函数零点个数的方法：
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有 几
个零点； (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区 间[a，b] 上是连续不断的曲线，且f(a)· f(b)＜0，还必须结合 函数 的 图 象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能 确 定 函 数有多少个零点或零点值所具有的性质； (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先 画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横 坐 标 有几个不同的值，就有几个不同的零点．