2009年高考全国2卷文科数学全解全析
2009年北京高考数学文科试卷带详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）（北京卷）1．设集合21{2},{1}2A x xB x x =-<<=…，则A B = （ ） A.{12}x x -<… B ．1{1}2x x -剟C ．{2}x x <D ．{12}x x剟【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】通过求解不等式从而得到集合，再对两个不同的集合比较大小. 【参考答案】A 【试题解析】∵21{2},{1}{11}2A x xB x x x x =-<<==-剟?,∴{12}A B x x =-< …，故选A.2．已知向量(1,0),(0,1),(),,k k ===+∈=-R a b c a b d a b ，如果c d ，那么( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 【测量目标】向量的基本运算.【考查方式】给出目标向量之间的关系，再根据系数判断目标向量是否同向. 【参考答案】D 【试题解析】∵(1,0),(0,1)==a b ,若1k =，则=（1,1）c a b =+，-=（1,-1）d a b =，显然，a 与b 不平行，排除A 、B.若1k =-，则c d ，-=（-1,1）d a b =+，即c d 且c 与d 反向，排除C ，故选D.3.若4(1+2)=+2(,)a b a b 为有理数，则a b += （ ） A ．33 B ． 29 C ．23D ．19【测量目标】二项式定理.【考查范围】通过系数来考查对二项式展开式的掌握. 【参考答案】B【试题解析】 ∵4(12)+=1421282417122++++=+， ∴17122+2a b +=.故选B..k s.5.u.c4．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【测量目标】对数函数图像的平移变化.【考查方式】要求从基本函数变化到目标函数. 【参考答案】C 【试题解析】 A ．lg(3)+1lg10(+3)y x x =+=，B ．lg(3)+1lg10(3)y x x =-=-，C ．(3)lg(+3)1lg10x y x +=-=， D ．(3)lg(3)1lg 10x y x -=--=.故应选C.5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）A ．8B ．24C ．48D ．120 【测量目标】考查排列组合以及分布计算原理知识. 【考查方式】给出案例求解答案. 【参考答案】C 【试题解析】2和4排在末位时，共有12A 2=种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有34A 43224=⨯⨯=种排法， 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448⨯=（个）.故选C. 6．“π6α=”是“1cos 22α=”的 ( )A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【测量目标】三角函数及简易逻辑的概念.【考查方式】先求出三角函数特殊值再来考查简易逻辑. 【参考答案】A 【试题解析】 当π6α=时，π1cos 2cos ,32α==反之，当1cos 22α=时，有ππ22ππ()36k k k αα=+⇒=+∈Z ，或ππ22ππ()36k k k αα=-⇒=-∈Z ，故应选A.7．若正四棱柱的底面边长为1111ABCD A BC D -，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11AC 到底面ABCD 的距离为 ( )A ．33B ． 1C ．2D ．3【测量目标】直线到面的距离计算.【考查方式】通过考查线到面的距离进一步考查对几何体性质的掌握. 【参考答案】D 【试题解析】依题意，160B AB ∠= ，1tan603B B == ，故选D.8．设D 是正123P P P △及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P △的中心，若集合0{,,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈=…，则集合S 表示的平面区域是 ( ) A ． 三角形区域 B ．四边形区域C ． 五边形区域D ．六边形区域 【测量目标】平面几何的基础知识.【考查方式】通过对题目的理解来考察几何体的知识. 【参考答案】D 【试题解析】大光明() ()如图，,,,,,A B C D E F 为各边,,,,,A B C D E F 三等分点，答案是集合S 为六边形ABCDEF ，其中，02(1,3)i P A P A PA i ==…,即点P 可以是点A .第Ⅱ卷（110分）注意事项：1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.题号二三总分1516 17 18 19 20 分数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填写在题中横线上. 9．若4sin ,tan 0,cos =5θθθ=->则 . 【测量目标】三角函数的运算.【考查方式】给出正弦和正切求出余弦.【参考答案】35-【试题解析】由已知，θ在第三象限，∴2243cos 1sin1()55θθ=--=---=-，∴应填35-.10．若数列{}n a 满足：*111,2()n n a a a n +==∈N ，则5a = ；前8项的和8s =.（用数字作答）【测量目标】数列的递推和数列的求和.【考查方式】给出数列的递推公式，从而求前n 项和. 【参考答案】255 【试题解析】12132451,22,24,8,16,a a a a a a a ======= 易知882125521S -==-，∴应填255.11．若实数,x y 满足204,5x y x x +-⎧⎪⎨⎪⎩………则S x y =+的最大值为 . (T2)【测量目标】线性规划的基础知识.【考查方式】给出三条直线方程，求目标曲线的最大值和最小值. 【参考答案】9 【试题解析】如图，当459s x y =+=+=,4,5x y ==时，459s x y =+=+=为最大值.故应填9.12．已知函数3,1(),,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩…若()2f x =，则x = . 【测量目标】指数函数的基本运算.【考查方式】已知分段函数表达式，给出函数值求解对应函数.【参考答案】23log【试题解析】.w.w.由31log 2,32xx x ⎧⇒=⎨=⎩ (1)2x x >⎧⎨-=⎩无解，故应填3log 2. 13．椭圆22+192x y =的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则2PF = ；12F PF ∠的大小为 .【测量目标】椭圆基本要素之间的基本关系.【考查方式】给出椭圆的标准方程，考查椭圆长短轴之间的关系. 【参考答案】2,120° 【试题解析】 ∵229,2a b ==，∴227c a b =-=，∴1227F F =，又OE AO ⊥，1124,26,PF PF PF a =+==，∴26PF =，又由余弦定理，得2221224(27)1cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ∠=，故应填2,120 .14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 【测量目标】集合间的关系.【考查方式】给出定义，利用已知定义解题. 【参考答案】6 【试题解析】什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个. 故应填6.15．（本小题共12分）已知函数()2sin(π)cos f x x x =-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间ππ[,]62-上的最大值和最小值. 【测量目标】考查学生的运算能力.【考查方式】通过考查特殊角的三角函数值，诱导公式，三角函数在闭区间上的最值的基本知识，来考查学生的运算能力. 【试题解析】（Ⅰ）∵()2sin(π)cos 2sin cos sin 2f x x x x x x =-==，∴函数()f x 的最小正周期为π. （步骤1）（Ⅱ）由πππ2π623x x -⇒-剟剟，∴3sin 212x -剟，∴()f x 在区间ππ[,]62-上的最大值为1，最小值为32-. （步骤2）16．（本小题共14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.【测量目标】几何体的证明与二面角的计算.【考查方式】给出条件证明面与面的关系以及线与面的夹角. 【试题解析】【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵PD ABCD ⊥底面，∴PD AC ⊥，∴AC ⊥平面PDB ，∴平面AEC PDB ⊥平面. （步骤1）（Ⅱ）设AC BD O = ，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴AEO ∠为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴1,2OE PD OE PD =，又∵PD ABCD ⊥底面， ∴OE ABCD ⊥底面 （步骤2）∴(,0,0),(,,0),(0,,0),(0,0,0),(0,0,),A a B a a C a D P h OE AO ⊥.在AOE Rt △中，1222OE PD AB AO ===， ∴45AOE ∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒. （步骤3） 【解法2】，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，设,,AB a PD h ==则(,0,0),(,,0),(0,,0),(0,0,0),(0,0,),A a B a a C a D P h ，（Ⅰ）∵2cos ,2EA EO AEO EA EO∠==(,,0),(0,0,),(,,0),AC a a DP h DB a a =-==，∴0,0AC DP AC DB ∙=∙=，∴,,AC DP AC DB ⊥⊥∴AC ⊥平面PDB ，∴平面AEC PDB ⊥平面. （步骤1）（Ⅱ）当2PD AB =,且E 为PB 的中点时，2(002),(,,),222a a aP a E ，，，设，连接OE ，AC BD O = ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴为AEO ∠与平面PDB 所的角，∵22(,,),(0,0,),2222a a a a EA EO =--=- ，∴45AEO ∠=， （步骤2） 即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒. （步骤3）17．（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min . （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率.【测量目标】考查独立事件的概率.【考查方式】通过生活中的实例来考查数学中的概率. 【试题解析】 （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为1114()(1)(1)33327P A =-⨯-⨯=. （Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 为事件B ，这名学生在上学路上遇到k 次红灯的事件()0,1,2k B k =.则由题意，得40216381P=（）=()B ， 13222142412321224C ,C 33813381P P ==（）=()()（）=()()B B . 由于事件B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，∴事件B 的概率为.0128()())9P B P B PP =++（（）=B B 18．（本小题共14分）设函数2()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.【测量目标】曲线的切线方程以及导数的应用.【考查范围】利用点在直线上求系数以及考查函数分类讨论的单调区间.【试题解析】（Ⅰ）()0()(,)0(,+)f x x a f x a x a '<⇒=--∞+∞>∈∞∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，∴(2)04,(2)824f a f b '==⎧⎧⇒⎨⎨'==⎩⎩（Ⅱ）∵2()3()(0),f x x a a '=-≠,当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增， 此时函数()f x 没有极值点.当0a >时，由()0f x x a '<⇒=±，当(,)x a ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(,)x a a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,+)x a ∈∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， ∴此时x a =是()f x 的极大值点，x a =是()f x 的极小值点.19．（本小题共14分）已知双曲线00,21x m y m ==+，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为3，右准线方程为33x =. （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值.【测量目标】双曲线的基础知识【考查方式】给出基本要素求标准方程，再根据标准方程确定与目标直线之间的关系.【试题解析】（Ⅰ）由题意，得，解2333a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得1,3a c ==， (步骤1) ∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=. （步骤2） （Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，线段AB 的中点为00(,)M x y ，由22120y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩得22220x mx m ---=（判别式0∆>）, ∴00,2x m y m ==, （步骤3）∵点00(,)M x y 在圆225x y +=上，∴22(2)5m m +=， 1m ∴=±. （步骤4） 20．（本小题共13分）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n p =+∈>*N . 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m …成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ；（Ⅱ）若，1,12p q ==-求数列{}m b 的前2m 项和公式； （Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m =+∈*N ？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.【测量目标】数列的基本性质.【考查方式】给出限制条件，分别求出所问的问题.【试题解析】 （Ⅰ）由题意，得111120,3,23233n a n n n =--解得厖. ∴11323n -…成立的所有n 中的最小整数为7，即37b =. （步骤1） （Ⅱ）由题意，得21n a n =-，对于正整数，由21n a n =-，得12m n +…. （步骤2） 根据m b 的定义可知 当21=()m m k b k k =-∈*N 时，；当2m k =时，=1(*)m b k k +∈N .∴1221321242()()m m m b b b b b b b b b -++=+++++=2(123)[24(1)]2m m m m +++++++++=+ （步骤3）. （Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式121,333p q =-<-…pn q m +…及0p >得m q n p-…. 3+132m q m m p-<+…，即2(31)p q p m p q ---<--…对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231p q m p +--…）， 这与上述结论矛盾！ （步骤4） 当310p -=，即13p =时，得21033q q --<--…，解得2133q -<-…. ∴ 存在p 和q ，使得32()m b m m =+∈*N ；p 和q 的取值范围分别是121,333p q =-<-…. （步骤5）。
2009年全国统一高考真题数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)(含答案解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．412．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）===﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．4【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120°，故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S=4πR2=16π．球故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是①或⑤（写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a n}，{b n}的通项公式．【解答】解：设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，解得q=2，d=2∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P （B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，整理得（x02+1）（x02﹣2）=0，解得或．所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。
2009全国高考(Ⅱ)卷评析及部分试题巧解
09年全国高考（Ⅱ）卷评析及部分试题解答甘肃正宁一中 李永卿（一）试题分析：09全国二卷数学试题的总体特点是:题目稳中求变，以稳为主，以变为辅。
以常规题为主，思路直观，无偏题、怪题，课本以外的题目几乎没有。
难度较去年大体持平，稍有降低。
保持了试卷结构、试题类型的相对稳定。
整体感觉上手比较快，题比较亲切，有利于考生的发挥。
但计算量大，注重对数学方法的考查，因方法不当造成大量的时间浪费。
小题起步较低，难度缓缓上升，除两个解几题有难度外，其他都较平和。
解答题中两道“中等题”的难度较08年有较大的降低，其中数列仍是递推数列，第(1)问证明，是一个“导向”，容易入手。
概率题的背景、题意更贴近考生。
两道压轴题较去年更有利于分步得分。
虽然个别题目在设置的方式上，在情景的设置上有一定的新意，但解决问题的知识和方法，仍然是大家所熟悉的。
今年数学要得高分，需要扎扎实实的数学功底。
一是数学概念要清晰。
二是要有较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力。
总之，不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本技能基本方法)”，是以不变应万变的硬道理。
下面就部分选择、填空题和解答题不同于标准答案的解法进行探究。
（二）部分试题解答 （理）2：正解：直接解不等式即可。
故选B.妙解：排除验证. 因求A B I ∴x ＞3 排除A 、 C . 只需代入一个值验证（如5、6等）即可。
（理）3：正解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈. 2212cos 1351tan 1()12A A =-=-=-++- 故选D. 妙解：由条件知,作角A 的对边为5，邻边12，斜边为13的直角三角形，即知选D 。
另解：因为在直角坐标系中角A 终边在第二象限，利用三角函数定义可设x =-12，y =5后即可求出。
（理）4：正解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B. 另解1：因21x y x =-的图像是双曲线。
2009上海高考数学文科试题及答案详解
上海 数学试卷（文史类）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。
2． 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数f(x)=x 3+1的反函数f -1(x)=_____________. 1．【答案】31x -【解析】由y ＝x 3+1，得x ＝31-y ，将y 改成x ，x 改成y 可得答案。
2．已知集体A={x|x ≤1},B={x |≥a},且A ∪B=R ，则实数a 的取值范围是__________________. 2．【答案】a ≤1【解析】因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。
3. 若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是__________________.3．【答案】83x >【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：83x >4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________________.4．【答案】2,12,1x x y x x ⎧<=⎨->⎩【解析】当x ＞1时，有y ＝x －2，当x ＜1时有y ＝x2，所以，有分段函数。
5.如图，若正四棱柱ABC D —A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是___________________(结果用反三角函数值表示). 5．【答案】arctan 5【解析】因为AD ∥A 1D 1，异面直线BD 1与AD 所成角就是BD 1与A 1D 1所在角，即∠A 1D 1B ，由勾股定理，得A 1B ＝25，tan ∠A 1D 1B ＝5，所以，∠A 1D 1B ＝arctan 5。
2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅱ)解析版
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）解析版参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，{1M =，3，5，7}，{5N =，6，7}，则()(U MN =ð )A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{2，4，8}D ．{1，3，5，6，7}【考点】1H ：交、并、补集的混合运算 【专题】11：计算题 【分析】先求集合MN ，后求它的补集即可，注意全集的范围．【解答】解：{1M =，3，5，7}，{5N =，6，7}， {1MN ∴=，3，5，6，7}，{1U =，2，3，4，5，6，7，8}， (){2U MN ∴=ð，4，8}故选：C ．【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．2．（5分）函数0)y x =…的反函数是( )A ．2(0)y x x =…B ．2(0)y x x =-…C ．2(0)y x x =…D ．2(0)y x x =-…【考点】4R ：反函数 【专题】11：计算题【分析】直接利用反函数的定义，求出函数的反函数，注意函数的定义域和函数的值域． 【解答】解：由原函数定义域0x …可知A 、C 错， 原函数的值域0y …可知D 错， 故选：B ．【点评】本题考查反函数的求法，反函数概念，考查逻辑推理能力，是基础题． 3．（5分）函数22log 2xy x-=+的图象( )A ．关于直线y x =-对称B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断；3M ：奇偶函数图象的对称性 【专题】31：数形结合【分析】先看函数的定义域，再看()f x -与()f x 的关系，判断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．【解答】解：由于定义域为(2,2)-关于原点对称， 又222222()loglog()x x x x f x f x +--+-==-=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选：B ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性． 4．（5分）已知ABC ∆中，12cot 5A =-，则cos (A = ) A ．1213B ．513C ．513-D ．1213-【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系 【专题】11：计算题【分析】利用同角三角函数的基本关系cos A 转化成正弦和余弦，求得sin A 和cos A 的关系式，进而与22sin cos 1A A +=联立方程求得cos A 的值． 【解答】解：12cot 5A =-A ∴为钝角，cos 0A <排除A 和B ，再由cos 12cot sin 5A A A ==-，和22sin cos 1A A +=求得12cos 13A =-， 故选：D ．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．5．（5分）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( )A B ．15C D ．35【考点】LM ：异面直线及其所成的角【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G ：空间角【分析】由11//BA CD ，知1AB E ∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，由此能求出异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值．【解答】解：正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点， 11//BA CD ∴，1A BE ∴∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，设122AA AB ==，则11A E =，BE =，1A B ==2221111cos 2A B BE A E A BE A B BE +-∴∠===．∴异面直线BE 与1CD ． 故选：C ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量(2,1)a =，10a b =，||52a b +=，则||(b = )AB C ．5D ．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对||a b +=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可． 【解答】解：||52a b +=，||5a =222()250a b a b a b ∴+=++=， 得||5b = 故选：C ．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a lge =，2()b lge =，c =，则( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【考点】4M ：对数值大小的比较；4O ：对数函数的单调性与特殊点【分析】因为101>，所以y lgx =单调递增，又因为110e <<，所以01lge <<，即可得到答案．【解答】解：13e <<< 01lge ∴<<，21()2lge lge lge ∴>>．a cb ∴>>．故选：C ．【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．8．（5分）双曲线22163x y -=的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则(r = )A B ．2C ．3D ．6【考点】IT ：点到直线的距离公式；KC ：双曲线的性质 【专题】11：计算题【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y =，即0x ±=，圆心(3,0)到直线的距离d ==r ∴=故选：A ．【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式． 9．（5分）若将函数tan()(0)4y x πωω=+>的图象向右平移6π个单位长度后，与函数tan()6y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为( )A ．16B ．14 C ．13D ．12【考点】HJ ：函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 【专题】11：计算题【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数tan()6y x πω=+的图象重合，比较系数，求出16()2k k Z ω=+∈，然后求出ω的最小值．【解答】解：tan()4y x πω=+，向右平移6π个单位可得：tan[()]tan()646y x x πππωω=-+=+∴466k πππωπ-+=1()2k k Z ω∴=+∈，又0ω> 12min ω∴=． 故选：D ．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种【考点】5D ：组合及组合数公式 【专题】11：计算题【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数224436C C =， ②两人所选两门都相同的有为246C =种，都不同的种数为246C =， 故选：C ．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法． 11．（5分）已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则(k = )A ．13B C ．23D 【考点】8K ：抛物线的性质 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，根据||2||FA FB =，推断出||2||AM BN =，点B 为AP 的中点、连接OB ，进而可知1||||2OB AF =，进而推断出||||OB BF =，进而求得点B 的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率． 【解答】解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =- 直线(2)(0)y k x k =+>恒过定点(2,0)P -如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由||2||FA FB =，则||2||AM BN =， 点B 为AP 的中点、连接OB ， 则1||||2OB AF =， ||||OB BF ∴=，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为k ∴==故选：D ．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用． 12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位( )A ．南B ．北C ．西D ．下【考点】LC ：空间几何体的直观图 【专题】16：压轴题【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定． 【解答】解：如图所示．故选：B ．【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，634S S =，则4a = 3 ．【考点】87：等比数列的性质；89：等比数列的前n 项和 【专题】11：计算题【分析】根据634S S =可求得3q ，进而根据等比数列的通项公式，得到答案． 【解答】解：设等比数列的公比为q ，则由634S S =知1q ≠， 63614(1)11q q S q q--∴==--． 33q ∴=．313a q ∴=． 故答案为：3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．14．（5分）4(-的展开式中33x y 的系数为 6 ． 【考点】DA ：二项式定理【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x ，y 的指数都为1求出33x y 的系数【解答】解：4224(x y =，只需求4展开式中的含xy 项的系数．4的展开式的通项为414(rr r r T C -+= 令422r r -=⎧⎨=⎩得2r =∴展开式中33x y 的系数为246C = 故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 15．（5分）已知圆22:5O x y +=和点(1,2)A ，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=254． 【考点】7J ：圆的切线方程 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】判断点A 在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：由题意知，点A 在圆上，切线斜率为111221OA K --==-， 用点斜式可直接求出切线方程为：12(1)2y x -=--，即250x y +-=，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52， 所以，所求面积为15255224⨯⨯=．【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 16．（5分）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45︒角的平面截球O 的表面得到圆C ．若圆C 的面积等于74π，则球O 的表面积等于 8π ． 【考点】LG ：球的体积和表面积 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案． 【解答】解：设球半径为R ，圆C 的半径为r ， 2277,44r r ππ==由得．因为22R OC R ==． 由222217)84R r R =+=+得22R = 故球O 的表面积等于8π 故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 前n 项和n s ． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和 【专题】34：方程思想【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于1a ，d 的方程组，求出1a 、d ，进而代入等差数列的前n 项和公式求解即可．【解答】解：设{}n a 的公差为d ，则1111(2)(6)16350a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩，即22111812164a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩，解得118822a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或， 因此8(1)(9)n S n n n n n =-+-=-，或8(1)(9)n S n n n n n =--=--．【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解． 18．（12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B ．【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；HP ：正弦定理 【专题】11：计算题【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sin B （负值舍掉），从而求出答案． 【解答】解：由3cos()cos 2A CB -+=及()B AC π=-+得 3cos()cos()2A C A C --+=， 3cos cos sin sin (cos cos sin sin )2A C A C A C A C ∴+--=， 3sin sin 4A C ∴=． 又由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =， 故23sin 4B =，∴sin B =sin B =， 于是3B π=或23B π=．又由2b ac = 知b a …或b c … 所以3B π=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．19．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC ．（Ⅰ）证明：AB AC =；（Ⅱ）设二面角A BD C --为60︒，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小．【考点】LQ ：平面与平面之间的位置关系 【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）连接BE ，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD DC =，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB AC =；（2）求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可，作AG BD ⊥于G ，连GC ，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，在三角形AGC 中求出GC 即可．【解答】解：如图 ()I 连接BE ，111ABC A B C -为直三棱柱，190B BC ∴∠=︒，E 为1B C 的中点，BE EC ∴=．又DE ⊥平面1BCC ，BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ，AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）． ()II 求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可．作AG BD ⊥于G ，连GC ， AB AC ⊥，GC BD ∴⊥，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，60AGC ∠=︒不妨设AC =2AG =，4GC =在RT ABD ∆中，由AD AB BD AG =，易得AD =设点1B 到面BDC 的距离为h ，1B C 与平面BCD 所成的角为α． 利用11133B BCBCD SDE Sh ∆=，可求得h =1112h B C B C α===，30α∴=︒． 即1B C 与平面BCD 所成的角为30︒．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．【考点】3B ：分层抽样方法；6C ：等可能事件和等可能事件的概率 【专题】11：计算题【分析】（1）根据分层抽样原理，要从甲、乙两组各10人中共抽取4名工人，则从每组各抽取2名工人．（2）从甲组抽取2人的结果有210C 种，恰有1名女工人的结果有1146C C 种，代入等可能事件的概率公式即可（3）从甲乙各10人虫各抽2人的结果有221010C C 种，而4名工人中恰有2名男工人的情况分①两名男工都来自甲，有2266C C ②甲乙各抽1名男工11116446C C C C ③两名男工都来自乙有2244C C 种结果【解答】解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．（2）记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则11462108()15C C P A C ==（3）i A 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，0i =，1，2 Bj 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，0j =，1，2B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．i A 与j B 独立，i ，0j =，1，2，且021120B A B A B A B =++故P （B ）021*********()()()()()()()P A B A B A B P A P B P A P B P A P B =++=++22111122666464442210103175C C C C C C C C c C ++== 【点评】本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率．21．（12分）设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >，（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若当0x …时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 【考点】3R ：函数恒成立问题；6B ：利用导数研究函数的单调性 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．（2）先将问题转化为求函数在0x …时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定()f x 在2x a =或0x =处取得最小值，求出最小值，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）2()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a '=-++=-- 由1a >知，当2x <时，()0f x '>， 故()f x 在区间(,2)-∞是增函数； 当22x a <<时，()0f x '<， 故()f x 在区间(2,2)a 是减函数； 当2x a >时，()0f x '>，故()f x 在区间(2,)a +∞是增函数．综上，当1a >时，()f x 在区间(,2)-∞和(2,)a +∞是增函数， 在区间(2,2)a 是减函数．（2）由（1）知，当0x …时，()f x 在2x a =或0x =处取得最小值． 323214(2)(2)(1)(2)422442433f a a a a a a a a a a =-+++=-++，(0)24f a =由假设知1(2)0(0)0a f a f >⎧⎪>⎨⎪>⎩即14(3)(6)03240.a a a a a >⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩解得16a << 故a 的取值范围是(1,6)【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l， （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由． 【考点】4K ：椭圆的性质 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】()I 设(,0)F c ，则直线l 的方程为0x y c --=，由坐标原点O 到l 的距离求得c ，进而根据离心率求得a 和b ．()II 由()I 可得椭圆的方程，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，:1l x my =+代入椭圆的方程中整理得方程△0>．由韦达定理可求得12y y +和12y y 的表达式，假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为：点P 的坐标为12(x x +，12)y y +，代入椭圆方程；把A ，B 两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c ，进而求得P 点坐标，求出m 的值得出直线l 的方程．【解答】解：()I 设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l=1c =又c e a ==∴a b = ()II 由()I 知椭圆的方程为22:132x y C += 设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设:1l x my =+代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=，显然△0>． 由韦达定理有：122423m y y m +=-+，122423y y m =-+，① 假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为： 点P 的坐标为12(x x +，12)y y +，点P 在椭圆上，即221212()()132x x y y +++=．整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=． 又A 、B 在椭圆上，即2211236x y +=，2222236x y +=、 故12122330x x y y ++=②将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得212m =∴12y y +=，2122432232m x x m +=-+=+，即3(,2P当3,,,:12m P l x y ⎛==+ ⎝⎭；当3,,:12m P l x y ⎛==+ ⎝⎭【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．。
2009年浙江高考文科数学试卷及答案解析(精校版)
XC中高考资料绝密★考试结束前2009年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设{}{},|0,|1,U A x x B x x ==>=>R 则U A B = ð（）A ．{}|01x x <B ．{}|01x x <C ．{}|0x x <D ．{}|1x x >【测量目标】集合的基本运算（交集与补集）.【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的补集与交集.【参考答案】B【试题解析】对于{}|1,U B x x =ð因此{}|01U A B x x =< ð．2．“0x >”是“0x ≠”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【测量目标】命题的充分，必要条件.【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件.【参考答案】A【试题解析】对于“0x >”⇒“0x ≠”；反之不一定成立，因此“0x >”是“0x ≠”的充分而不必要条件．3．设1i z =+（i 是虚数单位），则22z z+=（）A ．1i+B ．1i -+C ．1i-D ．1i--【测量目标】复数的代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的除法乘方形式，考查复数的代数四则运算.【参考答案】D 【试题解析】对于2222(1i)1i 2i 1i 1iz z +=++=-+=++4．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（）A ．若,,l ααβ⊥⊥则l β⊂B ．若,,l ααβ 则l β⊂C ．若,,l ααβ⊥ 则l β⊥D ．若,,l ααβ⊥ 则l β⊥【测量目标】直线与平面位置关系，平面与平面的位置关系.【考查方式】给出线面，面面的部分关系，推导直线与平面的关系.【参考答案】C【试题解析】对于,,A B D 均可能出现l β ，而对于C 是正确的．5．已知向量(1,2),(2,3)-a =b =．若向量c 满足()()+⊥+ c a b,c a b ，则c =（）A ．77(,93B ．77(,39--C ．77(,)39D ．77(,93--【测量目标】平面向量的坐标运算.【考查方式】给出平面向量满足的关系式，通过平面向量的平行和垂直关系运算求解.【参考答案】D【试题解析】不妨设(,)m n =c ，则()1,2,(3,1)m n +=+++=-a c a b ，对于()+ c a b ，则有3(1)(2)m n -+=+；（步骤1）又()⊥+c a b ，则有30m n -=，则有77,93m n =-=-（步骤2）6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（）A ．2B ．2C ．13D ．12【测量目标】椭圆的简单几何性质，解析几何与平面向量结合.【考查方式】考查解析几何与平面向量结合，数形结合求解离心率.【参考答案】D【试题解析】对于椭圆，因为2AP PB = ，则12,2,2OA OF a c e =∴=∴=7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环k 的值.【参考答案】A【试题解析】对于0,1,1k s k ==∴=，而对于1,3,2k s k ==∴=，则2,38,3k s k ==+∴=，后面是113,382,4k s k ==++∴=，不符合条件时输出的4k =．8．若函数2()()af x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是（）A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ，()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ，()f x 是奇函数【测量目标】全称量词、存在量词、函数奇偶性与单调性的判断.【考查方式】给出函数式，通过对量词的考查结合函数的性质进行考查.【参考答案】C【试题解析】对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数9．已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】通过三角形边与圆相切来考虑公共点.【参考答案】B【试题解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但4以上的交点不能实现．10．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（）AB C D【测量目标】三角函数的图象.【参考答案】D【试题解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为2π（步骤1）而D 不符合要求，它的振幅大于（步骤2）非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =．【测量目标】等比数列的通项，等比数列的前n 和.【考查方式】给出等比数列的公比，考查等比数列前n 和每项的关系.【参考答案】15【试题解析】对于4431444134(1)1,,151(1)a q S q S a a q q a q q --==∴==--12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是3cm ．【测量目标】三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求几何体的体积.【参考答案】18【试题解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339⨯⨯=，上面的长方体体积为3319⨯⨯=，因此其几何体的体积为1813．若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩则23x y +的最小值是．【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最小值.【参考答案】4【试题解析】通过画出其线性规划，可知直线23y x z =-+过点()2,0时，()min 234x y +=14．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数．．为．【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图，通过图表解决问题.【参考答案】30【试题解析】对于在区间[]4,5的频率/组距的数值为0.3，而总数为100，因此频数为30w.w.w.k.s.5.u.c.o.m15．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）．【测量目标】分段函数模型.【考查方式】考查识图能力及数据处理能力，求解.【参考答案】148.4【试题解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为500.5681500.598⨯+⨯；对于低峰部分为500.288500.318⨯+⨯，二部分之和为148.416．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，，1612T T 成等比数列．【测量目标】等比数列的性质，等差数列的性质.【考查方式】通过已知条件进行类比推理求解.【参考答案】81248T T T T ，【试题解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，81248,T T T T ，1612T T 成等比数列．17．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数,1k k +，其中0,1,2,,19k = ．从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14,A ，则()P A =．【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出排列组合的方式，求在一定条件下出现A 事件概率.【参考答案】【试题解析】对于大于的点数的情况通过列举可得有5种情况，即7,8;8,9;16,17;17,18;18,19，而基本事件有20种，因此()P A =14三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos25A =，3AB AC =．（I ）求ABC △的面积；（II ）若1c =，求a 的值．【测量目标】平面向量的线性运算，正弦定理余弦定理，二倍角，同角三角函数的基本关系.【考查方式】给出关于向量的等式，根据数量积的公式将其转化为边与角的关系式，进而求ABC △的面积;给出边c ，根据余弦定理求a 值.【试题解析】（Ⅰ）531552(212cos2cos 22=-⨯=-=A A （步骤1）又(0,π)A ∈，54cos 1sin 2=-=A A ，（步骤2）而3cos 35AB AC AB AC A === ，所以5=bc ，所以ABC △的面积为：254521sin 21=⨯⨯=A bc （步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=⨯-+=-+=A bc c b a （步骤4）19．（本题满分14分）如图，DC ⊥平面ABC ，EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．【测量目标】线面平行的判定，线面角的求法.【考查方式】线线平行推出线面平行;由几何体中的位置关系，进行求解.【试题解析】（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,，在ABE △中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以12PQ BE ，（步骤1）又12DC BE，所以PQ DC ，又⊄PQ 平面ACD ，DC ⊂平面ACD ，所以PQ 平面ACD （步骤2）（Ⅱ）在ABC △中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥（步骤3）而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC而⊂EB 平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面ABC ，所以⊥CQ 平面ABE （步骤4）由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQDP //所以⊥DP 平面ABE ，所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ，（步骤5）所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠（步骤6）在Rt APD △中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP 所以5551sin ===∠AD DP DAP （步骤7）20．（本题满分14分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n ∈N ，其中k 是常数．（I ）求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m ∈N ，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．【测量目标】等差数列的通项和等比数列的性质，等差数列前n 项和.【考查方式】给出n S 的表达式，求{}n a ；{}n a 中部分项呈等比，求解未知数k .【试题解析】（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，2212,[(1)(1)]21n n n na S S kn n k n n kn k -=-=+--+-=-+（○1）（步骤1）检验，,1=n （○1）式成立，12+-=∴k kn a n （步骤2）（Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，224m m m a a a ∴= ，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，（步骤3）整理得：0)1(=-k mk ，对任意的*m ∈N 成立，10==∴k k 或（步骤4）21．（本题满分15分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++(,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；（II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．【测量目标】利用导数判断或求函数的单调区间，函数零点的应用.【考查方式】限定函数的图象过定点处的斜率，解出方程中的未知数;给出函数在区间上的单调性，求未知数的取值范围.【试题解析】（Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f （步骤1）又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f 解得0=b ，3-=a 或1=a （Ⅱ）由()0f x '=,得1,x a =（步骤4）又()f x 在(1,1)-上不单调,即2311a a a +⎧≠-⎪⎨⎪-<<⎩或211323a a a +⎧-<-<⎪⎪⎨+⎪≠-⎪⎩（步骤5）解得1112a a -<<⎧⎪⎨≠-⎪⎩或5112a a -<<⎧⎪⎨≠-⎪⎩所以a 的取值范围是11(5,)(,1)22---.（步骤6）22．（本题满分15分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为174．（I ）求p 与m 的值；（II ）设抛物线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ．若MN 是C 的切线，求t 的最小值．【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的定点定值问题.【考查方式】给出抛物线上一点到焦点的距离，根据准线方程求方程中未知数;根据直线与抛物线直线与直线的关系，求t 的最小值【试题解析】（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：2py -=，（步骤1）根据抛物线定义点)4,(m A 到焦点的距离等于它到准线的距离，即41724=+p ，解得21=p （步骤2）∴抛物线方程为：y x =2，（步骤3）将)4,(m A 代入抛物线方程，解得2±=m （步骤4）（Ⅱ）由题意知，过点),(2t t P 的直线PQ 斜率存在且不为0，设其为k .（步骤5）则)(:2t x k t y l PQ -=-，当,,02k kt t x y +-==则)0,(2k ktt M +-.（步骤6）联立方程⎩⎨⎧=-=-y x t x k t y 22)(，整理得：0)(2=-+-t k t kx x 即：0)]()[(=---t k x t x ，解得,t x =或t k x -=（步骤7）))(,(2t k t k Q --∴，而QP QN ⊥，∴直线NQ 斜率为k1-（步骤8）)]([1)(:2t k x k t k y l NQ ---=--∴，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=---=--y x t k x kt k y 22)]([1)(整理得：0)()(1122=----+t k t k kx k x ，即：0]1)()[(2=+---+t k k t k x kx 0)](][1)([=--+-+t k x t k k kx ，解得：kt k k x 1)(+--=或t k x -=（步骤9）学诚中高考资料第10页共11页]1)([,1)((22k t k k k t k k N +-+--∴，)1()1(1)(]1)([2222222--+-=+--+--+-=∴k t k kt k kkt t k t k k k t k k K NM （步骤10）而抛物线在点N 处切线斜率：kt k k y k k t k k x 2)(21)(---='=+--=切（步骤11） MN 是抛物线的切线，k t k k k t k kt k 2)(2)1()1(2222---=--+-∴，整理得02122=-++t tk k 224(12)0t t ∆=-- ，解得23t -（舍去），或23t ，32min =∴t （步骤12）如需Word 文档请联系作者索取。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)及答案(分析解答)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4） C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．257．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F 为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选A2．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4） C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选B．3．（5分）（2009•黑龙江）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA 的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选D．4．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选B．5．（5分）（2009•黑龙江）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题采用几何法较为简单：连接A1B，则有A1B∥CD1，则∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，由余弦定理可知cos ∠A1BE的大小．【解答】解：如图连接A1B，则有A1B∥CD1，∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=．由余弦定理可知：cos∠A1BE=．故选C．6．（5分）（2009•黑龙江）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．25【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．7．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A8．（5分）（2009•黑龙江）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan （ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选D．9．（5分）（2009•黑龙江）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN ⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选D10．（5分）（2009•黑龙江）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种C．24种D．30种【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故只恰好有1门相同的选法有36﹣6﹣6=24种．11．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD ⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选A．12．（5分）（2009•黑龙江）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•黑龙江）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y 的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．14．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为915．（5分）（2009•黑龙江）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于8π．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，16．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009•黑龙江）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．18．（12分）（2009•黑龙江）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E 分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．19．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n=4a n+2，①+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）20．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，故Eξ==．21．（12分）（2009•黑龙江）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当22．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）（1）当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增；（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴故．。
2009年高考全国2卷文科数学全解全析
2009年普通高校招生统一考试全国2卷——数学（文）全解全析1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7} 则UC M N ⋃=（） A {5，7} B {2，4} C {2,4,8}D {1,3,5,7} 解析：集合的并补运算 答案：C2．函数0)y x =≤的反函数是A 2(0)y x x =≥B 2(0)y x x =-≥C 2(0)y x x =≤D 2(0)y x x =-≤ 解析：反函数概念 答案：B 3．函数22log 2x y x-=+的图像A 关于原点对称B 关于直线y x =-对称C 关于y 轴对称D 关于直线y x =对称 解析：函数奇偶性及对数式定义域及运算 答案：A4．3.已知 ABC 中，cotA=125-,则cosA=（A ）1213（B ）513（C ）513- (D)1213-解析：同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号 答案：D5．已知正四棱柱1111ABC D A B C D -中，12AA AB =，E 为1A A 中点，则异面直线BE 与1C D 所成角的余弦值为（A ）10(B)15(C)10(D)35解析：平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于900答案：C6．已知向量(2,1)a =，10a b ∙=,||a b +=,则b =（A ） (B) (C) 5 (D) 25答案：C解析：将||a b +=平方即可7．2lg ,(lg ),lga eb ec ===(A) a ＞b ＞c (B) a ＞c ＞b (C) c ＞a ＞b (D) c ＞b ＞a 解析：将lg lg 20.3e =看作判断即可 答案：B 8．双曲线22163xy-=的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则r=A B 2 C 3 D 6解析：联立消y 得x 的一元二次方程，由判别式为0，得 答案：A9．若将函数tan(0)4y x πωω=+＞的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan(6y x πω=+的图像重合，则ω的最小值为 （A ）16(B) 14(C)13(D) 12解析：由646x x k πππωωπ-+=++（可得答案：D10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（A ）6种 （B ）12种 （C ）30种 （D ）36种解析：由222444c c c -得答案：C11．已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=（A ）13(B)3(C)23(D)3解析：由一元二次根系关系出1212,x x x x +，由抛物线定义出1222(2)x x +=+，三式联立得k答案：D12．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标∆“”的面的方位是（A ）南 （B ）北 （C ）西 （D ） 解析：空间想象几何体还原能力 答案：B13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n s .若163,41,4a S S ===则a .解析：由条件得q 3=3，所以4133a =⨯=答案：314．4(的展开式中33x y 的系数为 .解析：224(1)c -答案：615．已知圆O ：225x y +=和点A （1，2），过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为解析：由切线方程 得横、纵截距分别为5和52，得面积为15255224⨯⨯=答案：25416．设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点,过M 且与OA 成45角的平面截球O 的表面得到圆C.若圆C 的面积等于74π,则球O 的表面积等于 .解析：由小圆面积得小圆的274r =，由222()2()2R R r=-得22R =，所以248S R ππ==答案：8π17．17.(本小题满分10分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 等差数列{}n a 中，374616,0a a a a =-+=，求数列{}n a 的前n 项和S n 32461111116,0d,(2)(6)16884022a a a a a d a d a a a d d d =-+=++=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+===-⎩⎩⎩解：由，设公差为则 解得或122*(1)2S 9S 9)n n nn n S na d n n n n n N -=+=-=-+∈所以由得或（ 18．(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c 23cos()cos ,2A CB b ac -+==求B答案：060222sin sin sin cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin 3cos()cos 2sin sin 2sin 2sin 23cos B cos A-C 02B B 60b ac B A C A C A C A C A C A C A C A C B A C B B =⇒=-=+⎧⎨+=-⎩⇒-+===⇒==-=解：由又（）〉故为锐角，所以19．本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，A B A C ⊥，D 、E 分别为AA 1、BC 1的中点D E ⊥平面1BC C证明：AB=AC（1） 设二面角A-BD-C 为600，求1B C 与平面BCD 所成角的大小111111BC F EF AF W EIAD EFD E BC C AF BC CAF BC BF=C F AB=AC(2)AC=AB1AA2xxAG BD G,AG=C A ABB C G C G BDACC G A60tanAG,AA2AC G Axx⊥⊥⊥==⊥⊥⊥∠==∠===（）证明：取中点，连、，依题意有矩形因为面，所以面所以，又，所以解：设，作于则依题意有面，连，则所以，由得解得所以以为11AB AC AABD-10BC-1102n BD x z0n x,y,z),,2n BC x y0n(1,1,C B1-1==⎧⋅=-+=⎪=⎨⎪⋅=-+=⎩==坐标原点，、、分别为x、y、z轴正方向建系，则（，，，（，，）设（且取又（，1111cos n,C B n,C B60,2B C BC D30<>=<>=于是可得，所以其余角即为所求，所以与面所成的角的大小为20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。
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1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}
则
A {5，7} B {2，4}C {2,4,8} D {1,3,5,7}
解析：集合的并补运算
答案：C
2．函数 的反函数是
A B C D
解析：反函数概念
A B2 C3 D 6
解析：联立消y得x的一元二次方程，由判别式为0，得r=
答案：A
9．若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数
的图像重合，则 的最小值为
（A） (B) (C) (D)
解析：由 可得
答案：D
10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
（A）6种（B）12种（C）30种（D）36种
解析：由 得
答案：C
11．已知直线 与抛物线 相交于A、B两点，F为C的焦点，若 ,则k=
（A） (B) (C) (D)
解析：由一元二次根系关系出 ，由抛物线定义出 ，三式联立得k
答案：D
12．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为
上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方
体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。先采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。
（Ⅰ）求从甲、乙两组个抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。
21.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F的直线L与C相交于
A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为 。
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ) C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有 成立？
若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由
设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c 求B
答案：
19．本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中， ，D、E分别为AA1、BC1的中点
平面
证明：AB=AC
（1）设二面角A-BD-C为600，求 与
平面BCD所成角的大小
20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
的面的方位是
（A）南（B）北（C）西（D）
解析：空间想象几何体还原能力
答案：B
13．设等比数列 的前 项和为 .若 .
解析：由条件得q3=3，所以
答案：3
14． 的展开式中 的系数为.
解析：
答案：6
15．已知圆O： 和点A（1，2），过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
解析：由切线方程得横、纵截距分别为5和 ，得面积为
答案：B
3．函数 的图像
A关于原点对称B关于直线 对称C关于 轴对称D关于直线 对称
解析：函数奇.已知 ABC中，cotA= ,则cosA=
（A） （B） （C） (D)
解析：同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号
答案：D
5．已知正四棱柱 中， ，E为 中点，则异面直线BE与 所成角的余弦值为
答案：
16．设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成 角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于 ,则球O的表面积等于.
解析：由小圆面积得小圆的 ，由 得 ，所以
答案：8
17．17.(本小题满分10分)（注意：在试题卷上作答无效）
等差数列 中， ，求数列 的前n项和S
18．(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
（A） (B) (C) (D)
解析：平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于900
答案：C
6．已知向量 ， , ,则
（A） (B) (C)5 (D)25
答案：C
解析：将 平方即可
7． ，则
(A) (B) (C) (D)
解析：将 判断即可
答案：B
8．双曲线 的渐近线与圆 相切，则r=