高三数学多面体与正多面体
(上海)数学高三上册-15.1 多面体的概念 课件_2
棱锥的斜高).
(2)正棱锥的高、斜高和斜高 A
在底面上的射影组成一个直角三 M
角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱
B
在底面上的射影也组成一个直角
三角形.
S
E
O
D
C
想一想
1 . 正 成 棱 ?的
2 . 正 成 棱 ? 的
S
A M
B
E
O
D
C
例1.已知正三棱锥S—ABC的底面 边长为6,高为3 (1)求棱锥的侧棱长与斜高
(1)求棱锥的侧棱长与斜高 2
棱锥的侧棱长SA =2 2
D
棱锥的斜高SM = 7
C
E
F
O2
3
B
A M
E
F
O
D
A
M
C
B
遇到困难时不要抱怨，既然改变不了过去，那么就努力改变未来。 不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 不要试图什么都争第一。 朋友间的不和，就是敌人进攻的机会。——伊索 无所求则无所获。 ——苏霍姆林斯基 友谊使欢乐倍增，悲痛锐减。——培根 用最多的梦想面对未来。 用伤害别人的手段来掩饰自己缺点的人，是可耻的。 对于人来说，白癜风康复报告问心无愧是最舒服的枕头重在实干。 骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。 如果可恨的挫折使你尝到苦果，朋友，奋起必将让你尝到人生的欢乐。 不敢冒险的人既无骡子又无马；过分冒险的人既丢骡子又丢马。——拉伯雷
一组平行(等长)的棱; (上)底面 相关概念： 对角线
侧棱
侧面
高
(下)底面
棱柱的基本性质
棱柱具有哪些性质？ (1)棱柱的侧面都是平行四边形; (2)平行于底面的截面都是全等的多边形;
什么是多面体有哪些常见类型
什么是多面体有哪些常见类型在我们的日常生活和数学世界中，多面体是一个常见而又有趣的概念。
那到底什么是多面体呢？简单来说，多面体是由多个平面多边形所围成的立体图形。
多面体的每个平面多边形都被称为多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，多条棱的公共顶点叫做多面体的顶点。
多面体有着各种各样的类型，下面我们就来介绍一些常见的多面体。
首先，我们来认识一下棱柱。
棱柱是一个相当常见的多面体类型。
它有两个互相平行且全等的底面，侧面都是平行四边形。
如果棱柱的底面是三角形，那就叫做三棱柱；底面是四边形，那就是四棱柱，以此类推。
比如，我们常见的长方体就是一种四棱柱，它的六个面都是矩形。
接下来是棱锥。
棱锥有一个多边形的底面，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。
如果底面是三角形，那就是三棱锥，也叫四面体，因为它有四个面。
如果底面是四边形，那就是四棱锥。
棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
还有棱台，棱台可以看作是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分就是棱台。
棱台的上下底面是相似的多边形。
再说说正多面体。
正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。
正多面体只有五种，分别是正四面体、正六面体（也就是正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。
正四面体的四个面都是等边三角形，它是最简单也是最对称的正多面体。
正方体大家就更熟悉了，六个面都是正方形，十二条棱长度相等，八个顶点。
正八面体是由八个等边三角形围成的，它有六个顶点。
正十二面体有十二个正五边形的面，二十个顶点。
正二十面体则由二十个等边三角形组成，有十二个顶点。
多面体在我们的生活中有着广泛的应用。
在建筑设计中，许多建筑物的外形都可以看作是由不同的多面体组合而成。
比如，一些现代的体育馆、展览馆，其独特的造型往往包含了各种多面体的元素。
在包装设计中，多面体的结构也经常被运用，以达到节省材料、增加稳定性等目的。
在数学研究中，多面体的性质和相关定理也是一个重要的领域。
探索多面体的特征
探索多面体的特征多面体是一个有限的三维几何体，它由若干个多边形所围成，每个多边形都共用一个边。
多面体的研究已经有很长的历史，并且在数学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。
本文将探讨多面体的特征，包括面、边、顶点的数量以及欧拉公式和分类等。
一、多面体的面、边和顶点多面体由若干个面所组成，每个面都是一个多边形。
我们以正多边形为例来讨论多面体的特征。
如果一个多面体的面都是正多边形，并且每个顶点处的多个面都可见，则称之为凸多面体。
凸多面体的特点是每个面都向外凸出，并且所有顶点都在多面体的内部。
多面体的边是面和面之间的边界线段，它们连接了相邻的面。
每两个相邻的面共享一个边。
边的数量等于所有面内部的边的数量之和。
顶点是多面体中的角点，它们是相邻的边的交点。
顶点的数量等于所有面内部的角点数量之和。
二、欧拉公式欧拉公式是研究多面体特征的重要定理，它由瑞士数学家欧拉在18世纪提出。
欧拉公式表明，对于任何一个凸多面体，它的面数、边数和顶点数之间满足以下关系：面数 + 顶点数 = 边数 + 2这个公式被认为是将面、边和顶点联系在一起的重要定理，它描述了多面体的拓扑性质。
欧拉公式也被应用在其他领域，比如图论和计算几何等。
三、多面体的分类根据多面体的特征，我们可以将其进行分类。
首先，根据面的形状，多面体可以分为正多面体和非正多面体两种类型。
正多面体是指所有的面都是正多边形的多面体。
最著名的正多面体是四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。
正多面体具有对称性和规则性的特点，它们的所有边长和内角都相等。
非正多面体则是指除了正多边形以外的多边形组成的多面体。
非正多面体的面可以是任意形状的多边形，它们的边长和内角可以不相等。
其次，根据多面体的拓扑结构，多面体可以分为闭合多面体和开放多面体。
闭合多面体是指所有的面都是由完全封闭的多边形所构成的多面体，它们没有任何的挖空部分。
闭合多面体包括正多面体和非正多面体，它们由有限数量的面所组成。
人教版高中数学必修2《基本立体图形—多面体》PPT课件
(4)棱台 定义及分类
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截
棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做
棱台.
分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截
得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱
台……
记作棱台
正棱台
ABCD-A′B′C′D′
例题
将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：
多面体、长方体、棱柱、棱锥、棱台、直棱柱、四面体、 平行六面体.
基本立体图形（多面体）
高一年级 数学
立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与 位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的 应用，在小学和初中我们已经认识了一些从现实物体 中抽象出来的立体图形，立体图形各式各样、千姿百 态，本节课我们将从空间几何体的整体观察入手，研 究它们的结构特征，学习它们的表示方法.
我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它 们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们 都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱， 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
记作棱柱 ABCDEFA′B′C′D′E′F′
分类：直棱柱，斜棱柱，正棱柱，平行六面体.
像金字塔这样的多面体，均由平面图形围成，其中一个面 是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这样 的多面体就是棱锥.
剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何 体的特征.
立体几何中常用割补法解题，将一个不规则的几何体 用一个平面分割成规则的几何体，这种方法蕴含了一 种构造思想，有利于提高同学们的创新思维品质.
如果我们用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其 中一部分还是棱锥，那么另一部分又是什么几何体呢？ 我们把底面和截面之间的部分多面体就叫做棱台.
多面体与正多面体
高三第一轮复习数学---多面体一、教学目标：了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；二、教学重点： １、欧拉公式 （如何运用） 2、割补法求体积三、教学过程：（一）主要知识：1、若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．２、把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体． 3、表面经过连续变形可变为球面的多面体叫做简单多面体。
一切凸多面体都是简单多面体。
4、每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．5、如果简单多面体的顶点数为Ｖ，面数为Ｆ，棱数为Ｅ，那么Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，这个公式叫做欧拉公式．6思维方式: 空间想象及转化思想特别注意: 研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥的概念和性质，而要以它们为基础去认识多面体，并讨论多面体的特点和性质．欧拉公式的适用范围为简单多面体． （二）例题分析： 例1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（ ）个Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４(2)一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1) B（２）同欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝20，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°． 思考题：一个多面体，每个面的边数相同且小于6，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．（20,12,30）思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２例2: 已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=21(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．说明：2,2kV E k nF E n ==条棱则过一个顶点有边形则每个面为例3： 连结正方体相邻面的中心，得到一个正八面体，那么这个正八面体与正方体的体积之比是＿＿＿＿＿＿解：设正方体棱长为１，则正八面体的棱长为22，体积为6121)22(3122=⨯⨯⨯．所以体积之比为１:６．思维点拨：研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥,特别是计算体积时．挖掘：（１）正八面体相邻两个面所成二面角的大小＿＿＿＿＿．（31arccos -π）（２）棱长为１正八面体的对角线长为＿＿＿＿＿．（2）例４：三个12×12的正方形，如图，都被连接相邻两边中点的直线分成Ａ、Ｂ两片（如图），把６片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体（如图），求此多面体的体积．解：（一）补成一个正方体，如图，V=31221⨯=864（二）补成一个直三棱锥，如图，V=V 大三棱锥-3V 小三棱锥=864．思维点拨：割补法是求多面体体积的常用方法．思考题：如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） （A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215解：D（三）巩固练习： 1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（ ）个Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４(２)每个顶点处棱都是3条的正多面体共有________种(３)一个凸多面体的棱数为 ３０，面数为１２，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1) B （２）3（３）由欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝２０，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°．2、已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=21(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．3、一个简单多面体，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数． 解：设每个面的边数为x ，每个点出发的棱数为y 。
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课时14：多面体与正多面体一：复习目标 1：理解多面体与正多面体的概念，熟悉五种正多面体。
2：掌握正多面体的（等量关系、垂直关系）点、线、面位置关系。
3：运用割补法（补形法）求正多面体的体积。
二：知识梳理：正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体 正多面体的类型：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
求正多面体体积的常用方法：割补法（补形法） 三：课前预习：1：每个顶点处棱都是3条的正多面体共有 （ ） A ：2种 B ：3种 C ：4种 D ：5种 2：棱长都是a 的正四面体111C B A Q ABC P --与，使面ABC 与面111C B A 重合得到一个 多面体，则这个多面体 （ ） A ：是正六面体 B ：是正多面体，但不是正六面体 C ：不是正多面体 D ：平行六面体。
3：已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体的 表面积为T ，则ST 等于 （ ）A ：91 B ：94 C ：41 D ：314：在棱长为1的正四面体ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE CF ⋅=（ ）A ：12-B ：12C ：34- D ：05：正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是 。
6在正方体1111D C B A ABCD -中，N M 、分别是111BB B A 、的中点，则直线AM 与CN 所成的余弦值是___________________。
四：例题分析：例1：如图，已知正四面体P －ABC 中，棱AB 、PC 的中点分别是M 、N ． （1）求异面直线BN 、PM 所成的角；（2）求BN 与面ABC 所成的角．CB MPNA例2：：已知一个正八面体的棱长为a ，（1）求相邻两面中心的距离及两个相对面之间的距离；（2）若一个正四面体与该正八面体的棱长相等，把它们拼起来，使一个表面重合，所得的多面体有多少个面？3:在棱长为a 的正四面体A-BCD 内，作一个正三棱柱A 1B 1C 1—A 2B 2C 2，当A 1取在什么位置时，正三棱柱的体积最大？最大值是多少？FA DC E B五：反馈练习1：点O 为正四面体A-BCD 内一点，且OA=OB=OC=OD ，则∠AOB 的余弦值为 （ ） A ：－31 B ：31 C ：－21 D ：212：棱长为a 的正方体中，连接相邻两个面的中心，以这些线段为棱的正八面体的体积（ ）A ：33aB ：34aC ：36aD ：312a3：以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）A ：3:1B ：1:3C ：3:2 4：在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，O 为正方体的中心，F E 、分别为BC AB 、 的中点，则异面直线EF O C 与1的距离为__________________。
高三数学一轮复习 9.9 多面体、球课件 文 大纲人教版
球面上两点间的距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．求两点 间的球面距离的关键是求出球心角．求球心角时，往往转化到三角形中来解决．求 球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角∠AOB的弧 度数；③用弧长公式计算劣弧 的长．
此小圆的半径为Rcos α，而两地的经度差为90°，故有 Rcos α＝R，
cos α＝ ，则α＝ .
答案：B
变式3: (2009·河南六市第一次联考)已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球 面上，且cos A＝ ，BC＝1，AC＝3. 若球的表面积为16π，则A、B两点的球面距离是________．
离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r＝
.
(3)大圆与小圆：球面被经过 球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平
面截得的圆叫做小圆．
(4)球面距离：在球面上，两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的
大圆在这两点间的一段劣弧 的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离．
(5)球的体积公式：半径是R的球的体积V＝πR3.球的表面积公式：半径是R的球
(1)作出过球心的截面图形，降维处理，利用球体的对称性，化归为平面 几何中圆的内接或外切多边形求解． (2)以球心为顶点构造特殊的几何体，利用几何体的性质求解． (3)分析题目的本质特征，化归为简单组合体性质的研究.
如图所示，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两 垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离 是( )
的表面积S＝ 4πR2 .
提示：注意球面上两点的直线距离、球面距离以及在相应的小圆上的弧 长三者之间的区别与联系．特别是注意球面距离，其关键是求出球面上 两点与球心的张角的大小，常常是应用直观图结合三角知识求解．
正多面体的性质和计算公式
正多面体的性质和计算公式正多面体是指所有的面都是相等正多边形，且每个顶点所围成的角都相等的立体图形。
正多面体具有一些独特的性质和计算公式，下面将对这些内容进行详细论述。
一、性质1. 对称性：正多面体具有高度的对称性。
它的每个面都可以通过旋转或镜像变换重合于另一个面。
这种对称性使得正多面体在美学和设计领域具有广泛应用。
2. 面数、棱数和顶点数的关系：设正多面体的面数为F，棱数为E，顶点数为V。
根据多面体的性质，有以下关系式：F + V = E + 23. 欧拉公式：欧拉公式是指正多面体的面数、棱数和顶点数之间的关系。
根据欧拉公式，有以下等式成立：F + V - E = 24. 边长和面积：正多面体的边长可以通过计算每个面的边长来获得。
每个面上的正多边形的边长相等。
正多面体的表面积可以通过计算每个面的面积来获得，然后将各个面的面积求和。
5. 角度：正多面体的每个顶点所围成的角都相等。
不同正多面体的内角度度数不同，具体计算需要注意。
6. 对角线和体积：正多面体的对角线是连接不相邻顶点的线段。
正多面体的体积可以通过计算其底面积与高的乘积来获得，其中高是从底面到顶点的垂直距离。
二、计算公式1. 正多面体的边长计算：假设正多面体的面是正n边形，则正多面体的边长L可以通过以下公式计算：L = S / n其中，S表示正多面体的面积。
2. 正多面体的面积计算：正多面体面积的计算公式取决于具体的形状。
常见的正多面体包括立方体、正四面体、正六面体等，它们的面积计算公式如下： - 立方体的面积：A = 6a^2，其中a表示边长。
- 正四面体的面积：A = √3a^2，其中a表示边长。
- 正六面体的面积：A = 6 √3 a^2，其中a表示边长。
3. 正多面体的体积计算：正多面体体积的计算公式也取决于具体的形状。
常见的正多面体体积计算公式如下：- 立方体的体积：V = a^3，其中a表示边长。
- 正四面体的体积：V = a^3 / 6√2，其中a表示边长。
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高三数学多面体与正多面体
9.11多面体与正多面体
【教学目标】
了解多面体、正多面体的概念
【知识梳理】
1若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．
２把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都
在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．
３每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一
端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．
4.正多面体有且只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体
【点击双基】
1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得
截面图形是
答案：B
2.正多面体只有_____________种，分别为
________________.
答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、
正二十面体
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中
点，则直线AM与CN所成的角的余弦值是_____________.
解析：过N作NP∥AM交AB于点P，连结C1P，解三角形即可. 答案：
【典例剖析】
【例1】已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于
A.－
B.
C.－
D.
解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得
cosθ==－（设正方体的棱长为2）.
答案：A
【例2】试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.
解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y
轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2a，∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan.设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n・=x+y=0，n・=y－z=0，解得
n=（－1，1，1），所以向量=（－2a，2a，0）在n上的射影长d==即为所求.
特别提示
由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建
立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.
【例3】三个12×12 cm的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图（1）〕，把6片粘在一
个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.
解法一：补成一个正方体，如图甲，V=V正方体=×123=864 cm3.
甲乙
解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥－3V小三
棱锥=864 cm3.
思考讨论
补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是
求多面体体积的常用方法.
【知识方法总结】。