专升本高等数学各实用公式
专升本高数公式大全
专升本高数公式大全1.二次函数的图像方程：f(x)=a(x-h)²+k2.平面直角坐标方程：Ax+By+C=03.二次曲线方程：Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 04.圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²5.椭圆的标准方程：(x-a)²/b²+(y-b)²/a²=16.双曲线的标准方程：(x-a)²/b²-(y-b)²/a²=17.抛物线的标准方程：(x-a)²=4p(y-b)8.三角函数的正余弦和差公式：(1) sin(A ± B)= sinAcosB ± cosAsinB(2) cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB(3) tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)9.三角函数的倍角公式：(1) sin2A = 2sinAcosA(2) cos2A = cos²A - sin²A(3) tan2A = (2tanA) / (1 - tan²A)10.三角函数的半角公式：(1) sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2](2) c os(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2](3) tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]注：±的选取根据A的象限确定。
11.三角方程的化简公式：(1) sin²x + cos²x = 1(2) 1 + tan²x = sec²x(3) 1 + cot²x = csc²x12.导数的基本公式：(1) (cf(x))' = cf'(x)(2)(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(3)(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(4)(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²(5)(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)(6)(f(x)⋅g(x)⋅h(x))'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'( x)13.微分的基本公式：(1) dy = f'(x)dx(2) dy = dx/g'(y)(3) dy = p(x)dx + q(x)dx² + r(x)f'(x)14.积分的基本公式：(1) ∫cf(x)dx = c∫f(x)dx(2) ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx(3) ∫f'(x)dx = f(x) + C(4) ∫f'(g(x))g'(x)dx = f(g(x)) + C15.牛顿-莱布尼兹公式：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)注：其中F(x)为f(x)的一个原函数。
专升本高等数学公式定理大全
专升本高等数学公式定理大全一、导数相关公式和定理：1.基本导数公式：-常数函数导数为零：(k)'=0-幂函数导数：(x^n)'=n*x^(n-1)- 指数函数导数：(a^x)' = a^x * ln(a)- 对数函数导数：(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a)) 2.常用导数公式：- sin(x)' = cos(x)- cos(x)' = -sin(x)- tan(x)' = sec^2(x)- cot(x)' = -csc^2(x)- sec(x)' = sec(x) * tan(x)- csc(x)' = -csc(x) * cot(x)- arcsin(x)' = 1 / sqrt(1 - x^2)- arccos(x)' = -1 / sqrt(1 - x^2)- arctan(x)' = 1 / (1 + x^2)3.高阶导数公式：-(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)-(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)-(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g^2(x)4.微分中值定理：-罗尔定理：若函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
-拉格朗日定理：若函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么存在c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]/[b-a]=f'(c)。
-柯西中值定理：若函数u(x)和v(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且v'(x)≠0，那么存在c∈(a,b)，使得[u(b)-u(a)]/[v(b)-v(a)]=u'(c)/v'(c)。
专升本高等数学公式全集
专升本高等数学公式全集在高等数学中，有许多重要的公式需要掌握。
下面是一些常用的高等数学公式全集：1.点与直线公式：1）点到直线的距离公式：设直线方程为Ax+By+C=0，点P(x0,y0)为直线外一点，则点P到直线的距离为d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)。
2）点到直线的垂足坐标公式：设直线方程为Ax+By+C=0，点P(x0,y0)为直线外一点，点Q(x1,y1)为点P到直线的垂足，则x1=(B^2*x0-A*B*y0-A*C)/(A^2+B^2)，y1=(-A*B*x0+A^2*y0-B*C)/(A^2+B^2)。
2.导数的四则运算：1）和差法则：(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'。
2）积法则：(f*g)'=f'*g+f*g'。
3）商法则：(f/g)'=(f'*g-f*g')/g^24）复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.不定积分的基本公式：1）幂函数不定积分公式：∫x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C，其中n不等于-12）指数函数不定积分公式：∫a^x dx = (a^x) / ln(a) + C，其中a为常数且a不等于13）三角函数不定积分公式：∫sin x dx = -cos x + C，∫cos x dx = sin x + C，∫sec^2 x dx = tan x + C。
4.定积分的基本公式：1）定积分的基本公式：∫[a, b]f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
2）分部积分公式：∫[a, b]u(x)v'(x) dx = u(x)v(x)∣[a, b] -∫[a, b]u'(x)v(x) dx。
5.泰勒级数展开：若函数f(x)在x=a处具有n阶导数，则泰勒级数展开可表示为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)，其中Rn(x)为余项。
专升本高等数学公式全集
专升本高等数学公式（全）常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnn n qqq qq nn 1312112)1(32111112+++++=++++--=++++-级数审敛法：散。
存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n nn n nn n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩⎪⎨⎧=><=⎪⎩⎪⎨⎧=><=lim ;3111lim2111lim1211 ρρρρρρρρ。
的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n nn n n n u r r u s u u u u u u u u u u u绝对收敛与条件收敛：∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛１时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。
收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p np nnn u u u u u u u u pnn n n幂级数：010)3(lim)3(1111111221032=+∞=+∞===≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x xx x x x x n n nn n nn n时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。
，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于 ρρρρρ函数展开成幂级数：+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++nn n n n n n nn x n fx f x f f x f x R x f x x n fR x x n x fx x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n xxxx x x xn n m m m xm m mx x n n nm可降阶的高阶微分方程类型一：()()n y f x =解法（多次积分法）：(1)()()n du u yf x f x dx-=⇒=⇒令多次积分求类型二：''(,')y f x y = 解法：'(,)dp p y f x p dx=⇒=⇒令一阶微分方程类型三：''(,')y f y y =解法：'(,)dp dp dy dp p y pf y p dxdy dxdy=⇒==⇒⇒令类型二类型四：)()('x Q y x p y =+若Q(X)等于0，则通解为⎰=-dxx p Ce y)(（一阶齐次线性）。
高等数学专升本公式集合
高等数学专升本公式集合以下是高等数学专升本常用公式集合：1.导数公式：1)反函数求导：如果y=f(x) （x在某区间上连续、可导），f'(x)≠0，且存在f'(x)的逆函数，则y=f^(-1)(x)在对应的区间上可导，且有(f^(-1))'(x) = 1 / f'(f^(-1)(x))；2)乘积法则：(uv)' = u'v + uv'；3)商法则：(u/v)' = (u'v - uv') / v^2；4)链式法则：(F(g(x)))' = F'(g(x)) * g'(x)，其中F(u)是u的原函数。
2.积分公式：1)基本积分公式：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C （这里C是常数）；2)分部积分法：∫u dv = uv - ∫v du；3)替换法：设x=g(t)，则dx=g'(t) dt，将dx替换为g'(t) dt 来进行积分。
3.泰勒级数公式：1)常用泰勒级数展开：- e^x = 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + ...；- sin x = x - x^3 / 3! + x^5 / 5! - ...；- cos x = 1 - x^2 / 2! + x^4 / 4! - ...；- ln(1+x) = x - x^2 / 2 + x^3 / 3 - ...。
4.极限公式：1)常用极限：- lim(x→0) (sin x / x) = 1；- lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e；- lim(x→a) (f(x))^g(x) = lim(x→a) e^(g(x) * ln(f(x)))。
5.级数公式：1)常用级数：-等比数列求和：∑(n=0)^(∞) ar^n = a / (1-r)，其中|r|<1；-幂级数求和：∑(n=0)^(∞) a(n)x^n，其中a(n)是常数。
专升本高等数学公式
专升本高等数学公式高等数学（专升本）是一门重要的学科，其中涉及了许多重要的公式和定理。
下面是一些在这门课程中常见的高等数学公式：一、极限1.基本极限公式：- 常数函数极限：lim(c) = c (c为常数)- 幂函数极限：lim(x^n) = a^n (n为常数)- 三角函数极限：lim(sin x) = sin a (a为常数)- 指数函数极限：lim(a^x) = a^a (a为常数)- 对数函数极限：lim(log_a x) = log_a a (a为常数)- 指数函数、对数函数极限：lim(a^x - 1) = ln a (a为正常数)- 指数函数、对数函数极限：lim(log_a (1 + x)) = ln a (a为正常数)2.无穷小与无穷大的性质：-无穷小的乘除性质-无穷小与有界量的乘除性质-无穷小的常数倍性质-无穷小与有界量的加减性质-无穷大的加减乘除性质-无穷小与无穷大的关系3.极限的运算法则：-四则运算法则-复合函数法则-两个无穷小量乘积的极限二、导数和微分1.基本导数公式：-变量常数的导数：d(c)=0(c为常数)- 幂函数导数：d(x^n) = nx^(n-1) (n为常数)- 三角函数导数：d(sin x) = cos x (d为常数)- 三角函数导数：d(cos x) = -sin x (d为常数)- 指数函数导数：d(a^x) = a^xlna (a为常数)- 对数函数导数：d(log_a x) = 1/(xlna) (a为常数，且x>0) 2.复合函数导数：-链式法则：d(f(g(x)))=f'(g(x))*g'(x)3.导数的法则：- 和差法则：d(u ± v) = du/dx ± dv/dx- 积法则：d(uv) = u * dv/dx + v * du/dx- 商法则：d(u/v) = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2三、不定积分1.基本积分公式：- 幂函数积分：∫(x^n)dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n不等于-1) - 指数函数积分：∫(a^x)dx = (a^x)/(lna) + C (a不等于1) - 三角函数积分：∫sin x dx = -cos x + C- 三角函数积分：∫cos x dx = sin x + C- 三角函数积分：∫sec^2 x dx = tan x + C- 三角函数积分：∫csc^2 x dx = -cot x + C- 对数函数积分：∫(1/x)dx = ln，x， + C2.基本积分性质：-积分的线性性质-积分的分部积分法-积分的换元法-积分的替换法四、微分方程1.常微分方程：- 一阶线性齐次方程：dy/dx + p(x)y = 0- 一阶线性非齐次方程：dy/dx + p(x)y = f(x)-二阶齐次方程：y''+p(x)y'+q(x)y=0-二阶非齐次方程：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)2.常微分方程的解法：-变量分离法-齐次方程的解法-一阶线性非齐次方程的解法-二阶齐次方程的解法-二阶非齐次方程的解法这些公式和定理是高等数学（专升本）中的一部分，掌握了这些公式对于学习和理解高等数学非常重要。
专升本高数公式大全总结
专升本高数公式大全总结以下是一些常用的高数公式总结：1. 导数公式：- 基本公式：$(c)^n = ncx^{n-1}$，其中c为常数，n为指数，x为变量。
- 基本函数的导数：$sinx' = cosx, cosx' = -sinx, tanx' = sec^2x, cotx' = -csc^2x, secx' = secxtanx, cscx' = -cscxcotx$。
2. 积分公式：- 基本公式：$\int f'(x)dx = f(x) + C$，其中C为常数。
- 基本函数的不定积分：$\int sinxdx = -cosx + C, \int cosxdx = sinx + C, \int tanxdx = -ln|cosx| + C$。
3. 三角函数公式：- 正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应角，R为外接圆半径。
- 余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2abcosC$。
- 正弦二倍角公式：$sin2x=2sinxcosx$。
- 余弦二倍角公式：$cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x$。
4. 极限公式：- 基本公式：$\lim_{x\to c}f(x) = f(c)$，其中c为常数。
- 乘法法则：$\lim_{x\to c}[f(x)g(x)] = \lim_{x\to c}f(x) \cdot\lim_{x\to c}g(x)$。
- 除法法则：$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$，其中$\lim_{x\to c}g(x) \neq 0$。
5. 级数公式：- 等比数列求和公式：$S_n = \frac{a(1-q^n)}{1-q}$，其中S_n为前n项和，a为首项，q为公比。
专升本高等数学常用公式
1.偶函数关于y 轴对称。
f(-x)=f(x).奇函数关于原点对称。
f(-x)=-f(x)2.等价无穷小：sinx~x tanx~x arctanx~x arcsinx~x 1-cosx~~22x ln(1+x)~x1-x e ~x1-xa ~xlnaax x a→-+1)1(3.若)()(0~lim 0x f x f x x =称f(x)在点x 处连续。
4.若)0()0(00+≠-x f x f 时，x 为)(x f 的跳跃间断点。
)()(0lim 0x f A x f x x ≠=→或f(x)在点0x 处无定义，则点x 为可去间断点。
5.零点定理：f(a)f(b)＜0，则f(ζ)=06.000)()()(limx x x f x f x f x x --='→ h x f h x f x f x x )()()(000lim-+='→7.求导公式：x x 2sec )(tan ='x x 2csc )(cot -='x x x cot csc )(csc -='x x x tan sec )(sec ='xxaa a •='ln )(xx ee =')(a x x a ln 1)(log =' 211)(arcsin x x -='211)(arccos x x --='211)(arctan x x +='211)cot (x x arc +-=' x x f x x f x f x ∆'-∆+'=''→)()(lim )(08.N 阶导数公式: 1!)1()(+-=⇒=n nna ax n x x ynn n x n y x y )1()!1()1()1ln(1+--=⇒+=-9.罗尔定理：闭连、开导、两头平 即f(a)=f(b). 10.拉格朗日中值定理：))(()()(a b f a f b f -'=-ξ11.柯西中值定理：)()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=--12.泰勒公式：10100300200000)()!1()()(!)()(!3)()(!2)())(()()(++-+=⇒+-++-'''+-''+-'+=n n n n nn x x n f x R x R x x n x f x x x f x x x f x x x f x f x f ξ13.旋转体体积：以x 轴旋转：dx x f V b a2)]([⎰=π 。
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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()()()()()())(()()(ξξξ曲率：.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==定积分的近似计算：⎰⎰⎰----+++++++++-≈++++-≈+++-≈ban n n ban n ba n y y y y y y y y nab x f y y y y n a b x f y y y nab x f )](4)(2)[(3)(])(21[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：⎰⎰--==⋅=⋅=bab a dt t f a b dx x f a b y k rmm k F Ap F sF W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y m tx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。