《切线长定理》与内切圆
切线长定理及三角形内切圆
例2 PA、PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3. （1）若AP=4，则OP= 5 ； （2）若∠BPA=60 °，则OP= 6 .
A
O
P
B
二、三角形的内切圆及作法
思考
图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使 截下来的圆与三角形的三条边都相切？
思路引导：半径为 r 的☉I 与△ABC 的三 边都相切，圆心 I 到三角形三边的距离相 等，都等于 r.
B
C
F O
由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14.
B
D
C
解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
归纳总结
你学会了吗？
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
小试牛刀
1.下列说法错误的是( C ) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
24.2.2.3 切线长定理及 三角形内切圆
九年级上
学习目标
1.探索并证明切线长定理. 重点
2.了解三角形内切圆、内心的概念，对比区分内切圆与外接圆的区别
与联系. 难点 3.会运用切线长定理进行计算与证明. 难点
4.能用尺规作图：作三角形的外接圆.
Байду номын сангаас 新课引入
前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能 过点P画出⊙O的切线吗？
A
☉I是△ABC的内切圆，点I是
I
△ABC的内心，△ABC是☉I的外
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理和三角形内切圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三角形内切圆的部分，学生们在小组讨论和实验操作中表现出了很高的热情。通过实际操作，他们能够更好地掌握内切圆半径的计算方法，这也证明了实践活动在数学教学中的重要性。今后，我会继续加大实践环节的比重，让学生在实践中学习和探索。
在小组讨论环节，我发现有些学生较为内向，不太愿意主动表达自己的观点。为了鼓励他们积极参与，我会在今后的教学中更加关注这些学生，多给予他们肯定和鼓励，提高他们的自信心。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理和三角形内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆（教案）
一、教学内容
本节课选自教材24.2.2节，主要内容包括：
1.切线长定理：探讨圆的切线与半径的关系，推导并掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
2.三角形的内切圆：介绍三角形内切圆的概念，探讨内切圆的半径与三角形面积的关系，掌握内切圆半径的计算公式。
切线长定理和内切圆
“切线长定理”教学设计【学习目标】1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理2．通过对例题的学习，培养分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，培养数形结合的思想．情景导入生成问题旧知回顾：1.过⊙O内一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？2.过⊙O上一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？3.过⊙O外一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？自学互研生成能力知识模块一切线长定理【自主探究】认真阅读课本P99思考上面内容，完成下列问题：阅读教材P99第一段话可以得到以下归纳：归纳：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．如图，过圆外一点P作两条直线PA、PB与圆相切，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP.(1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由．答：△PBO与△PAO均为直角三角形，根据切线的性质．(2)△PBO与△PAO的关系怎样？根据什么判断的？答：△PBO与△PAO全等，根据“HL”可判断．(3)PA与PB、∠APO与∠BPO有怎样的关系？根据是什么？答：PA＝PB，∠APO＝∠BPO，根据△PBO与△PAO全等的性质．归纳：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角．范例：已知：如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B，Q为AB上一点,过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12cm,∠P=70º.求(1)△PEF的周长。
(2)∠EOF 的度数解：略探究提升：切线长定理的基本图形研究写出所有的垂直关系，相等关系交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 切线长定理当堂检测 达成目标【当堂检测】1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC ＝110°.连接AC ，则∠A 的度数是35°． (第1题图) (第2题图) (第3题图)2．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是4．提示：根据题意得：AE ＝CE ，BF ＝CF ，PA ＝PB ，所以△PEF 的周长＝PE ＋CE ＋CF ＋PF ＝PE ＋AE ＋BF ＋PF ＝PA ＋PB ＝4.【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
初中：切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(基础)
切线长定理及三角形的内切圆一知识讲解〈基础）【学习目标】l.了解切线长定义：理解三角形的内切圆及内心的定义：2.掌握切线长定理：利用切线长定理解决相关的计算和证明．【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长．要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称．切线是直线，而非线段．2.切线长定理z从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等．要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆z与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．三角形的内心到三角形的三边距离相等．2.三角形的内心z三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点．要点诠释z(1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形：(2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积户即S=;Pr (S 7'J 三角形的面积P为三角形的周长r为内切圆阳）(3）三角形的外心与内心的区别：名称｜确定方法｜图形｜性质外心（三角形｜三角形三边中垂线的外接圆的圆｜交点心）AB(1)OA=OB=OC: (2）外心不一定在三角形内部内心（三角形三角形三条角平分线内切圆的圆的交点心）【典型例题】类型一、切线长定理B c(1)到三角形三边距离相等：(2) O A、OB、oc分别平分L'.'.BAC、ζABC、丘ACB:(3）内心在三角形内部．。
1.(2叫湛江校级脚己知PA,PB :5t别切。
于A、B E为劣弧础上一点过E,#,1¥Ji;JJ�交PA于C、交PB于D.(1）若PA吨，求6PCD的周长．(2）若ζP=50°求ζDOC.p【答案与解析】解：(1）连接OE,..PA、PB与圆0相切，:.PA=PB=6,同理可得：AC=CE,BD=DE,6PCD的周长＝PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12: (2）γPA PB与圆O相切，二ζOAP＝ζOBP=90。
3第2课时 切线长定理与三角形的内切圆
【学习目标】1. 知识技能(1)理解圆的切线的有关性质并能灵活运用.(2)理解切线长及切线长定理.(3)体验并理解三角形内切圆的性质.2. 解决问题通过例题的教学, 培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识．3. 数学思考(1)通过动手操作、合作交流, 经历圆的切线的性质定理的产生过程.(2)体验切线长定理, 并能正确、灵活地运用.(3)通过作图操作, 经历三角形内切圆的产生过程．4. 情感态度通过动手操作, 反复尝试, 合作交流, 培养探索精神和合作意识．【学习重难点】1. 重点: (1)切线的性质定理、切线长定理.(2)三角形的内切圆.2. 难点：切线性质的灵活运用.课前延伸切线的判定方法:(1)和圆________公共点的直线是圆的切线.(2)和圆心距离等于________的直线是圆的切线.(3)经过________且________的直线是圆的切线.课内探究一、课内探究:1. 如图27－2－131, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.求证: AC平分∠DAB.2．如图27－2－132, △ABC的内切圆⊙O与BC, CA, AB分别相切于点D, E, F, 且AB ＝9 cm, BC＝14 cm, CA＝13 cm, 求AF、BD、CE的长．图27－2－131图27－2－132 图27－2－1333. 如图27－2－133所示, △ABC的内心为I, ∠A＝50°, O为△ABC的外心, 求∠BOC 和∠BIC的度数.二、课堂反馈训练1. 如图27－2－134, PA切⊙O于点A, 该圆的半径为3, PO＝5, 则PA的长等于________.2．如图27－2－135, ⊙O的半径为5, PA切⊙O于点A, ∠APO＝30°, 则切线长PA为________．(结果保留根号)图27－2－134图27－2－135 图27－2－1363．如图27－2－136所示, PA, PB, DE分别切⊙O于点A, B, C, 如果PA＝8 cm, 求△PDE的周长．。
切线长和圆与圆的位置关系
切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、三角形内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。
（1） 求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。
解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分 理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分 三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用． 难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题． 易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况圆与圆的位置关系的应用 例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上．它们分别以2cm/s 和1cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 分别平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1，与半径为BB 1的⊙B 相切．则点A 平移到点A 1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。
切线长定理和三角形的内切圆
切线长定理和三角形的内切圆切线长定理和三角形的内切圆，这俩玩意儿看上去有点高深莫测，但其实嘛，真没那么复杂，大家来轻松聊聊。
想象一下，你在一个阳光明媚的下午，跟朋友们一起聚会，话题从生活琐事聊到数学，大家哈哈大笑，结果你一不小心提到了这两样东西。
你朋友们肯定会瞪大眼睛，疑惑地问：“这是什么鬼？”别急，让我来给你解解惑。
切线长定理就像是数学界的小秘密。
啥意思呢？就是在一个圆外，如果你画一条切线，这条线跟圆的交点只有一个，那就有点意思了。
这条切线的长度与从圆心到切线的距离有关。
大家可能会想，听起来好像没啥用。
切线长定理就像生活中的一条真理，适用性非常广。
举个例子，如果你想用一根绳子围住一个圆，绳子长短跟你离这个圆的远近有直接关系。
这种简单的道理其实在很多地方都能找到，比如你在超市排队，越靠近收银台，越容易看到商品，哈哈，明白了吗？说到内切圆，它就像是三角形里的小秘密武器。
内切圆的意思就是一个圆，它刚好能碰到三角形的三条边。
听上去是不是很神奇？这就好比你想象一下，一个小朋友在玩捉迷藏，躲在一个房间的正，四周都有墙壁，但它总能找到一个最舒服的位置，这就是内切圆的感觉。
三角形的每一条边都可以算得上是“朋友”，而这个内切圆就像是它们的聚会地点。
更妙的是，内切圆的半径跟三角形的面积和周长有着密不可分的关系。
这就像是你在聚会中，跟朋友们聊得开心的同时，气氛越好，大家就越会聚在一起，形成一种共鸣。
再说切线长定理和内切圆的关系。
这俩玩意儿就像是一对黄金搭档。
在三角形里，如果我们在三角形的每一边画切线，切线的长度与内切圆的半径又有妙不可言的联系。
简而言之，切线的长度告诉你这个圆有多大，而内切圆又是三角形的灵魂。
大家可以想象，内切圆就像是三角形的情感核心，而切线则是把这情感包围起来的纽带。
它们互相依存，缺一不可。
我们可以通过简单的图形来理解这一切。
想象一下，一个大三角形，中间有一个小圆，圆正好包裹住三角形的每一条边。
你站在三角形的某个顶点，伸出手，发现能碰到内切圆的点。
24.切线长定理及三角形的内切圆课件
作法：
M
1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线
BM 和 CN，交点为 O.
O
2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D.
3. 以O为圆心，OD为半径作圆O.
D
CC ☉O 就是所求的圆.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
知识要点
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与
点 A 重合的点为 B．
➢ OB 是☉O 的一条半径吗？
A
➢ PB 是☉O 的切线吗？
O
P
➢ PA、PB 有何关系？ B
➢∠APO 和∠BPO 有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
A
要点归纳
切线长定理：
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
典例精析
例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、
DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H.
D
求证：AB + CD = AD + BC.
G C
解：连接 IB，IC.
A
∵ 点 I 是△ABC 的内心，
∴ BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB.
I
在△IBC 中，
B
C
BIC 180° (IBC ICB)
180° 1 (ABC ACB) 180° 1 (43° 61°)
2
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4.已知：△ABC中,∠A=70º,点O是内心，求 ∠BOC的度数。
A
O
B
C
5、已知△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB切于
点D、E、F,BC=9cm,AC=13cm,AB=14cm,求AF、
BD和CE的长。
A
F
E
B
D
C
6.如图△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，三角 形三边与⊙O均相切，切点分别是D、E、F，求⊙O 的半径。
A
P O
B
如何用尺规通过圆外一点画出圆的切线？
A
OO ·
P
B
1.认识切线长：
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫
做这点到圆的切线长.
A
O
·
P
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
2.研究切线长的性质：A
切线长定理：
过圆外一点
引圆的两条
O
P
切线，它们 的切线长相
B
等。
你还会得到哪些结论？再连接AB呢？
切线长定理与内切圆
圆的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
圆的判定定理：
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
是基本思路）
新课导入：
过一点A作⊙O的切线，
1.当点A在圆内时，能画⊙O的切线吗？ 2.当点A在圆上时，能画⊙O的切线吗？ 3.当点A在圆外时，能画⊙O的切线吗？
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 2.这样的切线能画出几条？
A
F
D
O
CE
B
7.已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与⊙O
相切于P、Q、M、N，图中存在哪些相等关系？并与圆
内接四边形的性质做对比。
D
MC
N
Q O
A
P
B
1.九下《同步》5.7 巩固，提升。 2.《同步》P14-----37的课前预习填充完 成，典型例题自己做一遍。
3.背诵学过的概念，定理，作图。
AD
OF
P
E B
1.如图，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F, 相等的线段有哪些？
A
D
F
.O
B
E
C
2.如何画出这个圆？这个圆是三角形中最大的圆吗？
（自阅课本P41，明确内切圆，内心的概念，并与外接圆， 外心的概念做比较）
3.已知：△ABC中,∠ABC=46º,∠ACB=72º,点 O是内心，求∠BOC的度数。
1.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B， Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F 点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.
F
2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的切线 PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O切线分别交 PA、PB于D、E，如果PO＝10cm， 求△PED的周长。