数列综合练习
高考解答题专项突破(三) 数列的综合问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析
[考情分析]预计2025年高考会从以下两个角度对数列的综合问题进行考查：(1)考查等差、等比数列的基本运算和数列求和的问题，可能与函数、方程、不等式等知识综合起来进行考查；(2)以新定义为载体，考查对新数列性质的理解及应用，以创新型题目的形式出现．考点一等差、等比数列的综合问题例1(2024·山东滨州模拟)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝2，b 2＝4，a n ＝2log 2b n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }中不在数列{b n }中的项按从小到大的顺序构成数列{c n }，记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S 100.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为b 2＝4，所以a 2＝2log 2b 2＝4，所以d ＝a 2－a 1＝2，所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .又a n ＝2log 2b n ，即2n ＝2log 2b n ，所以n ＝log 2b n ，所以b n ＝2n .(2)由(1)得b n ＝2n ＝2·2n －1＝a 2n －1，即b n 是数列{a n }中的第2n －1项．设数列{a n }的前n 项和为P n ，数列{b n }的前n 项和为Q n ，因为b 7＝a 26＝a 64，b 8＝a 27＝a 128，所以数列{c n }的前100项是由数列{a n }的前107项去掉数列{b n }的前7项后构成的，所以S 100＝P 107－Q 7＝107×（2＋214）2－2－281－2＝11302.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用.1.(2022·浙江高考)已知等差数列{a n }的首项a 1＝－1，公差d >1.记{a n }的前n项和为S n (n ∈N *)．(1)若S 4－2a 2a 3＋6＝0，求S n ；(2)若对于每个n ∈N *，存在实数c n ，使a n ＋c n ，a n ＋1＋4c n ，a n ＋2＋15c n 成等比数列，求d 的取值范围．解(1)因为S 4－2a 2a 3＋6＝0，a 1＝－1，所以－4＋6d －2(－1＋d )(－1＋2d )＋6＝0，所以d 2－3d ＝0，又d >1，所以d ＝3，所以a n ＝3n －4，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝3n 2－5n2.(2)因为a n ＋c n ，a n ＋1＋4c n ，a n ＋2＋15c n 成等比数列，所以(a n ＋1＋4c n )2＝(a n ＋c n )(a n ＋2＋15c n )，(nd －1＋4c n )2＝(－1＋nd －d ＋c n )(－1＋nd ＋d ＋15c n )，c 2n ＋(14d －8nd ＋8)c n ＋d 2＝0，由已知可得方程c 2n ＋(14d －8nd ＋8)c n ＋d 2＝0的判别式大于等于0，所以Δ＝(14d －8nd ＋8)2－4d 2≥0，所以(16d －8nd ＋8)(12d －8nd ＋8)≥0对于任意的n ∈N *恒成立，所以[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]≥0对于任意的n ∈N *恒成立，当n ＝1时，[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]＝(d ＋1)(d ＋2)≥0，当n ＝2时，由(2d －2d －1)(4d －3d －2)≥0，可得d ≤2，当n ≥3时，[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]>(n －3)(2n －5)≥0，又d >1，所以1<d ≤2，即d 的取值范围为(1，2]．考点二通项与求和问题例2(2023·黑龙江哈九中模拟)在①S 3＝2a 3－15；②a 2＋6是a 1，a 3的等差中项；③2S n ＝t n ＋1－3(t ≠0)这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，并解答．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且满足________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a n ＝b n －1b n ，求数列2n n 项和T n .注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，若选①：由S 3＝2a 3－15，得a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－15，所以a 3－a 2－a 1＝15，又由a 1＝3，可得3q 2－3q －18＝0，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以a n ＝3×3n －1＝3n (n ∈N *)．若选②：由a 2＋6是a 1，a 3的等差中项，可得a 1＋a 3＝2(a 2＋6)，又因为a 1＝3，可得3＋3q 2＝2(3q ＋6)，即q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1(舍去)，所以a n ＝3×3n －1＝3n (n ∈N *)．若选③：由2S n ＝t n ＋1－3(t ≠0)，当n ＝1时，2a 1＝6＝2S 1＝t 2－3，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)，所以2S n ＝3n ＋1－3，当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3n ＋1－3－(3n －3)＝2·3n ，所以a n ＝3n (n ≥2)．经验证当n ＝1时，满足a n ＝3n ，所以a n ＝3n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n ＝3n ，所以b n －1b n ＝3n ，n ＝9n ，所以b 2n ＋1b 2n＝9n＋2，所以T n 2122 (2)n (91＋2)＋(92＋2)＋…＋(9n ＋2)＝91＋92＋…＋9n＋2n ＝9（1－9n ）1－9＋2n ＝9n ＋1＋16n －98.解决非等差、等比数列求和问题的两种思路思路一转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成思路二不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和2.(2024·广东深圳中学月考)若一个数列的奇数项为公差为正的等差数列，偶数项为公比为正的等比数列，且公差、公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表达式为a n ＝1＋n －12d ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，2qn －22，n ＝2k ，k ∈N *，若数列{a n }(n ∈N *)为“摇摆数列”且a 1＝1，a 1＋a 2＝a 3，a 2a 3＝20.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ∑ni ＝1i 2解(1)＋a 2＝a 3，2a 3＝202＝4，3＝52＝－5，3＝－4(舍去)，∴d ＝q ＝4，∴a n n －1，n ＝2k ＋1，k ∈N ，n ，n ＝2k ，k ∈N *.(2)b n ＝na n n 2－n ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，·2n ，n ＝2k ，k ∈N *.先求奇数项的和：b n ＝2n 2－n ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，S n ＝2×[12＋32＋…＋(2n －1)2]－n 2，引入W n ＝22＋42＋…＋(2n )2＝4(12＋22＋…＋n 2)，12(S n ＋n 2)＋W n ＝∑2ni ＝1i 2＝n （2n ＋1）（4n ＋1）3⇒S n＝2(∑2ni ＝1i 2－W n )－n 2＝2n （2n ＋1）（4n ＋1）3－4×n （n ＋1）（2n ＋1）6－n 2＝8n 3－3n 2－2n 3，再求偶数项的和：b n ＝n ·2n ，n ＝2k ，k ∈N *，S n ′＝2×22＋4×24＋…＋2n ×22n ，4S n ′＝2×24＋4×26＋…＋2(n －1)×22n ＋2n ×22n ＋2，两式相减，得－3S n ′＝2×22＋2×24＋2×26＋…＋2×22n －2n ×22n＋2＝8×（1－4n ）1－4－2n ×22n ＋2＝（1－3n ）×22n ＋3－83，∴S n ′＝（3n －1）22n ＋3＋89，∴T 2n ＝S n ＋S n ′＝8n 3－3n 2－2n3＋（3n －1）22n ＋3＋89.考点三数列与不等式的综合问题例3(2023·安徽十校联考)已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－2(n ≥2且n ∈N *)，a 2＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)n 项和为T n ，求证：23≤T n <1.解(1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－2，所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－2，两式相减得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，当n ＝2时，a 1－a 2＝－2，又a 2＝4，所以a 1＝2，a 2＝2a 1，所以a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明：因为2n（a n －1）（a n ＋1－1）＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1，所以T n …1－12n ＋1－1<1，由n ≥1，得2n ＋1≥4，所以1－12n ＋1－1≥23，综上，2≤T n <1.1．数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．2．放缩法常见的放缩技巧(1)1k 2＜1k 2－1＝121k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k.(3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．(4)12n ＋1＜12n ＋1＜12n ，13n ＜13n －1≤12·3n －1.3.(2023·河南五市高三二模)已知数列{a n }满足a 1＝23，且2a n ＋1－a n ＋1a n ＝1，n∈N *.(1){a n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1a 2a 3…a n ，n ∈N *，S n ＝T 21＋T 22＋…＋T 2n .证明：S n 解(1)由2a n ＋1－a n ＋1a n ＝1，得a n ＋1＝12－a n ，则11－a n ＋1－11－a n＝1，是首项为11－a 1＝3，公差d ＝1的等差数列，所以11－a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，整理得a n ＝n ＋1n ＋2(n ∈N *)，经检验，符合要求．(2)证明：由(1)得a n ＝n ＋1n ＋2(n ∈N *)，T n ＝a 1a 2…a n ＝2n ＋2，∴T 2n ＝4（n ＋2）2>4（n ＋2）（n ＋3）＝∴S n ＝T 21＋T 22＋…＋T 2n －14＋…＋1n ＋2－即S n 考点四数列与函数的综合问题例4(2024·江苏辅仁中学阶段考试)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列前n 项和T n .解(1)由已知，得b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 的图象在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.则a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2，所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1.因此2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n.所以T n ＝2n ＋1－n －22n.数列与函数综合问题的常见类型及注意事项常见类型类型一已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题类型二已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形注意事项注意点一数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或有限子集)，它的图象是一群孤立的点注意点二转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题注意点三利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化4.(2024·湖南湘潭一中阶段考试)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .解(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，所以cos x ＝－12，解得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－2n π3＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sinn （n ＋1）π－2n π3.因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，所以n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin2n π3.当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sinS n ＝－m π＝－32；当n ＝3m －1(m ∈N *)时，sin S n ＝－m π＝32；当n ＝3m (m ∈N *)时，sin S n ＝－sin2m π＝0.综上所述，sin S nn ＝3m －2（m ∈N *），＝3m －1（m ∈N *），3m （m∈N *）.课时作业1．(2023·新课标Ⅱ卷){a n }为等差数列，b n n －6，n 为奇数，a n ，n 为偶数，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和，S 4＝32，T 3＝16.(1)求{a n }的通项公式；(2)证明：当n >5时，T n >S n .解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，而b n n －6，n 为奇数，a n ，n 为偶数，则b 1＝a 1－6，b 2＝2a 2＝2a 1＋2d ，b 3＝a 3－6＝a 1＋2d －6，4＝4a 1＋6d ＝32，3＝4a 1＋4d －12＝16，1＝5，＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋3，所以{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋3.(2)证法一：由(1)知，S n ＝n （5＋2n ＋3）2＝n 2＋4n ，b n n －3，n 为奇数，n ＋6，n 为偶数，当n 为偶数时，b n －1＋b n ＝2(n －1)－3＋4n ＋6＝6n ＋1，T n ＝13＋（6n ＋1）2·n 2＝32n 2＋72n ，当n >5时，T n －S n 2＋72n (n 2＋4n )＝12n (n －1)>0，因此T n >S n ；当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝32(n ＋1)2＋72(n ＋1)－[4(n ＋1)＋6]＝32n 2＋52n －5，当n >5时，T n －S n 2＋52n －(n 2＋4n )＝12(n ＋2)(n －5)>0，因此T n >S n .所以当n >5时，T n >S n .证法二：由(1)知，S n ＝n （5＋2n ＋3）2＝n 2＋4n ，b n n －3，n 为奇数，n ＋6，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n )＝－1＋2（n －1）－32·n 2＋14＋4n ＋62·n 2＝32n 2＋72n ，当n >5时，T n －S n 2＋72n (n 2＋4n )＝12n (n －1)>0，因此T n >S n ；当n 为奇数时，若n ≥3，则T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1)＝－1＋2n －32·n ＋12＋14＋4（n －1）＋62·n －12＝32n2＋52n －5，显然T 1＝b 1＝－1满足上式，因此当n 为奇数时，T n ＝32n 2＋52n －5，当n >5时，T n －S n 2＋52n －(n 2＋4n )＝12(n ＋2)(n －5)>0，因此T n >S n .所以当n >5时，T n >S n .2．(2023·江苏徐州第七中学校考一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝12·3n ＋b (b 为常数)．(1)求b 的值和数列{a n }的通项公式；(2)记c m 为{a n }在区间[－3m ，3m ](m ∈N *)内的项的个数，求数列{a m c m }的前n 项和T n .解(1)由题设S n ＝12·3n ＋b ，显然等比数列{a n }的公比不为1，设{a n }的公比为q ，则S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝a 11－q －a 1q n1－q ，∴b ＝a 11－q ＝－12且q ＝3，∴a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)令－3m ≤3n －1≤3m ，n ∈N *，解得0≤n －1≤m ，∴1≤n ≤m ＋1，数列{a n }在区间[－3m ，3m ](m ∈N *)内的项的个数为m ＋1，则c m ＝m ＋1，∴a m c m ＝(m ＋1)×3m －1，∵T n ＝2×30＋3×31＋…＋(n ＋1)×3n －1，①3T n ＝2×31＋3×32＋…＋(n ＋1)×3n ，②两式相减，得－2T n ＝2×30＋31＋…＋3n－1－(n ＋1)×3n＝1＋1－3n1－3－(n ＋1)·3n ＝（－1－2n ）·3n ＋12，∴T n n －14.3．(2024·河南郑州外国语学校阶段考试)已知f (x )＝－4＋1x2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n n ∈N *)在曲线y ＝f (x )上，且a 1＝1，a n ＞0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＋1a 2n ＝T na 2n ＋1＋16n 2－8n －3，确定b 1的值使得数列{b n }是等差数列．解(1)因为f (x )＝－4＋1x2，且点P n ，n ∈N *)在曲线y ＝f (x )上，所以1a n ＋1＝4＋1a 2n ，即1a 2n ＋1－1a 2n＝4，1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n＝1＋4(n －1)＝4n －3，即a n ＝14n －3(n ∈N *)．(2)由(1)知T n ＋1a 2n ＝T n a 2n ＋1＋16n 2－8n －3，即为(4n －3)T n ＋1＝(4n ＋1)T n ＋(4n －3)(4n ＋1)，整理得T n ＋14n ＋1－T n 4n －3＝1，T 1为首项，1为公差的等差数列，则T n 4n －3＝T 1＋n －1，即T n ＝(4n －3)(T 1＋n －1)，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝4b 1＋8n －11，若{b n }是等差数列，则b 1适合上式，令n ＝1，得b 1＝4b 1－3，解得b 1＝1.4．(2023·黑龙江齐齐哈尔模拟)在①S n ＝32a n －3，其中S n 为数列{a n }的前n 项和；②a 1＝1，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }满足________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1为数列{a n }中的项？若存在，求出m ；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解若选择条件①：(1)令n ＝1，则a 1＝321－3，所以a 1＝6，由于S n ＝32a n －3，则当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－3，两式相减，得a n ＝32a n －32a n －1，则a n a n －1＝3，所以{a n }是首项为6，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝6×3n －1＝2×3n .(2)假设存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1＝a k (k ∈N *)，则2×3m ＋2×3m ＋1＝2×3k ，所以4×3m ＝3k ，此等式左边为偶数，右边为奇数，所以不存在正整数m 满足题意．若选择条件②：(1)因为a 1＝1，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，所以a n ≠0，1a n ＋1－1a n＝1，是首项为1a 1＝1，公差为1的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n.(2)假设存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1＝a k (k ∈N *)，则1m ＋1m ＋1＝1k，化简得m 2＋(1－2k )m －k ＝0，解得m ＝2k －1＋1＋4k 22，因为2k <1＋4k 2<2k ＋1，所以2k －12<m <2k ，m 无正整数解，故不存在正整数m 满足题意．5．已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n ＜T m ＋λ成立，求实数λ的取值范围．解(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，S n ＝n （9－n ）2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m 1－1281m ，的值随m 增加而减小，∴{T m }为递增数列，得4≤T m ＜8.又S n ＝n （9－n ）2＝－12(n 2－9n )－814，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n ＜T m ＋λ，则10＜8＋λ，解得λ＞2.故实数λ的取值范围为(2，＋∞)．6．(2024·河北衡水调研)已知数列{a n }满足a 1＝37，3a n ，2a n ＋1，a n a n ＋1成等差数列．(1){a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：1271S n <7528.解(1)由已知得4a n ＋1＝3a n ＋a n a n ＋1，因为a 1＝37≠0，所以由递推关系可得a n ≠0恒成立，所以4a n ＝3a n ＋1＋1，所以4a n －4＝3an ＋1－3，即1a n ＋1－1又因为1a 1－1＝73－1＝43，是首项为43，公比为43的等比数列，所以1a n －1，所以a n ＝11.(2)证明：由(1)可得a n ＝111－1＝37×－1，所以S n ≥37＋37×＋…＋37×－1＝1271a n ＝11<1，S 1＝37<7528，当n ≥2时，S n <37＋＋ (37)1－34＝7528－<7528.综上所述，1271S n <7528成立．。
一轮复习专题31 数列综合练习
专题31数列综合练习一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．下列公式可作为数列}{n a ：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是()。
A 、1=n aB 、21)1(+-=n n a C 、|2sin |2π-=n a n D 、23)1(1+-=+n n a 【答案】C【解析】由|2sin|2π-=n a n 可得11=a ，22=a ，13=a ，24=a ，…，故选C 。
2．数列}{n a 中“n a 、1+n a 、2+n a (+∈N n )成等比数列”是“221++⋅=n n n a a a ”的()。
A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】+∈N n ，n a 、1+n a 、2+n a 成等比数列，则221++⋅=n n n a a a ，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1、0、0、0、…故选A 。
3．如图，n 个连续自然数按规律排成下表，则从2018到2020的箭头方向依次为()。
A 、↑→B 、→↑C 、↓→D 、→↓【答案】A【解析】选取1作为起点，由图可知，位置变化规律是以4为周期，由于250442018+⨯=，可知2018在2的位置，2019在3的位置，2020在4的位置，故选A 。
4．等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为()。
A 、130B 、170C 、210D 、260【答案】C【解析】由已知得30=m S 、1002=m S ，则m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…为等差数列，则30=m S 、702m m S S -、11023=-m m S S ，则2103=m S ，故选C 。
5．将含有n 项的等差数列插入4和67之间，仍构成一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n 值为()。
A 、20B 、21C 、22D 、23【答案】A【解析】由题意知这些数构成2+n 项的等差数列，且首末项分别为4和67，由等差数列的求和公式可得7812)2()(21=+⨯+=+n a a S n ，解得20=n ，故选A 。
辽宁省2023届高考数学复习：近年真题模拟题专项(数列综合题)练习(附答案)
辽宁省2023届高考数学复习：近年真题模拟题专项(数列综合题)练习1．（2022•新高考Ⅱ）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-． （1）证明：11a b =；（2）求集合1{|k m k b a a =+，1500}m 剟中元素的个数．2．（2021•新高考Ⅱ）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244a a S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）求使n n S a >成立的n 的最小值．3．（2022•沈阳一模）等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2414a a +=，246b b a =，且0n b >． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）已知：①1000n b <；②m N +∃∈，使m n a b =．设S 为数列{}n b 中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S 的值．4．（2022•沈阳一模）已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）对于集合B ，定义集合{A B x A -=∈且}x B ∈∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ．5．（2022•沈河区校级二模）已知等差数列{}n a 满足59a =，4822a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b a =，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足2021n S <的n 的最大值．①312b a a =+； ②37S =； ③1n n b b +>．6．（2022•大连模拟）已知等差数列{}n a 的公差为正实数，满足14a =，且1a ，3a ，54a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若11b =，且 ______，求数列{}n n a b +的前n 项和为n T ，以下有三个条件：①21n n S =-，*n N ∈； ②21n n S b =-，*n N ∈； ③121n n S S +=-，*n N ∈．从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列{}n b 为等比数列，并根据题意解决问题．7．（2022•辽宁一模）已知{}n a 是等差数列，36a =，612a =，且1,2,nn n a a n b n +⎧=⎨⎩为偶数为奇数． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前2n 项和．8．（2022•辽宁模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，7210126S a a -=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{2}n a n a +⋅的前n 项和为n T ，求满足920409665n T n ->-的正整数n 的最小值．9．（2022•沙河口区校级模拟）已知单调递增的等比数列{}n a ，满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =-，12n n S b b b =++⋯+，对任意正整数n ，总有1()0n n S n m a +++<成立，试求实数m 的取值范围．10．（2022•辽宁模拟）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，13a =，114n n S a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个，求数列{}n b 的前n 项和n T ． ①211(1)n n n n a b S a +++=+；②242221(1)(21013)2n n n n n n n b a a -+-⋅++⋅=⋅．11．（2022•大东区模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分． ①数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列； ②数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=； ③22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且2212211(log )(log )n n n b a a -+=，证明：12n T <．12．（2022•辽宁模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：*21()nn S a n N n=+∈． （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列； （Ⅱ）若25a =，令1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式22145()5n n T T m m +--…对任意*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．13．（2022•辽宁一模）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，17a =-，26a =-，11(n n a ka n N ++=+∈，)k R ∈． （1）证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ； （2）记123||||||||n n T a a a a =++++ ，求n T ．14．（2022•辽宁模拟）记正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，235a a S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，若782m b a =，求数列{}n b 前m 项的和m T ．15．（2022•抚顺一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又对任意的正整数n ，m ，都有2n ma a n m-=--，且530S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设||22na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16．（2022•丹东模拟）数列{}n a 中，2112,2(2)n n n a a a ++=-=-．（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：数列{}n S 中任意连续三项按适当顺序排列后，可以组成等差数列．17．（2022•铁东区校级模拟）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且从①21a -为11a -与31a +等比中项，②等比数列{}n b 的公比为3q =，11b a =，24b a =这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：16n T <．18．（2022•沈河区校级四模）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，*2132()n n n a a a n N ++=-∈， （Ⅰ）证明：数列1{}n n a a +-是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．19．（2022•锦州模拟）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且22a =，135a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①11b =，n n S nb =，②231n n S b =-这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的最小值；若k 不存在，说明理由．问题：设数列{}n b 的前n 项和为n S ，_____，数列{}n n a b -的前n 项和为n T ，是否存在正整数k ，使得100k T >？20．（2022•大连二模）已知数列{}n a 是首项11a =的正项等比数列，{}n b 是公差2d =的等差数列，且满足322b a =，341a b =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若n c ＝____，求{}n c 的前n 项和n S ． 请在①3(1)n n n c a b =+-；②13n n nb c a -=．这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答．21．（2022•辽宁模拟）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n n S a n =+． （1）证明：数列1{}n n a a ++为等差数列； （2）求{}n a 的通项公式．22．（2022•辽宁二模）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，对于任意正整数n ，有2132n n n a a a ++=-．若12n n n b a a +=-．（1）判断数列{}n b 是等差数列还是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log n n n c a a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．23．（2022•辽宁模拟）已知等比数列{}n b 和递增的等差数列{}n a 满足112a =，11b =，225a b =，332a b =． （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和数列{}n b 中的所有项分别构成集合A 和B ，将A B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 前63项和63S ．24．（2022•鞍山模拟）在①231n n S n =--，②123n n a a +=+，12a =-，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且____（只需填入序号）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(3)n n b n a =⋅+，求数列{}n b 的n 项和n T ．25．（2022•辽宁三模）已知数列{}n a 中，满足1a a =，2a b =，12()n n n a k a a ++=+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若1a b ==，且1{}n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ．26．（2022•沈阳模拟）已知公差大于1的等差数列{}n a 中，23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n S ，求证：1132n S <…．27．（2022•辽宁模拟）已知数列{}n a 中，132a =且*1241()n n a a n n N +=+-∈． （1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．28．（2022•辽阳二模）①{2}n n a 为等差数列，且358a =；②{}21n a n -为等比数列，且234a =．从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答在数列{}n a 中，112a =，_______． （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知{}n a 的前n 项和为n S ，试问是否存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-？若存在p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．29．（2022•葫芦岛二模）已知数列{}n a 是等差数列，且101a -，122a +，1444a +分别是公比为2的等比数列{}n b 中的第3，4，6项．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 通项公式为sin()n n n c b a π=，求{}n c 的前100项和100S ．30．（2022•中山区校级一模）已知等差敉列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a =，213a b ==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）在①312b =；②211b a =；③22323a b a +=这三个条件中选择一个作为已知条件，使得{}n b 存在且唯一，并求数列{}n a b 的前n 项和n S ．31．（2022•沈阳模拟）设各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项积为n T ，且21n n S T +=． （1）求证：数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．32．（2022•辽宁模拟）已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2128a a -=，384S =，*q N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若112222log log log log n nnn a a n a a b ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．33．（2022•沙河口区校级一模）在下面①和②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答．已知数列{}n a 满足16a =，23a =-．____．①若*122()n n n a a a n N +++=∈．设1n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列，若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*()n S m n N ∈…，求实数m 的最小值；②若数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，且*1()n n a a n N +>∈，3433a a +=-，求数列{}n a 的通项公式．若数列{}n a 的前n 项和n S ，求||n S ．34．（2022•辽宁三模）已知{8}n a +是公比为2的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且32S S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{||}n a 的前n 项和n T ．35．（2022•沈河区校级模拟）已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，公比是q ，且满足：13a =，11b =，2212b S +=，22S b q =． （Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设332n a n n b λ=- ð，()R λ∈，若数列{}n ð是递增数列，求λ的取值范围．36．（2022•和平区校级模拟）已知数列{}n a 满足12a =，112(*)n na n N a +=-∈． （1）设11n n b a =-，求证数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n a c n =+，数列1{}n n c c +的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得213n m m T c c +<对任意的*n N ∈都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，试说明理由．37．（2022•葫芦岛一模）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知1310a a +=，80S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最大值．38．（2022•丹东模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为2，1a ，2a ，5a 成等比数列． （1）证明：(1)n S n n >-； （2）证明：12311112nS S S S ++++<39．（2022•望花区校级模拟）已知数列{}n a 满足11a λ=-，且12(0)n n a a λλ+=+≠，且数列{1}n a +是等比数列．（1）求λ的值；（2）若(2)n n n b a a =+，求123n b b b b +++⋯+．参考答案1．（2022•新高考Ⅱ）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-． （1）证明：11a b =；（2）求集合1{|k m k b a a =+，1500}m 剟中元素的个数． 【答案】（1）见解析；（2）9【过程详解】（1）证明：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由2233a b a b -=-，得1111224a d b a d b +-=+-，则12d b =， 由2244a b b a -=-，得111128(3)a d b b a d +-=-+， 即11124(3)a d b d a d +-=-+， 11a b ∴=．（2）由（1）知，1122d b a ==，由1k m b a a =+知，11112(1)k b a m d a -⋅=+-+， ∴111112(1)2k b b m b b -⋅=+-⋅+，即122k m -=，又1500m 剟，故1221000k -剟，则210k 剟， 故集合1{|k m k b a a =+，1500}m 剟中元素个数为9个．2．（2021•新高考Ⅱ）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244a a S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）求使n n S a >成立的n 的最小值． 【答案】（Ⅰ）26n a n =-；（Ⅱ）7 【过程详解】（Ⅰ）数列n S 是公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244a a S =． 根据等差数列的性质，3535a S a ==，故30a =，根据244a a S =可得333333()()(2)()()a d a d a d a d a a d -+=-+-+++， 整理得22d d -=-，可得2(0d d ==不合题意）， 故3(3)26n a a n d n =+-=-． （Ⅱ）26n a n =-，14a =-， 2(1)4252n n n S n n n -=-+⨯=-， n n S a >，即2526n n n ->-，整理可得2760n n -+>， 当6n >或1n <时，n n S a >成立， 由于n 为正整数， 故n 的最小正值为7．3．（2022•沈阳一模）等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2414a a +=，246b b a =，且0n b >． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）已知：①1000n b <；②m N +∃∈，使m n a b =．设S 为数列{}n b 中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S 的值．【答案】（1）12n n b -=；（2）见解析【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d 和等比数列{}n b 的公比为q ，0q >， 由111a b ==，2414a a +=，246b b a =，可得11314d d +++=，315q q d ⋅=+， 解得3d =，2q =，则13(1)32n a n n =+-=-，12n n b -=；（2）①1000n b <，即121000n -<，解得1n =，2，3，...，10； ②m N +∃∈，使m n a b =，即1322n m --=，可得1m =，1n =；2m =，3n =；6m =，5n =；22m =，7n =；86m =，9n =． 所以141664256341S =++++=．4．（2022•沈阳一模）已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）对于集合B ，定义集合{A B x A -=∈且}x B ∈∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ． 【答案】（1）31n a n =+，2n n b =；（2）1632【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，设正项等比数列{}n b 的公比为q ， 由于满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+， 所以22q q =+，解得2q =或1-（负值舍去）， 故2n n b =，所以332a b =+，所以31331a a d -==-， 整理得31n a n =+；（2）由于3091a =，6764121128b b =<<=， 所以30S 中要去掉数列{}n b 的项最多6项， 数列{}n b 的前6项分别为2，4，8，16，32，64； 其中4，16，64三项是数列{}n a 和{}n b 的公共项；所以数列{}n c 前30项由数列{}n a 的前33项再去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这三项构成， 所以30123324633(43331)(...)()(41664)16322S a a a b b b ⨯+⨯+=+++-++=-++=．5．（2022•沈河区校级二模）已知等差数列{}n a 满足59a =，4822a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b a =，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足2021n S <的n 的最大值．①312b a a =+； ②37S =； ③1n n b b +>．【答案】（1）21n a n =-；（2）见解析 【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 因为4822a a +=，所以6222a =，所以611a =，又59a =， 所以651192d a a =-=-=，154981a a d =-=-=， 所以1(1)221n a n n =+-⨯=-．（2）若选择①②：设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+，所以11b =，34b =， 因为37S =，所以23132b S b b =--=，所以212b q b ==， 所以1(1)211n n n b q S q -==--， 因为2021n S <，所以212021n -<， 所以10n …，即n 的最大值为10．若选择①③：设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+，所以11b =，34b =， 所以2314b q b ==，2q =±， 因为1n n b b +>，所以2q =，所以1(1)211n n n b q S q -==--， 因为2021n S <，所以212021n -<， 所以10n …，即n 的最大值为10．若选择②③：设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为37S =，11b =，所以217q q ++=， 所以2q =或3q =-， 因为1n n b b +>，所以2q =，所以1(1)211n n n b q S q -==--， 因为2021n S <，所以212021n -<， 所以10n …，即n 的最大值为10．6．（2022•大连模拟）已知等差数列{}n a 的公差为正实数，满足14a =，且1a ，3a ，54a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若11b =，且 ______，求数列{}n n a b +的前n 项和为n T ，以下有三个条件：①21n n S =-，*n N ∈； ②21n n S b =-，*n N ∈； ③121n n S S +=-，*n N ∈．从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列{}n b 为等比数列，并根据题意解决问题． 【答案】（1）22n a n =+；（2）见解析 【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >．由14a =得342a d =+，5484a d +=+，由1a ，3a ，54a +成等比数列得2(42)4(84)d d +=+． 所以2d =±，由0d >知2d =，从而1(1)42(1)22n a a n d n n =+-=+-=+．（2）若选①：21n n S =-，*n N ∈，则当1n =时，11211b S ==-=；当2n …，*n N ∈时，111(21)(21)2n n n n n n b S S ---=-=---=． 当1n =时，也满足上式，所以12n n b -=，*n N ∈．所以11222nn n n b b +-==，所以数列{}n b 为首项为1，公比为2的等比数列． 所以数列{}n n a b +的前n 项和为2(422)(21)2312n n n n n T n n ++=+-=++-．若选②：21()n n S b i =-，当1n =时，11121S b b ==-，*n N ∈，11b =；当2n …时，1121()n n S b ii --=-， ()()i ii 两式相减得：122n n n b b b -=-，即12n n b b -=，2n …，*n N ∈，所以12nn b b -=． 所以数列{}n b 为首项11b =，公比2q =的等比数列，所以12n n b -=，*n N ∈． 所以数列{}n n a b +的前n 项和为2(422)(21)2312n n n n n T n n ++=+-=++-．若选③：121()n n S S i +=-， 2121()n n S S ii ++=-，()()ii i -得：212n n b b ++=，*n N ∈， 所以12nn b b -=，数列{}n b 是公比为2q =的等比数列，且1n =时12121a a a +=-， 解得11a =，所以12n n b -=，*n N ∈． 所以数列{}n n a b +的前n 项和为2(422)(21)2312n n n n n T n n ++=+-=++-．7．（2022•辽宁一模）已知{}n a 是等差数列，36a =，612a =，且1,2,nn n a a n b n +⎧=⎨⎩为偶数为奇数． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前2n 项和．【答案】（1）2n a n =；（2）224(161)2315n n T n n ⨯-=++ 【过程详解】（1）由于{}n a 是等差数列，36a =，612a =，设首项为1a ．公差为d ， 所以1126512a d a d +=⎧⎨+=⎩，整理得122a d =⎧⎨=⎩，所以22(1)2n a n n =+-=，（2）由（1）得：21,4,n n n n b n +⎧=⎨⎩为偶数为奇数，所以13212224(161)(541)4(161)(44 (4))(59...41)2341215n n n n n n T n n n --++⨯-=++++++++=+=++-． 8．（2022•辽宁模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，7210126S a a -=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{2}n a n a +⋅的前n 项和为n T ，求满足920409665n T n ->-的正整数n 的最小值．【答案】（1）21n a n =-，*n N ∈；（2）6【过程详解】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ， 则7721S d =+，21a d =+，1019a d =+， 7210126S a a -=+ ，721126(1)(19)d d d ∴+-=+++， 解得2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-，*n N ∈．（2）由（1），可知122(21)2n a n n a n +⋅=-⋅， 则2462123252(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，24622221232(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减，可得246222312222222(21)2n n n T n +-=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅4222222242(21)212n n n ++-=+⋅--⋅- 226520233n n +-=-⋅-，226520299n n n T +-∴=⋅+， 2222920(65)22020(65)2n n n T n n ++∴-=-⋅+-=-⋅，故22920265n n T n +-=-，1240962= ， ∴不等式920409665n T n ->-即为221222n +>，即2212n +>，解得5n >， ∴满足920409665n T n ->-的正整数n 的最小值为6．9．（2022•沙河口区校级模拟）已知单调递增的等比数列{}n a ，满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =-，12n n S b b b =++⋯+，对任意正整数n ，总有1()0n n S n m a +++<成立，试求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2n n a =；（Ⅱ）(-∞，1]- 【过程详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ． 依题意32a +是2a ，4a 的等差中项， 有3242(2)a a a +=+， 代入23428a a a ++=， 得38a =． 2420a a ∴+=．∴31121208a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解之得12a q ==或132a =，12q =， 又{}n a 单调递增， 2q ∴=，12a =，2n n a ∴=；（Ⅱ）2n n n b na n =-=-⋅，23122232...2n n S n ∴-=⨯+⨯+⨯++⨯① 23121222(1)22n n n S n n +-=⨯+⨯++-+⋅②①-②得，231222...22n n n S n +=++++-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-11222n n n ++=--⋅， 由1()0n n S n m a +++<，即1111222220n n n n n n m ++++--⋅+⋅+⋅<对任意正整数n 恒成立， 11222n n m ++∴⋅<-． 对任意正整数n ， 112nm <-恒成立．1112n->-，1m ∴-…． 即m 的取值范围是(-∞，1]-．10．（2022•辽宁模拟）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，13a =，114n n S a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个，求数列{}n b 的前n 项和n T ． ①211(1)n n n n a b S a +++=+；②242221(1)(21013)2n n n n n n n b a a -+-⋅++⋅=⋅．【答案】（1）1(2)2n n a n -=+⋅；（2）见解析 【过程详解】（1）13a =，114n n S a ++=，所以2n …时，114n n S a -+=， 11144n n n n n a S S a a ++-=-=-，转换为1122(2)n n n n a a a a +--=-， 即1122(2)2n nn n a a n a a +--=-…，当2n =时，23112a ++=，解得28a =；当3n =时，338132a +++=，解得320a =， 322122(2)a a a a -=-，所以数列1{2}n n a a --是从第二项2122a a -=为首项，2为公比的等比数列，所以1122(2)n n n a a n ---=…， 可得111222n n n n a a ---=， 所以数列{}2n na 是以2为首项，12为公差的等差数列， 所以122(2)222n n a n n +=+-=， 即有1(2)2(2)n n a n n -=+⋅…， 上式对1n =也成立， 故1(2)2n n a n -=+⋅； （2）若选择①，1114(2)2n n n S a n +++==+⋅，121111(4)2411(1)(2)2(3)2(2)(3)2(2)2(3)2n n n n n n n n n n a n n b S a n n n n n n +++++++⋅+====-++⋅⋅+⋅++⋅+⋅+⋅，所以数列{}n b 的前n 项和1111111111...6161640(2)2(3)26(3)2n n n n T n n n ++=-+-++-=-+⋅+⋅+⋅； 若选择②．②242242222224222221(1)(21013)2(1)(21013)22101311(1)(1)[](2)(3)2(2)(3)(2)(3)n n n n n n n n n n n n n n n n b a a n n n n n n ---+-⋅++⋅-⋅++⋅++===-⋅=-+⋅++⋅++++， 可得122221*********((()...(1)[](1)[]91616252536(1)(2)(2)(3)n nn T n n n n -=-+++-+++-++-+++++ 211(1)9(3)n n =-+-⋅+．11．（2022•大东区模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分． ①数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列； ②数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=； ③22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且2212211(log )(log )n n n b a a -+=，证明：12n T <．【答案】见解析【过程详解】（1）解：若选①数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列； 所以1(1)6a q +=，32444a a a =+，即22244a q a q =+， 解得，2q =，12a =， 故2n n a =；若选②数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=； 所以142332a a a a ==，2312a a +=， 所以24a =，38a =，2q =， 故222422n n n n a a q --=⋅=⨯=； 若选③22n n S a =-， 当1n >时，1122n n S a --=-，两式相减得，122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 当1n =时，1122S a =-，即12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， 故2n n a =；（2）证明：由（1）得22122111111((log )(log )(21)(21)22121n n n b a a n n n n -+===--+-+，所以111111111(1)(1)233521212212n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<-++．12．（2022•辽宁模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：*21()nn S a n N n=+∈． （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列； （Ⅱ）若25a =，令1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式22145()5n n T T m m +--…对任意*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）(-∞，2][7- ，)+∞ 【过程详解】（Ⅰ）证明：依题意，由21n n S a n =+，可得(1)2n n n a S +=， 当1n =时，11112a a S +==，解得11a =， 当2n …时，111(1)(1)(1)(1)1222n n n n n n n n a n a na n a a S S ---+-+--+=-=-=， 即12(1)1n n n a na n a -=--+，整理，可得11(1)()n n n a n a a --=--，构造数列{}n b ，令1n n n b a a -=-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ， 因为11a =，即11n n a a a -=-，而12132112()()()n n n n a a a a a a a a b b b --=-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+， 所以1n n a T -=， 即(1)n n T n b =-， 同理，11(2)n n T n b --=-，两式相减，可得11(1)(2)n n n n n b T T n b n b --=-=---， 整理，得1n n b b -=，所以数列{}n b 是一个常数列，当2n …时，1n n a a --的值为一个固定的常数， 所以数列{}n a 为等差数列．（Ⅱ）若25a =，则21514d a a =-=-=，所以14(1)43n a n n =+-=-， 1143n n b a n ==-，数列{}n b 的前n 项和12...n n T b b b =+++， 21121221......n n n n n T b b b b b b +++=+++++++，可设211221111 (414581)n n n n n n M T T b b b n n n +++=-=+++=++++++， 11111 (45498189)n M n n n n +=++++++++， 1114808941(89)(41)n n n M M n n n n +---=-=<++++， 可得{}n M 为递减数列， 所以111145945n M M =+=…， 若不等式22145()5n n T T m m +--…对任意*n N ∈恒成立， 可得21454545m m -⨯…，解得7m …或2m -…， 则m 的取值范围是(-∞，2][7- ，)+∞．13．（2022•辽宁一模）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，17a =-，26a =-，11(n n a ka n N ++=+∈，)k R ∈． （1）证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ； （2）记123||||||||n n T a a a a =++++ ，求n T ．【答案】（1）见解析；（2）2(15),07211556,822n n n n T n n n -⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩……【过程详解】（1）证明：当1n =时，有211a ka =+，即671k -=-+，解得1k =， 所以11n n a a +-=，即数列{}n a 是公差为1的等差数列， 故7(1)18n a n n =-+-⨯=-． （2）解：由（1）知，8n a n =-，当07n <…时，0n a <；当8n …时，0n a …，所以当07n <…时，1212(78)(15)||||||()22n n n n n n n T a a a a a a -+--=+++=-+++=-=-； 当8n …时，12312789||||||||()()n n n T a a a a a a a a a a =++++=-+++++++ 2777(15)7(715)115()22562222n n n n S S S S S n n -⨯-=-+-=-=-⨯=-+， 故2(15),07211556,822n n n n T n n n -⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩……． 14．（2022•辽宁模拟）记正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，235a a S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，若782m b a =，求数列{}n b 前m 项的和m T ． 【答案】（1）43n a n =-；（2）3906 【过程详解】（1）设正项等差数列{}n a 的公差为0d …，11a = ，235a a S =， 54(1)(12)52d d d ⨯∴++=+，解得4d =． 14(1)43n a n n ∴=+-=-．（2） 等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =， 111b a ∴==，225b a ==， ∴公比5q =，15n n b -∴=，782m b a = ，1547823m -∴=⨯-，解得6m =，∴数列{}n b 前6项的和6651390651T -==-．15．（2022•抚顺一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又对任意的正整数n ，m ，都有2n ma a n m-=--，且530S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设||22n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）122n a n =-；（2）65642,16612,7n n n n T n --⎧-=⎨+⎩剟…【过程详解】（1）由已知对任意的正整数m ，m ，都有2n ma a n m-=--， 可得等差数列{}n a 的公差2d =-， 又530S =，即1545(2)302a ⨯+⨯-=，解得110a =， 122n a n ∴=-．（2）由（1）知122n a n =-，令602na n =-…，得6n …， 当6n …时，0n a …， 从而126222122264[1()]6422n a a a n n n T -=+++=⋅-=- ，当6n >时，671252222222222612na a a a a n n T ---=++++++=+ ，综上得65642,16612,7n n n n T n --⎧-=⎨+⎩剟…． 16．（2022•丹东模拟）数列{}n a 中，2112,2(2)n n n a a a ++=-=-． （1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：数列{}n S 中任意连续三项按适当顺序排列后，可以组成等差数列． 【答案】见解析【过程详解】（1）解：24a =-，38a =，猜想12(2)n n a -=-． 式子212(2)n n n a a ++-=-可化为112(1)22nn n n na a ++-=-． 所以当2n …时， 111213112121213212(1)2(1)(1)()(()12(1)2(1)2(1)1(1)222222221(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=+-+-++-=+-+-++-=+=---- 当1n =时，111(1)2a --=，所以(1)2n n n a =--．于是因此{}n a 的通项公式(2)n n a =--． （2）证明：由（1）可得12n na a +=-，所以{}n a 是以为2首项，2-为公比的等比数列． 从而2[1(2)]2[1(2)]1(2)3n n n S --==----于是121222[1(2)],[1(2)]33n n n n S S ++++=--=--因为124[1(2)]23n n n n S S S +++=--=．故1n S +，n S ，2n S +或2n S +，n S ，1n S +成等差数列．于是数列{}n S 中任意连续三项n S ，1n S +，2n S +按适当排列后，可以组成等差数列．17．（2022•铁东区校级模拟）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且从①21a -为11a -与31a +等比中项，②等比数列{}n b 的公比为3q =，11b a =，24b a =这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：16n T <． 【答案】见解析 【过程详解】选①，（1）由n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >， 得2315a =，即25a =，又21a -为11a -与31a +等比中项， 则2213(1)(1)(1)a a a -=-+， 即16(4)(6)d d =-+， 又1d >， 则2d =，则52(2)21n a n n =+-=+， （2）证明：由（1）得111111()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++， 则1111111111[()()...(2355721236466n T n n n =-+-++-=-<+++，命题得证． 选②，（1）由n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >， 得2315a =，即25a =，又等比数列{}n b 的公比为3q =，11b a =，24b a =， 由21b q b =，得413aa =， 则523(5)d d +=-， 解得2d =，则52(2)21n a n n =+-=+， （2）证明：由（1）得111111()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++， 则1111111111[()()...(2355721236466n T n n n =-+-++-=-<+++， 命题得证．18．（2022•沈河区校级四模）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，*2132()n n n a a a n N ++=-∈， （Ⅰ）证明：数列1{}n n a a +-是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）n a *21()n n N =-∈ 【过程详解】（Ⅰ）证明：2132n n n a a a ++=- ， 2112()n n n n a a a a +++∴-=-， ∴*2112()n n n na a n N a a +++-=∈-，11a = ，23a =，∴数列1{}n n a a +-是以212a a -=为首项，2为公比的等比数列，（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得*12()n n n a a n N +-=∈， 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋯+-+122221n n --=++⋯++*21()n n N =-∈．19．（2022•锦州模拟）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且22a =，135a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①11b =，n n S nb =，②231n n S b =-这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的最小值；若k 不存在，说明理由．问题：设数列{}n b 的前n 项和为n S ，_____，数列{}n n a b -的前n 项和为n T ，是否存在正整数k ，使得100k T >？【答案】（1）12n n a -=；（2）见解析【过程详解】（1）在等比数列{}n a 中，1q >且22a =，135a a +=， 则121125a q a a q =⎧⎨+=⎩， 解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍)． ∴12n n a -=．（2）选择条件①，11b =，n n S nb =，当2n …时，11(1)n n S n b --=-， 可得11(1)n n n n n b S S nb n b --=-=--，整理得1n n b b -=， ∴数列{}n b 为常数列，又11b =，所以1n b =，121n n n a b --=-，211(12)(1222)2112n n n n T n n n -⨯-=+++⋅⋅⋅+-=-=---，令()21x g x x =--，则()2210x g x ln '=->在[1，)+∞上恒成立， 则()g x 在[1，)+∞上单调递增，即21n n T n =--在[1，)+∞上单调递增， 又657100T =<，7120100T =>，∴存在k ，使得100k T >，k 的最小值为7；选择条件②，231n n S b =-，当1n =时，1112231S b b ==-，得11b =，当2n …时，11231n n S b --=-， 可得112()3(3)n n n n S S b b ---=-，即1233n n n b b b -=-，得13n n b b -=，∴数列{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，则13n n b -=，1123n n n n a b ---=-，因为1n …时，1123n n --<，所以0n n a b -<， 故不存在正整数k ，使得100k T >．20．（2022•大连二模）已知数列{}n a 是首项11a =的正项等比数列，{}n b 是公差2d =的等差数列，且满足322b a =，341a b =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若n c ＝____，求{}n c 的前n 项和n S ． 请在①3(1)n n n c a b =+-；②13n n nb c a -=．这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答． 【答案】（Ⅰ）13n n a -=，2n b n =；（Ⅱ）见解析【过程详解】（Ⅰ）因为322b a =，341a b =+，所以142b q +=，217q b =+， 解得12b =，3q =，所以1113n n n a a q --==，2(1)22n b n n =+-⨯=． （Ⅱ）选择①3(1)3(21)n n n n c a b n =+-=+-，所以123123123(13)(121)13(32)(33)(35)[3(21)](3333)(13521)313222n n n n n n n S n n n +-+-=++++++⋯++-=+++⋯+++++⋯+-=+=⋅+--．选择②12133n n n n b n c a --==， 所以123135213333n nn S -=+++⋯+， 所以234111352321333333n n n n n S +--=+++⋯++，两式相减得，1123111111(1)21222211212229321333333333313n n n n n n n n n S -+++---+=+++⋯+-=+⨯-=--， 所以113n n n S +=-． 21．（2022•辽宁模拟）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n n S a n =+． （1）证明：数列1{}n n a a ++为等差数列； （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）n a n =，*n N ∈ 【过程详解】（1）证明： 22n n S a n =+，∴2112(1)n n S a n ++=++，两式相减得11221n n n a a a n ++=-++， 121n n a a n +∴+=+，又1212()()[2(1)1](21)2n n n n n n a a a a a a n n +++++-+=-=++-+=，又123a a +=1{}n n a a +∴+是以首项为3，公差为2的等差数列；（2）由（1）知22n n a a +-=，又1121S a =+，11S a =，11a ∴=，由（1）中123a a +=，22a ∴=， ∴数列{}n a 奇数项构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项构成一个以2为首项，2为公差的等差数列，211(1)221k a k k -∴=+-⋅=-，*k N ∈，n a n ∴=，n 为奇数，*n N ∈； 22(1)22k a k k ∴=+-⋅=，*k N ∈，n a n ∴=，n 为偶数，*n N ∈，综合得n a n =，*n N ∈．22．（2022•辽宁二模）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，对于任意正整数n ，有2132n n n a a a ++=-．若12n n n b a a +=-．（1）判断数列{}n b 是等差数列还是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log n n n c a a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（1）见解析；（2）(1)21n n S n =-⋅+【过程详解】（1）由2132n n n a a a ++=-，得21122n n n n a a a a +++-=-，又12n n n b a a +=-，所以1n n b b +=， 1212220b a a =-=-= ，且0不能是等比数列中的项， {}n b ∴是以0为首项，以0为公差的等差数列；12n n a a +∴=，即*12()n n a a n N +=∈，{}n a ∴是以11a =为首项，以2为公比的等比数列，1*2()n n a n N -∴=∈；（2）由（1）可知21log n a n +=，则12n n c n -=⋅，所以01112222n n S n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，故12212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅， 两式相减得121121222222(1)112nn nn n n S n n n ---=+++'''+-⋅=-⋅=---，所以(1)21n n S n =-⋅+．23．（2022•辽宁模拟）已知等比数列{}n b 和递增的等差数列{}n a 满足112a =，11b =，225a b =，332a b =． （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和数列{}n b 中的所有项分别构成集合A 和B ，将A B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 前63项和63S ．【答案】（1）39n a n =+，13n n b -=；（2）6043【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等比数列{}n b 的公比为(0)q q ≠， 由112a =，11b =，225a b =，332a b =，得21251222d q d q +=⎧⎨+=⎩，消去d ，可得2560q q -+=， 解得2q =或3q =，当2q =时，5120d q =-<（舍去）， 当3q =时，5123d q =-=，符合题意， 123(1)39n a n n ∴=+-=+，11133n n n b --=⨯=；（2）633639198a =⨯+=，45381198243b ==<<， ∴数列{}n b 的前5项分别为1，3，9，27，81，其中27与81与数列{}n a 中的项相同，由集合中元素的互异性，可知新数列{}n c 的前63项中，有数列{}n a 中的60项，有数列{}n b 的5项（两项重复）． ∴数列{}n c 前63项和6360596012313960432S ⨯=⨯+⨯+++=． 24．（2022•鞍山模拟）在①231n n S n =--，②123n n a a +=+，12a =-，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且____（只需填入序号）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(3)n n b n a =⋅+，求数列{}n b 的n 项和n T ． 【答案】见解析 【过程详解】选①， （1）由231n n S n =--， 则1123(1)1n n S n --=---，两式相减可得：123n n a -=-，(2)n …， 又112a S ==-满足上式， 即123n n a -=-，()n N +∈；（2）由（1）可得1(3)2n n n b n a n -=⋅+=⋅，则0111222...2n n T n -=⨯+⨯++⨯，()i 则1221222...2n n T n =⨯+⨯++⨯，()ii 由()()i ii -得：21122...22n n n T n --=++++-⨯，故(1)21n n T n =-+． 选②，由123n n a a +=+， 则132(3)n n a a -+=+， 又12a =-， 则131a +=，即数列{3}n a +是以1为首项，2为公比的等比数列， 即132n n a -+=，即123n n a -=-，()n N +∈；（2）由（1）可得1(3)2n n n b n a n -=⋅+=⋅， 则0111222...2n n T n -=⨯+⨯++⨯，()i 则1221222...2n n T n =⨯+⨯++⨯，()ii 由()()i ii -得：21122...22n n n T n --=++++-⨯，故(1)21n n T n =-+．25．（2022•辽宁三模）已知数列{}n a 中，满足1a a =，2a b =，12()n n n a k a a ++=+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若1a b ==，且1{}n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ．【答案】（1）12k =；（2）当12k =时，n S n =；当12k =-时，即2,21,,2,n n n k k N S n n k k N ++⎧-=-∈=⎨=∈⎩【过程详解】（1）由{}n a 是等差数列， 则121n n n n a a a a +++-=-， 即122n n n a a a ++=+． 所以121()2n n n a a a ++=+，故12k =； （2）因为121a a == 且12()n n n a k a a ++=+，得3421111,1a a k k k=-=--， 又且1{}n n a a ++是等比数列，则2231234()()()a a a a a a +=++， 即22112(2)k k=-，即12k =±， 当12k =时，1n a =，数列1{}n n a a ++ 是以2为首项，公比为1的等比数列， 此时{}n a 的前n 项和n S n =； 当12k =- 时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 所以211()n n n n a a a a ++++=-+， 又1220a a +=≠，所以数列1{}n n a a ++ 以12a a + 为首项，公比为1-的等比数列， 又32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，所以当n 是偶数时，123411234112()()()()2n n n n n nS a a a a a a a a a a a a a a n --=++++++=++++++=+= ，当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，1234112311...()...()1(2)22n n n n n n S a a a a a a a a a a a n ---=++++++=++++=+⨯-=-， 即2,21,,2,n n n k k N S n n k k N++⎧-=-∈=⎨=∈⎩， 综上可得：当12k =时，n S n =； 当12k =-时，即2,21,,2,n n n k k N S n n k k N ++⎧-=-∈=⎨=∈⎩． 26．（2022•沈阳模拟）已知公差大于1的等差数列{}n a 中，23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n S ，求证：1132n S <…．【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）见解析 【过程详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为1d >，23a = ，且11a +，31a -，63a -成等比数列， 13a d ∴+=，2316(1)(1)(3)a a a -=+-，即2111(21)(1)(53)a d a a d +-=++-，解得11a =，2d =． 12(1)21n a n n ∴=+-=-．（Ⅱ）证明：111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， 11111111(1(123352121221n S n n n ∴=-+-+⋯+-=--++，1111()022123n n S S n n +-=->++ ，∴数列{}n S 单调递增，112n S S ∴<…， 即1132n S <…． 27．（2022•辽宁模拟）已知数列{}n a 中，132a =且*1241()n n a a n n N +=+-∈． （1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 【答案】（1）见解析；（2）n S 21224n n n++=--【过程详解】证明：（1）1241n n a a n +=+- ， ∴11222n n n a a +=+-， ∴11112222222222n n n n n n n n n a a a n n n n a a a +++++-++===+++， 11312222a +=+=， ∴2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列；。
数列综合试题
数列综合练习题一、选择题1. 数列{}n a 满足a 1=2，*110()n n a a n N +-+=∈，则此数列的通项a n 为 （ ）A.3－nB.1－nC.3＋nD.1＋n2. 在等差数列{}n a 中，前15项之和15S =90，则8a = （ ）A ．6B 。
454 C.12 D. 4523.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为 （ ）A.－4B.4C.±4D.54. 等差数列｛a n ｝中，a 1>0 , d ≠0, 311S S =,则n S 中的最大值为 （ ）A. 7S 和8SB.14SC.7SD.无最大值5. 数列｛a n ｝满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则此数列的通项可表示为 （ ）A.121(1)()n a a n a a =+--B.121()n a a n a a =+-C.1211()n n a a a a -= D.211()n n aa a a = 6.等比数列{}n a 中，已知112733n a a q ===，，，则n 为 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知等差数列{}n a 中15,652==a a ，若n n a b 2=，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）A ．186B ．90C ．45D ．30 8．等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ,由此数列偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =（ ）Ａ．3n－1 B ．3(3n－1) Ｃ．419-n 4n9.数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为 （ ）.A 22112n n n ++- .B 2212n n n ++-.C 22121n n n -+-+ .D 2212nn n ++10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a =（ ） A ．16-B ．16C ．31D ．3211．一个等比数列的首项为1，公比为2，则2222123...n a a a a ++++= （ ）A ．2(21)n -B ．1(21)3n - C ．41n - D ．1(41)3n -12.等差数列}{n a 中，3,121==a a ，数列}1{1+n n a a 的前n 项和为3115，则n 的值为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．1813．在等比数列{}n a 中，201020078a a = ，则公比q 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 814．公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = （ ）（A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）815．{a n }是等比数列，0>n a 且,187465=+a a a a 则=+⋅⋅⋅++1032313log log log a a a （ ）A ．12B ．10C ．8D ．2+5log 3 16．数列{}n a 的通项公式是11++=n n a n ,若前n 项和为10,则项数=n（ ）A.11B.99C.120D.12117.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = （ ） A.12-n B.1)23(-n C.1)32(-n D.121-n二、填空题18、等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，且{a n }为递增数列，则a 4= ． 19、 已知{a n }是等差数列,且有a 2+a 3+a 10+a 11=48, 则a 6+a 7=_____________.20、 一个等差数列共2n+1项,其中奇数项之和为305,偶数项之和为300,则第n+1项为______21、已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若211=a ，S 2=a 3，则a 2=______，S n =_______。
等比数列综合练习
等比数列年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共44题，题分合计220分)1.数列{a n }是公差不为零的等差数列,并且a 5,a 8,a 13是等比数列{b n }的相邻三项.若b 2=5,则b n 等于A.5·(35)1-nB.5·(53)1-nC.3·(53)1-n D.3·(35)1-n2.在一定的条件下，某种细胞经过1小时1个分裂为2个，已知一定数量的细胞经过20个小时的分裂，细胞的个数成为230个，那么分裂到215个细胞需要A.531小时 B.5小时 C.2小时 D.211小时 3.已知非零实数a 、b 、c ，b 2=ac 是a ,b ,c 成等比数列的A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知122,62,32===cb a ,则c b a ,,A.成等差数列但不成等比数列 B.成等比数列但不成等差数列 C.成等差数列又成等比数列 D.不成等差数列也不成等比数列5.某工厂的生产总值月均增长率为p ，则年增长率为A. pB.12 pC.p p p 12112)1(12--+ D.1)1(12-+p 6.设等比数列{a n }中,每项均为正数,且a 3·a 8=81,则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10等于A.5B.10C.20D.407."lg(x -1),lg x ,lg(x +1)成等差数列"是"x -1,x ,x +1成等比数列"的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.在等比数列{a n }中,已知对n ∈N *有a 1+a 2+…+a n =2n -1,那么22221n a a a +++ 等于A.4n -1B.31(4n -1)C.31(2n -1)2 D.(2n -1)29.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n =p n,那么数列{a n }是A.等比数列B.当p ≠0时为等比数列C.当p ≠0，p ≠1时为等比数列D.不可能为等比数列10.已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于A.5B.10C.15D.2011.ac=b 2是a 、b 、c 成等比数列的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.若数列{a n }为等比数列,则下面四个命题:①数列{a 2n }也是等比数列②数列{a 2n }也是等比数列③数列{n a 1}也是等比数列④数列{lg|a n |}也是等比数列,正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个13.设a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,其公比为2,则432122a a a a ++的值为A.41B.21C.81D.114.设{a n }是由正数组成的等比数列,公比q =2,且a 1a 2a 3……a 30=230,那么a 3a 6a 9…a 30等于A.210B.220C.216D.21515.在等比数列{a n }中,若a 2·a 8=36,a 3+a 7=15,则公比q 值的可能个数为A.1B.2C.3D.416.在各项都为正数的等比数列{a n }中,若a 5·a 6=9,则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 10等于A.8B.10C.12D.2+log 3517.已知{a n }是等比数列,且a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于A.5B.10C.15D.2018.数列{a n }成等比数列的充分必要条件是A.a n +1=a n q (q 为常数)B.a 2n +1=a n ·a n +2≠0C.a n =a 1q n -1(q 为常数)D.a n +1=2+⋅n n a a19.有一座七层塔,每层所点灯的盏数都是上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是A.190B.191C.192D.19320.若相异三数a (b - c ) 、b (c - a ) 、c (a - b )组成以q 为公比的等比数列,则q 应满足方程A. q 2+ q +1=0B. q 2 - q +1=0C. q 4+ q 2+1=0D. q 4- q 2+1=021.x =2是1,x ,4成等比数列的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌由一个可繁殖成A.511个B.512个C.1023个D.1024个23.在等差数列｛a n ｝中，a 1=1，a 7=4，数列｛b n ｝是等比数列，,已知b 1=6，b 2= a 2，则满足261a b n <的最小正整数n 为A.4B.5C.6D.724.在等比数列｛a n ｝中，S 4=1，S 8=3，则a 17+ a 18+ a 19+ a 20的值等于A.12B.14C.16D.1825.各项都是正数的等比数列｛a n ｝的公比q ≠1，且132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值是 A.215+ B.215- C.251- D.215+或215-26.已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 和b 、y 、c 分别成等差数列，且xy ≠0，则y c x a +的值等于 A.4 B.3 C.2 D.127.公差不为0的等差数列{a n }中，a 2,a 3,a 6依次成等比数列，则公比等于A.21B.31C.2D.328.在等比数列中，a 1=1,q ∈R 且|q |≠1，若a m =a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于A.9B.10C.11D.1229.非零实数x 、y 、z 成等差数列，x +1、y 、z 与x 、y 、z +2分别成等比数列，则y 等于A.10B.12C.14D.1630.若数列{a n }的前n 项和为S n =a n－1（a ≠0）,则这个数列的特征是A.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列D.非等差数列31.等比数列{a n }中，若S 6=91,S 2=7,则S 4为A.28B.32C.35D.4932.已知两数的等差中项是10，等比中项是8，则以这两数为根的一元二次方程是A.x 2+10x +8=0B.x 2－10x +64=0C.x 2+20x+64=0D.x 2－20x +64=033.在等比数列{a n }中,a 3·a 4·a 5=3,a 6·a 7·a 8=24,则a 9·a 10·a 11的值等于A.48B.72C.144D.19234.若等比数列{a n }的公比为q,n 为偶数,则2n项等于A.21n q a B.211-n qa C.221-n qa D.221+n qa35.一个直角三角形三边的长成等比数列,则A.三边边长之比为3:4:5B.三边边长之比为1:3:3C.较小锐角的正弦为215-D.较大锐角的正弦为215-36.公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列,则公比为A.1B.2C.3D.437.2，x,y,z,162是成等比数列的五个正整数，则z 的值是A.54B.27C.9D.338.取第一象限内的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),使1,x 1,x 2,2依次成等差数列,1,y 1,y 2,2依次成等比数列,则点P 1、P 2与射线l :y =x (x >0)的位置关系是A.点P 1、P 2都在l 的上方B.点P 1、P 2都在l 上C.点P 1、P 2都在l 的下方D.点P 1在l 的下方,点P 2在l 的上方39.已知0<a <b <c,且a ､b ､c 成等比数列,n 为大于1的整数,则log a n ,log b n ,log c n 成A.等差数列B.等比数列C.各项倒数成等差数列D.以上都不对40.等比数列{a n }的首项a 1=1,公比q ≠1,如果a 1,a 2,a 3依次是某等差数列的第1,2,5项,则q 等于A.2B.3C.-3D.3或-341.设2a=3,2b=6,2c=12,那么a 、b 、c 成A.等差非等比数列B.等比非等差数列C.既等差又等比数列D.既非等差又非等比42.非零实数x,y,z 成等差数列,x+1,y,z 与x,y,z +2都成等比数列,则y 等于A.16B.14C.12D.1043.某企业2001年12月份的产值是这年1月份产值的p 倍,则该企业2001年年度产值的月平均增长率为A.1-p pB.111-p C.11p D.111-p44.已知正实数x 、a 1、a 2、 y 成等差数列, x 、b 1、b 2、 y 成等比数列,则22121)(b b a a +的取值范围是A. [4，+∞]B. (-∞，0)C. (-∞，0] ∪[4，+∞)D. (-∞，-4] ∪[4，+∞)二、填空题(共34题，题分合计141分)1.已知等比数列中a ４·a ８=10,则a 3·a 9= .2.已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 也成等差数列，则y c x a +的值等于__________ .3.在递减等比数列{a n }中,a 4+a 5=12,a 2·a 7=27,则a 10=________.4.在等比数列中，a 1+a 2+a 3+a 5=3,a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=9,则a 11+a 12+a 13+a 14+a 15= .5.在等比数列中，已知首项为89，末项为31，公比为32，则项数n = .6.在等比数列{a n }中,公比为q ,若a m =x·a n ,则x = .7.已知等比数列｛a n ｝的公比q =31-,则86427531a a a a a a a a ++++++= .8.已知各项都为正数的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比q = . 9.某工厂生产总值的月平均增长率为p ,则年平均增长率为 . 10.已知等比数列中a ３=-4,a ６=54,则a ９= .11.在两数a,b (ab ＞０)之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间一个数是 .12.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 9成等比数列,则1042931a a a a a a ++++的值为 .13.已知等比数列{a n }中,a 1+a 2=30,a 3+a 4=120,则a 5+a 6= .14.在等差数列｛a n ｝中S 6=0 (d ≠0)，如果a m ，a m +1，a 2m 成等比数列，则m 的值等于______.15.1、a 、b 、c 、25这5个数中，1、a 、b 与b 、c 、25都成等比数列，且a 、b 、c 成等差数列，则a 、b 、c 的值分别为 .16.2，x ,y ,z,18成等比数列，则x = .17.三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是 . 18.有等比数列中，①已知.__________,48,3573===a a a 则 ②若.__________,10,215105===a a a 则 ③若.__________,6,510284===a a a a 则19.a 、b 、c 、d 成等差数列，a +4、b +3、c +3、d +5成等比数列，则a 、b 、c 、d 的值分别为 . 20.等比数列｛a n ｝中, a 4a 7= -512，a 3+ a 4= 124且公比q 为整数，则a 10= .21.等差数列{a n }中，a 1＝2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于____________.22.对于给定的二个数3和3x ，它们的等差中项a 与等比中项b 之间满足条件3a 2＝4b 2，则正数b ＝ . 23.各项均为整数的等比数列｛a n ｝满足条件a 1+ a 4=18， a 2+ a 3=12，则822212log log log a a a +++ 等于________________.24.在等比数列{a n }中,a 9+a 10=a (a ≠0),a 19+a 20=b ,则a 99+a 100=_____.25.在正实数组成的等比数列中，若a 4a 5a 6=3,则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 8+log 3a 9= .26.等差数列{a n}中，a1＝2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等于____________.27.已知正项等比数列{a n}共有2m项,且a2·a4=9(a3+a4),a1+a2+…+a2m=4(a2+a4+…+a2m),则a1= ,公比q= .28.等比数列4，2，1，……的第6项是_________,第10项是____________.29.若.__________,25253645342=+=++aaaaaaaa则30.已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则a1+a8与a4+a5的大小关系为___________________.31.设{a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n项和.若{S n}是等差数列,则q＝____________.32.银行计划将某资金给项目M投资一年，其余的60%资金给项目N，预计项目M有可能获得19%到24%的年利润，N有可能获得29%到34%的年利润。
高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题（含答案）一、单选题1．某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为（ ）（1.002512≈1.03） A ．833B ．858C ．883D ．9022．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ） A ．()()5111a γγ++-万元 B ．()()55111a γγγ++-万元C ．()()54111a γγγ++-万元 D ．()51a γγ+万元3．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（ ） A ．20%B ．32%C ．40%D ．50%4．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（ ）万元.（四舍五入，精确到整数） （参考数据：()21.05 1.1025=，()31.05 1.1576=，()41.05 1.2155=） A ．36B ．37C ．38D ．395．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（ ） A ．2022年12月B ．2023年2月C ．2023年4月D ．2023年6月6．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ）A ．2192B ．39128n -C ．39208n -D ．39288n -7．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）A ．464B ．465C ．466D ．4958．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率1%，当付清全部房款时，各次付款的总和为（ ） A ．1205万元B ．1255万元C ．1305万元D ．1360万元9．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为r ．按复利计算，则小李每个月应还（ ） A ．()()1111111ar r r ++-元 B ．()()1212111ar r r ++-元C ．()11111a r +元D ．()12111a r +元10．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ） A ．35B ．42C ．49D ．5611．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元12．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ） A ．2806万元B ．2906万元C ．3106万元D ．3206万元二、填空题13．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.14．从2017年到2020年期间，某人每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为20%保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2020年6月1日，该人去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额为_______万元．15．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于______．16．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是____.三、解答题17．一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比． (1)求()*n n N ∈分钟后的水温n t ；(2)当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg 20.3≈）18．某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元.(1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？(2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其它项目，问应在第几年转投其它项目？19．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b . (1)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据41.05 1.215≈，51.05 1.276≈，61.05 1.340≈）20．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金(2500)t t ≤万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元． （1）写出1n a +与n a 的关系式，并判断{}2n a t -是否为等比数列；（2）若企业每年年底上缴资金1500t =，第*()m m N ∈年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m 的最小值．21．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月()*1929,k k k +≤≤∈N 日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若9k =，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.22．教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入1000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：71.1 1.95≈） (2)当你取出存款后，你就有了第一笔启动资金，你可以用你的这笔资金做理财投资.如果现在有三种投资理财的方案： ①方案一：每天回报40元；②方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； ③方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 你会选择哪种方案？请说明你的理由.23．已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ）证明：当5n =时，成等比数列。
数列综合练习题
Ⅰ题型归类练习1．已知等比数列{}n a ，12a =，且2525(3)2n n n a a -⋅≥=，试求21222l o g ()l o g ()l o g ()n a a a +++ 例1． 数列121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，求212a ab -。
练习1．等比数列{}n b 中，0nb >，524346236b b b b b b ++=，求53b b +。
练习2．等比数列{}n b 前n 项和n S ，若422S S =，求{}n b 公比。
二、求数列通项例1． 数列{}n a 满足21nn S a =+(1n ≥)，求n a 。
练习1．数列{}n a 满足11a =，且10n n n a S S -⋅+=(2n ≥)，试求n a 。
类型3．1()n n a a f n +=+⇒1()n n a a f n +-=⇒利用累加法(逐差相加法)求解例3．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，求n a 。
练习3．已知数列{}n a 满足11a =，21n n a a n n +=++，求n a 。
类型4．1()n n a f n a +=⨯ ⇒1()n na f n a +=⇒利用累乘法(逐商相乘法)求解例4．已知数列{}n a 满足123a =，1(1)n n n a na ++=，求n a 。
练习4．已知数列{}n a 满足13a =，1(43)(41)n n n a n a ++=-，求n a 。
类型5．1n n a pa q +=+(其中p,q 为常数,(1)0pq p -≠) ⇒ 待定系数法例5．已知数列{}n a 中，满足12a =，121n n a a +=+，求n a 。
解：由条件得：12()n n a t a t ++=⨯+⇒ 1t = ⇒112(1)n n a a ++=⨯+ ⇒ 令1n n b a =+，则{}n b 是以1113b a =+=为首项，2为公比的等比数列 ⇒ 132n n b -=⨯ ⇒ 1321n n a -=⨯-练习5．已知数列{}n a 中，满足11a =，124nn a a +=+，求n a 。
【数列】数列综合练习题(1)--测试用
数列综合练习题一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分1、数列 的一个通项公式是 （ ）A. B ． C ． D ． 2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（ ） A 、010062=+-x x B 、0100122=++x x C 、0100122=--x x D 、0100122=+-x x3、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数，则b 2(a 2-a 1)=（ ）A.8 B.-8 C.±8 D.4、已知数列{}n a 是等比数列，若,a a a a 41813229=+则数列{}n a 的前30项的积=30T （ ） A 、154， B 、152， C 、1521⎪⎭⎫ ⎝⎛， D 、153，5、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( ) A ．15. B ．17. C ．19. D ．216、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则 （ ）（A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）727、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( ) A ．－1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－20 9、设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30 = ( )A ．210.B ．215.C ．220.D ．216.10、某人从1999年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期a 元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若年利率r 保持不变，到2003年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数为 A 、()51r a + B 、()()[]r r r a++1-15 C 、 ()41r a + D 、()[]115-+r ra 12)1(3++-=n n n a n n 12)3()1(++-=n n n a n n 121)1()1(2--+-=n n a n n 12)2()1(++-=n n n a n n ⋯--,924,715,58,189二、 填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。
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数列综合练习
一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1若公比为2的等比数列｛a n｝的各项都是正数，且aa i=16,则a5等于（）.
A. 1
B.2
C.4
D.8
2•若数列｛a n｝的前n项和S=2n2-3n（n€N）,则a4等于
A.11
B.15
C.17
D.20
3•已知｛a n｝,｛ b n｝都是等差数列，若a1+b10=9, a3+b=15,则a s+b e等于
A.18
B.20
C.21
D.32
4.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产
1
线连续生产n年的产量为f （n）=1n（ n+1）（2 n+1）吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境
2
造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是
A. 5年
B. 6年C7年 D.8年
5•设S为等差数列｛a n｝的前n项和，（n+1）S<nS+1（n€N*）若旦< -1则 a7
A. S的最大值是S8
B. S的最小值是S8
C. S的最大值是S z
D. S的最小值是S z
6.若2a, b，2c成等比数列，则函数y = ax2+ bx+ c的图象与x轴的交点个数是（）
A. 0 B . 1 C . 2 D . 0 或 2
7•各项均为正数的等比数列｛a n｝的前n项和为S，若S=2, S3n=14,则&等于（）
A.80
B.30
C.26
D.16
&若数列｛a n｝的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列｛a n｝的前n项和为（）.
A2 n+n2-1 B. 2n+1+n2-1 C .2 n+1+n2- 2 D .2 n+n-2
9.等差数列｛a n｝的首项为1,公差不为0.若a2, a3, a6成等比数列，则｛a n｝前6项的和为（
）
A.-24
B.-3
C.3
D.8
10.设等差数列｛a n｝的前n项和为S，若a1=-11, a4+a6=-6,则当S取最小值时，n等于（）
A.6
B.7
C.8
D.9
11.设数列｛2n-1｝按第n 组有n个数(n 是正整数)的规则分组如
下:(1),(2,4),(8,16,32), …,则第101组中的第一个数为()
4 951
A 2 4 950 5 051 5 050
B. 2 C 2 D. 2
12 •已知函数f(x)是定义在(0,")上的单调函数，且对任意的正数x, y都有
f(x y)=f(x)+f(y),若数列｛a n｝的前n 项和为S,且满足f(S+2)-f (a n)=f(3)( n€Nl),则
a n等于(
n-1 A. 2 )
n 1
B.n C2n-1 D. 3
2
二、填空
题：
本大题共 4小题，每小题6分。
13•在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6,则成等比数列，
则此未知数是___________ •
14•设数列｛a n｝为公比q>1的等比数列，若a4, a5是方程4x2—8x + 3 = 0的两根，则a6+
15•已知两个数列｛a n｝,｛ b n｝满足b n=3n a n,且数列｛b n｝的前n项和为S=3n-2,则数列｛a n｝的通项公式为___________ .
1 1
16.若数列｛a n｝满足一—=d(n€ g, d为常数)，则称数列｛a n｝为调和数列，已知数列
a n 1 a n
｛丄｝为调和数列，且X1+X2+…+x?o=2OO,则X5+X16= _________
X n
三、解答题：本大题共 3小题，满分45分.
2
17. (10分)已知a1 = 2,点(a n, a n+1)在函数f (x) = x + 2x的图象上，其中1,2,3，….
(1) 证明数列｛lg(1 + a n)｝是等比数列；
(2) 求a n的通项公式.
18. (15 分)设数列｛a n｝的前n 项和为S.已知S2=4, a n+i=2S+1, n€N*.
(1)求通项公式a n；
⑵求数列｛|a n rn- 2|｝的前n项和.
19. (15分)已知等差数列｛a n｝的前n项和S满足S=0, $=-5.
(1)求数列｛a n｝的通项公式；
⑵求数列｛- ｝的前n项和
a2n 1a2n 1
20. (10分)已知｛a n｝为等差数列，且a3 = —6, a e= 0.
(1) 求｛a n｝的通项公式；
(2) 若等比数列｛b n｝满足b1= —8, b2= a1 + a?+ a3，求｛b n｝的前n项和公式.
21. （15分）已知｛a n｝是等差数列，｛b n｝是等比数列，且b=3, b a=9, a i=b i, a i4=b4. （1）求｛a n｝的通项公式；
⑵设C n=a+b n,求数列｛ C n｝的前n项和•
22 •（15分）等比数列｛a n｝的前n项和为S,已知对任意的n €N*,点（n, S）均在函数
x
y=b+r（b>0,且b詞，b, r均为常数）的图象上•
（1）求r的值；
n 1 *
⑵当b=2时，记b n（n N ）,求数列｛b｝的前n项和T n.
4a n
参考答案
一、选择题：本大题共 6小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 •解析：-33311 37 16,且3n>0, •• 37=4. - - 35 —
2 — 1
q2 22
答案:A
2 •解
析：
34=SrS3=20- 9=11.
答案:A
3.解析:
因为｛3n｝,｛ b n｝都是等差数列，
所以233=31 +35,2 b8=bi o+b6,
所以2( 33+b8) =( 31 + b10)+( 35+b6),
即35+b6=2( 33+b) - (3汁be) =2 X1& 9=21.
答案:C
4 •解析：
1
由题意可知第一年的产量为31-一X1X2X3-3;以后各年的产量分别为
2
a n=f(n)-f (n-1)
1 1 2
= ’n(n+1)(2 n+1)- (n -1)n(2 n-1)=3 n2.
2 2
令3n2<150,二1勺屿血又n€2,
••• 14筍，即生产期限最长为 7年.
答案:C
5.解析：由(n+1)S<nS+1,得(n+1)
"佝an)< n (n 1)佝^1),整理得a n<a n+1,所
2 2
以等差数列｛a n｝是递增数列.又a8< 1,所以a8>0, a7<0,所以数列｛a n｝的前7项为负值,
37
即S的最小值是S.
答案:D
6.解析：由题意，得b2= 4ac,令ax2+ bx+ c= 0,
•••△= b2—4ac= 0,故函数y = ax2+ bx+ c的图象与x轴相切，故选 B.
答案： B
7.解析：设 Sn=a, Sn=b,由等比数列的性质知2(14-a) =(a- 2),解得a=6或a=-4(舍去), 同理(6-2)( b-14) =(14-6)2,所以b=S n=30.
答案:B
& 解析：S n=(2+22+…+2)+(1+3+5+…+2n-1) 2(1 2 ) (1 2n 1) 2n 1 2 n2
1 2 2
答案:C
9.解析：设等差数列的公差为d,则d电a f=a2 aq即(1 +2d) 2=(1 +d)(1 +5d),解得d=-2,所
6 5
以$=6X1+ X(-2) =-24,故选 A.
2
答案:A
10 .答案:A
n 1 11 •解析：前100组共有1 +2+3+…+100=5 050个数，则第101组中的第一个数为数列｛2 -｝
的第5 051项,该数为25 050.
答案:D
12•解析:由题意知f(S+2)=f(a n)+f(3)( n€N),
•S+2=3a n, S-1+2=3a n-1(n支)，两式相减得2a n=3a n-1 (n支)，又n=1 时，S+2=3a1=@+2,
3 3 n 1
•- a1=1, •数列｛a n｝是首项为1,公比为3的等比数列，•a n=. 答案:D
2 2
、填空题：本大题共 4小题，每小题6分。
13•解析：设此三数为3, a, b
2a= 3+ b
a — 6 2= 3b。