均值与方差正态分布
对数正态分布的均值和方差
对数正态分布的均值和方差
对数正态分布是一种常见的概率分布，它的概率密度函数是由正态分布取对数得到的。
对数正态分布的均值和方差是对其进行统计分析时非常重要的参数。
对数正态分布的均值可以用以下公式计算：
μ = exp(μ' + σ'^2/2)
其中，μ'是正态分布的均值，σ'^2是正态分布的方差。
对数正态分布的方差可以用以下公式计算：
σ^2 = [exp(σ'^2) - 1]exp(2μ' + σ'^2)
需要注意的是，对数正态分布的均值和方差都是正实数。
在统计分析中，这些参数常常用于描述对数正态分布的中心位置和离散程度。
- 1 -。
离散型随机变量的均值与方差 正态分布
49 75
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考向大突破三：正态分布
例3：(2013·大连测试)已知随机变量x服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－
2σ＜x≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－σ＜x≤μ＋σ)＝0.682 6，若μ＝4， σ＝1，则P(5＜x＜6)＝( ) A．0.135 8 B．0.1359 C．0.271 6 D．0.2718
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9
(2)设“选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件 C，“甲在A区投篮得2分、在B区投篮得0分”为事件C1， “甲在A区投篮得4分、在B区投篮得0分”为事件C2，“甲在 A区投篮得4分、在B区投篮得3分”为事件C3，则C＝ C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3为互斥事件． 则P(C)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝
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考点 • 大整合
1．牢记离散型随机变量X的均值、方差的三个基本问题
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2．把握两点分布与二项分布的均值、方差
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3．理清正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 1 (3)曲线在x＝μ处达到峰值 σ 2π ； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲 线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
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均值和方差正态分布
)5
P(x
2)
C
25(
2 3
)3(
1 3
)2
Eξ
1C
33(
1 3
)3
C
23(
1 3
)2(
2 3
)(
1 3
)
C24(
1 3
)2(
2 3
)2(
1 3
)
3)p
13 30
类型1：离散型随机变量的期望与方差
例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0 号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4). 现从袋中任取一球(ξ表示所取球的标号). （1）求ξ的分布列，期望与方差； （2）若η=aξ+b，Eη=1,Dη=11，试求a,b的 值。
Eξ=1.5
Dξ=2.75
均值与方差
一、离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望
离散型随机变量均值是离散型随机变量以概率为权的 加权平均。它反映了离散型随机变量取值的平均水平
二、离散型随机变量取值的方差和标准差
一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：
x x1 x2 · xi · xn P p1 p2 · pi · pn
则称
·
·
DX (x1 EX)2 p1 (·xi EX)2 pi ·(xn EX)2 pn
n
(xi EX)2 pi 为随机变量X的方差
i1
称 X DX 为随机变量X的标准差
离散型随机变量均值是刻画某一总体的量,它的均值 就是总体的均值,一般是未知的,但是确定的常数
离散型随机变量均值和方差、正态分布
课堂互动讲练
ξ 0 2345 P 0.03 p1 p2 p3 p4
(1)求q2的值； (2)求随机变量ξ的数学期望Eξ； (3)试比较该同学选择都在B处投篮得 分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3 分的概率的大小．
课堂互动讲练
【思路点拨】 首先由P(ξ＝0)＝ 0.03计算出q2，从而可写出分布 列．本题便可求解．
课堂互动讲练
P(X≥7)＝P(X≤3) ＝12×[1－P(3＜X＜7)]， ＝12×(1－0.9544)＝0.0228， ∵P(4＜X＜6)＝0.6826， ∴P(5＜X＜6)＝12P(4＜X＜6) ＝0.3413.
课堂互动讲练
考点二 求离散型随机变量的均值与方差
求离散型随机变量X的均值与方差的步 骤：
【解】 (1)由题设知，“ξ＝0”对 应的事件为“在三次投篮中没有一次投 中”，由对立事件和相互独立事件性质 可知
P(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03， 解得q2＝0.8.
课堂互动讲练
(2)根据题意 p1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C21(1－q2)q2 ＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24. p2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－ 0.8)2＝0.01. p3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.82 ＝0.48. p4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)q2 ＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24. 因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01 ＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.
基础知识梳理
参数μ，σ在正态分布中的实际 意义是什么？
【思考·提示】 μ是正 态分布的期望，σ是正态分布 的标准差．
1．若随机变量X的分布列如下，则X 的数学期望是( )
7离散型随机变量的均值、方差及正态分布
§12.7 离散型随机变量的均值、方差及正态分布了解离散型随机变量的均值、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值、方差或标准差。
理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望；了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念；正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
再现型题组1．若离散型随机变量ξ的分布列为则称E ξ＝ 为随机变量ξ的均值，也称为期望，它反映了离散型随机变量取值的 。
把 叫做随机变量方差，D ξξ的 ，记作 。
随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 。
其中标准差与随机变量本身有 。
2．若η＝a ξ+b (a,b 为常数)，则E η＝E(a ξ+b )=______________；D η＝D(a ξ+b )=____________；若ξ服从两点分布，则E ξ＝ ，D ξ= ，若X 服从二项分布，即~(,)B n p ξ，则E ξ＝ ，D ξ= 。
3．函数,()______________x μσϕ=的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线。
4．对于任何实数a b <，随机变量X 满足()____________,P a X b <≤≈则称X 的分布为正态分布，正态分布完全由参数 确定。
因此正态分布常记作 ，如果X 服从正态分布，则记为 。
5．正态分布的特点：（1）曲线在 ；（2）曲线关于直线 对称； （3）曲线在x μ=时 ；（4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线 ，表示总体的分布越 ；σ越小，曲线 ，表示总体的分布越 。
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
及曲线所表示的意义．
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1．设 X 为随机变量，X～B(n，13)，若随机变量 X 的数学期
望 E(X)＝2，则 n 等于
()
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵X～B(n，13)，∴E(X)＝n3＝2，∴n＝6.
答案： D
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2．设随机变量ξ～N(0,1)，若P(X>1)＝p，则P(－1<ξ <0)＝
D．p(1－p)
()
解析：E(X)＝0·(1－p)＋1·p＝p， D(X)＝(0－p)2·(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2＝p(1－p)．
答案： D
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4．(2011·上海高考)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概
率分布律如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x) ？ ！ ？
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看
第 十章
计数 原理 、概 率、 随机 变量 及分 布列
第九 节 离散 型随 机变 量的 均值 与方 差 、正 态分 布
高考成功方案第一步 高考成功方案第二步 高考成功方案第三步 高考成功方案第四步
考纲点击 1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一
p2
…
Pi
…
(1)均值
称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
xn pn
为随机变
量X的均值或 数学期望 ，它反映了离散型随机变量
取值的平均水平 ．
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(2)方差
n
正态分布均值和方差
正态分布均值和方差
正态分布是描述实现随机变量或离散值的分布形态最常被用到的一种概率分布。
它以均值和标准差为参数，常用来描述自然界丰富多样的现象，如测量误差。
包括经济学、数量金融学、物理学、数学的大部分应用都是基于正态分布的。
均值是正态分布的主要参数之一。
它是所有估计量的中位数，描述了数据的"
平均"，具有重要的统计学意义。
均值的定义能够极大概括数据的特点，受到相应
的影响。
即增加任意修正量都不会使均值改变。
方差是正态分布的另一参数，描述了数据"变异"大小。
方差值越大，越不集中;相反，方差越小，数据越集中。
方差的可视化表现形式是柱状图，数值越大，则标准正太分布曲线越趋近于垂直，越不集中。
我们经常使用均值和方差来描述大量数据，其中均值可以代表数据的中心，方
差可以代表数据变异程度，从而更好的描述和分析数据，发现数据之间的相关性以及因果关系。
正态分布的均值和方差对于模型的调参和优化非常重要，正确的参数设置是成功建模的关键。
第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布
规律方法 2 求离散型随机变量的均值与方差的方法：1先 求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解.2若随机 变量 X～Bn，p，则可直接使用公式 EX＝np，DX＝np1－p 求解.
对点训练 为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重 (单位：千克)情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如 下频率分布直方图，已知图 10－9－2 中从左至右前 3 个小组的频 率之比为 1∶2∶3，其中第 2 小组的频数为 12.
图 10－9－2
(1)求该校报考体育专业学生的总人数 n； (2)若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该 市报考体育专业的学生中任选 3 人，设 ξ 表示体重超过 60 千克的 学生人数，求 ξ 的分布列和数学期望．
【尝试解答】 (1)设该校报考体育专业的人数为 n，前三小
组的频率分别为 p1，p2，p3，则由题意可知，
【答案】 D
考向二 [196] 离散型随机变量的均值与方差 (2014·广东百所高中联考)为贯彻“激情工作，快乐生
活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分 初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一 题答一题的方式进行，每位选手最多有 5 次选答题的机会，选手 累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛，答对 3 题者直接 进入决赛，答错 3 题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23.
对点训练 如果随机变量 ξ～N(－1，σ2)，且 P(－3≤ξ≤－1)
＝0.4，则 P(ξ≥1)等于( )
A．0.4
B．0.3
C．0.2
D．0.1
【解析】 因为 P(－3≤ξ≤－1)＝P(－1≤ξ≤1)＝0.4，所以 P(ξ≥1)＝1－P－3≤ξ≤－21－P－1≤ξ≤1＝1－0.24－0.4＝ 0.1，选 D.
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注：随机变量的方差与标准差都反映了随机变 量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.如果 DX 值越小, 则表示X 的取值越集中
若干结论：
若X服从两点分布，则DX p(1 p)
若X ~ B(n,p)，则DX np(1 p)
D(aX b) a2DX
n
Eξ=1.5
Dξ=2.75
a=b=2或a=-2,b=4
练习：设p为非负实数，随机变量ξ的概率 分布为：
ξ0 1 2
P
1 2
p
p
1 2
则Eξ的最大值为 ，Dξ的最大值为 1 。
3
2
注：公式的直接应用，注意p的范围。
类型2：离散型随机变量的期望与方差应用 例2、A、B代表队进行乒乓球对抗赛，每队 三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员 是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对 阵队员之间的胜负概率如下：
摸到红球都停止摸球。求随机变量ξ的分布列
及数学期望. (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为1 : 2，
将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球 的概率是 0.4 ，求p的值．
1)C24(
1)2( 3
2 3
)2(
31)
8 81
2)P(x
0)
C
50(
2 3
)5
P(x
1)
C15(
2 3
)4(
二、离散型随机变量取值的方差和标准差
一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：
x x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
DX (x1 EX)2 p1 (xi EX)2 pi (xn EX)2 pn
n
(xi EX)2 pi 为随机变量X的方差 i1
1 3
)5
P(x
2)
C
25(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 3
)3(
1 3
)2
Eξ
131 81
P(x
3)
C
33(
1)3 3
C23(
1 3
)2(
2 3
)
(
1 3
)
C
24(
1 3
)2(
2 3
)2(
1 3
)
3)p
13 30
一、离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望
离散型随机变量均值是离散型随机变量以概率为权的 加权平均。它反映了离散型随机变量取值的平均水平
对阵队员 A队队员胜率 A队队员负率
A1和B1
2/3
1/3
A2和B2
2/5
3/5
A3和B3
2/5
3/5
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0 分，设A队，B队最后所得总分分别为ξ，η
（1）求ξ,η的概率分布；（2）求Eξ，E η
类型3：二项分布的期望与方差
例3、某大厦一部电梯从底层出发后只能在
第18层、19层、20层停靠，若该电梯在底层
P(ξ=k)=P(A1…AkAk+1)=q.pk
Eξ
pq(1
pn
)
st[1(
s
t
)n t
]
类型4：走近高考 例5．(浙江卷)袋子A和B中装有若干个均匀的红 球和白球，从A中摸出一个红球的概率是1/3 ， 从B中摸出一个红球的概率为 p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个， 有3次摸到红球即停止． (i)求恰好摸5次停止的概率； (ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,最 多摸球5次，5次之内（含5次）不论是否有3次
载有5位乘客，且这5位乘客在这三层的每一
层下电梯的概率均为1/3，用ξ表示这5位乘
客在第20层下电梯的人数，求（1）随机变
量ξ的分布列；（2）随机变量ξ的期望与
方差。
Eξ=5/3
例4、箱中装有大小相同的黄、白两种颜色 的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t， 现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是 黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回 箱中，并纠结继续从箱中任意取出一个球， 但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取 球结束时已取到的白球的次数。（1）求ξ 的分布列；（2）求ξ的数学期望。
离散型随机变量均值是刻画某一总体的量,它的均值 就是总体的均值,一般是未知的,但是确定的常数
性质
1、均值的线性组合性质
E(aX b) aEX b
注:常数的均值为其本身
2、若X服从两点分布，则EX p 3、若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
4、求均值的一般步骤：
1）求出分布列；2）利用定义求均值
DX (xi EX)2 pi E(X2 )(EX)2 i1
类型1：离散型随机变量的期望与方差
例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0 号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4). 现从袋中任取一球(ξ表示所取球的标号). （1）求ξ的分布列，期望与方差； （2）若η=aξ+b，Eη=1,Dη=11，试求a,b的 值。