均值、方差、正态分布__学生用
高中正态分布常用的三个数据
高中正态分布常用的三个数据
正态分布是概率统计中非常重要的一种分布模型，广泛应用于各
个领域。
在高中数学中，也经常会涉及到正态分布的相关内容。
本文
将介绍高中学习过程中常用的三个与正态分布相关的数据。
第一个数据是平均数（mean），也称为数学期望。
平均数是一组
数据的总和除以数据的个数。
在正态分布中，平均数代表着整个分布
的中心位置。
对于一个对称的正态分布，平均数将会是分布的最高点。
正态分布中的平均数给出了一个概率分布的集中程度。
第二个数据是标准差（standard deviation）。
标准差是一组数
据的离散程度的度量，用于衡量数据相对于平均数的偏离程度。
标准
差越小，数据集中度越高；标准差越大，数据分布越分散。
在正态分
布中，标准差决定了曲线的陡峭程度。
当标准差较大时，曲线较为平缓；当标准差较小时，曲线较为陡峭。
第三个数据是正态分布的形状。
正态分布的形状是由平均数和标
准差共同决定的。
当平均数确定时，标准差越大，曲线越平缓，呈现
扁平状；标准差越小，曲线越陡峭，呈现尖峰状。
正态分布的形状可
以通过曲线上的特点来观察和判断。
综上所述，高中正态分布常用的三个数据分别是平均数、标准差
和分布形状。
平均数代表分布的中心位置，标准差代表数据的离散程度，形状则由平均数和标准差共同决定。
熟练掌握这些数据的概念和
计算方法，对于理解和应用正态分布具有重要的意义。
均值、方差、正态分布__学生用
§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( ) 2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于( )A ．5B ．8C ．10D ．163．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________.5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是________．题型一 离散型随机变量的均值、方差例1 (2013·浙江)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．题型二二项分布的均值、方差例2(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．题型三正态分布的应用例3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P 2的值；(3)设P 2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．思维启迪 (1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率． 规范解答解 (1)设甲袋中红球的个数为x ，依题意得x ＝10×25＝4.[3分](2)由已知，得25m ＋2mP 23m ＝13，解得P 2＝310.[6分](3)ξ的所有可能值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝35×45×45＝48125，P (ξ＝1)＝25×45×45＋35×C 12×15×45＝56125， P (ξ＝2)＝25×C 12×15×45＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝19125， P (ξ＝3)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2125.[8分]所以ξ的分布列为[10分]所以E(ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45. [12分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值．第二步：求每一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范．方法与技巧1．均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．2．基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．3．关于正态总体在某个区域内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (x <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． (3)3σ原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．失误与防范1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.A 组 专项基础训练一、选择题1．正态总体N (1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m ，n ，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．不确定2．已知某一随机变量X( )A.5B ．6C ．7D ．83．(2013·湖北) 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125 B.65 C.168125D.754．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4005．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的期望值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4二、填空题6．从装有3个红球、2X 个红球，则随机变量X 的分布列为7．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝2k－1，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________．三、解答题9．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．10．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．。
正态分布——概念特征广泛应用
正态分布——概念特征广泛应用正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是概率论中一种非常重要的分布。
它在统计分析和科学研究中得到了广泛的应用。
正态分布具有许多独特的特征，它的形状是对称的，呈现出一个钟形曲线，其均值、方差和标准差等统计量能够完全描述它的特征。
正态分布的概念：正态分布是一种连续型的概率分布，它的概率密度函数可以通过以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * √(2 * π))) * exp(-((x - μ) ^ 2) / (2 *σ ^ 2))其中，μ表示正态分布的期望值或均值，σ表示正态分布的标准差，π是圆周率。
正态分布的特征：1.对称性：正态分布呈现出对称的特点，也就是说，在均值两侧的概率曲线是完全相同的，即左右对称。
2.唯一性：正态分布具有唯一的均值和标准差。
均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的形状和宽度。
3.分布范围：正态分布的取值范围是无限的，即负无穷到正无穷。
4.弱偏态性：正态分布的偏态系数为0，即偏度为0。
偏态系数用于衡量概率分布的非对称性，当偏态系数大于0时，分布呈现正偏态，即右侧的尾部比左侧的尾部更长。
正态分布的广泛应用：1.统计学：正态分布在统计学中得到广泛的应用，特别是在参数估计和假设检验中。
许多常见的统计模型，如回归模型和时间序列模型，都是基于正态分布假设进行建模的。
2.自然科学：正态分布在自然科学中的应用非常广泛。
例如，物理学中的测量误差通常是服从正态分布的，因此在物理实验中，我们常常使用正态分布进行误差处理。
3.金融学：正态分布在金融学中扮演着重要的角色。
金融市场的大多数价格变动和收益率变动都呈现出近似正态分布的特征，这是基于大量的市场参与者和随机性的结果。
4.社会科学：正态分布也在社会科学中得到广泛的应用。
例如，人口统计数据、心理测量、学生考试成绩等，都可以使用正态分布进行描述。
5.质量管理：正态分布还在质量管理中发挥着重要的作用。
许多质量控制方法，如过程控制图、质量能力指数等，都基于正态分布的性质。
均值 标准差 正态分布
均值标准差正态分布在统计学中，均值、标准差和正态分布是非常重要的概念，它们在描述和分析数据分布特征方面起着关键作用。
本文将分别介绍这三个概念，并探讨它们之间的关系。
首先，我们来谈谈均值。
均值是一组数据的平均值，通常用来代表整体数据的集中趋势。
计算均值的方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
例如，如果我们有一组数据{3, 5, 7, 9, 11}，那么它们的均值为(3+5+7+9+11)/5=7。
均值的计算可以帮助我们更好地理解数据的集中程度，以及数据整体的特征。
接下来，我们谈谈标准差。
标准差是衡量数据分散程度的指标，它可以告诉我们数据点相对于均值的偏离程度。
标准差越大，表示数据点越分散；标准差越小，表示数据点越集中。
标准差的计算方法是先计算每个数据点与均值的差值，然后将这些差值平方，再求平均数，最后取平方根。
标准差的计算可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，以及数据的稳定性和可靠性。
最后，让我们来探讨正态分布。
正态分布又称为高斯分布，是一种连续概率分布，其特点是呈钟型曲线，均值处于中心位置，标准差决定了曲线的宽窄。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，例如身高、体重、考试成绩等。
正态分布具有许多重要的性质，例如68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
因此，正态分布在统计学和科学研究中具有重要意义。
在实际应用中，均值、标准差和正态分布经常同时出现，并相互影响。
例如，当我们得知一组数据呈正态分布时，我们可以利用均值和标准差来描述和分析这组数据的特征。
均值和标准差还可以用来比较不同数据集之间的差异，帮助我们进行科学研究和决策分析。
总之，均值、标准差和正态分布是统计学中的重要概念，它们相互联系，共同帮助我们理解和分析数据的特征。
通过对这三个概念的深入理解，我们可以更好地应用统计学方法来解决实际问题，促进科学研究和社会发展。
平均数 方差 标准差
平均数方差标准差
平均数、方差和标准差是统计学中常用的三个概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述数据的特征。
本文将分别介绍这三个概念，并说明它们在实际应用中的意义和作用。
首先，我们来谈谈平均数。
平均数是一组数据的总和除以数据的个数所得到的值。
它是最常用的描述数据集中趋势的统计量之一。
在实际应用中，平均数可以帮助我们了解数据的集中程度，比如一组考试成绩的平均数可以反映出这个班级的整体水平。
另外，平均数也可以用来比较不同数据集之间的差异，比如不同产品的平均销售额。
接下来，让我们来看看方差。
方差是衡量一组数据离散程度的统计量，它可以告诉我们数据集中的值与平均值之间的差异程度。
方差越大，说明数据的离散程度越高；方差越小，说明数据的离散程度越低。
在实际应用中，方差可以帮助我们评估数据的稳定性和可靠性，比如在质量控制中，方差可以用来衡量产品的质量稳定程度。
最后，让我们来介绍标准差。
标准差是方差的平方根，它也是衡量数据离散程度的一个重要指标。
与方差相比，标准差更容易理解和解释，因为它的单位与原始数据的单位相同。
在实际应用中，标准差可以帮助我们更直观地理解数据的分布情况，比如在投资领域，标准差可以用来衡量投资组合的风险水平。
综上所述，平均数、方差和标准差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述数据的特征。
在实际应用中，我们可以根据这三个概念来进行数据分析、决策和预测，从而更好地指导我们的工作和生活。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和运用这些概念，提升数据分析能力，谢谢阅读！。
随机误差的正态分布特点
随机误差的正态分布特点1.均值：正态分布的均值为μ，表示数据的中心位置。
在随机误差中，均值可以理解为误差的总体偏差。
如果误差呈现正态分布，均值为0，则表示误差的总体平均值接近于真值，没有系统性偏差。
2.方差：正态分布的方差为σ^2，表示数据的分布范围。
在随机误差中，方差可以理解为误差的离散程度。
方差越大，数据点越分散，说明误差范围更广，反之亦然。
随机误差的正态分布特点是方差相等，即具有同一水平的离散程度。
3.形状：正态分布的形状呈钟形曲线，两侧对称。
随机误差的正态分布特点是呈正态分布曲线，即误差集中在均值附近，偏离均值的概率较小。
该特点反映了随机误差的分布规律，即大部分误差相对较小，极端误差的发生概率较低。
4.中心极限定理：中心极限定理指出，当样本容量足够大时，不论总体分布形态如何，样本的均值分布将近似服从正态分布。
这意味着随机误差的正态分布特点成为了统计学中很重要的前提条件。
由于中心极限定理的存在，可以使用正态分布来进行统计推断和置信区间估计等分析。
在实际应用中，随机误差的正态分布特点有着重要的意义：1.基于随机误差的正态分布特点，可以进行参数估计和假设检验等统计推断。
通过对误差进行统计分析，可以对总体特征进行估计，并利用置信区间判断总体特征是否显著。
2.正态分布的特点使得随机误差具有较好的可控性和可预测性。
通过对误差的分布特征的研究，可以提供对误差的限制和控制方法，从而提高实验的精度。
3.正态分布假设简化了许多统计模型的建立和推断过程。
在许多情况下，我们可以假设随机误差符合正态分布，从而简化了模型的复杂度和计算的难度。
然而，需要注意的是，随机误差的正态分布特点并不意味着所有数据都遵循正态分布。
实际数据可能会受到多种因素的影响，导致偏离正态分布。
因此，在实际应用中，需要通过实际数据分布的分析和统计检验来验证数据是否符合正态分布。
同时，也需要对数据进行预处理和适当的转换，以满足正态分布的假设前提条件。
专题26 期望、方差及正态分布的实际应用(学生版)
(参考数据：若 X ～N (, 2 ) ，则 P( X ) 0.6826 ； P( 2 X 2 ) 0.9544 ； P( 3 X 3 ) 0.9974 .)
A．0.9544
B．0.6826
（i）请用统计学的知识分析该市 18 岁男大学生身高的情况；
（ii）下面是抽取的 100 名 18 岁男大学生中 20 名大学生身高（ cm ）的数据：
1.65
1.62
1.74
1.82
1.68
1.72
1.75
1.66
1.73
1.67
1.86
1.81
1.74
1.69
1.76
1.77
1.69
1.78[来源:学科网]
2.巩固提升综合练习
【练习 1】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N 0, 32 ，从中随机取一件，其长度误
差落在区间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随 机变量ξ服从正态分布 N , 2 ，则 P 68.26% ，
P 2 2 95.44% .）
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
【练习 2】在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N (0,1) 的密
度曲线)的点的个数的估计值为
A．2 386
B．2 718
Hale Waihona Puke C．3 413D．4 772
附：若 X~N(μ，σ2)，则 P X 0.682 6,P 2 X 2 0.954 4 .
【练习 4】（入座问题）编号 1，2，3 的三位学生随意入坐编号为 1，2，3 的三个座位，每位学生坐一
正态分布及其应用
正态分布及其应用
正态分布（也被称为高斯分布）是概率统计学中常见的一种连续型概率分布。
正态分布的概率密度函数具有钟形曲线的特征，它由两个参数决定：均值μ和方差σ²。
正态分布在许多实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：
1. 自然科学研究：正态分布被广泛用于描述许多自然现象，如测量误差、实验数据分布等。
2. 金融领域：正态分布被用于描述许多金融指标的变动，如股票价格、债券收益率等。
投资者可以利用正态分布进行风险管理和投资决策。
3. 质量控制：正态分布被应用于质量控制，例如在制造业中检测产品的质量是否合格。
4. 医学研究：正态分布经常用于研究人群的生理指标或疾病的发病率，如身高、体重、血压等。
5. 教育测量：正态分布可应用于评估学生的考试成绩、能力水平等。
6. 数据分析：正态分布常用于数据分析和拟合，在假设检验、参数估计和统计推断等方面被广泛使用。
总之，正态分布在许多领域中都有广泛的应用，特别是在统计学和概率论中被广泛研究和应用。
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§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( ) 2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于( )A ．5B ．8C ．10D ．163．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________.5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是________．题型一 离散型随机变量的均值、方差例1 (2013·浙江)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．题型二二项分布的均值、方差例2(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．题型三正态分布的应用例3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P 2的值；(3)设P 2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．思维启迪 (1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率． 规范解答解 (1)设甲袋中红球的个数为x ，依题意得x ＝10×25＝4.[3分](2)由已知，得25m ＋2mP 23m ＝13，解得P 2＝310.[6分](3)ξ的所有可能值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝35×45×45＝48125，P (ξ＝1)＝25×45×45＋35×C 12×15×45＝56125， P (ξ＝2)＝25×C 12×15×45＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝19125， P (ξ＝3)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2125.[8分]所以ξ的分布列为[10分]所以E(ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45. [12分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值．第二步：求每一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范．方法与技巧1．均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．2．基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．3．关于正态总体在某个区域内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (x <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． (3)3σ原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．失误与防范1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.A 组 专项基础训练一、选择题1．正态总体N (1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m ，n ，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．不确定2．已知某一随机变量X( )A.5B ．6C ．7D ．83．(2013·湖北) 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125 B.65 C.168125D.754．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4005．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的期望值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4二、填空题6．从装有3个红球、2X 个红球，则随机变量X 的分布列为7．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝2k－1，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________．三、解答题9．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．10．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．。