均值、方差、正态分布--学生用

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§ 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为

X x 1 x 2

。

… x i

… x n

P

p 1 p 2

…

-

p i

… p n

(1)均值

称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差

称D (X )＝∑n

i ＝1 (x i －E (X ))2

p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D

X 为随机变量X 的标准差．

2．均值与方差的性质

，

(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .

(2)D (aX ＋b )＝a 2

D (X )．(a ，b 为常数)

3．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布

(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝1

2πσ

e －x －μ2

2σ2

，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，

μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质：

、

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；

③曲线在x ＝μ处达到峰值1

σ2π；

④曲线与x 轴之间的面积为__1__；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

(3)正态分布的定义及表示

|

如果对于任何实数a ，b (a

a φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2

)．

正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．

( )

|

(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．

( )

(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．

( )

(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．

( ) 2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝1

5(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于

( )

A ．5

B ．8

C ．10

D ．16

3．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X

B ．2

C ．3

D ．4

4．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________.

.

5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为，那么他罚球1次的得分X 的均值是________．

题型一离散型随机变量的均值、方差

例1(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．

(1)求ξ的分布列、期望和方差；

(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．

/

题型二二项分布的均值、方差

例2(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在

任意时刻发生故障的概率分别为1

10

和p.

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49

50

，求p的值；

(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望

E(ξ)．

—

假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为.记此时教室里敞开的窗户个数为X.

(1)求X的分布列；

(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不

变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．

【

题型三 正态分布的应用

例3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52

)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．

…

在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．

(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；

(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．

\

离散型随机变量的均值与方差问题

典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，

从甲袋中摸出1个球为红球的概率为2

5

，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.

~

(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；

(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是1

3

，求P 2的值；

(3)设P 2＝1

5，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋

中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．

思维启迪 (1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率． 规范解答

解 (1)设甲袋中红球的个数为x ，

依题意得x ＝10×2

5＝4.

[3分]

(2)由已知，得2

5m

＋2mP 23m ＝13，解得P 2＝3

10

.

[6分]

￥

(3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.

P (ξ＝0)＝35×45×45＝48

125，

P (ξ＝1)＝25×45×45＋35×C 12×15×45＝

56

125， P (ξ＝2)＝25×C 12×15×45＋35×? ????152＝

19

125， P (ξ＝3)＝25×? ????152＝2

125.

[8分]

所以ξ的分布列为

ξ 0 .

1 2 3 P

48125

56125

19125

2125

》

[10分]

所以E (ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝4

5

.

[12分]

求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤： 第一步：确定随机变量的所有可能值． 第二步：求每一个可能值所对应的概率．

|

第三步：列出离散型随机变量的分布列． 第四步：求均值和方差．

第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．

温馨提醒 (1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范．

方法与技巧

1．均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：

(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；

$

E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；

D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；

(2)若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．

2．基本方法

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；

(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用

ξ的均值、方差的性质求解；

(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．3．关于正态总体在某个区域内取值的概率求法

;

(1)熟记P(μ－σ

(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．

②P(X

(3)3σ原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．

失误与防范

'

1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．

2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.

A组专项基础训练

一、选择题

1．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则( ) A．m>n B．m

C．m＝n D．不确定

}

2．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝，则a的值为( )

X4a9

P（

b

B．6 C．7 D．8

3．(2013·湖北) 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同

样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为

X，则X的均值E(X)等于( )

4．某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

A．100 B．200 C．300 D．400

:

5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为( )

A．B．C．D．

二、填空题

6．从装有3个红球、2X个红球，则随机变量X的分布列为

X012

P

，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.

7．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝

2k－1

8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________．

三、解答题

9．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．

(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；

(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

10．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、

D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为2

3

，

2

3

，

1

2

.这三项测试能否通过相互之间

没有影响．

(1)求A能够入选的概率；

(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．