均值、方差、正态分布--学生用
正态分布 概率密度函数 均值方差
一、概述在统计学和概率论中，正态分布是一种非常重要的连续概率分布。
它是由高斯-欧拉二人独立发现的，因此也称为高斯分布。
正态分布在实际的统计建模和研究中被广泛应用，因为许多自然现象都呈现出它的特征。
本文将从正态分布的定义、概率密度函数、期望和方差等方面进行介绍。
二、正态分布的定义在概率论中，如果一个随机变量X服从数学期望为μ、标准差为σ的正态分布，记为X∼N(μ,σ^2)，其概率密度函数为：f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，e是自然对数的底数，μ是分布的均值，σ^2是方差，π是圆周率。
正态分布的概率密度函数是一个关于x的对称函数，其图形呈钟型，中心在μ处，标准差σ决定了钟型曲线的宽窄。
三、概率密度函数正态分布的概率密度函数f(x)描述了随机变量X落在某个区间内的概率。
根据正态分布的性质，有以下几点需要注意：1. 当x=μ时，概率密度函数取得最大值，即为峰值；2. 随着x与μ的距离增加，概率密度函数逐渐减小，但是永远不会降至0，而是趋近于0；3. 当x向正负无穷方向延伸时，概率密度函数趋近于0。
四、均值和方差在正态分布中，均值μ决定了钟型曲线的中心位置，而标准差σ则决定了钟型曲线的宽度。
均值和方差是描述正态分布中心位置和数据分散程度的重要统计量。
1. 均值：均值μ是正态分布曲线的中心点，也是正态分布的位置参数。
均值的大小决定了曲线的对称中心和数据的聚集程度。
当μ增大时，钟型曲线向右平移；当μ减小时，钟型曲线向左平移。
2. 方差：方差σ^2是数据分散程度的度量，它决定了钟型曲线的宽窄。
方差越大，曲线越宽；方差越小，曲线越窄。
方差的平方根称为标准差σ，是用来度量数据波动的一个指标。
五、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，使其在实际应用中得到广泛的运用。
1. 正态分布的曲线呈钟型，左右对称，且在均值处取得最大值。
2. 由于正态分布曲线的特殊形状，负无穷到正无穷的全区间内，其概率密度函数的面积等于1。
均值方差标准差
关于抽样分布我们要了解的:
Y 的均值是多少?
如果 E(Y ) =真实的 = .78, 则Y 是 of 的无偏
unbiased 估计量 Y 的方差是多少?
var(Y ) 如何依赖于 n (著名的 1/n 公式)
当 n 较大时 Y 是否靠近 ? 大数定律: Y 是 的相合 consistent 估计量
14
Y 的抽样分布（续）
例: 设 Y 取 0 或 1 ( Bernoulli 随机变量)，服从概率分布,
Pr[Y = 0] = .22, Pr(Y =1) = .78 则
E(Y) = p1 + (1 – p)0 = p = .78
2 Y
=
E[Y
–
E(Y)]2
=
p(1
–
p)
= .78(1–.78) = 0.1716
24
Y E(Y )
相同例子：
的抽样分布：
var(Y )
25
总结: Y 的抽样分布
当
Y1,…,Yn
i.i.d.
满足
0
<
2 Y
<
时,
Y 的精确（有限样本）分布均值为Y (“Y 是Y 的无偏估
计量”)
方差为
2 Y
/n
除了其均值和方差, Y 的精确分布非常复杂取决于 Y 的分
布 (总体分布)
协方差是 X 和 Z 线性关联程度的度量; 其单位为 X 的单位
Z 的单位
cov(X,Z) > 0 表明 X 和 Z 正相关 若 X 和 Z 独立分布, 则 cov(X,Z) = 0 (反之不成立!!)
高中正态分布常用的三个数据
高中正态分布常用的三个数据
正态分布是概率统计中非常重要的一种分布模型，广泛应用于各
个领域。
在高中数学中，也经常会涉及到正态分布的相关内容。
本文
将介绍高中学习过程中常用的三个与正态分布相关的数据。
第一个数据是平均数（mean），也称为数学期望。
平均数是一组
数据的总和除以数据的个数。
在正态分布中，平均数代表着整个分布
的中心位置。
对于一个对称的正态分布，平均数将会是分布的最高点。
正态分布中的平均数给出了一个概率分布的集中程度。
第二个数据是标准差（standard deviation）。
标准差是一组数
据的离散程度的度量，用于衡量数据相对于平均数的偏离程度。
标准
差越小，数据集中度越高；标准差越大，数据分布越分散。
在正态分
布中，标准差决定了曲线的陡峭程度。
当标准差较大时，曲线较为平缓；当标准差较小时，曲线较为陡峭。
第三个数据是正态分布的形状。
正态分布的形状是由平均数和标
准差共同决定的。
当平均数确定时，标准差越大，曲线越平缓，呈现
扁平状；标准差越小，曲线越陡峭，呈现尖峰状。
正态分布的形状可
以通过曲线上的特点来观察和判断。
综上所述，高中正态分布常用的三个数据分别是平均数、标准差
和分布形状。
平均数代表分布的中心位置，标准差代表数据的离散程度，形状则由平均数和标准差共同决定。
熟练掌握这些数据的概念和
计算方法，对于理解和应用正态分布具有重要的意义。
正态分布-学生用卷
正态分布一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩，已知，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取A. 5份B. 10份C. 15份D. 20份2.设两个正态分布和曲线如图所示，则有A. B.C. D.3.设随机变量服从正态分布，若，则a的值为A. B. C. 5 D. 34.已知随机变量，且，，则A. B. C. D.5.已知：，且，，则A. B. C. D.6.已知随机变量服从正态分布，则A. 4B. 6C. 8D. 117.设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率A. B. C. D.8.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作：设三个电子元件的使用寿命单位：小时均服从正态分布，若每个元件使用寿命超过1200小时的概率为，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过800小时的概率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9.随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为______．10.若随机变量，则，已知随机变量，则______．11.若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系xOy中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数c的取值范围是______12.下列说法中错误的有_________________残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好。
设随机变量X服从正态分布，若则根据下表提供的数据，线性回归方程为，那么表中13.某县10000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图，则成绩X位于区间的人数大约是______ ．，，．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）14.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布，利用该正态分布，求Z落在内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；若，则，．15.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入单位：千元同一组数据用该组数据区间的中点值表示；由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得；，利用该正态分布，求：在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式，若，则；；；16.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算．在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．参考数据：；；。
student-t分布的均值和方差
student-t分布的均值和方差学生t分布是统计学中的一种概率分布，用于计算小样本下的统计推断。
它在样本量较小时，能更准确地估计总体平均值。
学生t分布的均值和方差是该分布的两个重要参数。
我们来介绍一下学生t分布的均值。
学生t分布的均值与自由度有关。
自由度是指样本中独立观测值的总数减去被用来估计均值的参数的个数。
假设我们有一个具有n个自由度的学生t分布。
则分布的均值等于0。
这里需要注意的是，在实际应用中，我们常常使用t分布来估计总体均值。
在这种情况下，样本的均值即为总体的估计值。
因此，我们使用样本均值来近似总体均值。
接下来，我们来介绍一下学生t分布的方差。
学生t分布的方差也与自由度有关。
具体公式为：σ^2 = (df / (df - 2))其中，σ^2表示学生t分布的方差，df表示自由度。
可以看出，学生t分布的方差随着自由度的增加而减小。
当自由度足够大时，学生t分布的方差将趋于1，即趋于正态分布的方差。
学生t分布的方差的变化也反映了样本量对估计的影响。
当样本量较小时，样本均值的估计误差较大，因此学生t分布的方差较大。
而当样本量增加时，样本均值的估计误差减小，因此学生t分布的方差也减小。
需要注意的是，学生t分布的方差虽然与自由度有关，但并不像正态分布一样，只依赖于样本量的大小。
学生t分布的方差还受到样本中的极端观测值的影响。
当样本中存在极端观测值时，学生t分布的方差会更大。
因此，在进行统计推断时，需要注意是否存在异常值的影响。
总结起来，学生t分布的均值为0，方差与自由度有关，并受到样本中极端观测值的影响。
在实际应用中，我们常常使用学生t分布来进行小样本下的统计推断，例如，估计总体的均值或比较两个样本的均值是否有显著差异。
《数学教育测量与评价》第 2 章 正态分布在数学教育测量与评价中的应用
分数的平均数为0，标准差是1，因此，这组标准分数可视为
服从标准正态分布。
2.2 标准正态曲线下的面积比率及正态分布表
正态曲线 f (x) 与其底边(即横轴)所围成的面积称为正态
曲线下的面积，用定积分可知该面积大小为 R f (u) d u 1 ，
代表正态随机变量在 R 上取值的概率。曲线的对称轴将曲线 下的面积等分为两部分，两部分面积都为 1/2。
估计录取分数线
一 推求考试成绩中特定分数段的人数比率和理论人数
注意“推求”指的是对真实情况的估计，与真实值可能不 同。 例4 某区800学生的数学统考成绩服从正态分布，其平均成 绩为75分，标准差为5分，利用正态分布曲线下的面积推求60 分以下，70—80分，80—90分各分数段可能占总人数多大比 例？并估计各分数段各有多少人？ 解：由于800名学生的数学成绩服从正态分布，因此我们在分 类整理统计各分数段人数之前，就可根据正态分布曲线下的 面积推求各分数段人数。步骤是：
《标准正态分布表》的使用
上图是《标准正态分布表》的一部分部分，表中 x 的值精确到2位小数，表的 第1列是x 的个位数和十分位数，第一行是 x 的百分位数，其余数据是(x) 的值，
精确到4位小数。
已知 x 的值，可以从表中查到(x) 的值，例如 x 0.26 时，在第一列找到 0.2 所在行，在第一行找到0.06所在列，二者相交处为0.6026，即为 (0.26) 的 值。若 x 取负值，利用(x) 1 (x) 先从表中查出(x)，再计算 (x)。
(2.1.1)
其中，, 2 是正态分布的均值和方差，正态分布常常被记
为 (, 2)。
68.27% f(x)
μ−3σ μ−2σ
95.45%
正态分布-讲义(学生版)
正态分布一、课堂目标1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．2．理解正态分布和标准正态分布的概念．3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和原则求随机变量在某一范围内的概率．4．掌握正态分布的实际应用问题．二、知识讲解现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.1. 正态曲线知识精讲（1）正态曲线的概念如下图，对应的函数解析式为：，（其中实数和为参数）．显然，对于任意的称，，它的图象在轴的上方．我们称为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的性质①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值（最大值）；④曲线与轴之间的面积为；⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图所示；⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．经典例题1.关于正态曲线的性质：①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；④越大，曲线越“高瘦”；越小，曲线越“矮胖”．A.①②B.②③C.③④D.①③其中正确的是（）．巩固练习A.B.C.D.2.如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（）．2. 正态分布知识精讲（1）正态分布的概念若随机变量的概率分布密度函数为：，（其中实数和为参数），则称随机变量服从正态分布，记为．正态分布完全由参数和确定，其中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．注意：若，则．若，如下图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而为区域的面积．（2）原则若，则对于任何实数，为下图阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围概率越大．特别有，①，②，③．由知，正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有．，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．经典例题3.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．4.设随机变量，则服从的总体分布可记为 ．巩固练习A.B.C.D.5.随机变量服从正态分布，且，则（ ）．A.B.C.D.6.设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为（ ）．，，，，经典例题（1）（2）7.已知随机变量，且正态分布密度函数在上是增函数，在上为减函数，．求参数，的值．求．A.人B.人 C.人D.人8.某校高三年级的名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩服从正态分布，则该年级学生数学成绩在分以上的学生人数大约为（ ）．（附数据：，）巩固复习A. B.C.D.9.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则果实直径在内的概率为（）．附：若 ，则，．10.某市高二名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为，标准差为，成绩服从正态分布，则成绩在的人数为．参考数据：，，．经典例题11.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即新型冠状病毒．年月日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能（1）（2）成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取人，答题成绩统计如图所示．频率组距成绩分由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布，其中，分别为答题者的平均成绩和成绩的方差，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取人，“防御知识合格者”的人数为，求．（精确到）附：①，；②，则，；③，．12.年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．（1）12（2）频率组距竞赛成绩（分）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过分的学生数（结果四舍五入到整数）．若从所有参赛学生中(参赛学生数大于)随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值．附：若随机变量服从正态分布，则，，．巩固练习（1）（2）13.从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：质量指标值频率组距求这件产品质量指标的样本平均数 和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．12由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数 ，近似为样本方差．利用该正态分布，求．已知每件该产品的生产成本为元，每件合格品（质量指标值的定价为元；若为次品（质量指标值，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户元．若该公司卖出件这种产品，记表示这件产品的利润，求．附：．若，则，．（1）12（2）14.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望．一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．试说明上述监控生产过程方法的合理性．下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：附：若随机变量服从正态分布，则，，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．3. 标准正态分布知识精讲若随机变量，则当，时，称随机变量服从标准正态分布，简称标准正态分布．标准正态分布的密度函数为，，其相应的密度曲线称为标准正态曲线．如图所示：由于标准正态总体在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，相应于的值是指总体取值小于的概率，即，如图左边的部分所示．由于标准正态曲线关于轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值的值，因此，如果，那么由下图根据面积相等知．知识点睛一般的正态分布均可以化成标准正态分布来进行研究．事实上，可以证明，对任一正态分布来说，取值小于的概率．所以，可以利用公式可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．经典例题15.随机变量服从标准正态分布，如果，则．巩固练习16.设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中，已知，则在内取值的概率为．A.B.C.D.17.已知随机变量，记，则下列结论不正确的是（）．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测18.已知随机变量服从正态分布，且，则．A.B.C.D.19.设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（ ）．，，，，A. B.C.D.20.某小区有户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在度以上的居民户数约为（ ）．（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）21.11频率组距质量指标值（1）（2）从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．①利用该正态分布，求；②某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求．附：．若～，则，．。
均值、方差、正态分布——学生用
§12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量的均值与方差假设离散型随机变量*的分布列为* *1*2…*i…*nP p1p2…p i…p n(1)均值称E(*)＝*1p1＋*2p2＋…＋*i p i＋…＋*n p n为随机变量*的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(*)＝∑ni＝1(*i－E(*))2p i为随机变量*的方差，它刻画了随机变量*与其均值E(*)的平均偏离程度，其算术平方根D*为随机变量*的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(a*＋b)＝aE(*)＋b.(2)D(a*＋b)＝a2D(*)．(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)假设*服从两点分布，则E(*)＝__p__，D(*)＝p(1－p)．(2)假设*～B(n，p)，则E(*)＝__np__，D(*)＝np(1－p)．4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(*)＝12πσe－*－μ22σ2，*∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ、σ(*)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于*轴上方，与*轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线*＝μ对称；③曲线在*＝μ处到达峰值1σ2π；④曲线与*轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿*轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高〞，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖〞，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量*满足P(a<*≤b)＝ʃb aφμ，σ(*)d*，则称随机变量*服从正态分布，记作*～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间取值的概率值①P(μ－σ<*≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ<*≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P (μ－3σ<*≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于( )A ．5B ．8C ．10D ．163．设随机变量*服从正态分布N (2,9)，假设P (*>c ＋1)＝P (*<c －1)，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，假设*表示取到次品的件数，则D (*)＝________.5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果*运发动罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分*的均值是________． 题型一 离散型随机变量的均值、方差例1 (2021·)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．袋中有20个大小一样的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)假设η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 题型二 二项分布的均值、方差例2 (2021·)*居民小区有两个相互独立的平安防系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．假设*班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为*. (1)求*的分布列；(2)假设此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的数学期望．题型三 正态分布的应用例3 在*次大型考试中，*班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．在*次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，总分值为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]的概率；(2)假设这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小一样的红球和白球，甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.(1)假设m ＝10，求甲袋中红球的个数；(2)假设将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P 2的值；(3)设P 2＝15，假设从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．思维启迪 (1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率． 规解答解 (1)设甲袋中红球的个数为*，依题意得*＝10×25＝4.[3分](2)由，得25m ＋2mP 23m ＝13，解得P 2＝310.[6分](3)ξ的所有可能值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝35×45×45＝48125，P (ξ＝1)＝25×45×45＋35×C 12×15×45＝56125，P (ξ＝2)＝25×C 12×15×45＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝19125， P (ξ＝3)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2125.[8分]所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P4812556125191252125[10分]所以E(ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45.[12分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值．第二步：求每一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回忆．查看关键点、易错点和答题规．温馨提醒(1)此题重点考察了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)此题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规．方法与技巧1．均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)假设ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．2．根本方法(1)随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．3．关于正态总体在*个区域取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<*≤μ＋σ)，P(μ－2σ<*≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<*≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与*轴之间面积为1.①正态曲线关于直线*＝μ对称，从而在关于*＝μ对称的区间上概率相等．②P(*<a)＝1－P(*≥a)，P(*<μ－a)＝P(*≥μ＋a)．(3)3σ原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．失误与防1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进展具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进展分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.A组专项根底训练一、选择题1．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．不确定2．*一随机变量*的分布列如下，且E (*)＝6.3，则a 的值为( )* 4 a9P0.50.1bA.5 B ．6 C ．7 D ．83．(2021·)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为*，则*的均值E (*)等于( )A.126125B.65C.168125D.754．*种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为*，则*的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．4005．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停顿后剩余子弹的数目*的期望值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4 二、填空题6．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有*个红球，则随机变量*的分布列为* 0 1 2 P7．随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k －1，k ＝1,2,3，…，n ，则P (2<ξ≤5)＝________.8．*次英语考试的成绩*服从正态分布N (116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________． 三、解答题9．*超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购置费，也不享受折扣优惠．假设该超市在*个时段购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．10．为了*项大型活动能够平安进展，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反响三项指标进展检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定*基地有4名武警战士(分别记为A 、B 、C 、D )拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反响的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A 能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．。
正态分布-高考数学复习课件
∴该班学生数学成绩在120分以上(包含120分)的人数约为0.16×50＝8.
4
3
4. 在含有3件次品的10件产品中，任取4件， X 表示取到的次品的个数，
则 P ( X ＝2)＝
3
10
.
C23 C27
3
由题意得 P ( X ＝2)＝ 4 ＝ .
C10
10
关键能力 重点探究
考点一
例1
正态分布的性质
份测量其纤维长度的均值 Yi ( i ＝1，2，…，20)，得到的数据如下.
Y1
24.1
Y2
31.8
Y3
32.7
Y4
28.2
Y5
28.4
Y6
34.3
Y7
29.1
Y8
34.8
Y9
37.2
Y 10
30.8
Y 11
30.6
Y 12
25.2
Y 13
32.9
Y 14
27.1
Y 15
35.9
Y 16
28.9
Y 17
；
；
.
[小题诊断]
1. (易错题)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N (0，
32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(
A. 4.56％
B. 13.59％
C. 27.18％
D. 31.74％
B )
2. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩 X 服从正态分布 N (110，102).
越集中，30小于40，B正确，C不正确；对于选项D： P (280＜ X ＜320)
高中数学正态分布
指数分布与正态分布关系
指数分布是一种连续型概率分布 ，用于描述两个连续事件之间的 时间间隔。
在某些情况下，指数分布可以近 似为正态分布。具体来说，当指 数分布的参数 $lambda$ 足够大 时，指数分布 $Exp(lambda)$ 可以用正态分布 $N(frac{1}{lambda}, frac{1}{lambdasqrt{2}})$ 来近似 。然而，这种近似通常不如二项 分布和泊松分布逼近正态分布那 样准确。
多元正态分布的定义
多元正态分布是指多个随机变 量组成的向量服从正态分布的 情况。
多元正态分布的性质
多元正态分布具有一些重要的 性质，如联合分布、边缘分布 、条件分布和独立性等。
多元正态分布在统计学中 的应用
多元正态分布广泛应用于多元 统计分析中，如多元线性回归 、主成分分析、因子分析等。
多元正态分布的参数估计 和假设检验
对于多元正态分布的参数估计 和假设检验，可以使用最大似 然估计、协方差矩阵的估计和 多元t检验等方法进行。
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对两个正态总体均值或方差进行 比较的假设检验，如t检验和F检 验的两样本版本。
置信区间构建
利用样本数据构造总体均值的置 信区间，以估计总体均值可能落 入的范围。
01
02
单样本假设检验
对单个正态总体均值或方差进行 假设检验，如t检验和F检验。
03
04
配对样本假设检验
对配对观测值之差的均值进行假 设检验，如配对t检验。
智商分布
智商测试的结果也符合正态分布，大 部分人的智商处于中等水平，极高和 极低的智商相对较少。
生产过程中质量控制
产品质量分布
在生产线上，产品质量往往呈现 正态分布，大部分产品符合质量 标准，极少数产品存在严重缺陷
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！§ 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2。
… x i… x nPp 1 p 2…-p i… p n(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质，(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：、①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示|如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )|(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( ) 2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于( )A ．5B ．8C ．10D ．163．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________..5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为，那么他罚球1次的得分X 的均值是________．题型一离散型随机变量的均值、方差例1(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．/题型二二项分布的均值、方差例2(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．—假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．【题型三 正态分布的应用例3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．…在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．\离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.~(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P 2的值；(3)设P 2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．思维启迪 (1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率． 规范解答解 (1)设甲袋中红球的个数为x ，依题意得x ＝10×25＝4.[3分](2)由已知，得25m＋2mP 23m ＝13，解得P 2＝310.[6分]￥(3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝35×45×45＝48125，P (ξ＝1)＝25×45×45＋35×C 12×15×45＝56125， P (ξ＝2)＝25×C 12×15×45＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝19125， P (ξ＝3)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2125.[8分]所以ξ的分布列为ξ 0 .1 2 3 P4812556125191252125》[10分]所以E (ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45.[12分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤： 第一步：确定随机变量的所有可能值． 第二步：求每一个可能值所对应的概率．|第三步：列出离散型随机变量的分布列． 第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒 (1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范．方法与技巧1．均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；$E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．2．基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．3．关于正态总体在某个区域内取值的概率求法;(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(x<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．(3)3σ原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．失误与防范'1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.A组专项基础训练一、选择题1．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则( ) A．m>n B．m<nC．m＝n D．不确定}2．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝，则a的值为( )X4a9P（bB．6 C．7 D．83．(2013·湖北) 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于( )4．某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )A．100 B．200 C．300 D．400:5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为( )A．B．C．D．二、填空题6．从装有3个红球、2X个红球，则随机变量X的分布列为X012P，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.7．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝2k－18．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________．三、解答题9．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．10．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．。