关于假设检验中检验统计量的选择及拒绝域的确定问题
统计学中参数假设检验拒绝域的确定
统计学中参数假设检验拒绝域的确定摘要：许多统计学教材关于假设检验中拒绝域和接受域的确定过程过于简洁而导致相关知识抽象、难懂，故对这个过程的深入研究很有必要。
首先展示了假设检验的基本思想，接着给出了关于一个总体参数的单侧检验、双侧检验过程中拒绝域和接受域确定的推理、推导过程，并展示了应用实例。
最后，对当前统计学教材中假设检验内容的组织提出了一点建议。
关键词：假设检验；拒绝域；接受域；推理1前言同数理统计教材相比，一般统计学教材中假设检验的方法和步骤常常显得十分简洁、直观，但这样做的缺点也很明显：一些数学推理过程被屏蔽起来，解题过程十分抽象、步骤间跨度较大，推理不清晰。
这样的教材对非统计学专业和非数学专业的教师、学生而言无疑大大加重了他们讲解、学习这门课程的难度，使他们感到假设检验的过程十分抽象，令人困惑。
区间估计和假设检验是统计推断中的重要内容，是两个不同的统计概念，但它们又有着密切的联系，在某种意义下是同一问题的两个方面。
这两种统计推断方法都是通过对具体问题的随机抽样所得到的样本观察值，用数理统计学的方法进行统计分析并做出判断。
深刻理解参数假设检验中的若干基本问题，了解统计推断中参数的假设检验与区间估计之间的关系、不同类型的假设检验适用范围及应注意的问题，对正确的掌握和应用统计推断方法是极为重要的。
因此在教学过程中，把这些被许多统计学教材没有涉及到的推理内容搞清楚是十分必要的。
2假设检验的定义与基本原理在假设检验中，常把一个被检验的假设称为原假设或者零假设，用H0表示。
通常将不应轻易加以否定的假设作为原假设，当H0被拒绝时而接受的假设称为备择假设，用H1表示，它们常常成对出现。
由样本(x1，x2，?，xn)对假设进行推断总是通过一个恰当的统计量T(x1，x2，?，xn)完成的，该统计量T(x1，x2，?，xn)称为检验统计量。
使原假设被拒绝的样本观测值所在区域称为拒绝域，一般它是样本空间Ω的子集，并用W表示，Wˉ称为接受域；统计量T(x1，x2，?，xn）的拒绝域记为T(W)。
构造拒绝域的步骤
构造拒绝域的步骤构造拒绝域是经济学、统计学和实用领域中的重要方法，它能够有效地控制犯错误的概率，保证分析结果的正确性和可靠性。
下面是构造拒绝域的步骤：1.确定研究假设研究假设是构造拒绝域的基础，通常包括零假设和备择假设。
零假设是基础假设，备择假设则是要验证的假设。
2.确定显著水平显著水平是指拒绝零假设的临界值。
通常使用的显著水平为0.01、0.05和0.1。
显著水平越小，拒绝零假设的要求越高。
3.选择检验统计量检验统计量是用于衡量样本数据与假设之间的差异的统计量。
通常选择符合正态分布的检验统计量，例如t检验、z检验等。
4.计算检验统计量的值根据样本数据和检验统计量的定义，计算检验统计量的值。
此时还需要计算检验统计量的抽样分布，然后从中确定拒绝域。
5.确定拒绝域拒绝域是指检验统计量的取值区间，当检验统计量的取值落在该区间内时，拒绝零假设并接受备择假设。
拒绝域的确定依赖于显著水平、检验统计量的定义以及抽样分布。
6.进行假设检验将计算得到的检验统计量的值与拒绝域进行比较，如果落在拒绝域内，则拒绝零假设并接受备择假设。
如果落在拒绝域外，则接受零假设。
这个过程称为假设检验。
7.得出结论根据假设检验的结果，得出关于研究假设的结论。
如果拒绝零假设，则可以认为备择假设是正确的；如果接受零假设，则可以认为研究假设不成立。
以上是构造拒绝域的基本步骤，需要注意的是，拒绝域的选择和假设检验的结论都需要符合科学严谨的原则，例如数据的采集和分析方法的选取等。
只有这样，才能得到准确可靠的研究结论。
假设检验例题
在显著性水平0.05下，认为调整后机床加工轴的椭圆度的 均值无显著降低.
例3.某种电子元件，要求使用寿命不得低于1000 小时。现从
一批这种元件中随机抽取25 件，测其寿命，算得其平均寿命 950小时，设该元件的寿命X~N(μ,1002)，在显著性水平0.05下, 确定这批元件是否合格？
W
{
χ2
χ
2 α
(n
1)
}
H1 : σ 2 0.0052
n=9 ，α=0.05，
χ
2 α
(
n
1)
χ
2 0.05
(8)
15.507
W { χ 2 15.507}
χ2
(n 1)S 2 0.0052
8 0.0072 0.0052
15.68
15.507
因为 χ 2 W
所以拒绝H0，
即在显著性水平α=0.05下，认为这批导线的标准差显著地偏大.
分别抽取容量为21和16的样本，得样本均值分别为650元和800元， 样本方差分别为802和702，能否认为第二家银行储户的平均年存款 余额显著高于第一家银行储户的平均年存款余额。 （ α=0.10 ）
解:（1）先检验两家银行储户的年存款余额的方差有无显著性
差异。
原假设
H 0：σ12
σ
2 2
备择假设
1 1 0.3318
21 16
(n1
1)s12
(n2
1)s
2 2
n1 n2 2
20 802 15 702 35
75.8758
t
x y
11
(n1
1)s12
(n2
1)s
假设检验的逻辑框架
假设检验的逻辑框架假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断一个样本是否与总体存在显著差异。
它的逻辑框架包括以下几个步骤：确定原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量、确定拒绝域、做出决策和给出结论。
一、确定原假设和备择假设在进行假设检验之前，首先需要明确研究问题，并根据问题确定原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是对研究问题的一种默认假设，而备择假设则是对原假设的否定或者对研究问题的另一种假设。
二、选择显著性水平显著性水平（α）是在假设检验中用来判断是否拒绝原假设的标准。
通常情况下，显著性水平的选择是根据研究问题的重要性和实际需求来确定的。
常见的显著性水平有0.05和0.01两种。
三、计算检验统计量在假设检验中，需要根据样本数据计算一个检验统计量，用来衡量样本与原假设之间的差异程度。
检验统计量的选择通常是根据研究问题和数据类型来确定的，常见的检验统计量有t值、F值、卡方值等。
四、确定拒绝域拒绝域是在给定显著性水平下，根据检验统计量的分布确定的。
它是一组临界值，如果检验统计量的取值落在拒绝域内，则拒绝原假设；如果检验统计量的取值落在拒绝域外，则接受原假设。
五、做出决策和给出结论根据计算得到的检验统计量和拒绝域的判断，可以做出决策并给出结论。
如果检验统计量的取值落在拒绝域内，则拒绝原假设，认为样本与总体存在显著差异；如果检验统计量的取值落在拒绝域外，则接受原假设，认为样本与总体不存在显著差异。
总结：假设检验的逻辑框架包括确定原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量、确定拒绝域、做出决策和给出结论。
通过这个逻辑框架，可以对样本与总体之间的差异进行判断，并得出相应的结论。
在实际应用中，需要根据具体问题和数据类型选择适当的假设检验方法，并合理设置显著性水平，以保证结果的可靠性和准确性。
《概率论与数理统计》第七章假设检验.
《概率论与数理统计》第七章假设检验.第七章假设检验学习⽬标知识⽬标：理解假设检验的基本概念⼩概率原理；掌握假设检验的⽅法和步骤。
能⼒⽬标：能够作正态总体均值、⽐例的假设检验和两个正态总体的均值、⽐例之差的假设检验。
参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利⽤样本对总体进⾏某种推断，然⽽推断的⾓度不同。
参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。
⽽在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出⼀个假设，然后利⽤样本数据检验这个假设是否成⽴，如果成⽴，我们就接受这个假设，如果不成⽴就拒绝原假设。
当然由于样本的随机性，这种推断只能具有⼀定的可靠性。
本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的⼀般步骤，然后重点介绍常⽤的参数检验⽅法。
由于篇幅的限制，⾮参数假设检验在这⾥就不作介绍了。
第⼀节假设检验的⼀般问题关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误⼀、假设检验的基本概念（⼀）原假设和备择假设为了对假设检验的基本概念有⼀个直观的认识，不妨先看下⾯的例⼦。
例7.1 某⼚⽣产⼀种⽇光灯管，其寿命X 服从正态分布)200 ,(2µN ，从过去的⽣产经验看，灯管的平均寿命为1550=µ⼩时，。
现在采⽤新⼯艺后，在所⽣产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650⼩时。
问采⽤新⼯艺后，灯管的寿命是否有显著提⾼？这是⼀个均值的检验问题。
灯管的寿命有没有显著变化呢？这有两种可能：⼀种是没有什么变化。
即新⼯艺对均值没有影响，采⽤新⼯艺后，X 仍然服从)200 ,1550(2N 。
另⼀种情况可能是，新⼯艺的确使均值发⽣了显著性变化。
这样，1650=X 和15500=µ之间的差异就只能认为是采⽤新⼯艺的关系。
究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。
假如给定显著性⽔平05.0=α。
在上⾯的例⼦中，我们可以把涉及到的两种情况⽤统计假设的形式表⽰出来。
统计学中的假设检验
统计学中的假设检验统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，假设检验是一种常用的方法，用于验证对于某一总体的某一假设是否成立。
假设检验在科学研究、商业决策以及社会调查等领域都有广泛的应用。
本文将介绍假设检验的基本概念、步骤和常见的统计方法。
一、假设检验的基本概念假设检验是基于样本数据对总体参数进行推断的一种方法。
在进行假设检验时，我们需要提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后根据样本数据来判断是否拒绝原假设。
原假设通常是我们希望证伪的假设，而备择假设则是我们希望支持的假设。
二、假设检验的步骤假设检验一般包括以下步骤：1. 提出假设：根据研究问题和背景，提出原假设和备择假设。
2. 选择显著性水平：显著性水平（α）是我们在进行假设检验时所允许的犯第一类错误的概率。
通常情况下，显著性水平取0.05或0.01。
3. 收集样本数据：根据研究设计和样本容量要求，收集样本数据。
4. 计算统计量：根据样本数据计算出相应的统计量，如均值、标准差、相关系数等。
5. 判断拒绝域：根据显著性水平和统计量的分布，确定拒绝域。
拒绝域是指当统计量的取值落在该区域内时，我们拒绝原假设。
6. 做出决策：根据样本数据计算出的统计量与拒绝域的关系，判断是否拒绝原假设。
7. 得出结论：根据决策结果，得出对原假设的结论。
三、常见的统计方法在假设检验中，常见的统计方法包括：1. 单样本t检验：用于检验一个样本的均值是否等于某个给定值。
2. 双样本t检验：用于检验两个样本的均值是否相等。
3. 方差分析：用于检验两个或多个样本的均值是否有显著差异。
4. 相关分析：用于检验两个变量之间是否存在线性相关关系。
5. 卡方检验：用于检验观察频数与期望频数之间的差异是否显著。
四、假设检验的局限性假设检验作为一种统计方法，也存在一定的局限性。
首先，假设检验只能提供关于原假设的拒绝与否的结论，并不能确定备择假设的真实性。
统计学第六章假设检验
10
即 z 拒绝域，没有落入接受域，所以没有足够理由接受原假设H0, 同
时，说明该类型电子元件的使用寿命确实有了显著的提高。
第六章 假设检验
1. 正态总体均值的假设检验
(2) 总体方差 2 未知的情形
双侧举例：【例 6-6】某厂用生产线上自动包装的产品重量服从正态
分布，每包标准重量为1000克。现随机抽查9包，测得样本平均重量为
100个该类型的元件，测得平均寿命为102(小时), 给定显著水平α=0.05,
问，该类型的电子元件的使用寿命是否有明显的提高？
解：该检验的假设为右单侧检验 H0: u≤100, H1: u>100
已知 z z0.05 1.645
zˆ x u0 n 100 (102 100 ) 2 1.645
986克，样本标准差是24克。问在α=0.05的显著水平下,能否认为生产线
工作正常？ 解：该检验的假设为双侧检验 H0: u=0.5, H1: u≠0.5
已知 t /2 (n 1) t0.025 (9 1) 2.306， 而 tˆ x u 986 1000 1.75 可见 tˆ 1.75 2.306
设H0, 同时，说明该包装机生产正常。
其中 P( Z 1.8) 1 P( Z 1.8) 1 0.9281 0.0719 0.05。
第六章 假设检验
单侧举例：【例 6-4】某电子产品的平均寿命达到5000小时才算合格，
现从一批产品中随机抽出12件进行试验，产品的寿命分别为
5059, 3897, 3631, 5050, 7474, 5077, 4545, 6279, 3532, 2773, 7419, 5116
的显著性水平=0.05，试测算该日生产的螺丝钉的方差是否正常？
《统计学》第5章 假设检验
假设不成立时，即拒绝原假设时备以选择的假设，通常用H1 表示。备择
假设和原假设互斥，如在例5.1中，原假设是“2022 年全国城市平均
PM2.5 浓度与2018 年相比没有显著差异”，那么备择假设就是“2022
年全国城市平均PM2.5 浓度与2018 年相比存在显著差异”。相应的统计
小越好。但是，在一定的样本容量下，减少犯第I类错误的概率，就会
使犯第II类错误的概率增大；减少犯第II类错误的概率，会使犯第I类
错误的概率增大。增加样本容量可以使犯第I类错误的概率和犯第II类
错误的概率同时减小，然而现实中资源总是有限的，样本量不可能没有
限制。因此，在给定的样本容量下，必须考虑两类可能的错误之间的权
易被否定，若检验结果否定了原假设，则说明否定的理由是充分的。
第四章 参数估计
《统计学》
16
5.1 假设检验的基本原理
(四) P值法
假设检验的另一种常用方法是利用P值(P-value) 来确定检验决策。P值
指在原假设0 为真时，得到等于样本观测结果或更极端结果的检验统计
量的概率，也被称为实测显著性水平。P值法的决策规则为：如果P值大
1.96) 中。这里−1.96和1.96 称为临界值，区间(−1.96, 1.96) 两侧的
区域则被称为拒绝域。基于样本信息，可以计算得到相应的z检验统计量
值，已知ҧ = 46，0 = 53， = 14 ， n = 100 = −5
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第四章 参数估计
《统计学》
14
5.1 假设检验的基本原理
犯第I 类(弃真) 错误的概率 也称为显著性水平(Significance level)，
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关于假设检验中检验统计量的选择及拒绝域的
确定问题
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关于假设检验中检验统计量的选择及拒绝域的确定问题
假设检验是根据样本所提供的信息检验假设是否成立的一种统计推断方法。
在检验之前总体参数未知，先对总体参数提出一个假设的值，然后根据样本所提供的信息检验假设是否成立。
在假设检验中，如何根据已知条件选择检验统计量，并确定拒绝域和临界值，是非常重要的两个环节。
学员在理解时容易出现混淆。
一、 根据已知条件选择检验统计量 这里要注意，样本均值x 的分布与根据样本均值及总体方差（或样本方差）构造的检验统计量的分布是两个不同的概念。
根据抽样分布的理论，只要总体服从正态分布，那么，无论是大样本，还是小样本，其样本均值的分布均服从正态分布；如果总体的分布是非正态分布，在大样本情况下，其样本均值的分布仍服从正态分布，小样本的样本均值的分布则服从非正态分布。
但是，检验统计量的分布则不然。
（一）对于小样本量
分两种情况：
1、在总体是正态分布的情况下，如果总体方差未知、小样本
（n<30），检验统计量n s x /0
μ-的分布服从t 分布；
2、在总体服从非正态分布、小样本的情况下，检验统计量的分布也服从t 分布。
由于一般情况下总体方差未知，需要用样本方差来代替，所以，一般准则是：小样本量时用t 检验。
（二）对于大样本量
在大样本量（ 30≥n ）的情况下，检验统计量的分布与样本均值的分布相同，服从正态分布，这一点比较容易理解。
所以，概括来说，大样本量时用Z 检验。
选择用t 检验还是Z 检验，直接关系到选择t 临界值还是Z 临界值。
二、 拒绝域和临界值的确定
应结合分布的图形来理解接受域、拒绝域以及临界值。
（一）对于双侧检验 一般在双侧检验时，使用正态分布对总体均值进行检验，拒绝域为：2αZ Z >或2αZ Z -<（或2αZ Z >）；使用t 分布进行检验，拒绝域为：
2αt t >或2αt t -<，（或2αt t >）；使用2χ分布进行检验时（对总体方差的检验），若检验的统计量22
αχ>χ或2122αχχ-<时，拒绝原假设。
注意，这里使用的是2α，因为双侧检验中有两个拒绝域，各占2
α。
只要满足其中一个拒绝域，即可拒绝原假设。
在双侧检验的情况下，拒绝域在接受域的两侧，或分布图形的两端。
（二）对于单侧检验
在进行单侧检验时，使用正态分布或t 分布对总体均值进行检验，拒绝域与备择假设“大于”或“小于”的方向相同。
如，μ≥1.40 H 1：μ
＜1.40，则拒绝域为Z 或t 值<临界值。
这里只有一个拒绝域，所以不需要将α除以2。
特别要注意，如果计算得到的检验统计量的值为负，则要取临界值的负值来进行比较。
因为从数轴上看，临界值的正值在另一侧，将它与为
负数的检验统计量的值进行比较是没有意义的。
即：只有在数轴的同一侧才能进行比较。
：μ＜1.40，假设例如，在左侧备择假设情况下，如，μ≥1.40 H
1
t=-1.87，临界值应该为7291
-
t，由于t=-
=
19
.1
(-
)
α
1.87<7291
=
t，则拒绝原假设。
(-
-
19
)
.1
α
：μ>1.40，仍使用上述数在右侧备择假设的情况下，μ<1.40 H
1
据，由于t=-1.87<7291
=
t，结论是接受原假设。
-
(-
19
)
.1
α
还应注意，在单侧检验中，即使检验统计量的值为负数，也不能取绝对值进行比较，因为绝对值意味着两个拒绝域，而单侧检验中只有一个拒绝域。
从图形上看，单侧检验的情况下，拒绝域在接受域的一侧，或图形的一端。
如果是左侧备择假设，则拒绝域在接受域的左侧或图形的左端，此时，t值小于临界值；如果是右侧备择假设，则拒绝域在接受域的右侧或图形的右侧。
此时，t值大于临界值。