物理竞赛练习 (1)

竞赛练习2（能量与动量）
1．如图所示，水平细杆MN 、CD ，长度均为L 。

两杆间距离为h ，M 、C 两端与半圆形细杆相连，半圆形细杆与MN 、CD 在同一竖直平面内，且MN 、CD 恰为半圆弧在M 、C 两点处的切线。

质量为m 的带正电的小球P ，电荷量为q ，穿在细杆上，已知小球P 与两水平细杆间的动摩擦因数为μ，小球P 与半圆形细杆之间的摩擦不计，小球P 与细杆之间相互绝缘。

在MD 、NC 连线的交点处固定一电荷量为Q 的正电荷，如图所示，使小球P 从D 端出发沿杆滑动，滑到N 点时速度恰好为零。

(已知小球所受库仑力始终小于重力)求小球P 从D 端出发时的初速度。

2．两个质量都为m 的小球，用一根长为2l 的轻绳连接起来，置于光滑桌面上，绳恰好伸直。

用一个垂直绳方向的恒力F 作用在连线中点O 上，问：在两小球第一次碰撞前的瞬间，小球在垂直于F 方向上的分速度是多少？ 长度3．在光滑水平面上放着一个质量为1m 、高度为a 的长方体滑块，为l （l ＞a ）的光滑轻质杆斜靠在滑块的右上侧棱上，轻杆能绕O
轴在竖直面内自由转动，杆的上端固定一个质量为2m 小球。

开始时系统静止，轻杆与水平面间的夹角为0θ。

试求系
统释放后滑块的速度1v 随θ的变化规律。

4．图示的是一个物体沿斜面滑动的速度大小与时间关系
的测量结果。

物体质量m =100g ，仪器每隔30ms 记录
一次速度。

斜面底端有一个缓冲器。

试利用图线求出：
(1) 斜面的倾角和摩擦系数；
(2) 第二次碰撞的平均作用力;
(3) 第三次碰撞的机械能损失。

5．如图为体积不可压缩流体中的一小段
液柱，由于体积在运动中不变，因此当
S 1面以速度v 1向前运动了?x 1时，S 2面以
速度v 2向前运动了?x 2，若该液柱前后两
个截面处的压强分别为p 2和p 1，利用功
能关系证明流体内流速大的地方压强反
而小（忽略重力的作用及高度的变化）．
6．一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g .
7．一质量为m 的小滑块A 沿斜坡由静止开始下滑，与一质量为km 的静止在水平地面上的小滑块B 发生正碰撞，如图所示．设碰撞是弹性的，且一切摩擦不计．为使二者能且只能发生两次碰撞，则k 的值应满足什么条件？
8．如图所示，两个同心圆代表一个圆形槽，质量为m ，内外半径几乎同为R. 槽内A 、B 两处分别放有一个质量也为m 的小球，AB 间的距离为槽的直径. 不计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止，两小球具有垂直于AB 方向N M M N D C P Q a θl m 2m 1O
v 1图 3m O F m 0
v A B
的速度v ，试求两小球第一次相距R 时，槽中心的速度0v .
9．4个质量分别为m 1,m 2,m 3,m 4的小球，用已拉紧的不可伸长的轻绳互相连接，放在光滑的水平桌面上，如图所示，其中α已知，如果给“1”小球一个沿着“2”，“1”两小球连线方向的冲量I ，判断能否求出4个小球获得的速度。

若m 1=m 2=m 3=m 4，且60α=o
，则第4个小球的速度为多大？
10．如图所示，长为2b 的轻绳，两端各系一个质量为m 的
小球，中央系着一个质量为M 的小球，三球均静止于光滑
的水平桌面上，绳子处于拉直状态，三秋在一条直线上，现
突然给小球M 一个初速度v ，v 的方向与绳垂直，求：
（1）M 刚获得初速度v 时绳上的张力；
（2）在两端的小球发生碰撞的瞬间绳中的张力。

（3）若小从球M 开始运动，到两小球相碰历时为t ，试求此期间小球M 经过的距离。

11．图中a 为一固定放置的半径为R 的均匀带电球体，O 为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U =1000 V ．在离球心O 很远的O ′点附近有一质子b ，它以 E k ＝2000 eV 的动能沿与O ?O 平行的方向射向a ．以l 表示b 与O ?O 线之间的垂直距离，要使质子b 能够与带电球体a 的表面相碰，试求l 的最大值．把质子换成电子，再求l 的最大值．
12．如图所示，两根刚性轻杆AB 和BC 在B 段牢固粘接在一起，AB 延长线与BC 的夹角α为锐角，杆BC 长为l ，杆AB 长为αcos l 。

在杆的A 、B 和C 三点各固连一质量均为m 的小球，构成一刚性系统。

整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板，杆AB 延长线与挡板垂直。

现使该系统以大小为0v 、方向沿AB 的速度向挡板平动。

在某时刻，小球C 与挡板碰撞，碰撞结束时球C 在垂直于挡板方向的分速度为零，且球C 与挡板不粘连。

若使球C 碰撞后，球B 先于球A 与挡板相碰，求夹角α应满足的条件。

13．如图，在光滑水平桌面上有一长为L 的轻杆，轻杆两端各固定
一质量均为M 的小球A 和B 。

开始时细杆静止；有一质量为m 的
小球C 以垂直于杆的速度0v 运动，与A 球碰撞。

将小球和细杆视
为一个系统。

（1）求碰后系统的动能（用已知条件和球C 碰后的速度表出）；
（2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C 的速度和系统
的动能。

14．一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端
分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物
块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r
（r >l ）处.
1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；
2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件.
15．如图所示，半径为R 、质量为m 0的光滑均匀圆环，套在光滑竖直细轴OO ?上，可沿OO ?轴滑动或绕OO ?轴旋转．圆环上串着两个质量均为m 的小球. 开始时让圆环以某一角速度绕OO ?轴转动，两小球自圆环顶端同时从静止开始释放．
（1）设开始时圆环绕OO ?轴转动的角速度为?0，在两小球从环顶下滑过程中，应满足什么条件，圆环才有可能沿OO ?轴上滑？
（2）若小球下滑至30θ=︒（?是过小球的圆环半径与OO ?轴的夹角）时，圆环就开始沿OO ?轴上滑，求开始时圆环绕OO ?轴转动的角速度?0、在30θ=︒时圆环绕OO ?轴转动的角速度?和小球相对于圆环滑动的速率v .
16．三个钢球A 、B 、C 由轻质的长为l 的硬杆连接，竖立在水平面上，如图4-10-5所示。

已知三球质量m m A 2=，
m mc m B ==，距离杆
l a 825=处有一面竖直墙。

因受微小扰动，两杆分别向两边滑动，使B 球竖直位置下降。

致使C 球与墙面发生碰撞。

设C
球与墙面碰撞前后其速度大小不变，且所有摩擦不计，各球的直径
都比l 小很多，求B 球落地瞬间三球的速度大小。

17．如图，一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到
粗糙的水平地面前的瞬间，圆环质心速度v 0与竖直方向成
θ（π
3π22
θ<<）角，并同时以角速度0ω（0ω的正方向如图中箭头所示）绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。

已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动，在弹起前刚
好与地面无相对滑动，圆环与地面碰撞的恢复系数为
k ，重力加速度大小为g 。

忽略空气阻力。

（1）求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的
角速度；
（2）求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此
条件下圆环能上升的最大高度；
（3）若让θ角可变，求圆环第二次落地点到首次落地
点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大
值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。

A B C a O
O ?
C ? ? R。