二元一次方程+不等式的解法
二元一次方程的解法公式法
消元法在解方程时可能需要进行多次运算，而公式法只需要一次代入计 算。
与代入法比较
代入法是将一个方程变形，表示出一个未知 数，然后代入另一个方程求解。而公式法则 是直接利用二元一次方程的解公式求解。
代入法在解方程时可能需要进行多次 运算，而公式法只需要一次代入计算。
简单实例计算过程展示
1 2
步骤3
将x的值代入任一方程求y，y = 5 - x = 5 - 2 = 3
解得
{x=2, y=3}
3
实例2
解方程组 {2x + y = 6, x - y = 2}
简单实例计算过程展示
步骤1
识别方程系数，a1=2, b1=1, a2=1, b2=-1, c1=6, c2=2
二元一次方程的解法公式法
目录
• 引入与概念 • 公式法求解步骤 • 实例分析与计算过程展示 • 公式法与其他解法比较 • 拓展应用与实际问题解决 • 总结回顾与课后作业
01
引入与概念
二元一次方程定义
01
含有两个未知数，且未知数的次 数都是1的方程称为二元一次方程 。
02
一般形式为：ax + by = c（其中a、 b、c为常数，且a、b不同时为0）。
可直接得出解，无需进行多次运算。 计算过程简洁明了，易于掌握；
优势 通用性强，无需考虑系数关系；
02
公式法求解步骤
列出方程组并整理为标准形式
对于二元一次方程组，首先需要将其 整理为标准形式，即形如 $ax + by = c$ 和 $dx + ey = f$ 的形式。
确保方程组中每个方程的未知数的系 数不为零，否则该方程无法单独求解 。
一次函数与方程(组)、不等式及二次函数与二元一次方程、不等式的关系
一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。
不等式二元一次方程组
不等式二元一次方程组不等式和二元一次方程组，听起来是不是有点儿高大上？别担心，今天咱们就来轻松聊聊这些数学小伙伴，让你们觉得其实没那么可怕，甚至还有点儿有趣。
先说说不等式吧。
想象一下，你在超市里挑水果，香蕉一斤十块，苹果一斤八块。
这时候你心里就开始打起算盘，买多少水果才划算呢？不等式就像你在权衡的标准。
比如说，如果你买了x斤香蕉和y斤苹果，你可能会想着花的钱不能超过你预算的20块。
于是你就得写出个不等式：10x + 8y ≤ 20。
哎，听起来是不是有点意思？再说说二元一次方程组。
想象一下，你跟朋友约好去看电影。
你们俩决定买票和吃零食，结果又不想花太多钱。
这时候你就需要给自己设个计划。
假设电影票每人40块，爆米花和可乐加起来30块。
你们俩的钱合起来叫做x，去看电影和吃东西的钱叫做y。
于是你就会写出方程组：x + y = 70。
这样，算得出你们能花多少钱，又能买什么。
这些数学公式就像生活中的小助理，帮助你在选择中做决策。
咱们在生活中总会遇到各种各样的选择，比如午饭吃啥、买啥衣服、怎么安排时间等等。
不等式和方程组就像是你的小指南针，告诉你这些选择在什么范围内才是合理的。
二元一次方程组有个有趣的地方，那就是它们的解法！你可以用代入法，也可以用消元法，甚至图像法。
就像你在聚会上，有的人喜欢先去聊聊天，有的人则喜欢直接玩游戏。
每种方法都有自己的风格，但最终目的都是找到那个让你满意的答案。
咱们生活中也是，处理问题的方式多种多样，找到适合自己的就好。
不等式也有个特别的魅力，能让你在选择中变得更加灵活。
想象一下，今天你心情不错，想多买点零食。
于是你就心里想着，咱们不如把预算提升到30块，这样可以买更多的东西。
那你又得重新写个不等式：10x + 8y ≤ 30。
数学就是这样，灵活多变，让你在不同情况下都能找到最佳解决方案。
再来聊聊这些方程和不等式的图像吧。
想象一下你在公园散步，看到一块大大的草地，草地上画着一个个小点，那些点就像是你的解。
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。
初中数学知识点：不等式
初中数学知识点：不等式（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二元一次方程、不等式的知识点读一读
二元一次方程是整式方程，其一 般形式为ax+by=c(a、b不同时 为0)。
线性组合与线性相关性
线性组合
对于二元一次方程，可以将两个未知 数的系数进行线性组合，得到新的方 程。
线性相关性
如果两个二元一次方程可以相互线性 表示，则称这两个方程是线性相关的 。
解的存在性与唯一性定理
解的存在性
对于任意的二元一次方程，总存在至少一组解使得方程成立 。
代入法
整体代入法
把二元一次方程组中一个方程表示成一个未知数等于另一个含未知数的代数式的 形式，再代入到另一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
部分代入法
当方程组中某个未知数的系数较简单时，可以用这个未知数表示另一个未知数， 然后代入到另一个方程中求解。
图形法
直线交点法
在平面直角坐标系中画出二元一次方程组中两个方程的图像，两条直线的交点坐标即为方程组的解。
由几个含有同一个未知数的一次不等式 组成的不等式组叫做线性不等式组。
VS
解集表示方法
线性不等式组的解集可以通过数轴上的区 间来表示，也可以通过解不等式组得到解 集的解析式。
区间表示法和数轴表示法
区间表示法
区间表示法是用一对括号或方括号来表示一个数集的方法，如(a, b)、[a, b]、(a, b]或[a, b)。其中，圆括号表示 开区间，方括号表示闭区间。
个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 • 一元二次不等式的解法：通过因式分解、配方法或公式法，将一元二次不等式转化为一元一次不等式组求解。
常见误区警示及避免方法
忽视不等式性质
在解不等式时，需要注意 不等式的基本性质，特别 是乘除负数时不等号方向 的变化。
二元一次方程组与不等式的解法
12、二元一次方程组及不等式的解法1．不等式260x ->的解集在数轴上表示正确的是（ ）2，已知方程()()026281||2=++--+m n y n x m 是二元一次方程，则m+n 的值（ ）A.1B. 2C.-3D.33，在等式y=kx+b 中，当x=1时,y=2;当x=2时,y=5,则k,b 的值为( )A ．⎩⎨⎧-=-=13b kB ．⎩⎨⎧=-=31b kC ．⎩⎨⎧-==13b kD ．⎩⎨⎧-=-=31b k 4，若方程1-=+y x ,42=-y x 和7=-my x 有公共解,则m 的取值为( )A.4B.3C.2D.15．若方程3m （x +1）+1=m （3－x ）－5x 的解是负数，则m 的取值范围是（ ）． Ａ．m >－1.25 Ｂ．m <－1.25 Ｃ．m >1.25 Ｄ．m <1.256，要配制15%的硝酸溶液240千克,需用8%和50%的硝酸溶液的克数分别为( )A. 40,200B.80,160C.160,80D.200,407，两位同学在解方程组时，甲同学由2,78.ax by cx y +=⎧⎨-=⎩正确的解出3,2;x y =⎧⎨=-⎩乙同学因把c写错了而解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩那么a 、b 、c 的正解的值应为（ ） A.1,5,4-===c b a B.0,5,4=-=-=c b aC.2,5,4-===c b aD.2,5,4=-=-=c b a8．不等号填空：若a <b <0 ，则5a - 5b -；a 1 b 1；12-a 12-b ． 9．当0<<a x 时，2x 与ax 的大小关系是_______________．10．若点P （1－m ，m ）在第二象限，则（m -1）x >1-m 的解集为_______________． 11，从方程组⎩⎨⎧+=-=121a y a x 中可以得到y 与x 的关系式为_______. 12，当x ＝0、1、－1时，二次三项式ax 2+bx+c 的值分别为5、6、10，则a ＝＿＿＿，b ＿＿＿，c ＝＿＿＿.13．若11|1|-=--x x ，则x 的取值范围是 14，某校现有学生804人,与去年相比:男生增加10%,女生减少10%,学生总数增加0.5%,则现有男、女学生的人数分别为＿＿＿.A ．B ．C ．D ．15，用适当方法解方程组：⑴231,498.s t s t +=-⎧⎨-=⎩ ⑵()()()()3144,5135.x y y x -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩⑶11,233210.x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ （4）530,43,2 1.x y z y z x z --=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩16．解不等式（1）1)1(22 ---x x ． （2）134155-+x x（3）312-x ≤643-x （4）341221x x +≤--．17，当a 为何值时,方程组⎩⎨⎧=-=+02,162y x ay x 有正整数解?并求出正整数解.18，某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润可涨至7500元。
二元一次方程不等式的解法
二元一次方程不等式的解法
一、图像法
图像法是通过画图来确定方程不等式的解集。
我们可以将方程中的不
等号看做等号，画出等号对应的直线，并通过对直线的位置和区域的判断，确定方程不等式的解集。
具体步骤如下：
1.将方程化为标准式，使得等号左边等于零。
2.画出等号对应的直线。
3.根据不等号的方向，确定区域。
4.区域内的点即为方程不等式的解集。
二、代入法
代入法是将方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，并代入
到方程中，得到只含有一个未知数的方程，然后解这个方程得到一个未知
数的解，再代回原方程求出另一个未知数的值。
具体步骤如下：
1.将方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数。
2.将这个函数代入到方程中，得到只含有一个未知数的方程。
3.解这个方程得到一个未知数的解。
4.将这个解代回原方程，求出另一个未知数的值。
三、消元法
消元法是将方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入到方
程中，得到只含有一个未知数的方程，进而解这个方程得到一个未知数的解，再代回原方程求出另一个未知数的值。
具体步骤如下：
1.将方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数。
2.将这个函数代入到方程中，得到只含有一个未知数的方程。
3.解这个方程得到一个未知数的解。
4.将这个解代回原方程，求出另一个未知数的值。
以上就是解二元一次方程不等式的几种常用方法。
根据实际问题的不同，可以选择合适的方法进行求解。
需要注意的是，在代入法和消元法中，得到的解需要验证是否满足原方程，以免得到错误结果。
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4132x y x y x+=⎧⎪+⎨-=⎪⎩用代入消元法解二元一次方程组知识点梳理用代入法解二元一次方程组的步骤是：（1）把方程组中的一个方程变形，写成____________________的形式； （2）把它_______________中，实现消元，得到一个一元一次方程； （3）解这个________________；（4）把求得的值代入到_________，从而得到原方程组的解． 基本技能：用代入法解方程例1【综合创新训练】1．当a=3时，方程组122ax y x y +=⎧⎨+=⎩的解是_________．2. 已知⎩⎨⎧==11y x 和⎩⎨⎧-=-=21y x 是关于x 、y 的二元一次方程22=-by ax 的两解，则a = ，b =3．已知方程2x+3y=2，当x 与y 互为相反数时，x=______，y=_______．4．已知x=-1，y=2是方程组的1311ax by bx ay +=⎧⎨+=-⎩解，则ab=________．用加减消元法解二元一次方程组知识梳理1．方程组231534m n m n +=⎧⎨+=⎩中，n 的系数的特别是_______，所以我们只要将两式________，•就可以消去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的．2．方程组532534m n m n -+=⎧⎨+=⎩中，m 的系数的特别是________，所以我们只要将两式________，就可以消去未知数m ，化成一个一元一次方程，进而求得方程组的解．会选择适合的方法解方程组：2(2)4379:2:5(1)(2)(3)2247550025022500000x x y x y x y x y x y x y ++=+==⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=-=+=⎩⎩⎩2x ＋y ＝53x －y ＝10⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+879-59y 32x 74z 3x z y x z ⎪⎩⎪⎨⎧=++==36z y 5:4y 4:3y x x z ：：(4)若⎩⎨⎧=+=+200620042005200320052004y x y x ，求()()32y x y x -++的值。
(5)已知方程组5112mx n x my n y +==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩的解是，则m=_______，n=_______． 解三元一次方程组的一般步骤解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法，步骤: ①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值；③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值。
例1⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=4724y 9-y 2-x x z z 例2⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+12113y 2x 32z y -3x z y x z随堂练习解下列三元一次方程组创新提高1.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+a 4a 5y a 3y x z x z 的解使代数式x-2y+3z 的值等于-10，求a 的值.一元一次不等式（组）不等式性质不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 1、判断（1）∵a < b ，∴ a －b < b －b （2）∵a < b ，∴33b a < （3）∵a < b ，∴ －2a < －2b （4）∵－2a > 0， ∴ a > 0 （5）∵－a < 0 ，∴ a < 32、（1）∵ 2a > 3a ， ∴ a 是 数（2）∵ 23aa < ， ∴ a 是 数 （3）∵ax < a 且 x > 1 ，∴ a 是 数3、根据下列已知条件，说出a 与b 的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。
（1）a －3 > b －3 （2）33b a < （3）－4a > －4b随堂练习 解下列不等式2(2x －3)＜5(x －1)． 10－3(x ＋6)≤1．创新提高1. 如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )．(A)1>ba(B)ba＜1 (C)ba 11< (D)ab ＜12. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．(A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b(C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b3. ｜a ｜＋a 的值一定是( )．(A)大于零(B)小于零(C)不大于零 (D)不小于零4. 若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )．(A)a ≥0(B)a ≤0(C)a ＞0(D)a ＜05. 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )．(A)a ＜0(B)a ＞－1(C)a ＜－1(D)a ＜16. 如果a 2x ＞a 2y (a ≠0)．那么x ______y ．7. 若x 是非负数，则5231x-≤-的解集是______．不等式组的解集 引入：1.现有两根木条a 和b ，a 长10 cm ，b 长3 cm.如果再找一根木条。
，用这三根木条钉成一个三角形木框，那么对木条的长度有什么要求？2.⎩⎨⎧<<24x x ⎩⎨⎧>>24x x ⎩⎨⎧><24x x ⎩⎨⎧<>24x x （1） 做出答案，并在数轴上表示其解集，请问你从中发现了什么？（2） 如果a 、b 都是常数，且a<b ，你能不画数轴（但头脑中可以想数轴）很快地写出它们的解集吗？⎩⎨⎧<<b x a x ⎩⎨⎧>>b x a x ⎩⎨⎧<>b x a x ⎩⎨⎧><b x ax 推荐一个口诀帮助大家记忆：小小取小；大大取大；大小小大取中间；大大小小无处找。
随堂练习⎩⎨⎧≥-≥-.04,012x x⎩⎨⎧>+≤-.074,03x x⎪⎩⎪⎨⎧+>-≤+).2(28,142x x x.234512x x x -≤-≤-创新综合1.不等式组⎩⎨⎧<<a x x 6的解集是x<6,则a 的取值范围是？那如果解集是x<a 呢，a 的取值范围又是什么？2.不等式组⎩⎨⎧>>a x x 9的解集是x>9,则a 的取值范围是？那如果解集是x>a 呢，a 的取值范围又是什么？3.不等式组⎩⎨⎧<>a x x 7的解集是7<x<a,则a 的取值范围是？4.不等式组⎩⎨⎧<>a x x 6无解,则a 的取值范围是？5.不等式组⎩⎨⎧<>a x x 6的解集是6<x<3，则a 的取值范围是？6.不等式组⎩⎨⎧<>a x x b的解集是5<x<4，则a+b 值是？7.不等式组⎩⎨⎧<>ax x 6的解集有四个整数解，则a 的取值范围是？提高题1．已知方程组⎩⎨⎧-=-+=-32342x y m y x 的解x 、y 互为相反数，求m 的值；2.甲、乙两人同解方程组⎩⎨⎧-=-=+232y Cx By Ax 甲正确解得⎩⎨⎧-==11y x 乙因抄错C 解得⎩⎨⎧-==62y x ，求A 、B 、C 的值；4.一个三位数的各位数字之和等于14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则原三位数为 ；5.已知方程组⎩⎨⎧-=+=-154by ax y x 和⎩⎨⎧=+=+184393by ax y x 有相同的解，求b a ,的值。
6.如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？7．已知方程组25264x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩和方程组35368x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，求(2a +b )2005的值．60cm8.已知：142522=+=+y x y x ，求73212+-++y x y x 的值。
9．已知方程组22331x y kx y k +=⎧⎨+=-⎩的解x 和y 的和等于6，k=_______．10．已知方程组82x y x y +∆=⎧⎨∆-=⎩中，x 、y 的系数部已经模糊不清，但知道其中□表示同一个数，•△也表示同一个数， 11x y =⎧⎨-⎩是这个方程组的解，你能求出原方程组吗?11.若⎩⎨⎧=+=+200620042005200320052004y x y x ，求()()32y x y x -++的值。
12.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+92-y 3y x z x z ，求x+y+z 的值；15.若规定，如bc -ad d b c a =解方程组）（.31-3-0201-32=⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===3-yz 638y z 3-x1x y23；16.适当选择a 的取值范围，使7.1＜2x ＜a 的整数解：(1)x 只有一个整数解； (2)x 一个整数解也没有．17.关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-123,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围；18.关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-523,0x a x 的解集是1≦x<4，求a 的取值范围；19.关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-<-523,1x a x 的解集是x<4，求a 的取值范围；20.关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≤-523,1x a x 的解集是x<a ，求a 的取值范围；21.关于x 的不等式组⎩⎨⎧-<-<≤-5231,1x a x 无解，求a 的取值范围；22.关于x 的不等式组⎩⎨⎧<-≤-b x a x 23,1的解集为2<x<3，求2a-b 的值；23.关于x 的方程x m x --=-425的解x 满足2<x<10，求m 的取值范围；24.已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围．25.已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-+=+34,72m y x m y x 的解为正数，求m 的取值范围．。