二元一次方程组解的讨论
二元一次方程组怎么解
二元一次方程组怎么解二元一次方程组是高中数学中的一种基础知识，也是解决实际问题的重要工具。
它由两个包含两个未知数的方程组成，通常可以用代数方法或图形方法求解。
在本文中，我们将讨论二元一次方程组的求解方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 代数解法代数解法是求解二元一次方程组的传统方法。
它的基本思想是通过等式的转化将两个方程中的某一个未知数消去，从而得到只包含另一个未知数的方程，再通过解这个方程得到另一个未知数的值。
最后，再将这个值带入原来的方程中，求出另一个未知数的值。
下面以一个典型的例子来说明。
例1：求解方程组 2x + y = 7 x + y = 4解：观察这两个方程，我们可以发现它们含有相同的未知数y，因此我们可以通过消去y的方法来求解。
为此，我们将第二个方程的等式两边都减去y，得到如下方程：x = 4 - y现在，我们将这个x的值代入第一个方程，得到：2(4 - y) + y = 7化简这个方程，得到：8 - y + y = 7因此，y的值为1。
然后，我们将这个y的值代入第二个方程，得到：x + 1 = 4因此，x的值为3。
因此，这个方程组的解为（x,y）=（3,1）。
2. 图形解法图形解法是另一种求解二元一次方程组的方法，它的基本思想是将两个方程表示成直线的形式，然后通过解直线方程的交点来求解方程组。
具体来说，我们可以将两个方程表示成如下形式：y = -2x + 7 y = -x + 4利用直线的斜率和截距，我们可以画出这两条直线。
这两条直线的交点就是方程组的解。
下图是这两条直线的图像。
从图中可以看出，这两条直线在（3,1）这个点相交。
因此，这个方程组的解为（x,y）=（3,1）。
3. 矩阵解法矩阵解法是一种更为简便和通用的求解二元一次方程组的方法。
它的基本思想是将方程组表示成矩阵的形式，然后通过矩阵的运算求解。
具体来说，我们可以将方程组表示成如下矩阵形式：Ax = b其中，A是一个2×2的矩阵，x和b都是2×1的列向量，分别表示未知数和方程组的常数项。
二元一次方程组的解的分类讨论
二元一次方程组的解的分类讨论在数学中，解决方程组是一个常见而重要的问题。
而其中，二元一次方程组是一种形式简单、容易解决的方程组类型。
本文将对二元一次方程组的解进行分类讨论，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
一、二元一次方程组的基本形式二元一次方程组由两个未知数和两个方程组成。
一般形式如下：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e和f为已知系数，x和y为待求解的未知数。
二、解的分类根据二元一次方程组的系数和常数项之间的关系，可以将其解分为三类：无解、唯一解和无穷解。
1. 无解当方程组的两个方程代表的直线平行且不重合时，方程组无解。
也就是说，两直线没有交点。
这种情况可以通过系数的比较来判断。
如果两个方程组的斜率相等且截距不相等，即a/e ≠ b/d，则方程组无解。
2. 唯一解当方程组的两个方程代表的直线相交于一点时，方程组存在唯一解。
也就是说，两直线有且只有一个交点。
解可以通过联立方程组求解得到。
3. 无穷解当方程组的两个方程代表的直线重合时，方程组存在无穷解。
也就是说，两直线重合，有无数个交点。
这种情况下，方程组中的一方程可以通过另一方程化简得到，或者两个方程的比例相等。
三、解的求解方法对于二元一次方程组的求解，可以使用消元法、代入法或矩阵法等多种方法。
1. 消元法消元法是一种常用的解二元一次方程组的方法。
通过将一个方程的系数乘以另一个方程的某一倍数，并相加或相减，可以消去一个未知数的系数，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
再通过代入求解得到未知数的值。
2. 代入法代入法是另一种常用的解二元一次方程组的方法。
通过将一个方程的一个未知数用另一个方程中的已知值代入，从而将方程组化为只含有一个未知数的方程。
再通过求解得到未知数的值。
3. 矩阵法矩阵法是利用矩阵的性质和计算方法来解决方程组的方法。
将方程组的系数和常数项构成增广矩阵，通过化简、消元、代入等矩阵运算得到方程组的解。
二元一次方程组的解有三种不同情况唯一解,无解,无穷多解,PPT课件
,
C1A2－C2A1 A1B2－A2B1
）
当 —A—1 = —B1— ≠ —C—1 时，两直线平行；
A2 B2
C2
当 —A—1 = —B—1 = —C1— 时，两条直线重合。 A2 B2 C2
例4、判断下列各对直线的位置关系，如果相交， 求出交点的坐标：
（1）l1:x-y=0, （2）l1:3x-y+4=0, （3）l1:3x+4y-5=0,
C1 C2
（C）两条直线的斜率相等截距也相等
（D）A1=mA2，B1=mB2，C1=mC2，（m∈R，且m≠0）
独立 作业
1.求经过原点及两条直线: L1:x-2y+2=0, L2:2x-y-2=0的交点的直线的
方程.
独立 作业
2.两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0,的交点 在第四象限，则的取值范围是
已知方程组
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
（1） （2）
当A1，A2，B1，B2全不为零时
（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1
讨论：⒈当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解
x = —BA—11CB—22－－—BA—22CB—11
y= —AC—11AB—22－－—AC—22AB—11
解得：
即 M（1，- 1）
y= - 1
代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0
x
o M(1, - 1)
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
二元一次方程组无解,唯一解,无数解
二元一次方程组无解,唯一解,无数解二元一次方程组在初中数学中是一个非常重要的概念，也是基础中的基础，因为它不仅能够提高我们的思维能力，还能在今后的学习和工作中为我们节省很多的时间和精力。
在这篇文章中，我将讨论二元一次方程组的三种解：无解、唯一解和无数解。
一、无解当二元一次方程组无解时，我们的线性方程组就成为了一对矛盾方程。
因为根据数学的基本原理，一条直线和一条曲线只有两个交点，而一对矛盾方程所代表的两条直线却没有交点，因此方程组无解。
比如以下的方程组：2x + y = 32x + y = 4我们会发现，这两个方程的系数都是一样的，它们所代表的直线是平行的，因此不可能有交点，这就导致它们所组成的方程组无解。
二、唯一解当二元一次方程组有唯一解时，我们的线性方程组就成为了一对一的方程。
这种情况下，方程组中的两个未知数可以被唯一地确定。
比如以下的方程组：2x + y = 3x + 3y = 10我们可以通过代入法或消元法，求得x = 1，y = 2，这就是这个方程组的唯一解。
三、无数解当二元一次方程组有无数解时，我们的线性方程组就成为了一对多的方程。
这种情况下，方程组中的两个未知数不能被唯一地确定，而是有多种可能的解法。
比如以下的方程组：2x + y = 34x + 2y = 6我们注意到这个方程组中的两个方程是有关系的，因为他们是等比例的。
将第二个方程式化简后得到：2x + y = 3如果我们将第一个方程乘以2，则有：4x + 2y = 6将这两个式子放在一起：2x + y = 34x + 2y = 6我们可以发现，这个方程组中的第二个式子是第一个式子的两倍，这就意味着这个方程组有无数个解。
因为我们可以随便选择一个x的值，然后就可以通过第一个式子求出相应的y值。
比如当x = 1时，y = 1，这就是这个方程组的一组解。
当x = 2时，y = -1，这就是另一组解。
总结在这篇文章中，我们讨论了二元一次方程组的三种解：无解、唯一解和无数解。
《二元一次方程组》知识讲解及例题解析
《二元一次方程组》知识讲解及例题解析◆知识讲解1．二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．◆例题解析例1 已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m ynx y+-=⎧⎨+=⎩的解，求（m+n）的值．【分析】由方程组的解的定义可知21xy=⎧⎨=⎩，同时满足方程组中的两个方程，将21xy=⎧⎨=⎩代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m 和n 的值，从而求出代数式的值．【解答】把x=2，y=1代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得22(1)12211m n ⨯+-⨯=⎧⎨+=⎩ 由①得m=－1，由②得n=0．所以当m=－1，n=0时，（m+n ）=（－1+0）=－1．【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程． 例2 “5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．•某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000•顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；•若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y 顶，则210523178x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：x=41；y=32答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．（2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．例3 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，•求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元．依题意，得214523280x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得12510x y =⎧⎨=⎩ 故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．例4 为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B •型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3，由三个水厂的日供水量总和为11.8万m 3，可列方程x+3x+12x+1=11.8； （2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，B 型车每辆每次运土石yt ，•依题意可列方程组30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程后可求解．【解答】（1）设甲水厂的供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3． 由题意得：x+3x+12x+1=11.8，解得x=2.4． 则3x=7.2，x+1=2.2．答：甲水厂日供水量是2.4万m 3，乙水厂日供水量是7.2万m 3，•丙水厂日供水量是2.2万m 3．（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，每辆B 型汽车每次运土石yt ，由题意得： 30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩ ∴1015x y =⎧⎨=⎩答：每辆A型汽车每次运土石10t，每辆B型汽车每次运土石15t．【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法．。
二元一次方程组及其解法
二元一次方程组及其解法 一、学法指引：本专题主要学习二元一次方程（组）的定义及其解法，理解二元一次方程的解的意义，二元一次方程组的解的意义，以及二元一次方程组的解的三种情况，形如，ax+by=c 的方程叫二元一次方程，它有无数个解，由几个二元一次方程够成，叫二元一次方程组，解有三种情况：1）唯一解，2）无数解，3)无解。
解方程组的思想是消元，但在解方程组时，要根据方程组的数据特点来确定解法 二、探究与思考1）探究二元一次方程的有关概念形如ax+by=c (a b ≠0)方程叫二元一次方程，满足方程的解有无数个。
例1、下列方程中，是二元一次方程的是（ ）（A ）1=xy （B ）21=+yx （C ）13-=x y （D ）032=--x x 例2、已知关于x,y 的方程（a －2）x |a －1|+(b+3)y|b+4|=6是二元一次方程，求a ，b讲中练下列各组数中①⎩⎨⎧==22y x ②⎩⎨⎧==12y x ③⎩⎨⎧-==22y x ④⎩⎨⎧==61y x 是方程104=+y x 的解的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2)探究二元一次方程组的定义及其解法 形如 a 1x+b 1y=c 1的方程组叫二元一次方程组 a 2x+b 2y=c 2①代入消元法例3、用代入法解下列方程组(1)⎩⎨⎧=+-=18050y x y x (2)⎩⎨⎧=-=+173x y y x (3)233511x y x y +=⎧⎨-=⎩归纳：用代入消元法解方程组时，首先将其中一个方程变形，用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数，然后代入另一个方程。
讲中练用代入法解下列(1)⎩⎨⎧=+=+7222y x y x (2) (3)②加减消元法例4、用加减法解下列方程组：(1)⎩⎨⎧=-=+534734y x y x （2）3216,31;m n m n +=⎧⎨-=⎩ （3）234,443;x y x y +=⎧⎨-=⎩归纳：用加减法解方程组时，首先将方程组中的某个未知数的系数化相等或互为相反数，然后将两个方程相加或相减。
初中数学七年级《二元一次方程组的讨论》培优竞赛辅导导学讲义
七年级培优讲义十（二元一次方程组的讨论）姓名——1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）二、例题 例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？例3. m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。
问桃，李，榄橄各买几粒？三、练习111． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：① ⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ③⎩⎨⎧=-=+153153y x y x 2． a 取什么值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+=+229691322a a y x a a y x 的解是正数？3． a 取哪些正整数值，方程组⎩⎨⎧=--=+ay x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？ 4． 要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x k ky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？。
第4讲 二元一次方程(组)的概念与解法(学生版)
第4讲 二元一次方程（组）的概念与解法一、知识回顾：一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 特别说明：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧ba＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩.4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式；②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；转化消元一元一次方程二元一次方程组④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.二、经典例题：知识点一、二元一次方程（组）的概念【例1】若(a −2)x |a−1|−3y =5是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1或2 【例2】下列各组数中，是二元一次方程3x −5y =8的解的是（ ）A ．{x =1y =1B ．{x =−1y =1C ．{x =−1y =−1D ．{x =1y =−1【例3】若{x =−1y =2是关于x ，y 的二元一次方程3x+ay=5的一个解，则a 的值为 【例4】如果{x =1，y =2是关于x ，y 的方程mx +2y =6的解，那么m 的值为（） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【例5】下列方程中：①xy =1 ；②3x +2y =4 ；③2x +3y =0 ；④x 4+y3=7 ，二元一次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【例6】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A ．{mn =2m +n =3 B ．{5m −2n =01m+n =3C ．{m +n =03m +2a =16D ．{m =8m 3−n 2=1知识点二、二元一次方程组的解法【例7】用代入消元法解方程组 {y =x −13x −2y =5正确的化简结果是（ ） A ．3x −2x −2=5 B ．3x −2x +2=5 C ．3x −2x −1=5 D ．3x −2x +1=5【例8】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（ ）A ．由（1），得x=2−4y 3B ．由（1），得y=2−3x 4C ．由（2），得x=y+52D ．由（2），得y=2x ﹣5【例9】解方程组。
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初中数学竞赛：二元一次方程组解的讨论
【知识精读】
1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222
111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2
12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当2
12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当
2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=--=12212
11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）
【分类解析】
例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c
y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解
解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。
解得a=10, c ≠14。
③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组⎩
⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组
得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-02
31502331a a 解不等式组得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为63
11051<<a 时，原方程组的解是正数。
例3. m 取何整数值时，方程组⎩
⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？ 解：把m 作为已知数，解方程组得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y 是整数，∴m －8取2的约数±1，±2。
取它们的公共部分，m －8＝±1，±2。
解得 m=9，7，10，6。
经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。
问桃，李，榄橄各买几粒？
解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z 粒,依题意得
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++)2(1007143)1(100z y x z y x 由（1）得x= 100－y －z (3)
把（3）代入（2），整理得
y=－200+3z －
7z 设k z =7
(k 为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k ∵x,y,z 都是正整数∴⎪⎩⎪⎨⎧>>+->-07020200027300k k k 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>><0.10.9100k k k （k 是整数）
∴10＜k<9
111, ∵k 是整数， ∴k=11
即x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略)
【实战模拟】
1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况： ① ⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩
⎨⎧=-=-32432y x y x ③⎩⎨⎧=-=+153153y x y x 2． a 取什么值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+=+229691322a a y x a a y x 的解是正数？
3． a 取哪些正整数值，方程组⎩⎨⎧=--=+a
y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？
4． 要使方程组⎩⎨⎧=-=+1
2y x k ky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？
5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，
鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
答案
1. ①无数多个解 ②无解 ③唯一的解
2. a>1
3. a=1
4. –5,-3,-1,1
5. ⎪⎩
⎪⎨⎧7815
4鸡雏＝鸡母＝鸡翁＝⎪⎩⎪⎨⎧81118鸡雏＝鸡母＝鸡翁＝⎪⎩⎪⎨⎧84412鸡雏＝鸡母＝鸡翁＝。