高中数学课件：复数三角形式的运算复数三角形式与运算.ppt
2 i sin 2 i sin
2 2
r1cos
1cos
2 sin 1sin 2 isin 1sin
r2 cos2 2 sin 2 2
2 cos 1sin
2
r1 r2
cos
1
2
i sin
1
2
。
r1cos r2 cos
1 i sin 2 i sin
1 2
r1 r2
cos
1
2 i sin
1
2 。
r1 cos 1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2 r1 r2 cos 1 2 i sin 1 2
两个复数相乘，其积还是一个复数，它的模等于两个复数 模的积，它的辐角等于两个复数辐角的和。也就是说，两个复 数相乘，是把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角。
例题讲解
2
i sin
2
)
1 3
cos(
4
3
) i sin( 4
2
3
2
)
1 (cos 3
5
6
i sin
5
6
)
1 ( 3
3 1i ) 22
3 1i 66
解法二：
1 2
3 2
20 i
(3i)
(cos(
3
)
i
sin(
3
20
)
( 1 i ) 3
(
1 3
i
)
(cos(
20
3
)
i
sin(
20
3
)
1 i (cos i sin 4 ) 1 i ( 1 3 i )
例1：已知复数 z1
2cos 2
3
i sin
2
3
，z2
3cos
6
i sin
6
。求z1 z2。
解：z1
z2
23cos
2 3
6
i
sin
2 3
6
6cos5 6
i
sin
5 6
复数的相乘可以推广到 n 个复数相乘。若设 n 个复数为
z1 r1 cos 1 i sin 1 z2 r2 cos 2 i sin 2 z3 r3 cos 3 i sin 3
三、乘方（棣莫弗定理）
在复数三角形式的乘法运算法则
Z1 Z2 Zn r1 r2 rn[cos(1 2 n ) i sin(1 2 n )]中，
取r1＝r2＝＝rn ，且1＝2＝＝n＝，
即
Z1＝Z2 ＝Zn＝（r cos i sin ),
则有
Zn＝[（r cos i sin )]n r（n cos n i sin n ) (n N*)
• 教学目的：
(1)掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算； (2)掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点。
• 教学重点：
(1)复数的三角形式的乘、除及乘方运算； (2)复数的三角形式的乘除过程。
• 教学难点：
乘除法及乘方运算 。
教学方法：
讲练结合法，数形结合法，演示法
• 教学设计：
多媒体教学
• 课时计划：
解 4( cos80 i sin 80 ) [2(cos 320 i sin 320 )] = 4 [cos(80 320 ) i sin(80 320 )] 2 =2[cos(240 ) i sin(240 )]
2( 1 3 i ) 22
1 3 i
例5：已知复数z r cos i sin ，r 0，求 1的三角形式。
)
解
i
3
1 2
(cos120
i sin120
)
i
1 2
(cos120
i sin120
)
(cos 270
i
sin
270
)
1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
(cos120
i sin120
)
1 1
[cos(270
120
) i sin(270
120
)]
2
2(cos150 i sin150 )
2( 3 1 i ) 3 i . 22
3
3 3 22
3 1i 66
例8 计算 ( 3 7 i)2 (1 2i) (8 6i)4
例题讲解
2
解
( 3 7 i)2 (1 2i) (8 6i)4
3 7 i 1 2i 8 6i 4
2 ( 3)2 ( 7)2 (1)2 (2)2 10 5
5
4 82 (6)2
10000 1000
复数三角形式除法的运算法则为：两个复数相除（除 数不为0），其商还是一个复数，它的模等于被除数的模除 以除数的模所提的商，它的辐角等于被誉为除数的辐角减 去除数的辐角所得的差。也就是说，两个复数相除（除数 不为0），是把模相除作为商的模，辐角相减作为商的辐角。 例4 计算 4(cos80 i sin 80 ) [2(cos 320 i sin 320 )] .
2
2
6 cos i sin
2
2
6i。
新课讲授
二、除法
设复数z1 r1cos 1 i sin 1，z2 r2 cos 2 i sin 2 ，且z2 0，
z1 z2
r1cos r2 cos
1 i sin 2 i sin
1 2
r1cos r2 cos
1 i sin 2 i sin
1 cos 2 cos
2
15
)5
25 (cos 2 i sin 2 )
3
3
32( 1 3 i ) 22
16 16 3 i
20
1 3
(3)
2
2
i
(3i)
(cos(
3
)
i
sin(
3
)
20
3(cos
2
i
sin
2
)
(cos(
20
3
)
i
sin(
20
3
)
3(cos
2
i
sin
2
)
(cos
4
3
i sin
4
3
)
3(cos
这是复数三角形式的 n 次幂 (n N *) 的运算法则，这个法则
叫做棣莫弗定理。
它表明：复数 n 次幂的模等于这个复数的模的 n 次幂， 它们辐角等于这个复数的辐角的 n 倍。也就是说，复数的 n 次幂 (n N *) ，是把模的 n 次幂作为幂的模，把辐角的 n 倍 作为幂的辐角。
例7 用棣模弗定理计算：
1
i
3
cos
7 4
i sin
7 4
解：r
a2 b2
2，
cos a 1 2 ，
r2 2
sin b 1 2 ，
r 22
3
4
。
原式
2
cos
3 4
i
sin
3 4
3
cos
7 4
i
sin
7 4
2
3
cos
3 4
7 4
i
sin
3 4
7 4
6 cos 5 i sin 5
3 2 10 cos 20 50 80 i sin 20 50 80 60 cos150 i sin150
60
3 2
1`i 2
30
3 30i。
若遇到复数的代数式与三角式混合相乘时，需将相 混的复数统一成代数式或三角式，然后进行复数的代数 式相乘或三角式相乘。
例3：计算：
2课时
复习引入
1、复数代数形式的基本运算：
加：(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(d+d)i
减：(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i
乘：(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i
除：a bi c di
(a bi)(c di) ac bd bc ad (c di)(c di) c2 d 2 c2 d 2 i
cos
i sin.
证明 左边= (cos 9 i sin 9 ) (cos14 i sin14 ) (cos 24 i sin 24 )
= (cos 23 i sin 23 ) (cos 24 i sin 24 )
cos( ) i sin( ) cos i sin 右边
课堂小结:
z
解：1 z
cos 0 i sin 0
r cos i sin
1 cos(0 ) i sin(0 )
r
1 cos( ) i sin( )
r
由此例可以看出，一个非零复数的倒数，其模是原来 复数的模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数。
例6 计算
i
3
1 2
(cos120
i sin120
2、运算性质：
z·z=|z|2=|z|2
i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(n∈N)
3、复数加法的几何意义： 平行四边形法则 减法的几何意义： 三角形法则
新课讲授
一、乘法
设复数 z1 r1 cos 1 i sin 1 ，z2 r2 cos 2 i sin 2
zn rn cos n i sin n
z1 z2 zn
r1 r2 rncos 1 2 n i sin 1 2 n
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复数的三角形式(课件)高一数学(苏教版2019必修第二册)
过来，复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数。
由此可以得到
两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
探究新知
核心知识点：一
复数的三角形式的概念
复数z=0在复平面内与原点O（0，0）对应，向量是零向量，这时复数的模为0，
辐角是任意的。
由任意角三角函数的定义知道：
设复数z=a＋bi（z≠0）的辐角为θ，则cosθ= ,sinθ= , 其中r= + 。
’
的模r1变为原来的r2倍，从而得到一个新的
向量
O
Z1
x
探究新知
核心知识点：二
复数乘除法运算的三角表示
所对应的复数r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]即
为z1z1，这就是复数乘法的几何意义。
y
Z
当z2≠0时，
+
Z（a，b）和平面向量之间存在着一一对应的关系。
如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在
y
的射线（起点是原点O）为终边的角θ叫作复数
b
z=a＋bi的辐角。例如， 就是复数z=1＋i的一个
辐角，而 ＋2kπ（k∈Z）也都是复数z=1＋i的
辐角。
Z:a+bi
θ
O
a
x
探究新知
核心知识点：一
，故( − ) =
因此，这个复数的模为2，辐角为 ＋2k（k∈Z）.
重点探究
探究三
求复数2(cos -isin )的模与辐角。
由此可以得到
两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
探究新知
核心知识点：一
复数的三角形式的概念
复数z=0在复平面内与原点O（0，0）对应，向量是零向量，这时复数的模为0，
辐角是任意的。
由任意角三角函数的定义知道：
设复数z=a＋bi（z≠0）的辐角为θ，则cosθ= ,sinθ= , 其中r= + 。
’
的模r1变为原来的r2倍，从而得到一个新的
向量
O
Z1
x
探究新知
核心知识点：二
复数乘除法运算的三角表示
所对应的复数r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]即
为z1z1，这就是复数乘法的几何意义。
y
Z
当z2≠0时，
+
Z（a，b）和平面向量之间存在着一一对应的关系。
如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在
y
的射线（起点是原点O）为终边的角θ叫作复数
b
z=a＋bi的辐角。例如， 就是复数z=1＋i的一个
辐角，而 ＋2kπ（k∈Z）也都是复数z=1＋i的
辐角。
Z:a+bi
θ
O
a
x
探究新知
核心知识点：一
，故( − ) =
因此，这个复数的模为2，辐角为 ＋2k（k∈Z）.
重点探究
探究三
求复数2(cos -isin )的模与辐角。
复数的三角表示高一数学教材配套教学精品课件(北师大版2019必修第二册)
例3：试证明:[r(cosθ+isinθ )]3=r3(cos3θ+isin3θ).
证明：[r(cosθ+isinθ )]3=r(cosθ+isinθ)·r(cosθ+isinθ)· r(cosθ+isinθ)=[r(cosθ+isinθ)· r(cosθ+isinθ)]· r(cosθ+isinθ)=r2(cos2θ+isin2θ)· r(cosθ+isinθ)= r3(cos3θ+isin3θ).
解：
练习
当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示
解：
二、除法
复数乘除运算的几何意义
二、除法
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
所以
例4：计算： ，并把结果化为代数形式.
5.3复数的三角表示一、 源自复数的三角表示式1.复数的三角形式r（cos θ+isin θ）叫做复数z＝a+bi的三角表示式，简称三角形式.
2.辐角与辐角主值
3.复数代数形式和三角形式的转化
4.复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等
例1：把下列复数代数式化成三角式：
想一想：代数式化三角式的步骤
（1）先求复数的模
（2）决定辐角所在的象限
（3）根据象限求出辐角
（4）求出复数三角式。
小结：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值。
二.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
1.复数三角形式的乘法法则
解：
10.3复数的三角形式及其运算第2课时课件-高一下学期数学人教B版
学习活动
学习总结
问题2：如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明：
.
2
证明：假设每个正方形的边长为1，建立如图 所示的平面直角坐标系，确定复平面.
由平行线内错角相等知α，β，γ分别等于3+i，2+i，1+i的辐角主值， 因此α+β+γ应该(3+i)(2+i)(1+i)的一个辐角，
问题1：设z1＝r1(cos θ1+isin θ1)，z2＝r2(cos θ2+isin θ2)，在复平面内作出z1、 z2，试求出z1z2，并用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式. z1z2＝r1(cos θ1+isin θ1)×r2(cos θ2+isin θ2) ＝r1r2［(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2)+i(sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2)］ ＝r1r2［cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)］
3 i 2(cos( ) sin( )i), 1 3i 2(cos sin i).
6
6
33
(1 i)3( 3 i) ( 2)3 2
[cos( 3 ) sin( 3 )i]
1 3i
2
4 63
4 63
2 2(cos sin i) 2 2i.
44
学习目标
学习活动
学习总结
问题2：由复数乘法运算的三角表示，结合上述图像，思考讨论在复数平 面内，复数乘法运算的三角表示有什么几何意义？
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
复数乘法的几何意义： 设z1，z2对应的向量分别为OZ1,OZ2 ，将OZ1绕点O按逆时针方向旋转角
《复数——复数的三角表示》数学教学PPT课件(3篇)
＝2 3cos161π－π3＋isin161π－π3
＝2
3cos
32π＋isin
3 2π
＝－2 3i.
故把复数 3－ 3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为 3＋
3i，按顺时针旋转π3得到的复数为－2 3i.
栏目 导引
第七章 复 数
两个复数 z1，z2 相乘时，先分别画出与 z1，z2 对应的向量O→Z1， O→Z2，然后把向量O→Z1绕点 O 按逆时针方向旋转角 θ2(如果 θ2<0， 就要把O→Z1绕点 O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原 来的 r2 倍，得到向量O→Z，O→Z表示的复数就是积 z1z2.
栏目 导引
第七章 复 数
6cosπ3＋isinπ3×4cosπ6＋isinπ6＝________； 6cosπ3＋isinπ3÷4cosπ6＋isinπ6＝________．
栏目 导引
解析：6cosπ3＋isinπ3×4cosπ6＋isinπ6 ＝24cosπ3＋π6＋isinπ3＋π6 ＝24i. 6cosπ3＋isinπ3÷4cosπ6＋isinπ6 ＝64cosπ3－π6＋isinπ3－π6 ＝32cosπ6＋isinπ6 ＝3 4 3＋34i. 答案：24i 343＋34i
栏目 导引
第七章 复 数
(2) 3(cos 225°＋isin 225°)÷[ 2(cos 150°＋isin 150°)]
＝ 32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝ 26(cos 75°＋isin 75°)
＝
6 2
6－ 4
2＋
6＋ 4
2i
＝6－82
3＋6＋82
《复数的三角形式》课件
调制与解调
在通信系统中，复数的三角形式 用于信号的调制和解调过程。通 过将基带信号转换为高频载波信 号，可以实现远距离传输和高效
的频谱利用。
在量子力学中的应用
波函数的复数表示
在量子力学中，波函数通常用复 数表示。复数的三角形式为描述 粒子的状态和行为提供了方便的
数学工具。
量子态的演化
利用复数的三角形式，可以方便地 描述量子态随时间的演化过程，有 助于理解和计算量子系统的行为。
2023-2026
ONE
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《复数的三角形式》 ppt课件
REPORTING
CATALOGUE
目 录
• 复数三角形式的定义 • 复数三角形式的运算 • 复数三角形式的应用 • 复数三角形式的扩展 • 复数三角形式的习题与解答
PART 01
复数三角形式的定义
复数三角形式的定义与表示
复数三角形式的性质
01
02
03
模长的性质
模长是非负实数，表示复 数的绝对值。
幅角的性质
幅角可以是任意实数，表 示复数在复平面上的旋转 角度。
共轭复数的性质
若$z = r(costheta + isintheta)$，则其共轭复 数为$z^* = r(cos(theta) + isin(-theta))$。
习题一：计算复数的三角形式
总结词
理解并掌握复数三角形式的计算方法
详细描述
这道题目主要考察了学生对复数三角形式的理解和计算能力。通过这道题目， 学生需要掌握如何将任意复数表示为三角形式，并能够根据给定的模和幅角计 算出对应的复数。
习题二：利用复数的三角形式进行运算
总结词
掌握复数三角形式的运算规则
复数的三角形式与乘除运算
复数的三角形式与乘除运算复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别表示实部和虚部。
复数的三角形式是指将复数表示为模长和辐角的形式。
一、复数的三角形式1.模长（绝对值）：复数的模长表示复数到原点的距离，可以用勾股定理求得。
模长的公式为，z，=√(a²+b²)。
2. 辐角：复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角，可以用反正切函数求得。
辐角的公式为 arg(z) = arctan(b/a)。
以复数 3 + 4i 为例，它的模长为，z，= √(3² +4²) = √(9 + 16) = √25 = 5，辐角为 arg(z) = arctan(4/3)。
所以这个复数的三角形式可以表示为 5 * cos(arctan(4/3)) + 5 * sin(arctan(4/3)) * i。
二、复数的乘法复数的乘法可以根据分配律进行展开计算，具体步骤如下：1.将两个复数的实部和虚部分别相乘，得到两个部分的结果。
2.对两个部分的结果进行合并，实部与实部相减，虚部与虚部相加，得到最终的结果。
举例说明：设有两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的乘法运算为：z1*z2=(a1+b1i)*(a2+b2i)根据分配律，可以展开计算：z1*z2=a1*a2+a1*b2i+b1i*a2+b1i*b2i再合并结果：z1*z2=a1*a2-b1*b2+(a1*b2+b1*a2)i可以看出，复数的乘法运算结果也是一个复数，实部和虚部分别由原复数的四个部分相乘得到。
三、复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式来实现。
具体步骤如下：1.将除数和被除数都转换为三角形式。
2.将除数的模长取倒数，辐角取相反数，得到除数的倒数。
3.将两个复数的倒数相乘，得到最终的结果。
举例说明：设有两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的除法运算为：z=z1/z2首先将z1和z2转换为三角形式：z1 = r1 * cos(θ1) + r1 * sin(θ1) * iz2 = r2 * cos(θ2) + r2 * sin(θ2) * i然后计算除数的倒数：1/z2 = 1/r2 * cos(-θ2) + 1/r2 * sin(-θ2) * i最后将除数的倒数乘以被除数，得到最终结果：z=z1*(1/z2)= (r1 * cos(θ1) + r1 * sin(θ1) * i) * (1/r2 * cos(-θ2) +1/r2 * sin(-θ2) * i)= (r1 * 1/r2) * cos(θ1 - θ2) + (r1 * 1/r2) * sin(θ1 - θ2) * i可以看出，复数的除法运算结果也是一个复数，实部和虚部分别由原复数的模长和辐角相除得到。
新教材高中数学第5章复数3复数的三角表示课件北师大版必修第二册
思考4：由三角形式的乘法法则,结合向量知识,如何理解复数乘法的 几何意义？
提示：复数的乘法实质上就是向量的旋转和伸缩,旋转方向与角度取 决于从另一复数的辐角集合中取出来的值,伸长或缩短及其倍数取决于另 一复数的模的大小．
知识点5 复数三角形式的除法
设 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且 z2≠0，则
(1)z＝ 2cosπ4－isinπ4是复数 z＝1－i 的三角形式． (2)复数 0 没有三角形式．
(×) (×)
(3)复数 z＝2cos－6π＋isin－π6的辐角主值为－π6.
( ×)
(4)复数 z＝2cosπ3＋isinπ3的共轭复数的三角形式为 z ＝2cosπ3－isinπ3.
( ×)
(5)cosπ3＋isinπ33＝－1．
第五章 复数
§3 复数的三角表示
课程标准
核心素养
1．了解复数的三角形式,了解复数
的代数形式与三角形式之间的关 通过复数的几何意义,了解复数的
系．
三角形式,理解复数三角形式的乘、
2．会进行复数的代数形式与三角 除、乘方运算,培养学生的逻辑推
形式的转化,了解辐角．
理素养,提升数学抽象、数学运算
3．掌握复数三角形式的乘、除及 素养.
(2)复数的三角形式 任何复数z＝a＋bi(a,b∈R)都a可以表示为z＝rb(cos θ＋isin θ), 其中r＝__a_2_＋__b_2 ,cos θ＝____r_,sin θ＝_____. r 这个式子称为复数z＝a＋bi(a,b∈R)的三角形式． 当z＝r(cos θ＋isin θ)≠0时,z的辐角有无穷多个值,这些值相差______ 的整2π数倍． 思考1：复数三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)中θ一定是辐角主值吗？一 个复数的三角形式唯一吗？ 提示：复数三角形式中的θ不一定是辐角主值,三角形式不唯一．
高中数学新教材第二册第七章《7.3复数的三角表示》全套课件
(1)如果向量O→Z对应复数 4i，O→Z逆时针旋转 45°后再把模变为原来的 2 倍，得到向量O→Z1，那么与O→Z1对应的复数是________；
(2)计算(1＋ 3i)6. 答案 (1)－4＋4i (2)见解析
答案
解析 (1)O→Z＝4i＝4cosπ2＋isinπ2，
O→Z1＝4 2cosπ2＋4π＋isin2π＋π4
答案
核心素养形成
题型一 复数三角形式的乘法运算 例 1 计算下列各式： (1) 2cos1π2＋isin1π2· 3cos56π＋isin56π； (2)3cos6π＋isinπ6·7cos34π＋isin34π； (3)2cosπ3＋isinπ3－4.
[解] (1)原式＝ 6cos1π2＋56π＋isin1π2＋56π ＝ 6cos1112π＋isin1112π. (2)原式＝21cosπ6＋34π＋isinπ6＋34π ＝21cos1112π＋isin1112π.
□ ＝ 01 rr12[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](z2≠0)
，
这就是说，两个复数相除，商的模等于
□02 被除数的模除以除数的模所得的商 □03 被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
，商的辐角等于
几何意义：两个复数 z1，z2 相除，可以先画出 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2， 将向量O→Z1按顺时针方向旋转 θ2(若 θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模 变为原来的r12倍，所得向量O→Z就表示商zz12.
1＝ 3
33，即
θ＝π6，
∴ 3＋i＝2cosπ6＋isin6π.
答案
(2)r＝ 1＋1＝ 2. ∵1－i 对应的点在第四象限， 且 tanθ＝－11＝－1，∴θ＝74π， ∴1－i＝ 2cos74π＋isin74π.
复数的几种表示形式的转换及计算 ppt课件
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
单位：rad/s（弧度/秒）
T
ppt课件
10
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
由
于
主
值arctan（b）〔
，
〕，
若
O
实部为负
数
，
a
22
则arctan（b）
a
才是正确的p辐pt课角件 。
F
a
+1
2
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
ppt课件
4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
ppt课件
6
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
（（aa21
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
单位：rad/s（弧度/秒）
T
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10
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
由
于
主
值arctan（b）〔
，
〕，
若
O
实部为负
数
，
a
22
则arctan（b）
a
才是正确的p辐pt课角件 。
F
a
+1
2
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
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4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
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6
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
（（aa21
高中数学苏教版必修第二册第十二章《复数的三角表示式》示范公开课教学课件
若复数为0，它的辐角是哪个角？
这些辐角的值之间有什么关系呢？
在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？
我们规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值 (principal value of an argument)，通常记作arg z，即0≤arg z<2π．
一个复数的辐角的值有多少个？
对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的， 所以复数0的辐角也是任意的，而不是0．
利用终边相同的角的特点，容易得出： 任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个．
因为任一与角θ终边相同的角，都可以表示成角θ与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差2π的整数倍．
我们规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的值的代表，就能使每个非零复数有唯一确定的“辐角的值”．
追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？
每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值．
两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？
两个复数相等
⟺ 两个复数对应的向量相同
角是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角．
为了解决问题2，首先应研究什么？
如何用文字语言表述角呢？
你能用向量的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来表示复数z吗？
由可以得到复数a+bi=，
其中r，，．
刚才我们画的图形中，角的终边落在第一象限，得到a+bi=，这个式子是否具有一般性呢？即若角的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点Z在实轴或虚轴上，即角的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？
这些辐角的值之间有什么关系呢？
在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？
我们规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值 (principal value of an argument)，通常记作arg z，即0≤arg z<2π．
一个复数的辐角的值有多少个？
对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的， 所以复数0的辐角也是任意的，而不是0．
利用终边相同的角的特点，容易得出： 任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个．
因为任一与角θ终边相同的角，都可以表示成角θ与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差2π的整数倍．
我们规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的值的代表，就能使每个非零复数有唯一确定的“辐角的值”．
追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？
每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值．
两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？
两个复数相等
⟺ 两个复数对应的向量相同
角是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角．
为了解决问题2，首先应研究什么？
如何用文字语言表述角呢？
你能用向量的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来表示复数z吗？
由可以得到复数a+bi=，
其中r，，．
刚才我们画的图形中，角的终边落在第一象限，得到a+bi=，这个式子是否具有一般性呢？即若角的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点Z在实轴或虚轴上，即角的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？