工程力学 第十一章-能量法
（3）是有限单元法的重要基础
能量法
§11–1
一、能量原理：
变形能的普遍表达式
弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作 的功，即
U W
利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称为能量方法。 二、杆件变形能的计算： 1.轴向拉压杆的变形能计算：
U
L
n N i Li N 2 ( x) dx 或 U i 1 2 Ei A i 2 EA
2
PL 2 EI
―负号”说明 A与所加广义力MA反向。
能量法
演习
弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，
如图所示。试用卡氏第二定理求跨中挠度。
q
P
A
x y
w
l
B x
1 1 1 qlx qx2 Px 2 2 2 ②将内力对MA求偏导后，令P=0 M ( x)
①求内力
M ( x)
③求变形（ 注意：P=0）
n
1 比能 : u 2
能量法
三、变形能的普遍表达式：
变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能
可以相互叠加。
2 N 2 ( x) Mn ( x) M 2 ( x) U dx dx dx L 2 EA L 2GI L 2 EI P
L
Q 2 ( x) S dx 2 EA
l
A 45
O
能量法
F
B A B
1
B'
C
(a)
C
(b)
解： 设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2， 先假设结点B只发生水平位移1 （图b）
则：
AB 1
BC
2 1 cos 45 1 2
0
能量法
同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）
A B
2
B''
则：
AB 0
C
2．线弹性材料杆件变形能
a.轴向拉压杆的变形能计算：
U
L
n N i2 Li N 2 ( x) dx 或 U 2 EA i 1 2 Ei A i
b.扭转杆的变形能计算：
U
1 比能 : u 2
L
M ( x) dx 2GI P
2 n
2 M ni Li 或 U i 1 2Gi I Pi n
能量法
§11–3 卡氏定理
1.卡氏第一定理 — 导出“力”的定 理 设图中材料为非线性弹性， 由于应变能只与 最后荷载有关， 而与加载顺序无 关。不妨按比例 方式加载，从而 n 1 有
1 2 1 2
3
Fi
n
B
i
3
பைடு நூலகம்
di
n
V W f i d i
i 1 0
假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d i , 则应变能的变化为：
, (i=1,2, …,n)
卡氏第二定理：若将结构的变形能U表示为载荷P1，P2，…， Pi，…的函数，则变形能对任一载荷Pi的偏导数等于Pi作用点 沿Pi作用方向的位移δi，即：
, (i=1, 2, ….n)
本定理只适用于线弹性材料。 作业：3-1（b) (d) ,3-6-(a) (b)
能量法
例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。 x L x Px B P C 解：求挠曲线——任意点的挠度 f（x） 没有与f（x）相对应的力，加之。 ①求内力
应用卡氏第一定理得
V V 0 及 F 1 2
解得：
1 Fl EA
及
Fl （ 1 2 2） 2 EA
能量法
2.卡氏第二定理 — 导出“位移”的定理
设有非线性弹性的梁， 梁内的余能为：
1 2 3 n
B
1 2 3 n
Vc Wc 0F1 i d f i
解：梁的挠曲线方程为：
y
能量法
2. 余能 设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F- 曲线如图b 。 F
F1
(a)
(b) dF
F
O
1
―余功Wc‖定义为：
WC d F
0
F1
与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc 在数值上相等。
能量法
即：
Vc WC d F
注意： •卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线 性弹性体。 •式中Fi及i分别为广义力、广义位移。
d W F i d i
•必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。
例4 由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁 架，在结点 B处承受集中力 F，如图 a 所示。两杆的 材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。 试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。
能量法
求转角 A
没有与A向相对应的力（广义力），加之。 P A
MA
①求内力
M ( x ) xP M A
②将内力对MA求偏导后，令M A=0
M ( x ) 1 M A M 0
A
L
x
O
③求变形（ 注意：M A=0）
L
A
A
L
2 PL Px M ( x) M ( x) dx dx 2 EI EI EI M A 0
•所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。
•当所求位移处无相应广义力时 ，可在该处 “虚加”上广义力，将其看成已知外力，反 映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再 令该“虚加”外力为0。 •实际计算时，常采用以下更实用的形式：
F2 T2 M2 N d x d x d x i l l l F i 2 EA F i 2G I p F i 2 EI T T M M F N F N dx dx dx l EA l GI l EI Fi Fi Fi p
f C 0 求多余反力，
B
①取静定基如图 ②求内力
M AB ( x ) RC ( L x ) P(0.5L x )
M BC ( x ) RC ( L x )
0.5 L
A
③将内力对RC求偏导
M AB ( x ) L x RC M BC ( x ) L x RC
V d V d i i
因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其 余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微 小增量d i ，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：
能量法
V d i 注意到上式与下式在数值上相等 d V i V 从而有： F i （—卡氏第一定理 ） i
(c)
BC
2 2 sin 45 2 2
0
当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）
AB 1
BC
2 1 2 2
能量法
桁架的应变能为
EA i2 EA 2 EA 1 2 1 2 1 1 2 1 V 1 2 li 2l 2 2 2l 2
M AB ( x1 ) P( L x1 ) Px ( x x1 )
M BC ( x1 ) P( L x1 )
A
x1 O f
②将内力对Px 求偏导后，令Px=0
M AB ( x) x1 x P 0 x Px
M BC ( x ) Px
Px 0 0
能量法
比能 : u
1 2
c.弯曲杆的变形能计算：
U M 2 ( x) 2 EI
L
dx
M i2 Li 或 U i 1 2 Ei I i
n
1 比能 : u 2
能量法
卡氏定理
卡氏第一定理：杆件的变形能U(δi)(i=1,2, …,n)，对于杆件 上与某一载荷相应位移的变化率等于该载荷的值。即有：
i 1
n
假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi ，而其余荷载均 保持不变，因此，由于Fi改变了dFi ，外力总余功的 相应改变量为： d Wc i d Fi 余能的相应改变量为：
V c d Vc d Fi Fi
能量法
由于外力余功在数值上等于余能，得
d V c d Wc
解得：
V c i Fi
wC
M A P 0
1 x 2
L
M ( x) M ( x) dx 2 EI P
l/2
0
(qlx qx2 ) 5ql 4 dx 4EI 384EI
能量法
1．能量守恒 弹性范围固体变形能U在数值上等于外力所做的功W，即U=W。 超出了弹性范围，塑性变形将消耗一部分能量， 变形能不能全部转变为功。
S 剪切挠度因子
细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。
2 N 2 ( x) Mn ( x) M 2 ( x) U dx dx dx L 2 EA L 2GI L 2 EI P
能量法
例1 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 P A B 解：外力功等于应变能
W 1 Pf C 2 C a a M 2 ( x) U dx L 2 EI f P M ( x ) x ; (0 x a ) 2 a 1 P 2 P 2a 3 在应用对称性，得： U 2 ( x ) dx 0 2 EI 2 12 EI Pa 3 W U f C 6 EI 思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？ q
③变形（ 注意：Px=0）
U M ( x ) M ( x ) f ( x) dx L Px EI Px
1 EI
P( L x )( x
1 0
合集下载
11 能量法
2
N i2 Li 或 U i 1 2 E i Ai
n
1 比能 : u 2
2、扭转杆的变形能计算：
T 2( x) U dx 或 U L 2GI P 1 比能 : u 2
3、弯曲杆的变形能计算：
U M 2 ( x) 2 EI
Ti2 Li 2G I i Pi i 1
a
a
2 2 1 qx1 x1 1 qx2 x2 (qax1 2 ) 2a dx1 EI (qax2 2 ) 2a dx2 EI 0 0
a
0
例11-2-2 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但
不能上下移动，已知：E=210GPa，G=0.4E，求B点的垂直位移。 P0=1 P=60N 解：1、单位载荷如图 B B
C
500
A
00 3
C
500
A
00 3
x
10
20 5
20 5
2、求内力
M AB ( x ) Px TCA ( x1 ) 0.3P
0 M AB ( x ) x
0 TCA ( x1 ) 0.3
10
x1
M AB ( x ) Px
3、求变形
0 M AB ( x ) x
TCA ( x1 ) 0.3P
0 TCA ( x1 ) 0.3
B
L
0 0 TCA ( x1 )TCA ( x1 ) M AB ( x ) M AB ( x ) dx1 dx L GI p EI
0.3 P 0.3 dx1 GI P 0
0.5
0.3
0
Px2 PLAB LAC PL3 AB dx LAB EI 3 EI GI P
工程力学-能量法
12 能量法1、外力的功、应变能、比能等的有关概念，外力的功应变能比能2、基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算对于线弹范围内的等直拉压杆的应变能梁横力弯曲的剪切应变能为（常忽略）当扭矩Mt沿杆轴变化时，圆轴的扭转应变能横力弯曲时，不计剪切能，，弯矩沿截面变化，梁的应变能为3、功能原理、功的互等定理和位移互等定理4、余能概念5、卡氏第一和第二定理解题范例12.1具有中间铰的线弹性材料梁，受力如图12.1（a）所示，两端梁的弯曲刚度均为EI。
用莫尔法确定中间铰两侧界面的相对转角有下列四种分段方法，使判断哪一种是正确的。
（A）按图（b）所示施加一对单位力偶，积分时不必分段；（B）按图（b）所示施加一对单位力偶，积分时必须分段；（C）按图（c）所示施加一对单位力偶，积分时不必分段；（D）按图（c）所示施加一对单位力偶，积分时必须分段；图12.1答案：（A）12.2图12.2示简支梁中点只承受集中力F时，最大转角为，应变能为；中点只承受集中力偶M时,最大挠度是、梁的应变能为。
当同时在中点施加F和M时，梁的应变能有以下四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A）+；（B）++M；（C）++F；（D）++（ M+F）；图12.2[解] 因为对于线性弹性结构，先加F时梁内的应变能为：=F f F在加M时，由于反对称载荷，梁中点的挠度仍是f F，所以梁内应变能将增加：M=当同时施加F和M时的应变能，等于先加F再加M时的应变能，即+故答案（A）正确。
12.3 用卡氏第二定理求图12.3所示刚架A截面的位移和B截面的转角。
略去剪力Q和轴力N的影响，EⅠ为已知.LLⅠ2Ⅰ图 12.3[解] （1）A截面的位移AB段弯矩：M(x)=-Px （0x）∂M(x) /∂P=-x在A 处虚加一水平力向右的力Q,之后，再令其为0.那么,BC段弯矩：M(y)=-2P- Q+(P+Q)y∂M(y) /∂P=-2+y ∂M(y) /∂ Q=-+yA截面的竖直位移:A截面的水平位移:积分，令Q=0得(2)B截面的转角在B处虚加一力偶M B,AB段弯矩：M(x)=-Px （0x<）BC段弯矩：M(y)=-2P-+P y （0<y<）∂M(x) /∂M B=0 ∂M(y) /∂M B =-1习题解析12.1用卡氏第二定理求图12.4示的A截面的位移和B截面的转角。
能量法
NJBB01图示桁架中的各杆EA 相同。
若F 、l 、E 和A 均已知，试求F 力作用点沿F 力作用线方向的位移。
NJBB02图示桁架中的各杆EA 相同。
若F 、l 、E 和A 均已知，试求F 力作用点沿F 力作用线方向的位移。
NJBB03已知1F 、2F 和抗弯刚度EI 。
试求图示杆件的应变能。
NJBB04试求图示圆杆的应变能（不计剪切变形影响）。
NJBB05试求图示受扭圆轴的应变能。
1FMNJBB06求图示受扭圆轴的应变能（125.1d d =）。
NJBB07图示等截面杆受轴向力1F 和2F 的作用，横截面面积为A ，弹性模量为E 。
试求杆的应变能。
NJBB08试求图示结构C 点的铅垂位移。
EI 、l 和F 均为已知。
NJBB09图示由等截面直杆AB 和AC 组成的桁架，若二杆的抗拉（压）刚度相等，且F 、l 、α、E 和A 为已知。
试求力F 作用点的铅垂位移。
NJBB10图示悬臂梁受集中力偶e M 作用。
若EI 和l 已知，试用能量法求B 截面的转角。
NJBB11试求图示阶梯形梁B 点的挠度。
E 、I 、a 和F 均为已知。
NJBB12图示用同样材料制成的两根圆截面直杆。
试比较二杆的应变能，并求二杆的伸长。
NJBB13试利用功能原理求图示阶梯轴B 截面相对于A 截面的扭转角。
已知切变模量为G ，125.1d d =。
NJBB14试证明矩形截面简支梁跨中受集中力F 作用时的应变能为)9/()2/(2Al E U ⋅=σ，其中A 为横截面面积，σ为梁中最大应力。
(a)(b)NJBB15已知图示（a ）情况下梁的应变能为1U 。
试求图（b ）情况下梁的应变能。
NJBB16试求图示梁B 点的挠度。
NJBB17试求图示梁B 点的挠度。
NSBB18试求图示悬臂量自由端A 点的挠度A y 和转角A 。
NSBB19试求图示悬臂量自由端A 点的挠度A y 。
(a)(b)BFCFNSBB20试求图示悬臂梁自由端的水平位移和铅垂位移。
材料力学中的能量法
记为 M,F 。 S ,F N ,T
（3）单位力所做的外力虚功为 We =1·
杆件的内力虚功为
* * * * W ( M d F d F d d T d) j i S N l 0
单位力法的虚位移原理表达式为
* * * * (10-16) 1 Δ ( M d F d F d d T d) j S N l 0
解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等， 方向相反，且均垂直于杆CD的力。 根据功的互等定理： F B F F l F 0 .0 8 k N B C D lC D
§10-4、10-5 虚位移原理及单位力法
. 虚位移原理 （1）刚体 虚位移 —— 满足约束条件的假想的任意微小位移。 虚位移原理 ——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的 总功等于零（平衡的必要和充分条件）。
由于以上分析中没有涉及材料的物理性质， (11-15)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M ,
Δi FS , FN , T是由荷载产生的内力，
d , dd ,
* *
* d j 为广义虚位移，d* ,
为微段的变形虚位移。
Ⅱ. 单位力法（单位载荷法）
(1) 因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条
(c)
(d) 将(a),(d)式代入（11-14）式 ，得梁的虚位移原理表达式为
* * F Δ ( M d F d ) 0 i i S l n 0
即
i 1
* * F Δ ( M d F d ) i i S l i 1 0
n
外力虚功=内力在微段变形虚位移上的虚功(或虚应变能)
2 2 lM M ( x ) ( x ) 1 2 U d x d x (3) l 0 2 EI EI 2 2 l 2
第11章(能量法)
v C d
0
2
B
2
0
d
3
3B2
整个结构的余能 3 l 2 3 Al F 3l VC vC dV 2 Adl 2 V 0 2B2 3B 12 B 2 A2 cos 3 ⑵ 计算节点A的位移 VC F 2l Δ 由余能定理得 F 4 B 2 A2 cos 3
Vε1 Vε2
F11Δ F12Δ F1nΔ n F21Δ F22Δ F2 m Δ m 11 12 1 21 22 2
· 功的互等定理 第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第 二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2. 位移互等定理 F1Δ F2Δ 1 2
弯曲构件
Vε
l
M 2 ( x )dx 2 EI
M ( x ) M ( x ) dx EI Fi
Vε M ( x )dx M ( x ) Δi l EI Fi Fi
Δi
l
组合变形构件
Vε
2 2 FN ( x ) MT ( x) M 2 ( x) dx dx dx 2 EA 2 EI 2GI P
M
解得：
B
0:
M FAy l Fa 0
M Fa FAy l l
⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数
⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数 AB段 (0 x l ) M Fa M ( x ) FAy x M ( )x M l l M ( x ) a M ( x ) x x 1 F l M l BC段 (l x l a )
Vε
2 2 FN ( x ) MT ( x) M 2 ( x) dx dx dx 2 EA 2 EI 2GI P
0
2
B
2
0
d
3
3B2
整个结构的余能 3 l 2 3 Al F 3l VC vC dV 2 Adl 2 V 0 2B2 3B 12 B 2 A2 cos 3 ⑵ 计算节点A的位移 VC F 2l Δ 由余能定理得 F 4 B 2 A2 cos 3
Vε1 Vε2
F11Δ F12Δ F1nΔ n F21Δ F22Δ F2 m Δ m 11 12 1 21 22 2
· 功的互等定理 第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第 二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2. 位移互等定理 F1Δ F2Δ 1 2
弯曲构件
Vε
l
M 2 ( x )dx 2 EI
M ( x ) M ( x ) dx EI Fi
Vε M ( x )dx M ( x ) Δi l EI Fi Fi
Δi
l
组合变形构件
Vε
2 2 FN ( x ) MT ( x) M 2 ( x) dx dx dx 2 EA 2 EI 2GI P
M
解得：
B
0:
M FAy l Fa 0
M Fa FAy l l
⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数
⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数 AB段 (0 x l ) M Fa M ( x ) FAy x M ( )x M l l M ( x ) a M ( x ) x x 1 F l M l BC段 (l x l a )
Vε
2 2 FN ( x ) MT ( x) M 2 ( x) dx dx dx 2 EA 2 EI 2GI P
结构力学 能量法
第11章 能量法
Energy Methods
Preface
Energy method is a very convenient method to determine the internal forces or reactions of a bars system and displacement of a structure at one point or rotation angle of a cross section in the bars system . P B A P A Vertical displacement at point A ? Vertical and level displacement at point A ?
FN Fs M
So the strain-energy of combined deformationed bars can be written as follows :
T ( x)dx M ( x)dx U l l 2GI p 2EI z
2
2
T 2 ( x)dx M 2 ( x)dx U ( ) l l 2 GI 2EI z n p
2
3) 梁弯曲的应变能
Strain-energy of beams
a. Method 1 to determine the strain- energy of beams
1 d U M ( x)d 2
d
M(x)
d dx
2
M ( x)dx d dx EI z
2
1
dx
M ( x)dx dU 2 EI z
U
FN(x)
l
FN ( x)dx 2 EA
Energy Methods
Preface
Energy method is a very convenient method to determine the internal forces or reactions of a bars system and displacement of a structure at one point or rotation angle of a cross section in the bars system . P B A P A Vertical displacement at point A ? Vertical and level displacement at point A ?
FN Fs M
So the strain-energy of combined deformationed bars can be written as follows :
T ( x)dx M ( x)dx U l l 2GI p 2EI z
2
2
T 2 ( x)dx M 2 ( x)dx U ( ) l l 2 GI 2EI z n p
2
3) 梁弯曲的应变能
Strain-energy of beams
a. Method 1 to determine the strain- energy of beams
1 d U M ( x)d 2
d
M(x)
d dx
2
M ( x)dx d dx EI z
2
1
dx
M ( x)dx dU 2 EI z
U
FN(x)
l
FN ( x)dx 2 EA
能量法——精选推荐
2l
(Δ cosθ
)2
=
EAΔ2 2l
cos3 θ
△
对杆2,有:
V2
=
EA 2l
Δ2
∴有
V
= V1
+ V2
+ V3
=
EAΔ2 l
cos3 θ
+
EAΔ2 2l
外力的力函数为PΔ，故结构的总位能为:
∏
=V
−U
=
⎛ ⎜ ⎝
EAΔ2 l
cos3 θ
+
EAΔ2 2l
−
pΔ
⎞ ⎟
⎠
Pre
Next Exit
∵根据题意,Δ是未知的，现变化Δ满足δΠ= 0条件,故得:
δ
∏
=
∂Π ∂Δ
δΔ
=
⎛ ⎜⎝
2EAΔ l
cos3 θ
+
2EAΔ 2l
−
P
⎞ ⎟⎠
δΔ
=
0
从而得到: ( ) EAΔ 1+ 2 cos3 θ − P = 0 l
( ) 所以得:
Δ=
Pl
EA 1+ 2 cos3 θ
Δ求得后，即可求出各杆的力，可见用位能驻值原理的计算方法
是“位移法”，并且所得的就是力的平衡方程式。若以Π为纵坐标，
2 能量法
能量法是从能量的角度出发去描述结构的平
衡和连续,使力的平衡和变形连续同时满足,出发
点更高,是进一步研究结构的重要理论基础
§6-1 应变能与余能 (知识回顾)
普遍 弹性体的外载 的 与变形间的关 情况 ： 系为非线性的
①可能由于材料本身的 应力—应变间的非线性关系而引起
(Δ cosθ
)2
=
EAΔ2 2l
cos3 θ
△
对杆2,有:
V2
=
EA 2l
Δ2
∴有
V
= V1
+ V2
+ V3
=
EAΔ2 l
cos3 θ
+
EAΔ2 2l
外力的力函数为PΔ，故结构的总位能为:
∏
=V
−U
=
⎛ ⎜ ⎝
EAΔ2 l
cos3 θ
+
EAΔ2 2l
−
pΔ
⎞ ⎟
⎠
Pre
Next Exit
∵根据题意,Δ是未知的，现变化Δ满足δΠ= 0条件,故得:
δ
∏
=
∂Π ∂Δ
δΔ
=
⎛ ⎜⎝
2EAΔ l
cos3 θ
+
2EAΔ 2l
−
P
⎞ ⎟⎠
δΔ
=
0
从而得到: ( ) EAΔ 1+ 2 cos3 θ − P = 0 l
( ) 所以得:
Δ=
Pl
EA 1+ 2 cos3 θ
Δ求得后，即可求出各杆的力，可见用位能驻值原理的计算方法
是“位移法”，并且所得的就是力的平衡方程式。若以Π为纵坐标，
2 能量法
能量法是从能量的角度出发去描述结构的平
衡和连续,使力的平衡和变形连续同时满足,出发
点更高,是进一步研究结构的重要理论基础
§6-1 应变能与余能 (知识回顾)
普遍 弹性体的外载 的 与变形间的关 情况 ： 系为非线性的
①可能由于材料本身的 应力—应变间的非线性关系而引起
材料力学-11-材料力学中的能量法
失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能E
在数值上与外力所作的功 W 相等。
E＝W
南京工业大学
§11-1 基本概念
杆件的弹性应变能
南京工业大学
杆件的弹性应变能
1、轴向拉压
F F F
l
Dl
F Dl
1 F 2l E W F Dl 2 2 EA 2 FN l EA 2 Dl 2 EA 2 L
杆件的弹性应变能
细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！ 例：矩形截面悬臂梁，长L，截 面高h，宽b，k = 1.2。 解： 整个梁的剪切应变能： ES 整个梁的弯曲应变能：
2
F
( Fs ) 2 dx 0.6 F 2 L k 2GA Gbh L
2 2 3
Eb 5 L 得 E 3(1 ) h S Ub 125 30 L 细长梁 5 U S 3(1 ) h 南京工业大学
不能用功能原理求解。
多荷载下的位移、单 一荷载下非荷载作用点的 位移、荷载作用点其它方 向的位移，如何求解？
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第11章 材料力学中的能量法
应变能的普遍表达式
南京工业大学
应变能的普遍表达式
叠加法可用于多个载荷作用的引起的弯曲变形， 外力功和应变能是否满足叠加原理呢？
南京工业大学
叠加法可用于多个载荷作用的引起的变形
南京工业大学
叠加原理不适用外力功和应变能计算
WF 1 F 2 WF 1 WF 2
D1
D2 D1 D2
V V 1 V 2
F1
WF1
F
F2
WF2 1 F2 D 2 2
F
1 F1D1 2
在数值上与外力所作的功 W 相等。
E＝W
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§11-1 基本概念
杆件的弹性应变能
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杆件的弹性应变能
1、轴向拉压
F F F
l
Dl
F Dl
1 F 2l E W F Dl 2 2 EA 2 FN l EA 2 Dl 2 EA 2 L
杆件的弹性应变能
细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！ 例：矩形截面悬臂梁，长L，截 面高h，宽b，k = 1.2。 解： 整个梁的剪切应变能： ES 整个梁的弯曲应变能：
2
F
( Fs ) 2 dx 0.6 F 2 L k 2GA Gbh L
2 2 3
Eb 5 L 得 E 3(1 ) h S Ub 125 30 L 细长梁 5 U S 3(1 ) h 南京工业大学
不能用功能原理求解。
多荷载下的位移、单 一荷载下非荷载作用点的 位移、荷载作用点其它方 向的位移，如何求解？
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第11章 材料力学中的能量法
应变能的普遍表达式
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应变能的普遍表达式
叠加法可用于多个载荷作用的引起的弯曲变形， 外力功和应变能是否满足叠加原理呢？
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叠加法可用于多个载荷作用的引起的变形
南京工业大学
叠加原理不适用外力功和应变能计算
WF 1 F 2 WF 1 WF 2
D1
D2 D1 D2
V V 1 V 2
F1
WF1
F
F2
WF2 1 F2 D 2 2
F
1 F1D1 2
材料力学 第11章 能量法讲解
x Me
A
l FAy
B FBy
(1) 应变能计算
梁的约束力
FA
FB
Me l
梁的弯矩方程
代入应变能公式
M (x)
FA x M e
x Me(l
1)
Vε
M 2(x) dx
l 2EI
1 2EI
l 0
M
2 e
(
x l
1)2 dx
M e2l 6EI
15/65
11.1 外力功与应变能 【例11-1】解
10/65
11.1 外力功与应变能
11.1.3 克拉贝依隆原理
F1Δ12 F2 Δ21
W
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F1 Δ12
上式可推广到有多个广义力共同作用于线性弹性体的情况 Vε W
Vε
W
1 2
Fi Δi
上式称为克拉贝依隆原理。
式中为全部外力（F1，F2，…，Fi，…，Fn）在广义力Fi处
l GI p
M xdq
2
w M EI
12/65
11.1 外力功与应变能
M(x)
T(x) FN(x) FN(x)
11.1.4 杆件的应变能
dq
T(x) M(x)
dj
dx
dx dd
dx
dx
dVε
FN2 (x)dx 2EA
T 2 (x)dx 2GIp
M 2 (x)dx 2EI
则整个圆截面杆的应变能 Vε
FN2 (x) dx l 2EA
A
l FAy
B FBy
(1) 应变能计算
梁的约束力
FA
FB
Me l
梁的弯矩方程
代入应变能公式
M (x)
FA x M e
x Me(l
1)
Vε
M 2(x) dx
l 2EI
1 2EI
l 0
M
2 e
(
x l
1)2 dx
M e2l 6EI
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11.1 外力功与应变能 【例11-1】解
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11.1 外力功与应变能
11.1.3 克拉贝依隆原理
F1Δ12 F2 Δ21
W
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F1 Δ12
上式可推广到有多个广义力共同作用于线性弹性体的情况 Vε W
Vε
W
1 2
Fi Δi
上式称为克拉贝依隆原理。
式中为全部外力（F1，F2，…，Fi，…，Fn）在广义力Fi处
l GI p
M xdq
2
w M EI
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11.1 外力功与应变能
M(x)
T(x) FN(x) FN(x)
11.1.4 杆件的应变能
dq
T(x) M(x)
dj
dx
dx dd
dx
dx
dVε
FN2 (x)dx 2EA
T 2 (x)dx 2GIp
M 2 (x)dx 2EI
则整个圆截面杆的应变能 Vε
FN2 (x) dx l 2EA
《材料力学》11-1能量法
F1 dF
0
与外力功
W
1 0
Fd之和等于矩形面积
F1 1
线弹性范围内外力功等
F
F
于余功，能等于余能。
F1
F1
o
1
o
1
例题
试计算图示结构在荷载 F1 作用下的余能，结构中两杆的 长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力
—应变曲线如图所示。
B
D
K1nn1 1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
例题
xy平面内，由k根杆组成的杆系，在结点A处用铰链结 在一起，受到水平荷载和铅垂荷载作用，截面分别 为 A1,A2,Ai,Ak ，试用卡氏第一定理求各杆的轴力。
1
2
i
k
F1 A
F2
这种以位移为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为位移法
本章作业
(II)3－2，
(II)3－4，
(II)3－10，
例题
图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面
上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。 试计算轴两端的相对扭转角。
M1
d
A
B
l
四 余功、余能及卡氏第二定理
Wc
F1 dF
0
与余功相应的能称为余能
Vc V vcdV
vc
1 d
0
Vc
Wc
V cvc2Al2A nK lnn1 cF 1 o sn1
卡氏第二定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n