工程力学第11章(弯曲应力)
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工程力学第2版周松鹤徐烈烜习题解答弯曲应力
=
0.469
MPa
tB= 0 t 分布
P82 44-2 h = 180 mm
tt
y
负面积法
yC =
A1y1 + A2y2 A1 + A2
= 85 mm
yC 21.15 MPa 14.39 MPa
th
C D zC
b yC z
Iz = S(IzCii+Aibi2) = 3752 cm4
Sz*max
组合法 = 264.5 cm3
A FA l1
BC FB
z y
M│max = 1.016 kN·m
Wz =
bh2 6
= 144 cm3
1.611 kN
1.239 m
l2 1.625 kN
smax =
FS 图
M│max = 7.05 MPa ＜ [s ]
Wz
FS│max = 2.289 kN
Iz =
bh3 12
= 864 cm4
2.289 kN
F CD
F
ll
1 3
Fl
mA = 0
B
z
FB y
Fy = 0
FB =
1 3
F
FA = 13F
I 20 a
查表 : 导学篇 附录B-3 P380中 I 20a
Wz = 236.9 cm3
1 Fl 3
M│max
M图=1 3 NhomakorabeaFl
smax =
M│max Wz
F ≤ kN
≤ [s ]
则 [ F ]= 57 kN
M│max = 20 kN·m
smax =
M│max Wz
工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
第 11 章 弯曲应力
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
弯曲应力计算公式圆柱
弯曲应力计算公式圆柱在工程力学中，弯曲应力是指在受力作用下，材料内部产生的应力状态。
在工程设计和结构分析中，对于圆柱体的弯曲应力计算是非常重要的。
本文将介绍圆柱体的弯曲应力计算公式，并对其进行详细解析。
首先，我们来看一下圆柱体的弯曲应力计算公式。
对于圆柱体的弯曲应力，其计算公式为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为圆柱体在受力作用下的弯曲应力，M为作用力矩，c为圆柱体截面内部的距离，I为截面惯性矩。
在这个公式中，作用力矩M是指作用在圆柱体上的力矩，它是由外部作用力和圆柱体自身的惯性力共同作用而产生的。
圆柱体截面内部的距离c是指作用力矩M的作用点到截面内部某一点的距离。
而截面惯性矩I则是描述了圆柱体截面形状和大小对于其抗弯刚度的影响。
接下来，我们将对圆柱体弯曲应力计算公式进行详细解析。
首先，我们来看一下作用力矩M。
作用力矩M是由外部作用力和圆柱体自身的惯性力共同作用而产生的。
在实际工程中，作用力矩可以通过外部作用力乘以作用点到圆柱体重心的距离来计算。
作用力矩的大小和方向对于圆柱体的弯曲应力具有重要影响。
其次，我们来看一下截面内部的距离c。
对于圆柱体截面内部的距离c，它是指作用力矩M的作用点到截面内部某一点的距离。
在实际计算中，我们需要根据具体的受力情况来确定截面内部的距离c。
通常情况下，我们可以通过几何分析或者实验测量来确定截面内部的距离c。
最后，我们来看一下截面惯性矩I。
截面惯性矩I描述了圆柱体截面形状和大小对于其抗弯刚度的影响。
在实际计算中，我们可以通过几何分析或者使用相关的公式来计算圆柱体截面的惯性矩。
在工程设计和结构分析中，截面惯性矩是一个非常重要的参数，它直接影响着圆柱体的弯曲应力大小。
综上所述，圆柱体的弯曲应力计算公式是一个非常重要的工程力学公式。
通过对该公式的详细解析，我们可以更好地理解圆柱体在受力作用下的弯曲应力状态，并且可以在工程设计和结构分析中更好地应用该公式。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
变形后，横截面仍为平面，且仍与纵线正交。
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
工程力学弯曲应力PPT资料94页
ycmax yt max
M
z
σ tm ax y
σtmax Mytmax Iz
σcmax Mycmax Iz
3.横力弯曲时梁横截面上的正应力
平面假设不再成立
当：L 5
h
纯弯曲的正应力计算公式 计算横力弯曲梁横截面上的正应力
误差不超过1%。
My
IZ
Mxy
IZ
总结
假设 平面假设，单向受力假设
空心圆截面
z
z
y
y
WIz πd4/64 πd3 d/2 d/2 32
WIz b3 h/12b2 h h/2 h/2 6
WπD3(14)
32
αd D
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
Wz
Iz ymax
分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax 和 ytmax 直接代入公式
σcmax
σ My Iz
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲 对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的纵向坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度
中性层 受拉区
受压区 中性轴
纵向纤维既不伸长也不缩短的层—中性层 中性层与横截面的交线—中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴 ❖横截面间绕中性轴相对转动
拉压、扭转时横截面上应力分析过程
变形
平面假定
应变分布
物理关系
第11章材料力学弯曲应力练习题
mpa132804012301010118图示简支粱由no28工字钢制成在集度为q的均布载荷作用下测得横截面c底边的纵向正应变30104试计算梁内的最大弯曲正应力已知钢的弹性模量e200gpaa1m
11—5（a） 试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
解： （1）确定形心轴位置
yC A2 C 60 Wz 4Wz
可得：
60 4Wz q 240Wz 2 a
1 2 qa 4
3、计算梁内最大弯曲正应力； 由弯矩图得：
M max 9 qa 2 32
1 2 qa 4
所以梁内最大弯曲正应力：
max
M max 9 240Wz 67.5MPa Wz 32Wz
FN 12103 2、计算应力； N MPa A 5 (40 x)
M
M 6 103 x MPa W 1 5 (40 x) 2 6
3、根据强度条件；
N M
12 103 6 103 x 100 5 (40 x) 1 5 (40 x) 2 6
2、计算最大弯曲正应力； 最大弯矩在固定端。；
M max 7.5 103 103 6 max 176MPa 2 Wz 40 80
3、计算固定端k点处弯曲正应力；
M max yk 7.5 103 103 3012 k 132MPa 3 Iz 40 80
结论:
c=146.9mm
3
A截面的强度足够。
11—17 外伸梁承受载荷F作用，已知载荷F=20 kN，许用应力[σ]＝160 MPa，许用切应力[τ] ＝90 MPa，试选择工字钢型号。
解： 1、绘制剪力图、弯矩图；
11—5（a） 试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
解： （1）确定形心轴位置
yC A2 C 60 Wz 4Wz
可得：
60 4Wz q 240Wz 2 a
1 2 qa 4
3、计算梁内最大弯曲正应力； 由弯矩图得：
M max 9 qa 2 32
1 2 qa 4
所以梁内最大弯曲正应力：
max
M max 9 240Wz 67.5MPa Wz 32Wz
FN 12103 2、计算应力； N MPa A 5 (40 x)
M
M 6 103 x MPa W 1 5 (40 x) 2 6
3、根据强度条件；
N M
12 103 6 103 x 100 5 (40 x) 1 5 (40 x) 2 6
2、计算最大弯曲正应力； 最大弯矩在固定端。；
M max 7.5 103 103 6 max 176MPa 2 Wz 40 80
3、计算固定端k点处弯曲正应力；
M max yk 7.5 103 103 3012 k 132MPa 3 Iz 40 80
结论:
c=146.9mm
3
A截面的强度足够。
11—17 外伸梁承受载荷F作用，已知载荷F=20 kN，许用应力[σ]＝160 MPa，许用切应力[τ] ＝90 MPa，试选择工字钢型号。
解： 1、绘制剪力图、弯矩图；
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解：确定形心轴的位置，坐标系如图
zC
Ai zi (0.14 0.02) 0.08 (0.1 0.02) 0
Ai
(0.14 0.02) (0.1 0.02)
0.0467m
截面对形心轴yC的惯性矩
I yC I yC1 I yC 2 [ 1 0.02 0.143 (0.08 0.0467)2 0.02 0.14] 12 [ 1 0.1 0.023 0.04672 0.02 0.1] 12 12.12106m4
A1
A2
An
Iz1 Iz2 Izn
截面对轴的惯性矩等于该截面各部分对同一轴 的惯性矩之和。
n
I y I yi i 1
n
Iz Izi i 1
·型钢截面 可以查阅有关工程手册（型钢表）得到。
四、平行移轴定理
I y
z 2dA
A
A (zC a)2dA
A zC2dA 2a A zCdA a2
⑶ 对于等直梁，当中性轴为截面对称轴时，危险截面在 M 处； max
当中性轴不为截面对称轴时，危险截面在
M max
/
M max
处（两个截面）。
例：图示圆截面轴AD，中段BC承受均布载荷q = 10kN/m作 用，材料许用应力[σ]=140MPa。试确定轴径。
解：⑴ 确定支座约束力，作弯矩图 FAy FDy 7kN
zC
A
A
注意：截面对某轴的静矩为零，则该轴过截面形心；反之
，轴过截面形心，则截面对该轴的静矩为零。所以截面对形
心轴的静矩恒等于零。
二、惯性积
截面对y、z轴的惯性积
I yz
yzdA
A
若y、z轴中有一轴为截面的 对称轴，则 Iyz = 0
主惯性轴：Iyz＝0的一对y、z轴。 形心主（惯性）轴：Iyz＝0且都过形心
80 203 12
422 80 20
20 1203 12
282 20120
7630000mm4
C截面应 力分布图
B截面应 力分布图
⑶ 强度校核
最大拉应力校核，B截面上边缘和C截面下边缘可能是最大拉应 力发生位置
B截面
tmax
MB y1 I zc
4103 52103 7630000 1012
上述公式适用于任何截面形式的梁发生平面弯曲的情形。
M y
Iz
M 0 : y 0, 0 y 0, 0
M 0 : y 0, 0 y 0, 0
梁弯曲变形凸出一侧为拉应力 凹入一侧为压应力
二、横力弯曲时的正应力 Fs 0 弯曲平面假设不成立
Q M M (x), 1 M (x)
(x) EI
M y 应用时肯定有误差，但误差在允许范围内。
Iz 特别是对于细长梁，误差更小。
横力弯曲时正应力计算公式：
M y
Iz
三、最大弯曲正应力
同一横截面上距离中性轴最远处正应力最大。
抗弯截面系数
max
M Iz
ymax
Wz
Iz ymax
max
M Wz
·矩形截面 ·实心圆截面
Wz
bh2 6
Wz
d3
32
d2
3
32 M 2
3
32 4.55103
140106
0.018m
例：T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。铸铁的抗拉 许用应力为[σ t] = 30MPa，抗压许用应力为[σ c] = 160MPa，试 校核梁的强度。
解：⑴ 求支座约束力，作弯矩图
MA(F) 0 :
91 FBy 2 4 3 0
a»'b' ( y)d
纤维纵向线应变为
a»b ab ( y)d d y
ab
d
变形规律：
y
2.物理关系
P时
y
E
E y
公式中中性层的曲率半径ρ
未知，其与内力、材料、截面 的尺寸、形状有关。
横截面上正应力分布规律图
3.静力关系
(1) Fx 0 :
A dA 0
E ydA E
解：钢带的变形状态同弯曲，其轴线的曲率半径
D
1.4 2103
0.701m
22 2
2
横截面离中性轴最远距离
ymax
2
2 103 2
1.0103 m
max
E
ymax
200 109 1 103 0.701
285MPa
1M
EIz
M
EI z
200 109 6 23 1012
1.414N m
的一对y、z轴
三、惯性矩
1.截面对轴的惯性矩
截面对z轴的惯性矩
Iz
y2dA
A
截面对y轴的惯性矩
I y
z 2dA
A
惯性矩与极惯性矩的关系
IP
2dA
A
(z2
A
y2 )dA
Iy
Iz
2.惯性半径
I y Aiy2 , Iz Aiz2
iy
Iy A
, iz
Iz A
i , i y z 分别称为图形对y、z轴的惯性半径。
y、z轴为截面的形心主惯性轴.
(3)
Mz (F) 0 : A dA y M
E ydA y E
A
A
y2dA
E
Iz
M
1 M
EIz
抗弯刚度：截面抵抗 弯曲变形的能力
纯弯曲时正应力计算公式
E y
1M
EIz
横截面上的弯矩 所求应力的点 距中性轴的垂直 距离
M y
Iz
横截面对于中性轴的惯性矩
§11-3 对称弯曲正应力
一、纯弯曲时的正应力
1.变形几何关系 在梁的纵向对称面内作用一对等值反向的力偶，梁 处于纯弯曲状态。
实验现象 (1)纵向线由直线变成曲线，且ab伸长、cd缩短。 (2)横向线仍为直线，且仍垂直于变形后的轴线，但相对 其原方位有一微小的偏转。
平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形
最大切应力在中性轴上
最小切应力在腹板与翼缘 的交界处
FS Sz*
Iz
FS
8Iz
[b(h02 h2 ) (h2 4 y2 )]
max
FS
S* z max
Iz
FS
8Iz
[bh02
(b )h2 ]
min
FS
8Iz
[bh02
bh2 ]
腹板厚度 远小于翼缘宽度 b 时， b -， ≈ b
A* 右dA
M dM
M dM
A*
Iz
y1dA
Iz
A* y1dA
(M
dM
)
S
* z
Iz
顶面有切向力 dFS' 'bdx
Fx 0, FN2 FN1 dFS 0
dFS
FN2
FN1
Sz*dM Iz
'bdx
dM Sz* FS Sz*
dx bIz bIz
由切应力互等定理 FS Sz*
3.常见截面对形心主轴惯性矩的计算
·矩形截面
（矩形截面高h ，宽b ，z轴过截面形心平行矩形底边）
Iz
y2dA
A
h
2 h
2
y 2 (bdy )
bh3 12
bh3 Iz 12
类似地：
hb3 I y 12
·圆形截面
dy
（直径为d ，y、z轴过圆心）
y
y2 z2 R2
dA 2zdy 2 R2 y2dy
后的轴线，但绕截面的某一轴旋转一个小角度。
中性层：在弯曲变形时梁中既 不伸长也不缩短的一层 纤维
中性轴：中性层与横截面的交线。
由于载荷作用于纵向对称面 内，故中性轴z与横截面对称轴y 垂直。
变形规律
设中性层的曲率半径为
距离中性层为y处的纤维ab变形前长度 ab dx O1O2 d
距离中性层为y处的纤维ab变形后长度
Iz
y2dA 2 R y2
A
R
R2 y2 dy R4 d 4
4 64
类似地：
Iy
Iz
d4
64
·圆环截面 （内径为d ，外径为D ，y、z轴过圆心）
Iz
Iy
(D4 64
d4)
D4
64
(1 4 )
( d )
D
·组合截面
Iz
y2dA
A
y2dA
A1+A2++An
y2dA y2dA y2dA
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
·横力弯曲
第十一章 弯曲应力 §11-1 引言
12 0.701
§11-4 对称弯曲切应力
一、矩形截面梁的弯曲切应力
假设 (1)横截面上各点切应力方向平行于剪力. (2)切应力沿截面宽度均匀分布。
(y)
左右两个 面上由正应力 引起的轴力：
FN1
A* 左dA
M
M
A* Iz y1dA Iz
A*
y1dA
MSz* Iz
FN2
Fs 0, M M (x)
梁横截面上既有正应力又有切应力。
·纯弯曲
Fs 0, M 常数
梁横截面上只有正应力无切应力。