实数与数轴3
中考复习 数与式 知识点+例题+练习(分类全面)
4．2的相反数是（）A．2B．22C．-2D．-225．-3的相反数是；-3的倒数是。
6．-2018的绝对值是．7．实数-8的立方根是．考点三：实数与数轴。
例5 实数a在数轴上的位置如图所示，则|a-2.5|=（）A．a-2.5 B．2.5-a C．a+2.5 D．-a-2.5对应训练8．如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＞|b| C．-a＜b D．a+b＜0考点四：科学记数法。
例6 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克=1000毫克，那么0.000037毫克可用科学记数法表示为（）A．3.7×10-5克B．3.7×10-6克C．37×10-7克D．3.7×10-8克对应训练9．2017年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达4%的目标，其中在促进义务教育均衡方面，安排农村义务教育经费保障机制改革资金达865.4亿元，数据“865.4亿元”用科学记数法可表示为（）元．A．865×108B．8.65×109C．8.65×1010D．0.865×101110．2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（）A．1.2×10-9米B．1.2×10-8米C．12×10-8米D．1.2×10-7米考点五：非负数的性质例7 若a，b为实数，且|a+1|+1b-=0，则（ab）2013的值是（）A．0 B．1 C．-1 D．±1对应训练11．已知实数x，y，m满足2x++|3x+y+m|=0，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＜6 C．m＞-6 D．m＜-6二、 实数的运算【重点考点例析】考点一：实数的大小比较。
数轴的概念和三要素
数轴的概念和三要素
数轴是一个直线，用来表示实数的大小和相对位置。
它是由无数个等距的小线段组成的，每个小线段的长度都是相等的，并被标记上数字或符号。
数轴是数学中重要的工具之一，可用于辅助解决各种数学问题。
数轴有三个要素：原点、方向和单位长度。
1. 原点
数轴上的原点是一个特殊的点，它代表0这个数。
通常，数轴的中央是原点，它位于
左侧和右侧的正数和负数之间。
原点是数轴分成两个部分的分界点，也是数轴上反转方向
时的转折点。
2. 方向
在数轴上，正方向和负方向相互对立。
正方向是向右的，负方向是向左的。
在数轴上，从原点向右移动是增大，向左移动是减小。
正方向和负方向的概念也适用于其他指标，例
如时间、速度和加速度等。
3. 单位长度
单位长度是指数轴上相邻两个整数之间的距离，通常是1。
例如，从2到3的距离为1，因此单位长度为1。
当然，也可以将单位长度设置为其他值，例如0.1或10。
但是，在大
多数情况下，使用1作为单位长度更容易。
实数与数轴
数轴 判断 实数 大 小的送 分题 ． 先根 首
相反数 ． 在数 轴上 ，表示互 为相 反数
的 两个 点 ，Байду номын сангаас于原 点 的两 侧 ． 且 与 位 并
据数 轴 可 以看 出 一 ，所 以川＞ ， １ １ 最
后 可 知 １— ＜ｎ
ａ ０ ｂ
原点距离相等． ④数轴上两个点表示
３ ２ １ 湖 南 益 阳 ） 列 计 算 正 ．（０ ０ 下
确 的是 （ ）
Ａ．３＝ ｏｏ
圈 １ ． 臣 蕊 墨 本小题中Ｉ ２和 ｘ Ｉ ＋
是我 们常见 的绝对值 和算 术平 方 根 的 两 种 非 负 数 形 式 ，这 里 有
又考查数 学思想 方法．
１ ２ １浙 江 金 华 ） 图 １ 示 ， ．（０ ０ 如 所 若Ａ是实数。 在数轴 上对 应的点 ，则关 于ａ 一 ， 的大 小 关 系表 示 正 确 的是 ，ａ １
Ｄ．－ ＜ ＜ ａａ １
（ 非负）所以、 可＝． ， ／ ３
４ （０ ０ ２ １ 湖南长 沙 ） 实数 ａｂ 数 、在
个点来 表示． 如果 两个 数 只有 符号 ③
不 同 ． 么我们 称 其 中一个 数为 另外 那
一
个 数 的相反数 ， 也称 这两 个数 互为
田 Ａ ． 轴上的位置如图２ 所示 ， ｌＩｌ｝ 则 ａ、ｂ的 髻 圈 墨 这是一道考查根据 大小 关系是
Ｃ．± ２
绝对值是０ ③两个负数比较大小 ， ． 绝
对值 大的反而 小．
Ｄ． 、 ± ／２
的绝对 值 ，所 以通过数 轴 容 易看 出ａ
到 原 点 的距 离 大于ｂ 原 点 的 距 离 ． 到
初中数学知识归纳数的分类与数轴
初中数学知识归纳数的分类与数轴数学是一门抽象而又实用的学科，而数学中的数的分类与数轴则是我们初中数学中的重要内容之一。
本文将对初中数学中涉及数的分类与数轴的知识进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用相关知识。
一、自然数、整数和有理数的分类1. 自然数：自然数是人类最早发现和使用的数，它包括1、2、3、4……等数，用符号N表示。
自然数主要用于计量和计数，是我们日常生活中最常用的数。
2. 整数：整数是比自然数更广泛的数集，它包括正整数、负整数和0。
用符号Z表示。
整数能够描述比自然数更全面的数值情况，既可用于计数，也可用于表示差额、欠债等。
3. 有理数：有理数是指能够表示为两个整数之比的数，它包括所有能够表示为分数形式的数。
用符号Q表示。
有理数包括正有理数、负有理数和0，是整数的延伸，可以准确地描述分数、百分数等。
二、实数与数轴1. 实数：实数是包含有理数和无理数的数集，用符号R表示。
实数是数学中最完备的数系，能够描述任何实际问题中的数值情况。
2. 数轴：数轴是利用直线上的点与实数建立对应关系的一种图示方法。
数轴上的每一点都与一个实数一一对应，数轴上的正方向表示正实数，负方向表示负实数，而原点表示0。
数轴可以帮助我们直观地理解实数的大小关系，进行比较和计算。
三、小数、百分数和比例1. 小数：小数是指分数的分母是10的整数倍的分数，在十进制数中，它是整数和分数的结合形式。
小数以小数点为分隔符来表示整数部分和小数部分，并有限或无限循环两种形式。
2. 百分数：百分数是指以100为基准的分数形式，用百分号(%)表示。
百分数可以转化为小数或分数形式，常用于表示比例关系、增减幅度等。
3. 比例：比例是指两个或多个数之间的等比关系，用两个数的比或两个数的比值来表示。
比例在实际问题中常用于表示同类事物的数量关系，如长度比例、面积比例等。
综上所述，数学中的数的分类与数轴是初中数学中的重要知识内容。
自然数、整数和有理数是数的分类中的重要概念，能够描述我们日常生活中的计量和计数情况。
第1讲 实数的概念和运算
(2)将-0.0003054用科学记数法可表示为：-3.05410-4 .
知 识 点 分 析
（四 ）平方根与立方根
a ，这两个平方根 1.正数a有两个平方根记为： a 和 互为相反数 ；0的平方根是 0 ，负数 没有平方根 .
a
叫做a的算数平方根，0的算数平方根是
3a
0
.Hale Waihona Puke 2. a的立方根2 a 3.
知 识 点 分 析
（二 ）实数的有关概念
1.数轴的三要素： 原点
、 正方向 和
单位长度 .
2. 实数 与数轴上的点一一对应. 3.相反数：只有 符号 不同的两个数，我们称其中一个数是另 一个数的相反数，也称 这两个数互为相反数 .在数轴上，互 为相反数的两个数所对应的点在 原点 的两侧，且到 原点 的 距离相等. a的相反数是
.
0 ；
a a 0
0 ; a
0
例4.（1） ９ 的平方根是 3 （2） ３ （3）
－８ ＝ -2
３－２ ＝ 2- 3
２
知 识 点 分 析
（五 ）实数的运算
1.实数的运算顺序： 先乘方、开方，再算 乘 除 ，最后算 加 减，同级运算 按 从左到右 的顺序进行；有括号的先算 括 号 里 面 的. 2.
a0 = 1
(a≠0)
3. a-p=
1 a p (a ≠0,p为整数)
负数 ，
4.正数的任何次幂都为 正数 ；负数的奇次幂为 偶次幂为 . 正数 5.若几个非负数的和为0，则这几个非负数
同 时 为 0 .
若 a b2 c 0, 则 a =0，b2 =0 ，c =0
知 识 点 分 析
第1讲实数的概念
D.实数。 实数。 实数 （ A）
C. 3
−2
=9
1 3 1 D. ( − ) = 2 8
5、计算－ 1+2 的结果是 、计算－ 的结果是 A. －3 B.-1 C.1
（ C ） D. 3 年江苏南京） （2007年江苏南京） 年江苏南京
6、（2007湖南长沙）如图，点A,B在数轴上 对应的实数分别为m、n，则A,B间的距离 是 n-m ．（用含m、n的式子表示） A B m 0 n
如图，a 如图，
d
b
e
c
，， d e ，其中 a b ， c 是三个连续偶数 (a<b)，， 是两
个连续奇数
(d <e)
a+b+c=d+e ，例如 25 4 7 6 且满足
．请你在0到20之间 选择另一组符号条件的数填入下图： 请你在 到 之间 选择另一组符号条件的数填入下图：
典型例题解析
、（1） 例1、（ ） − 3 的倒数是 1/3 、（ ； （2） 3 －2的绝对值是 2 － 3 ） 的绝对值是 ； （3）若 x = 1, y = 2 ，且xy>0，x+y= ） ，
−1
° 整数集合：{ 3 − 27 ;tan45°; － 3 }； 整数集合： }； 3-1；3.14；227;sin30°；｜ ｜；-0.32·1· ； ； °；｜-3.2｜； ｜； 分数集合： }； 分数集合：{ } ； ； ； ° ° ｜ ｜ 有理数集合： 3-1；3-27；3.14；227；sin30°；tan45°-3;-0.321;｜-3.2｜ ； 有理数集合： 无理数集合： }。 无理数集合：{ 8 ;-π；0.100110001… }。
D．−3 ．
12.5 用数轴上的点表示实数
第十二章 实数第三节 实数的运算§12.5 用数轴上的点表示实数教学目标理解每一个实数都可以用数轴上一个点来表示，知道数轴上的每一个点也都可以用唯一的一个实数来表示，能将一个实数用数轴上大致位置的点表示出来。
知道两数各自对应的点在数轴上的位置与这两个数大小之间的关系；知道数的范围扩充后，有理数范围内已有的绝对值、相反数等有关概念，在实数范围内依然成立，会求实数的绝对值、相反数，会对实数的大小进行比较；会根据数轴上两点所对应的实数求这两点间的距离。
知识精要1.实数与数轴的关系：数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.2.绝对值与相反数：一个在实数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
实数a 的绝对值记作a .一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝对值可表示为⎩⎨⎧<-≥=时。
当时；当0,0,a a a a a 就是说实数a 的绝对值是一个非负数，即0≥a ，并且有若a x =(0≥a )，则a x ±=.绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零。
非零实数a 的相反数是a -. 在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且到原点的距离相等。
具体地，若a 与b 互为相反数，则0=+b a ；反之，若0=+b a ，则a 与b 互为相反数.有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。
3.实数大小比较：负数小于零；零小于正数.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.4.数轴上两点距离公式：在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为b a 、，那么A 、B 两点的距离为b a -.经典题型精讲(一)数轴上的点与实数例1.如图，数轴上表示21、对应的点分别为B A ,，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是( )A .12-B .21-C .22-D .22-举一反三：在数轴上分别标出35-、5所对应的点的大致位置。
第1讲 实 数
8 ．光年是天文学中的距离单位， 1 光年大约是 9 500 000 000 000 km，这个数据用科学记数法表示是 ( B ) A．0.95×1013 km C．95×10 km
11
B．9.5×1012 km D．9.5×10 km
13
解析：9 500 000 000 000 是 13 位整数，故用科学 记数法表示时，a＝9.5，n＝12， 即 9 500 000 000 000＝9.5×10 .故选 B.
20．(2014· 鄂州) 4的算术平方根为
2
.
解析： 4＝2，故 4的算术平方根为 2.
355 3 π 21．实数 ， 7，－8， 8， 36， 中的无理数 113 3 是 .
355 解析： 是分数，它是有理数； 7是开方开不尽 113 的数，它是无理数；－8 是负整数，它是有理数； 8＝ π 2，它是有理数； 36＝6，它是整数，不是无理数； 是 3 圆周率的三分之一，仍然是无限不循环小数，它是无 π 理数．所以无理数有 7， . 3 答案： π 7， 3
4．绝对值 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做 数a的绝对值，记作|a|. 一个正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负
数的绝对值是它的相反数，即|a|＝0 a＝0， －a a＜0.
a
a＞0，
温馨提示： 1.绝对值是a a＞0的数有两个，它们互为相反 数，即± a. 2.绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若 |a|＝|b|，则a＝b或a＋b＝0. 3.任意实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
3
3
温馨提示： 1.在应用 x2＝a 时，一定不要忘记 a≥0. 2.平方根包含算术平方根， 算术平方根是平方根中 的一个，只有非负数才有平方根和算术平方根. 3.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， 0 的立方根是 0. 4.平方根等于它本身的数是 0，算术平方根等于它 本身的数是 0 和 1，立方根等于它本身的数是 0 和± 1.
中考数学复习：实数的分类和概念
中考数学复习:实数的分类和概念中考数学复习:实数的分类和概念，以下是店铺为大家编辑的数学学习方法文章，欢迎大家阅读!2019年中考数学复习:实数中的几个概念实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
(1)实数a的相反数是-a;(2)a和b互为相反数a+b=0。
2、倒数：(1)实数a(a≠0)的倒数是1/a;(2)a和b 互为倒数;(3)注意0没有倒数。
3、绝对值：(1)一个数a 的绝对值有以下三种情况：(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
(3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、负)确认，再去掉绝对值符号。
4、n次方根(1)平方根，算术平方根：设a≥0，称叫a的平方根，叫a的算术平方根。
(2)正数的平方根有两个，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
(3)立方根：叫实数a的立方根。
(4)一个正数有一个正的立方根;0的立方根是0;一个负数有一个负的立方根。
命题点2 相反数、绝对值、倒数1. (2016盐城1题3分)-5的相反数是 ()A. -5B. 5C. -1/5D.1/5【解析】B相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
(1)实数a的相反数是-a;(2)a和b互为相反数a+b=0。
2. (2015泰州1题3分)-1/3的绝对值是 ()A. -3B. 1/3C. -1/3D. 3【解析】B由可知，-1/3 <0，所以-1/3 的绝对值是-(-1/3 )=1/3。
3. (2016苏州1题3分)2/3 的倒数是()A. 3/2B. -3/2C. 2/3D. -2/3【解析】A倒数：(1)实数a(a≠0)的倒数是;(2)a和b 互为倒数;(3)注意0没有倒数。
4. (2016扬州1题3分)与-2的乘积为1的数是()A. 2B. -2C. 1/2D. -1/2【解析】D倒数：(1)实数a(a≠0)的倒数是;(2)a和b 互为倒数;(3)注意0没有倒数。
6.3 实数的概念、分类及实数与数轴含答案
七年级数学下实数的概念和分类及实数与数轴一、选择题1. 下列各数中,是无理数的是 (D ) A.3.1415B.√4C.227 D.√6分析：无理数的三种形式：开方开不尽的数，圆周率π及一些含π的数，特殊构造的数； 注意:带根号的数不一定是无理数。
2.下列说法错误的是(D )A.π2是无理数 B.√4是有理数 C.√-273是有理数 D.√22是分数 3.下列说法正确的是(C )A.一个数不是有限小数就是无理数B.带根号的数都是无理数C.无理数一定是无限小数D.所有无限小数都是无理数 4.下列说法中,正确的是 (C )A.无理数包括正无理数、零和负无理数B.无限小数都是无理数C.正实数包括正有理数和正无理数D.实数可以分为正实数和负实数两类 5. -√5的相反数是 (D ) A.-√5 B.-√55 C.±√5 D.√56. -|-√2|的值为 (B ) A.√2B.-√2C.±√2D.27. 下列各数中,与-√3互为倒数的为 (D ) A.√3B.-√3C.√3 D.-√38.如果实数a=√14,那么a 在数轴上对应点的位置是图1中的 (D )图1二、填空题9.已知a,b 为两个连续的整数,且a<√13<b,则a+b= 7 .10.有一个数值转换器,原理如下:当输入的x=81时,输出的y= √3 .图111.若实数√x -32是一个有理数,则满足条件的x 的最小正整数是 4 . 若实数√x -13是一个有理数,则满足条件的x 的最大负整数是 -5 . 12.在数轴上表示-√67的点到原点的距离为√67 .13.如图2所示,某位老师在讲“实数”时,画了一个图,即“以数轴上的单位长度为边作一个正方形,然后以原点为圆心,正方形的对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于一点A”,作这样的图是用来说明: 实数与数轴上的点一一对应 .图214.已知a 的绝对值是√2020,b 的倒数是√2020,则ab= ±1 . 15.将下列实数填在相应的括号内:0,-√3,3.1415926,0.3·4·,√(-5)2,π,-√-203,-137,√13,0.7171171117…(两个7之间依次增加一个1).(1)有理数:{ 0,3.1415926,0.3·4·,√(-5)2,-137 ,… };(2)无理数:{ -√3,π,-√-203,√13,0.7171171117…(两个7之间依次增加一个1) ,… }; (3)正实数:{ 3.1415926,0.3·4·,√(-5)2,π,-√-203,√13,0.7171171117…(两个7之间依次增加一个1) }; (4)负实数:{ -√3,-137,… }. 三、解答题16.把下列各数写成分数的形式:(1) 0.5; (2) 0.53; (3) 0.43; (4) 0.3213解:(1) 0.5= 59.设x =0.5，∴10x =5+ 0.5，∴10x =5+x ，∴ 9x =5，∴ x =59；(2) 0.53=5399.设x = 0.53，∴100x =53+ 0.53，∴100x =53+x ，∴ 99x =53，∴ x =5399；(3) 0.43=43-490=1330.设x =0.43，∴100x =43+ 0.3，10x =4+ 0.3，∴ 90x =43+ 0.3−4− 0.3，∴90 x =43−4，∴ x =3990(4) 0.3213=3213-329900=31819900.设x =0.3213，∴10000x =3213+ 0.13，100x =32+ 0.13，∴ 9900x =3213+ 0.13−32− 0.13，∴9900 x =3213−32，∴ x =3181990017.如图2,正方形网格的单位长度为1. (1)求出格点正方形ABCD 的面积和边长;(2)线段AB 的长是一个 (填“有理数”或“无理数”). 分析：先利用割补法求面积，再利用平方根求出其边长.解:(1)格点正方形ABCD 的面积=4×4-12×1×3×4=10,所以其边长为√10. (2)√10是一个无理数,故答案为无理数.18.如图,一只蚂蚁从点A 出发沿数轴向右直爬3个单位长度到达点B,点A 表示-√2,设点B 所表示的数为m,求m 的值. 数轴上向右移动加，向做移动减. 解:由题意,得m=3-√2.19.写出下列各数的相反数和绝对值.(1)√3(2)√3-2; (3)0.314-π10; (4)√9-√93. 解:(1)因为√-0.1253=-0.5,所以√-0.1253的相反数是0.5, |√-0.1253|=|-0.5|=0.5. (2)√3-2的相反数是2-√3. 因为√3-2<0,所以|√3-2|=2-√3. (3)0.314-π10的相反数是π10-0.314. 因为0.314-π10<0, 所以|0.314-π10|=π10-0.314. (4)√9-√93的相反数是√93-3.因为√9-√93=3-√93>0,所以|√9-√93|=3-√93.20.若实数a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,求√2a +2b +√8cd 3的值. 解:由已知条件知,a+b=0,cd=1,则 √2a +2b +√8cd 3=√√8cd 3 =0+2=2.21.如图4所示,数轴的正半轴上有A,B,C 三点,表示1和√2的点分别为A,B,点B 到点A 的距离与点C 到点O 的距离相等,设点C 所表示的数为x.(1)请你写出数x 的值; (2)求(x-√2)2的立方根.图4解:(1)因为点A,B 分别表示1,√2,所以AB=√2-1,即x=√2-1.(2)因为x=√2-1,所以(x-√2)2=(√2-1-√2)2=1,所以1的立方根为1.22.先阅读材料,再回答问题.因为2+1=√2,且1<√2<2,所以√12+1的整数部分是1;小数部分是√2−1；因为√22+2=√6,且2<√6<3,所以√22+2的整数部分是2;小数部分是√6−2；因为√32+3=√12,且3<√12<4,所以√32+3的整数部分是3；小数部分是√12−3；以此类推,我们会发现2+n(n为正整数)的整数部分是, 小数部分是；并说明理由.[提示:n2+n=n(n+1)]解:n，√n2+n−n理由:因为n2+n=n(n+1),而n2<n(n+1)<(n+1)2,所以2<√n(n+1)<√(n+1)2,所以n<√n(n+1)<n+1,所以2+n的整数部分是n(n为正整数)；小数部分是√n2+n−n。
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重庆市北碚田家炳中学七年级数学导学案
12章
课题: 12.2实数与数轴 课型:预习+展示 主备人:刘俊洁 审核人：吕中琴 孔滔
班级： 学生姓名 ： 小组名： 学案编号：
本周训练主题：（ ）
【学习目标】
1. 能够估算无理数的大小，并能比较两个无理数的大小。
2. 了解实数的意义，并能对实数进行分类。
3. 能够进行实数的简单的四则运算。
【重点难点】
1．能够估算无理数的大小，并能比较两个无理数的大小。
2．能够进行实数的简单的四则运算。
【知识链接】
1． 请画出一条数轴，并在数轴上标出4个有理数。
2．回想一下有理数的分类。
【学习过程】
一．阅读教材，并完成书上相对应的内容。
二．根据预习，完成下面的填空。
1．无理数的定义：__________________________叫无理数；写出三个无理数______________。
2．实数的定义：___________________________叫实数。
3．根据实数的定义，对实数进行分类。
4．根据正负数，对实数进行分类。
5．实数与数轴的关系是___________________。
三．做一做。
1．指出下列哪些数是无理数。
2.把下列各数写在相对应的括号内。
整数【 】
分数【 】
2
正数【 】
负数【 】
有理数【 】
无理数【 】
3.比较大小：3______；32_____； 27______72
4．化简：1323=___________。
【达标检测】
一．选择题。
二．化简：324323