高中数学《余弦定理》教案北师大版必修

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高中数学必修五北师大版余弦定理学案

1．1.2余弦定理学习目标1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一已知两边及其中一边的对角解三角形思考在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，可以先用正弦定理b＝c求出sinsinBsinC3C＝2.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？答案能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cosB，代入后得到关于a 的一元二次方程，解此方程即可．梳理已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：a 设在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理sinA ＝bsinB，可求得sin B＝bsin Aa(1) 当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；(2) 当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；(3) 当A为锐角时，如图，以点C 为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：①当a<CD 时，无解；②当a＝CD 时，一解；③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此时B的值有两个．④当a≥ b 时，一解．(4) 如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．知识点二判断三角形的形状思考1三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判断？答案不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cosC 的正负．而判断边或角是否相等则.. 一目了然，不需多说．思考2△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B.则A ，B 一定相等吗？答案∵A ，B ∈(0，π)，∴2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B 或 2A ＝π－ 2B ，即 A ＝B 或 A ＋B ＝π2梳理判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．知识点三证明三角形中的恒等式思考前面我们用正弦定理化简过acosB ＝bcosA ，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？答案由余弦定理得aa ＝b.a 2＋c 2－b 2 2ac ＝b b 2＋c 2－a 22bc，去分母得a 2＋c 2－b 2＝b 2＋c 2－a 2，化简得梳理证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．类型一利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形例1已知在△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求c.解由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得 72＝82＋ c 2－ 2× 8×ccos 60°，整理得 c 2－ 8c ＋ 15＝0，解得 c ＝3 或 c ＝5.引申探究例1条件不变，用正弦定理求c.解由正弦定理，得a ＝c ＝b sinAsinCsinB＝7＝143 sin60°3，∴sinA ＝a＝43，14373∴cosA ＝±1－sin 2A ＝±1－437 21 ＝±. 7∴sinC ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)33 ＝sin Acos B ＋cos Asin B＝431 13 7·2±7·2 ，∴sinC ＝53或sinC ＝33.14 当 sinC ＝53 14 当 sinC ＝33 1414c＝143·sinC ＝5；c ＝143·sinC ＝3. 反思与感悟相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个．跟踪训练1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若Aπa ＝3，b ＝1，则c 等于()A ．1B ．2 C. 3－1 D. 3 答案 B解析由余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ，＝3， ∴1＝ 1＋c 2－3 ，∴c 2－2＝c ，22×1×c∴c ＝2 或 c ＝－1(舍)．类型二利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2在△ABC 中，有(1) a ＝bcosC ＋ccosB ；(2) b ＝ccos A ＋acosC ；(3) c ＝acosB ＋bcosA ，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明方法一(1) 由正弦定理，得b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，∴bcos C ＋ccos B ＝2Rsin Bcos C ＋2Rsin Ccos B＝2R(sin Bcos C ＋cos Bsin C)＝2Rsin(B ＋C)＝2Rsin A ＝a.即 a ＝bcos C ＋ ccos B.同理可证 (2)b ＝ccos A ＋ acos C ；时，时，(3)c＝acos B＋bcos A.。

北师大版数学高二-必修5教案 2.1.2《余弦定理》

2.1.2《余弦定理》教学设计【学习目标】1.了解向量知识应用；掌握余弦定理推导过程；会利用余弦定理证明简单三角形问题；2.利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.【导入新课】上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决.如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.新授课阶段一、引入问题的解决在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：二、余弦定理的内容：余弦定理内容：形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.三、向量法证明余弦定理如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量法证明：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .四、余弦定理解决的问题类型利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1) ；(2) .例1在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C (精确到1°).分析：解：例2 在△ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′) .解：例3在△ABC中：(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；(3)已知a＝3 3 ，c＝2，B＝150°，求b；(4)已知a＝2，b＝ 2 ，c＝ 3 ＋1，求A解：例4根据下列条件解三角形(角度精确到1°)(1)a ＝31，b ＝42，c ＝27；(2)a ＝9，b ＝10，c ＝15解：课堂小结1. ；2. ；3. .作业见同步练习部分拓展提升1. 在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，则∆ABC 的形状为（）A ．锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形2. 在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，则边c 的长度为（）A. 3B. 2C.D. 53.在△ABC 中，已知：c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则角C 的大小为4. 在△ABC 中，已知A ＞B ＞C 且A ＝2C ，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，又2b ＝a ＋c 成等差数列，且b ＝4，求a 、c 的长.5.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝ 2 ，A ＝45°，解此三角形.6.在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A7. 在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形参考答案新授课阶段一、引入问题的解决在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理可得：a2＝CD2＋BD2∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cos A∴a2＝b2＋c2－2bc cos A类似地可以证明b2＝a2＋c2－2ac cos Bc2＝a2＋b2－2ab cos C另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理.二、余弦定理的内容：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.三、向量法证明余弦定理如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量加法的三角形法则可得AC →＝AB →＋BC →，∴AC →·AC →＝(AB →＋BC →)·(AB →＋BC →)＝AB →2＋2AB →·BC →＋BC →2＝｜AB →｜2＋2｜AB →｜｜BC →｜cos(180°－B )＋｜BC →｜2＝c 2－2ac cos B ＋a 2即b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B由向量减法的三角形法则可得：BC →＝AC →－AB →∴BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜AB →｜cos A ＋｜AB →｜2＝b 2－2bc cos A ＋c 2即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A由向量加法的三角形法则可得AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →∴AB →·AB →＝(AC →－BC →)·(AC →－BC →)＝AC →2－2AC →·BC →＋BC →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜BC →｜cos C ＋｜BC →｜2＝b 2－2ba cos C ＋a 2即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C评述：(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，AC →与AB →属于同起点向量，则夹角为A ；AB →与BC →是首尾相接，则夹角为角B 的补角180°－B ；AC →与BC →是同终点，则夹角仍是角C .四、余弦定理解决的问题类型利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.例1分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二解：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝102＋62－722×10×6＝0.725，∴A ≈44° ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋102－622×7×10 ＝113140＝0.8071，∴C ≈36° ∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°.例2 在△ABC 中，已知a ＝2.730，b ＝3.696，C ＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′)解：由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2.7302＋3.6962－2×2.730×3.696×cos82°28′得c ＝4.297.∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3.6962＋4.2972－2.73022×3.696×4.297＝0.7767，∴A ＝39°2′ ∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(39°2′＋82°28′)＝58°30′例3解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7(2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝202＋212－2922×20×21＝0，∴B ＝90° (3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7(4)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋1）＝ 2 2 ，∴A ＝45° 例4解：(1)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝422＋272－3122×42×27≈0.6691，∴A ≈48° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca≈0.0523，∴B ≈93° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(48°＋93°)≈39°(2)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝102＋152－922×10×15＝0.8090，∴A ≈36° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝92＋152－1022×9×15＝0.7660，∴B ≈40° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(36°＋40°)≈104°课堂小结1.余弦定理的证明方法；2.余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已知两边一夹角解三角形；3. 余弦定理的灵活运用.拓展提升1. C 【解析】由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）222753>+，即222a b c >+，∴ABC 是钝角三角形∆.2.A 【解析】由余弦定理得 (7 )2＝12＋c 2－2c cos60°，∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去).∴c ＝33.60120οο或【解析】∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，∴［c 2－(a 2＋b 2)］2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60° 4．解：由a sin A ＝c sin C且A ＝2C 得 a 2sin C cos C ＝c sin C ，cos C ＝a 2c又∵2b ＝a ＋c 且b ＝4，∴a ＋c ＝2b ＝8， ① ∴cos C ＝a 2＋42－c 28a ＝a ＋2－c a ＝5a －3c 4a ＝a 2c∴2a ＝3c ②由①②解得a ＝245 ，c ＝1655.解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A得22＝( 2 )2＋c 2－2 2 c cos45°，c 2－2c －2＝0解得c ＝1＋ 3 或c ＝1－ 3 (舍去)∴c ＝1＋ 3 ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋ 3 ）2－（ 2 ）22×2×（1＋ 3 ）＝ 3 2 ∴B ＝30°C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105° 6.解：∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos 045=2121)+-=8∴=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：印刷版高中数学 ⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b2.4 1.43.8,+=21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090,∴060.=A7.解：由余弦定理的推论得：cos 2222+-=b c a A bc 22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯0.5543,≈05620'≈A ； cos 2222+-=c a b B ca 222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯0.8398,≈03253'≈B ； 0000180()180(56203253)''=-+≈-+C A B 09047.'=。

高中数学第2章解三角形 1.2 余弦定理教案北师大版必修5-北师大版高二必修5数学教案

1.2 余弦定理学习目标核心素养1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用．(难点)2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点)1.通过余弦定理的推导提升逻辑推理素养．2．通过余弦定理在解三角形中的应用提升数学运算素养.1．余弦定理阅读教材P 49～P 50例4以上部分，完成下列问题．语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号表示a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab作用实现三角形边与角的互化.思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？[提示] 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？ [提示] ①已知两边及其夹角，解三角形； ②已知三边，解三角形．2．余弦定理的推导如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 那么c ＝a －b ． |c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b ) ＝a ·a ＋b ·b －2a ·b＝a 2＋b 2－2ab cos C 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．同理可证：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22abA [由余弦定理知选A ．]2．在△ABC 中，若已知a ＝2，b ＝3，c ＝5，则cos A ＝_____________. 53 [cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋5－42×3×5＝53.] 3．在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝2，c ＝1，则a ＝________. 3 [a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a ＝ 3.]已知两边及一角解三角形【例1】 (1)已知△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.(2)在△ABC 中，已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为________． (1)5 (2)7 [(1)A 为b ，c 的夹角，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍去)．(2)在△ABC 中，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋22－2×33×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝49. 所以b ＝7.](1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． [提醒] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便.1．(1)在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________. (2)在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c ． (1)19 [由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，所以c ＝19.] (2)[解] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，所以49＝64－2bc ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，即bc ＝15，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8，bc ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝3.已知三边(三边关系)解三角形【例2】 (1)在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，求A ，B ，C ．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，求cos A ．[解] (1)由于a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x .由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3x 2＋4x 2－x22×3x ×2x＝32，故A ＝30°.同理可求得cos B ＝12，cos C ＝0，所以B ＝60°，C ＝90°.(2)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ．所以cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．2．(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝( )A ．90°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． (1)C [由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )可得a 2－c 2＝b 2＋bc ，即a 2＝c 2＋b 2＋bc ．根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝120°.故选C ．] (2)[解] 由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.所以，所求中线长为7.三角形形状的判断1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？[提示] 能．由正弦定理和sin A ＝sin B 知a ＝b ，故△ABC 是等腰三角形． 2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？[提示] 不能．由sin 2A ＝sin 2B 得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，要判定三角形的形状，是把a cos A ＝b cos B 中的边化为角，还是把角化为边？[提示] 都可以，化角为边：由余弦定理得a ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得(a ＋b )(a －b )(c 2－a 2－b 2)＝0，故a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．化边为角：由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．4．判断三角形形状的基本思路是什么？ [提示] 思路一：从角的关系判定．思路二：从边的关系判定．思路三：从边与角的关系判定．【例3】在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．[解] 法一：由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b. 又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b ．又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ．所以△ABC 为等边三角形．法二：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )，又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ．又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．1．(变条件)把例3的条件换为：b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，判断△ABC 的形状． [解] 法一：由条件b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A 得cos A ＝b 2c ＝c2b ，即b ＝c ，把b ＝c 代入b ＝2c cos A 得cos A ＝12，所以A ＝60°，所以△ABC 是等边三角形．法二：由正弦定理知sin B ＝2sin C cos A ，sin C ＝ 2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即sin C cos A ＝sin A cos C ，所以sin(A －C )＝0，A ＝C ，同理可得A ＝B ，所以三角形△ABC 为等边三角形．2．(变条件)把例3的条件换为：cos 2A 2＝b ＋c 2c，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵cos 2A 2＝1＋cos A 2且cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝b c . 由正弦定理，得cos A ＝sin Bsin C ，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0.∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二：同法一得cos A ＝b c .由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．2．判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形．( ) (2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 是锐角三角形．( ) (3)在△ABC 中，若已知a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可以解三角形．( ) [答案] (1)× (2)× (3)×[提示] (1)错误，如已知a ，b 和A ，可利用公式a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 求c ，进而可求角B 和C ．(2)错误，由b 2＋c 2＞a 2和cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc可得cos A ＞0，则A 是锐角，但角B 或C 可能是钝角，△ABC 未必是锐角三角形．(3)错误，已知△ABC 三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形．2．若△ABC 的三边满足a ∶b ∶c ＝2∶2∶3，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形A [设a ＝2k ，b ＝2k ，c ＝3k ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2k 2＋3k 2－4k 22×2k ×3k ＝126＞0，故A是锐角，且A ＞B ＞C ，所以△ABC 是锐角三角形．]3．在△ABC 中，b 2＋a 2＝c 2＋ab ，则角C ＝________. π3 [由b 2＋a 2＝c 2＋ab 得b 2＋a 2－c 22ab ＝12，即cos C ＝12，又C ∈(0，π)，故C ＝π3.]4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－(b －c )2bc ＝1时，求A ．[解] 由a 2－(b －c )2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π，所以A ＝π3.。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 1.2余弦定理》7

《余弦定理》（第一课时）教学设计安徽省灵璧县黄湾中学柯林一、教学内容解析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书北师大版《数学》必修5第二章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。

第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。

本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。

正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。

余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。

纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。

在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。

1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到2021，三角形式的余弦定理才一统天下。

“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。

”从余弦定理的发展史和教材的设置变化来看，欧式几何依据基本的逻辑原理，建立几何关系，论证严谨，但思维量大，需要分类讨论。

而作为沟通代数、几何与三角函数的工具——向量引入后，欧式几何中的平行、相似、垂直都可以转化成向量的加减、数乘、数量积的运量，从而把图形的基本性质转化成向量的运算体系，由此开创了研究几何问题的新方法。

而且在证明之后还提出问题：用坐标方法怎样怎样证明余弦定理？还有其他的方法吗希望学生了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理，另外对向量工具性作用有所体会和认识。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 1.2余弦定理》71

教法设计
本节课采用启发式与探究式相结合课堂教学模式，在教师的启发引导下，以贴近学生生活的实际问题为背景，以问题为导向设计教学环节，学生进行独立思考与合作交流，以“余弦定理的发现和证明”为基本探究内容，经历从特殊到一般的探究过程，从而得到余弦定理。教师层层设问，引导学生分析余弦定理的内容并发现余弦定理可以解决的两类解三角形问题。首尾呼应，解决问题，达到学以致用的目的。
教学重点
余弦定理的证明及其基本应用
教学难点
理解余弦定理的作用及其适用范围
学情分析
学生已经学习了三角函数、向量基本知识及正弦定理的有关内容，对三角形中的边角关系有了初步定量的理解，学生具有利用向量知识探索余弦定理的基础。但学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的意识不强，分析问题不够深入，知识的系统性还有待完善，使得学生在探索定理的过程中可能存在一定的难度。在分析余弦定理的结构特征时，渗透数学美的教学，激发学生对数学的喜爱。
二、探索发现
教师提问有几种方法求解岛屿A和岛屿C之间的距离。（计划用时6分钟）
1学生发现正弦定理无法解决此问题；
2学生尝试通过作高用解直角三角形的方法求解。
之间的距离。
培养学生的发散思维，实现一题多解，为借助向量推导余弦定理距离？（计划用时4分钟）
教学过程
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
一、创设背景
教师展示浐灞生态区图片，培养学生对祖国的热爱。
发现岛屿A与B，岛屿B与C之间的距离容易测量，但是岛屿A与C之间的距离较难直接测量，从而引出问题。
学生欣赏风景，在发现测量问题以后，经历数学建模的过程，将实际问题抽象成数学问题求解。
培养学生由实际问题抽象出数学问题的能力，落实数学建模这一核心素养。

高中数学第二章余弦定理教案2 北师大版必修5

余弦定理教学目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形教学重点：余弦定理的证明及其基本应用教学难点：理解余弦定理的作用及其适用范围教学过程：问题提出：在三角形中，已知两角及一边，或已知两边和其中一边的对角，可以用利用正弦定理求其他的边和角，那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它的三个角呢？分析理解：1．余弦定理的向量证明：设△ABC 三边长分别为a, b, c =+AC •AC =(AB +BC )•(AB +BC )=AB 2+2AB •BC +BC 2=)180cos(||||2||02B BC AB AB -+22cos 2a B ac c +-=即：Bac c a b cos 2222-+=同理可得：A bc c b a cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

3．强调几个问题：1︒ 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等2︒ 知三求一3︒ 当夹角为90︒时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）A4︒ 变形：bc a c b A 2cos 222-+= ac b c a B 2cos 222-+=acc b a C 2cos 222-+=余弦定理的应用能解决的问题：1．已知三边求角 2．已知三边和它们的夹角求第三边例1、如图，有两条直线AB 和CD 相交成080，交点是O ，甲、乙两人同时从点O 分别沿OC OA ,方向出发，速度分别是h km h km /5.4,/4，3小时后两人相距多远（结果精确到km 1.0）分析：经过3时后，甲到达点P ，km OP 1234=⨯=，乙到达点Q ，km OQ 5.1335.4=⨯=问题转化为在OPQ ∆中，已知km OP 12=，km OQ 5.13=，080=∠POQ ，求PQ 的长解：经过3时后，甲到达点P ，km OP 1234=⨯=，乙到达点Q ，km OQ 5.1335.4=⨯=依余弦定理有POQ OQ OP OQ OP PQ ∠⋅-+=cos 22202280cos 5.131225.1312⨯⨯⨯-+= )(4.16km ≈ 答：3时后两人相距约为km 4.16例2：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托期用来构造无理数2，3，5，……的图形，试计算图中线段BD 的长度及DAB ∠的大小（长度精确到1.0，角度精确到01）解：在BCD ∆中，0135,1,1=∠==BCD CD BC 因为 BCD CD BC CD BC BD ∠⨯-+=cos 222222135cos 11211022+=⨯⨯⨯-+= 所以 8.1≈BD800QPDC BAoD在ABD ∆中，3,22,1=+==AD BD AB因为 1691.0312)22()3(12cos 22222≈⨯⨯+-+=⨯-+=∠AD AB BD AD AB DAB所以 080≈∠DAB 思考交流：你还能用其他方法求线段BD 的长度及DAB ∠的大小吗？（用解直角三角形的方法及三角函数知识加以解决）课堂小结：余弦定理及其应用课堂作业：1、若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角 2、（2010江西理数）E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ D ）A.2716 B.32 C.33 D.43 【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。

2020-2021学年高一数学北师大版必修五第二章2.1.2 余弦定理教学设计

《余弦定理》教学设计一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第二章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。

通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“已知三边求三角形的三个角”及“已知两边及其夹角求三角形其他边与角”问题，培养学生数学思维品质，激发学生探究数学，应用数学的潜能。

二、学情分析本节之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。

在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，解决问题是学生学习的一大难点。

三、设计思想本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“余弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等讨论的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创新的能力。

四、教学目标1．继续探索任意三角形的边长与角度间的具体量化关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出余弦定理，掌握余弦定理的内容及其证明方法，并学会运用余弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。

2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。

北师大版高中数学必修五余弦定理复习教案

重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
教学方法
观察、思考、交流、讨论、概括
教学过程
●教学过程
Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在 ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和 C，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
从而 (图1．1-5)
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
教学反思
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

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江苏省邳州市第二中学高二数学《余弦定理》教案
（二）教学重、难点
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

（三）学法与教学用具
学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想
[创设情景] C
如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b 和∠C ，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A
如图1．1-5，设CB a =u u r r ，CA b =u u r r ，AB c =u u r r ，那么c a b =-r r r
，则 b r c r
()()
2
22 2 2c c c a b a b
a a
b b a b a b a b
=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅r
r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos 2+-=
b c a A bc 222
cos 2+-=
a c
b B a
c 222
cos 2+-=
b a
c C ba
[例题分析]
例1．在∆ABC 中，已知23=a ，62=+c ，060=B ，求b 及A ⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B
=22(23)(62)223(62)++-⋅⋅+cos 045 =212(62)43(31)++-+ =8 ∴2 2.=b
求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos 222222(22)(62)(23)1
,22222(62)
+-++-=
==⨯⨯+b c a A bc
∴060.=A
解法二：∵sin 023
sin sin45,22
==⋅a A B b
又∵62+＞2.4 1.4 3.8,+=
23＜21.8 3.6,⨯=
∴a ＜c ，即00＜A ＜090,
∴060.=A
评述：解法二应注意确定A 的取值范围。

例2．在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）解：由余弦定理的推论得：
cos 222
2+-=b c a A bc
222
87.8161.7134.6287.8161.7+-=
⨯⨯
0.5543,≈ 05620'≈A ； cos 222
2+-=c a b B ca
222
134.6161.787.82134.6161.7+-=
⨯⨯
0.8398,≈ 03253'≈B ；
0000180()180(56203253)
''=-+≈-+C A B 09047.
'= [随堂练习]第8页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）。