高中数学《余弦定理》教案北师大版必修

江苏省邳州市第二中学高二数学 《余弦定理》教案

（二）教学重、难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 （三）学法与教学用具

学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学设想

[创设情景] C

如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b 和∠C ，求边c b a

A c B

(图1．1-4)

[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A

如图1．1-5，设CB a =u u r r ，CA b =u u r r ，AB c =u u r r ，那么c a b =-r r r

，则 b r c r

()()

2

22 2 2c c c a b a b

a a

b b a b a b a b

=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅r

r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+-

2222cos b a c ac B =+-

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-

2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

222

cos 2+-=

b c a A bc 222

cos 2+-=

a c

b B a

c 222

cos 2+-=

b a

c C ba

[例题分析]

例1．在∆ABC 中，已知23=a ，62=+c ，060=B ，求b 及A ⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B

=22(23)(62)223(62)++-⋅⋅+cos 045 =212(62)43(31)++-+ =8 ∴2 2.=b

求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：∵cos 222222(22)(62)(23)1

,22222(62)

+-++-=

==⨯⨯+b c a A bc

∴060.=A

解法二：∵sin 023

sin sin45,22

==⋅a A B b

又∵62+＞2.4 1.4 3.8,+=

23＜21.8 3.6,⨯=

∴a ＜c ，即00＜A ＜090,

∴060.=A

评述：解法二应注意确定A 的取值范围。

例2．在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形

（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解） 解：由余弦定理的推论得：

cos 222

2+-=b c a A bc

222

87.8161.7134.6287.8161.7+-=

⨯⨯

0.5543,≈ 05620'≈A ； cos 222

2+-=c a b B ca

222

134.6161.787.82134.6161.7+-=

⨯⨯

0.8398,≈ 03253'≈B ；

0000180()180(56203253)

''=-+≈-+C A B 09047.

'= [随堂练习]第8页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）