山东省青岛市市北区2014届中考二模数学试卷 有答案
2014年山东省青岛市市北区中考二模
数学试卷有答案
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）.下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。
每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。
到点B的距离小于3，则点C位于（）
5．为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图（如图所示）．那么关于该班45名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是（）
7．同一坐标系中，一次函数y=﹣kx+k与反比例函数的图象大致是（）
8．已知ABCD是一张四边行纸片，其中AB＜BC，将四边形沿BD所在的直线折叠，点A恰好落在BC上（如图①），展开后出现折现BD（如图②）；再将点B折向点D，是B、D两点重迭（如图③），展开后出现折现CE（如图④）．则下列结论正确的是（）
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．“太阳能”是一种既无污染又节省地下能源的能量，据科学家统计，平均每平方千米的地面一年从太阳中获得的能量，相当于燃烧130 000 000千克的煤所产生的能量，用科学记数法表示这个数量是_________千克．
10．一个口袋中有6个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中60次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有_________个．
11．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=_________．
12．小红到离家2100米的学校参加联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校，一只小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．设小红步行的平均速度为x米/分，根据题意可得方程_________．
13如图，已知▱ABCD中，∠A=45°，AD=4cm，以AD为直径的半圆O与BC相切于点B，则图中阴影部分的面积是_________．
14．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点成为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A10B10C10D10每条边上的整点共有_________个，正方形A n B n C n D n四条边上的整点共有_________．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
15．已知：如图，线段a．
求作：等腰直角△ABC，使其斜边AB=a．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（6分）（2014•市北区二模）烟的危害，某中学八年级一半数学兴趣小组设计了如下调查问卷，在五四广场随机调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成统计图．
（1）本次接受调查的中人数是_________人，并把条形统计图补充完整．
（2）在扇形统计图中，E选项所在扇形的圆心角的度数是_________．
（3）若青岛市约有烟民14万人，求对吸烟有害持“无所谓”态度的约有多少人．
18．（6分）（某商场进行促销活动，规定凡在商场一次性消费200元以上的顾客可以参加一次摸奖活动，摸奖规则如下：一个不透明的袋子里装有红（1个）、黄（2个）、绿（4个）、白（18个）除颜色外其余完全相同的小球，充分摇匀后，从中摸出一个小球，如果摸出的球是红、黄或绿色小球，顾客就可以分别获得150元、100元、50元的现金，如果不选择摸奖，则可以直接获得15元购物券．有一名顾客本次购物225元．请通过计算说明选择哪种方式更合算？
19．（6分）（2014•市北区二模）如图，在一个坡角为40°的斜坡上有一棵树BC，树高4米．当太阳光AC与水平线成70°角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段AB，求树影AB的长．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin20°=0.34，tan20°=0.36，sin30°=0.50，tan30°=0.58，sin40°=0.64，tan40°=0.84，sin70°=0.94，tan70°=2.75）
20．（8分）为响应国家“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的号召，我市某村计划建造A、B 两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农
492户．共有集中满足条件的方案？写出解答过程．
21．（8分）（已知，如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B 作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连结BF．
（1）求证：FB=AO；
（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？证明你的结论．
22．（10分）（某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售y（件）之间的关系如下表：
（1）试判断y与x之间的函数关系式，并求出函数关系式；
（2）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
23．（10分）（【阅读材料】
完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n 种不同的方法，这就是分步乘法计数原理．
【问题探究】
完成沿图1的街道从A点出发向B点行进这件事（规定必须向北走，或向东走），会有多少种不同的走法？
（1）根据材料中的原理，从A点到M点的走法共有（1+1）=2种．从A点到C点的走法：
①从A点先到N点再到C点有1种；
②从A点先到M点再到C点有2种，所以共有（1+2）=3种走法．依次下去，请求出从A点出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从A点出发到B点的走法共有多少种？（2）运用适当的原理和方法，算出如果直接从C点出发到达B点，共有多少种走法？请仿照图2画图说明．
【问题深入】
（3）在以上探究的问题中，现由于交叉点C道路施工，禁止通行，求从A点出发能顺了到达BB 点的走法数？说明你的理由．
24．（12分）已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于D，直线PM从点C 出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，直线PM交BC于P，交AC于点M；过点P作PQ⊥AB，交AB于Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t（s）（0＜t ＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，QM∥BC？
（2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），试求出y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使y的值最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．C
4．C
5．D
6．D
7．D
8．D
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9． 1.3×108千克．
10．9个．
11．55°．
12．=+20．
13．4．
14．21个，8n．
﹣1+3=3
÷
•
）根据题意得：
）根据题意得：
选择摸奖：×150+100+
÷≈
，
，
EG=
OC
，
==25
QP=QM=，
∴
t=．
∴
DN=，
PM=
=）由
t=时存在最大值．
，PM=。
2014山东省青岛市文科数学二模试题及答案解析
2014山东省青岛市文科数学二模试题及答案解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{|02},{|11}A y y B x x =≤<=-<<，则R ()AB =ðA ．{|01}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|01}x x ≤< 2. 已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 A ．3- B ．1 C ．1- D ．33. 数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，11a =，则10a = A ．5 B ．1- C ．0 D ．14. 函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则(0)f 的值为A ．1B ．0 CD5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =A ．2-B ．1-C ．0D ．16. 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是A ．0B ．1-C ．2-D ．3- 7. 某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生A ．1030人B ．97人C ．950人D ．970人 8. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>， 则2w a b =-的取值范围是A ．21[,]32-B ．2(,0)3-C ．1(0,)2D ．21(,)32- 9. 已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =，AC BC AD ⊥，则关于该三棱锥的下列叙述正确的为A.表面积13)2S =B.表面积为12)2S = C.体积为1V = D. 体积为23V =10. 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =，则关于x 的方程1()||2f x x =在[1,2]-上根的个数是 A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线24x y =的焦点坐标为 ； 12. 已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到),(y x 的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为60y bx =+，其中b 的值没有写上．当x 等于5-时，预测y 的值为 ； 13. 已知||2, ||4a b ==，a 和b 的夹角为3π，以, a b 为邻边作平行四边形，则该四边形的面积为 ；14. 如图，()y f x =是可导函数，直线l 是曲线)(x f y =在4=x 处的切线，令()()f x g x x =，则(4)g '= ；15. 对于下列命题：①函数()12f x ax a =+-在区间(0,1)内有零点的充分不必要条件是1223a <<；②已知,,,E F G H 是空间四点，命题甲：,,,E F G H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件； ④“01m <<”是“方程22(1)1mx m y +-=表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数2()cos888f x x x x πππ=+R ∈x ．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数)(x f 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点,求OPQ ∆的外接圆的面积.17．（本小题满分12分） 已知函数4()f x ax x=+. （Ⅰ）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点．（Ⅰ）求证：//BE 平面ACF ； （Ⅱ）求四棱锥ABCD E -的体积.19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：1211,,2a a ==且2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=*N n ∈． （Ⅰ）令21n nb a -=，判断{}n b 是否为等差数列，并求出n b ； （Ⅱ）记{}n a 的前2n 项的和为2n T ，求2n T ．ACBE F20．（本小题满分13分）已知函数()x f x e ax =+，()ln g x ax x =-，其中0a <，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）若()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 在[0,2]x ∈上的最小值；（Ⅲ）试探究能否存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出)(x f 和()g x 在区间M 上的单调性；若不能存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记QMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.高三自评试题数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． B D D A C C D D A B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.(0,1) 12.7013. 14．316-15．①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2()cos1)888f x x x x πππ=-2sin()4444x x x ππππ=+=+，……………………………………………2分所以，函数)(x f 的最小正周期为284T ππ==． ………………………………………3分由222442k x k ππππππ-≤+≤+（Z ∈k ）得8381k x k -≤≤+（Z ∈k ），∴函数)(x f 的单调递增区间是[]83,81k k -+（Z ∈k ）………………………………5分（Ⅱ）(2)2sin()2cos 244f πππ=+==(4)2sin()2sin 44f πππ=+=-=(4,P Q ∴ ……………………………………………………………………7分||||||OP PQ OQ ∴==从而cos 3||||OP OQ POQ OP OQ ⋅∠===⋅sin POQ∴∠==，………………………………………………10分设OPQ∆的外接圆的半径为R，由||2sinPQRPOQ=∠||2sin2PQRPOQ⇒===∠∴OPQ∆的外接圆的面积292S Rππ==………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()2y f x=-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点，∴()20f x-=，即2240ax x-+=有两个不同的正根1x和2x1212244160ax xax xaa≠⎧⎪⎪+=>⎪∴⎨⎪=>⎪⎪∆=->⎩14a⇒<<………………………………………………………4分114()416P A∴==…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由已知：0,0a x>>，所以()f x≥()f x≥min()f x∴=，()2bxf>在()0,x∈+∞恒成立2b∴>……()*……………………………8分当1a=时，1b=适合()*；当2,3,4,5a=时，1,2b=均适合()*；当6a=时，1,2,3b=均适合()*；满足()*的基本事件个数为18312++=. ………………………………………………10分而基本事件总数为6636⨯=，……………………………………………………………11分121()363P B∴==. ………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）证明：(Ⅰ) 连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，…………………………………………1分ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，BE OF //∴， ……………………………………………………………………………4分 BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF//BE ∴平面ACF ．……………………………………………5分(Ⅱ) 作EG AD ⊥于G⊥AE 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，CD AE ⊥∴， ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥，,,AE AD A AD AE =⊂平面DAE ，⊥∴CD 平面DAE ， ………………………………………………………………………7分 CD EG ∴⊥，AD CD D =，EG ∴⊥平面ABCD ………………………………8分⊥AE 平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，AE DE ∴⊥，2AE DE ==，AD ∴=，EG = …………………………………………10分∴四棱锥ABCD E -的体积211333ABCDV SEG =⨯=⨯…………………………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=21212121[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a --+-∴+--+--=即21212n n a a +--=……………………………………………………………………………4分21n n b a -=，121212n n n n b b a a ++-∴-=-={}n b ∴是以111b a ==为首项，以2为公差的等差数列 …………………………………5分 1(1)221n b n n =+-⨯=- …………………………………………………………………6分OACBE FG（Ⅱ）对于2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--= 当n 为偶数时，可得2(31)22(11)0,n n a a ++-+-=即212n n a a +=， 246 , , , a a a ∴是以212a =为首项，以12为公比的等比数列；………………………8分当n 为奇数时，可得2(31)22(11)0,n n a a +--+--=即22n n a a +-=，135 , , , a a a ∴是以11a =为首项，以2为公差的等差数列…………………………10分21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++11[(1()]122[1(1)2]1212n n n n -=⨯+-⨯+-2112n n =+- ……………………………12分 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()ln g x ax x =-，(1)g a ∴=，1()g x a x'=-()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，1(1)13g '∴⨯=-1(1)123a a ⇒-⋅=-⇒=- ………………………………………………………………3分（Ⅱ）()f x 的定义域为R ，且 ()e xf x a '=+．令()0f x '=，得ln()x a =-． …………………………………………………………4分 若ln()0a -≤，即10a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[0,2]x ∈上为增函数，∴min ()(0)1f x f ==；………………………………………………………………………5分 若ln()2a -≥，即2a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[0,2]x ∈上为减函数，∴2min ()(2)2f x f e a ==+； ……………………………………………………………6分若0ln()2a <-<，即21e a -<<-时，由于[0,ln())x a ∈-时，()0f x '<；(ln(),2]x a ∈-时，()0f x '>， 所以min ()(ln())ln()f x f a a a a =-=--综上可知22min21, 10()2, ln(),1a f x e a a e a a a e a -≤<⎧⎪=+≤-⎨⎪---<<-⎩………………………………………8分 （Ⅲ）()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11()ax g x a x x-'=-=．0a <时，()0g x '∴<，()g x ∴在(0,)+∞上单调递减．……………………………9分令()0f x '=，得ln()x a =-①若10a -≤<时，ln()0a -≤，在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x ∴单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；………………………………………………………………………………10分 ②若1a <-时，ln()0a ->，在(,ln())a -∞-上()0f x '<，()f x 单调递减；在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x 单调递增．由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数． 综上，当10a -≤≤时，不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；当1a <-时，存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数．…………………………………………………………………………………………13分 21．（本小题满分14分）解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，所以动 圆P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切12||9||1PF R PF R =-⎧∴⎨=-⎩1212||||8||6PF PF F F ⇒+=>= ………………………………………2分 ∴圆心P 的轨迹为以12, F F 为焦点的椭圆，其中28, 26a c ==， 2224, 3, 7a c b a c ∴===-=故圆心P 的轨迹C ：221167x y += …………………………………………………………4分 （II ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+ 由221167x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 2232232112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩ 2222233222112112112(1)||716716716m m OQ x y m m m +∴=+=+=+++ ……………………………6分 由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22(716)42490m y my ++-= 1212224249,716716m y y y y m m ∴+=-=-++∴||MN ==21|y y =-=2256(1)716m m +==+………………………………8分 ∴2222256(1)||1716112(1)||2716m MN m m OQ m ++==++∴||MN 和2||OQ 的比值为一个常数，这个常数为12……………………………………9分 （III ）//MN OQ ，∴QMN ∆的面积OMN =∆的面积 O 到直线:3MN x my =+的距离d =221156(1)||22716m S MN d m +∴=⋅=⨯=+…………………………11分t =，则221m t =-(1)t ≥ 2284848497(1)16797t t S t t t t===-+++97t t +≥=（当且仅当97t t =，即t =7m =±时取等号） ∴当m =时，S 取最大值14分。
2014年青岛市中考数学试题答案
青岛市二○一四年初中学生学业考试数学试题参考答案及评分标准说明：1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则．2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤．4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．110．乙11．（1，0）12．3513．14．54三、作图题（本题满分4分）15．正确作图； ······································ 3分正确写出结论． ······································ 4分四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（本小题满分8分）（1）解：原式＝2211x yy x -⋅+＝2(1)(1)1x x yy x +-⋅+＝1x y- ． ········································ 4分（2）35021x x ->⎧⎨->-⎩解：解不等式①，得x ＞53．解不等式②，得x ＜3．所以，原不等式组的解集是53＜x ＜3． ········································ 4分17. （本小题满分6分） 解：（1）14，13．········································ 2分（2）360°×212＝60°， 答：扇形A 的圆心角的度数是60°． 4分（3）合理即可．········································ 6分18. （本小题满分6分）解：（1）P （转动一次转盘获得购物券）＝1020＝12． ········································ 2分（2）1362001005040202020⨯+⨯+⨯=（元） ∵40元＞30元，∴选择转转盘对顾客更合算． ········································ 6分19. （本小题满分6分） 解：设y 2＝kx ＋b （k ≠0），①②根据题意，可得方程组解这个方程组，得所以y 2＝6x ＋10． 当y 1＝y 2时，8x ＝6x ＋10， 解这个方程，得x ＝5． 答：甲追上乙用了5s ．········································ 6分20. （本小题满分8分） 解：（1）过点A 作A D ⊥BE 于D ， 设山AD 的高度为x m ，在Rt △ABD 中,∠ADB ＝90°，tan31°＝ADBD ，∴5=3tan3135AD x BD x =≈º．在Rt △ACD 中,∠ADC ＝90°， tan39°＝ADCD， ∴11=9tan39911AD x CD x =≈º．∵BC BD CD =- ∴ 5118039x x -=，解这个方程，得180x =.10=22=2+b k b⎧⎨⎩610k b =⎧⎨=⎩（第20题）即山的高度为180米. ······································ 6分（2）在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，sin39°＝ADAC， ∴180282.97sin3911AD AC =≈≈º（米）． 答：索道AC 长约为282.9米. ． ······································ 8分21. （本小题满分8分）证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E ． 又∵OC ＝OD ， ∴△AOD ≌△EOC ．······································ 4分（2）当∠B ＝∠AEB ＝45°时，四边形ACED 是正方形.∵△AOD ≌△EOC ， ∴OA ＝OE ． 又∵OC ＝OD ，∴四边形ACED 是平行四边形. ∵∠B ＝∠AEB ＝45°， ∴AB ＝AE ，∠BAE ＝90°. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ． ∴∠COE ＝∠BAE ＝90°． ∴□ACED 是菱形． ∵AB ＝AE ，AB ＝CD ， ∴AE ＝CD ．∴菱形ACED 是正方形.······································ 8分22. （本小题满分10分）（第21题）（第21题）解：（1）y ＝（x －50）[50＋5（100－x ）]＝（x －50）（－5x ＋550）＝－5x 2＋800x －27500 ∴y ＝－5x 2＋800x －27500．······································ 4分（2）y ＝－5x 2＋800x －27500＝－5(x －80)2＋4500 ∵a ＝－5＜0， ∴抛物线开口向下．∵50≤x ≤100，对称轴是直线x ＝80， ∴当x ＝80时，y 最大值＝4500．········································ 6分（3）当y ＝4000时，－5(x －80)2＋4500＝4000，解这个方程，得x 1＝70，x 2＝90．∴当70≤x ≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50（－5x ＋550）≤7000， 解这个不等式，得x ≥82．∴82≤x ≤90，∵50≤x ≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间. ·····································10分 23．（本小题满分10分） 探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为34； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为23344+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，……； ……第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为2333334444n ++++，最后的空白部分的面积是14n ， 根据第n 次分割图可得等式：2333334444n ++++＝114n -，两边同除以3，得2311114444n++++＝11334n-⨯．······································ 4分解决问题：231111nm m m mm m m m----++++＝11nm-，111(1)nm m m---⨯．······································ 8分拓广应用：原式·····································10分24．（本小题满分12分）解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝6，OB＝OD=12BD＝8．在Rt△AOB中，AB＝10．∵EF⊥BD，∴∠FQD＝∠COD＝90°．nmnm2323111111115555111155551144511411()445445nnnn nnnnn=-+-+-++-⎛⎫=-++++⎪⎝⎭⎛⎫=--⎪⨯⎝⎭-=-++⨯⨯或D又∵∠FDQ ＝∠CDO ， ∴△DFQ ∽△DCO ． ∴DF DC ＝QDOD ． 即10DF ＝8t， ∴DF ＝54t ． ∵四边形APFD 是平行四边形， ∴AP ＝DF ． 即10－t ＝54t ， 解这个方程，得t ＝409． 答：当t ＝409s 时，四边形APFD 是平行四边形． ······································ 4分（2）过点C 作C G ⊥AB 于点G ，∵S 菱形ABCD ＝AB ·CG ＝12AC ·BD ， 即10·CG ＝12×12×16， ∴CG ＝485． ∴S 梯形APFD ＝12（AP ＋DF ）·CG ＝12（10－t ＋54t ）·485＝65t ＋48． ∵△DFQ ∽△DCO ， ∴QD OD ＝QFOC． 即8t ＝6QF ， ∴QF ＝34t ． 同理，EQ ＝34t ．∴EF ＝QF ＋EQ ＝32t ． ∴S △EFD ＝12EF ·QD ＝ 12×32t ×t ＝34t 2． ∴y ＝（65t ＋48）－34t 2＝－34t 2＋65t ＋48．······································ 8分（3）若S 四边形APFE ∶S 菱形ABCD ＝17∶40，则－34t 2＋65t ＋48＝1740×96， 即5t 2－8t －48＝0，解这个方程，得t 1＝4，t 2＝－125（舍去） 过点P 作PM ⊥EF 于点M ，PN ⊥BD 于点N ， 当t ＝4时， ∵△PBN ∽△ABO ， ∴PN AO ＝PB AB ＝BN BO ，即6PN ＝410＝8BN． ∴PN ＝125，BN ＝165． ∴EM ＝EQ －MQ ＝1235-＝35． PM ＝BD －BN －DQ ＝161645--＝445． 在Rt △PME 中，PE． ·····································12分D（第24题）。
2014年山东省青岛市市北区中考二模数学试卷及答案
2014年山东省青岛市市北区中考二模数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）.下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。
每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。
到点B的距离小于3，则点C位于（）5．为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图（如图所示）．那么关于该班45名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是（）7．同一坐标系中，一次函数y=﹣kx+k与反比例函数的图象大致是（）8．已知ABCD是一张四边行纸片，其中AB＜BC，将四边形沿BD所在的直线折叠，点A恰好落在BC上（如图①），展开后出现折现BD（如图②）；再将点B折向点D，是B、D两点重迭（如图③），展开后出现折现CE（如图④）．则下列结论正确的是（）二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．“太阳能”是一种既无污染又节省地下能源的能量，据科学家统计，平均每平方千米的地面一年从太阳中获得的能量，相当于燃烧130 000 000千克的煤所产生的能量，用科学记数法表示这个数量是_________千克．10．一个口袋中有6个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中60次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有_________个．11．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=_________．12．小红到离家2100米的学校参加联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校，一只小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．设小红步行的平均速度为x米/分，根据题意可得方程_________．13如图，已知▱ABCD中，∠A=45°，AD=4cm，以AD为直径的半圆O与BC相切于点B，则图中阴影部分的面积是_________．14．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点成为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A10B10C10D10每条边上的整点共有_________个，正方形A n B n C n D n四条边上的整点共有_________．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
2014青岛二模试题理科数学
青岛二模试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．山东中学联盟2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{|02},{|||1}A y y B x x =≤<=>，则R ()AB =ðA ．{|01}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|12}x x << 2. 已知1ii 12ib a -=++（,R a b ∈），其中i 为虚数单位，则a b += A ．4- B ．4 C ．10- D ．103. 数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a = A ．5 B ．1- C ．0 D ．14. 函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则()4f π的值为AB ．0C ．1 D5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k = A ．2- B ．1-C ．0D ．16. 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是A ．0B ．1-C ．2-D ．3- 7. 设2 0(4sin cos ),n x x dx π=+⎰则二项式1()n x x-的展开式中x 的系数为A ．4B ．10C ．5D ．68. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>， 则1a b -的取值范围是A ．(,3)-∞-B ．1(,0)3- C ．(3,)+∞ D ．1(0,)39. 已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =AC =，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为B. 6πC. 5πD. 8π10. 已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =，则关于x 的方程||()10x f x -=在1010[,]33-上根的个数是 A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线214y x =的焦点坐标为 ； 12. 已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到),(y x 的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为60y bx =+，其中b 的值没有写上．当x 不小于5-时，预测y 最大为 ；13. 已知||2, ||4a b ==，以, a b为邻边的平行四边形的面积为a 和b 的夹角为 ；14. 在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 ； 15. 对于下列命题：①函数()12f x ax a =+-在区间(0,1)内有零点的充分不必要条件是1223a <<；②已知,,,E F G H 是空间四点，命题甲：,,,E F G H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件；④“01m <<”是“方程22(1)1mx m y +-=表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ． （Ⅰ）求函数(3)1y f x =-+的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知ABC ∆中的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A满足()26A f π-=7a =，sin sin 14B C +=，求ABC ∆的面积． 17．（本小题满分12分）某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了18名学生作为志愿者，参加相关的活 动事宜．学生来源人数如下表：学院 外语学院生命科学学院化工学院艺术学院人数4 6 3 5（Ⅰ）若从这18名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率；（Ⅱ）现要从这18名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题．设其中来自外语学院的人数为ξ，令21ηξ=+，求随机变量η的分布列及数学期望()E η. 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点． （Ⅰ）求证：//BE 平面ACF ；（Ⅱ）求二面角C BF E --的平面角的余弦值.ACBE F19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，11()2nn n a a +⋅=，记2n T 为{}n a 的前2n 项的和，221n n n b a a -=+，N n *∈．（Ⅰ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ； （Ⅱ）求2n T .20．（本小题满分13分）已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值. 21．（本小题满分14分）已知函数32()(R)f x x x x =-+∈，()g x 满足()(R,>0)ag x a x x'=∈，且()g e a =，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）已知1()()xh x ef x -=，求()h x 在(1,(1))h 处的切线方程；（Ⅱ）若存在[1,]x e ∈，使得()g x ≥2(2)x a x -++成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）设函数(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩，O 为坐标原点，若对于()y F x =在1x ≤-时的图象上的任一点P ，在曲线()y F x =(R)x ∈上总存在一点Q ，使得0OP OQ ⋅<，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．青岛二模试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． A A D D C C B A B B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.(0,1) 12.70 13.3π或23π 14．60 15．①②④三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()2sin cos 1)f x x x x =-sin 222sin(2)3x x x π=+=+………………………………………………………2分 (3)12sin(6)12sin(6)133y f x x x ππ∴=-+=-++=--+(3)1y f x ∴=-+的最小正周期为263T ππ== ………………………………………3分 由262232k x k πππππ-≤-≤+得：115336336k x k ππππ-≤≤+，Z ∈k ，(3)1y f x ∴=-+的单调递减区间是115[,]336336k k ππππ-+，Z ∈k ………………6分（Ⅱ）∵()26A f π-=2sin()33A ππ-+=，∴sin 2A = ………………7分 ∵02A π<<，∴3A π=．由正弦定理得：sin sin sin b cB C A a++=，即1472b c +=⨯，∴13b c += ……………………………………………………9分 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：22()22cos a b c bc bc A =+--，即491693bc =-，∴40bc = ………………………………………………………11分∴11sin 40222ABC S bc A ∆==⨯⨯=…………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)设“两名学生来自同一学院”为事件A ，则222246352182()9C C C C P A C +++== 即两名学生来自同一学院的概率为29．……………………………………………………4分 (Ⅱ) ξ的可能取值是0,1,2，对应的η可能的取值为1，3，521421891(1)(0)153C P P C ηξ=====, 1141421856(3)(1)153C C P P C ηξ=====, 242182(5)(2)51C P P C ηξ=====, ………………………………………………………10分所以η的分布列为η1 3 5 P91153 56153 251…………………………………………………………………11分 所以9156217()135153153519E η=⨯+⨯+⨯=. ……………………………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：(Ⅰ)连结BD 和AC 交于O ，连结OF ， …………………………………………1分ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，BE OF //∴，…………………………………………………………………………………3分 BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF//BE ∴平面A．…………………………………………………………………………4分(Ⅱ)⊥AE 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，CD AE ⊥∴，ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥，,,AE AD A AD AE =⊂平面DAE ，⊥∴CD 平面DAE ，DE ⊂平面DAE ，CD DE ∴⊥ ……………………………………………………6分∴以D 为原点，以DE 为x 轴建立如图所示的坐标系，则(2,0,0)E ，(1,0,0)F ，(2,0,2)A ，)0,0,0(D⊥AE 平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，AE DE ∴⊥2AE DE ==，AD ∴=ABCD 为正方形，22CD ∴=，(0,22,0)C ∴由ABCD 为正方形可得：DB DA DC =+=，B ∴ 设平面BEF 的法向量为1111(,,)n x y z =(0,2)BE =--，(1,0,0)FE =由110n BE n FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111200z x ⎧--=⎪⇒⎨=⎪⎩，令11y =，则1z =1(0,1,n ∴= ……………………………………………………………………………8分设平面BCF 的法向量为2222(,,)n x yz =，(2,0,2)BC =--，(1,CF =-由222222220000x z n BC x n CF ⎧--=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩，令21y =，则2x =，2z =-2n ∴=- ……………………………………………………………………10分设二面角C BF E --的平面角的大小为θ，则12121212cos cos(,)cos ,||||n n n n n n n n θπ⋅=-<>=-<>=-⋅51==-∴二面角C BF E --的平面角的余弦值为51-……………………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）11()2n n n a a +⋅=，1121()2n n n a a +++∴⋅=，212n na a +∴=，即212n n a a += ………………………………………………………………2分221n n n b a a -=+，∴22112221221221111222n n n n n n n n n n a a b a a b a a a a -+++--++===++所以{}n b 是公比为12的等比数列. …………………………………………………………5分11a =，1212a a ⋅=，212a ∴=11232b a a ⇒=+=1313()222n n n b -∴=⨯=………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知212n n a a +=，所以135, , , a a a 是以11a =为首项，以12为公比的等比数列；246, , , a a a 是以212a =为首项，以12为公比的等比数列 …………10分21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++1111()[1()]322231121122n n n --=+=--- ………………………………………………………12分 20．（本小题满分13分）解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，所以动 圆P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切12||9||1PF RPF R =-⎧∴⎨=-⎩1212||||8||6PF PF F F ⇒+=>= ………………………………………2分 ∴圆心P 的轨迹为以12, F F 为焦点的椭圆，其中28, 26a c ==， 2224, 3, 7a c b a c ∴===-=故圆心P 的轨迹C ：221167x y += …………………………………………………………4分 （II ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+由221167x my x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 2232232112716112716mx m y m ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩2222233222112112112(1)||716716716m m OQ x y m m m +∴=+=+=+++ ……………………………6分 由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22(716)42490m y my ++-=1212224249,716716m y y y y m m ∴+=-=-++∴||MN ==21|y y =-=2256(1)716m m +==+………………………………8分 ∴2222256(1)||1716112(1)||2716m MN m m OQ m ++==++ ∴||MN 和2||OQ 的比值为一个常数，这个常数为12……………………………………9分（III ）//MN OQ ，∴2QF M ∆的面积2OF M =∆的面积，12OMN S S S S ∆∴=+=O 到直线:3MN x my =+的距离d =221156(1)||22716m S MN d m +∴=⋅=⨯=+ …………………………11分t =，则221m t =-(1)t ≥2284848497(1)16797t t S t t t t===-+++97t t +≥=97t t =，即t =7m =±时取等号） ∴当7m =±时，S 取最大值13分 21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）321()()x h x x x e -=-+，321()(42)x h x x x x e -'=-+(1)0h ∴=，(1)1h '=-∴()h x 在(1,(1))h 处的切线方程为：(1)y x =--，即1y x =-+………………………4分（Ⅱ）()(R,>0)ag x a x x'=∈，()ln g x a x c ∴=+ ()ln 0g e a e c a c a c ∴=+=+=⇒=，从而()ln g x a x =……………………………5分由()g x ≥2(2)x a x -++得：2(ln )2x x a x x -≤-．由于[1,]x e ∈时，ln 1x x ≤≤，且等号不能同时成立，所以ln x x <，ln 0x x ->．从而22ln x x a x x -≤-，为满足题意，必须2max 2()ln x xa x x -≤-． ………………………………6分 设22()ln x x t x x x -=-，[1,]x e ∈，则2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=-． [1,]x e ∈，10,ln 1,22ln 0x x x x ∴-≥≤+->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[1,]e 上为增函数，所以2max2()()1e e t x t e e -==-，从而221e e a e -≤-． ………………………………………9分（Ⅲ）设(,())P t F t 为()y F x =在1x ≤-时的图象上的任意一点，则1t ≤-PQ 的中点在y 轴上，Q ∴的坐标为(,())t F t --，1t ≤-，1t ∴-≥，所以32(,)P t t t -+，(,ln())Q t a t --，22(1)ln()OP OQ t at t t ⋅=----．由于0OP OQ ⋅<，所以(1)ln()1a t t --<． ……………………………………………11分 当1t =-时，(1)ln()1a t t --<恒成立，∴R a ∈；……………………………………12分 当1t <-时，1(1)ln()a t t <--，令1()(1)ln()t t t ϕ=--(1)t <-，则2(1)ln()()[(1)ln()]t t t t t t t ϕ-+-'=--1t <-，10, ln()0t t t ∴-<-<，()0t ϕ'∴>，从而1()(1)ln()t t t ϕ=--在(,1)-∞-上为增函数，由于t →-∞时，1()0(1)ln()t t t ϕ=→--，()0t ϕ∴>，0a ∴≤综上可知，a 的取值范围是(,0]-∞．……………………………………………………14分。
中考二模考试数学试题及答案
2014中考二模考试数学试题注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共24分；第Ⅱ卷为非选择题，96分；全卷共10页，满分120分，考试时间为120分钟．2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回．3．第Ⅰ卷每题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．无理数: （）15D. 52．下列各命题正确的是 : （）A.若两弧相等，则两弧所对圆周角相等B. 有一组对边平行的四边形是梯形.C.垂直于弦的直线必过圆心.D. 有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.3．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差4．已知反比例函数2kyx-=的图象如图所示，则一元二次方程22(21)10x k x k--+-=根的情况是（）A．有两个不等实根 B．有两个相等实根C．没有实根 D．无法确定5.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形②当AC⊥BD时，它是菱形③当∠ABC=90时，它是矩形④当AC=BDA．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，则一次函数abxy+=的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限第7题图7．如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC ∆纸片，点D E 、 分别在边AB AC 、上，将ABC ∆沿着DE 折叠压平，A 与A '重合， 若70A ∠=︒，则1+2∠∠=（ ） A ．70︒ B ．110︒ C ． 130︒ D ．140︒8. 在6张完全相同的卡片上分别画有线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形和圆各一个图形。
2014年山东省青岛市初中学业水平考试数学模拟试题(二)
2014年山东省青岛市初中学业水平考试数学模拟试题（二）（考试时间：120分钟；满分：120分）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题四个结论，中只有一个是正确的．不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1．-2的倒数的相反数是（）A．-21B．21C．2 D.-22．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D.3．青岛胶州湾大桥是我国自行设计、施工、建造的特大跨海大桥，也是当今世界上最长的跨海大桥，全长约36480m，用科学记数法表示36480这个数应为（）A．36.48×103 B．3.648×104 C．0.3648×105 D.3.648×1054．某几何体如图所示，则它的主视图为（）A． B．C． D.5．⊙O的直径为6，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相离 B. 相切 C. 相交 D.无法确定6．不透明的口袋中装有若干个完全相同的白球，为了估计它们的个数，现将两个黑球（除颜色外其他都与白球相同）放入口袋中，然后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，按此方法摸了100次，有20次摸到了黑球，则估计口袋中共有白球（）A． 7个 B. 8个 C. 9个 D.10个7．如图，小明从半径为5cm纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具4123321312213二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．计算：=-⨯-13218．10．如图，线段AB与圆O相切于点C，连接OA,OB,OB交圆O于点D，已知OA=OB=6，AB=63，则图中阴影部分的面积为 .13、如图，ABCD是一片长方形纸片，将其沿EF折叠后，点D和C分别落在D和C处，ED交BC于点G.若∠EFG=55°，则∠1等于 .14、观察下列第（1）、（2）、（3）个图形所对应的求小方格个数的算式，请你探究出求第（50）个图形所对应的小正方格个数的算式．并计算出第（50）个图形所对应的小正方格的个数第11题三、作图题：（本题满分4分）15、已知四边形ABCD ，确定点P 使PA=PD ，且点P 到边AB 、CD 的距离相等结论：四、解答题（本题满分74分，共9道题） 16、（本题满分8分，每题4分）（1）用配方法解方程：2210x x --= （2）化简：)1()11(2xx x -÷+17、（本题满分6分）学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了 名同学； （2）条形统计图中，m= ，n= ；（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 度；（4）学校计划购买课外读物共10000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？18、（本题满分6分）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上． （1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平20、（本题满分6分）某校计划添置20张办公桌和一批椅子（椅子不少于20把），现从A ，B 两家家具公司了解到：同一款式的产品价格相同，办公桌每张210元，椅子每把70元，A 公司的优惠政策为：每买一张办公桌赠送一把椅子，B 公司的优惠政策为：办公桌和椅子都实行8折优惠.①若到A 公司买办公桌的同时买m 把椅子，则应付款多少元？②若规定只能选择一家公司购买桌椅，什么情况到任一家公司购买付款一样多？DC B A19、（本题满分8分）热气球C从建筑物A的底部沿直线开始斜着往上飞行，当飞行了180米距离时到达如图中的位置，此时在热气球上测得两建筑物A，B底部的俯角分别为30°和60°﹒若此时热气球在地面的正投影D与点A，B在同一直线上﹒（1）求此时热气球离地面的高度CD的长；（2）求建筑物A，B之间的距离（结果中保留根号）21、（本题满分8分）如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90o，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE.(1)试探究四边形BECF是什么特殊的四边形；(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论。
山东省青岛市2014年中考数学真题试题(解析版)
山东省青岛市2014年中考数学真题试题一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1．（3分）（2014•青岛）﹣7的绝对值是（）A．﹣7 B．7C．﹣D．考点：绝对值．.分析：根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．解答：解：|﹣7|=7，故选：B．点评：本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．2．（3分）（2014•青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．.分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．解答：解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．（3分）（2014•青岛）据统计，我国2013年全年完成造林面积约6090000公顷．6090000用科学记数法可表示为（）A．6.09×106B．6.09×104C．609×104D．60.9×105考点：科学记数法—表示较大的数．.分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将6090000用科学记数法表示为：6.09×106．故选：A．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2014•青岛）在一个有15万人的小镇，随机调查了3000人，其中有300人看中央电视台的早间新闻．据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有（）A．2.5万人B．2万人C．1.5万人D．1万人考点：用样本估计总体．.分析：求得调查样本的看早间新闻的百分比，然后乘以该镇总人数即可．解答：解：该镇看中央电视台早间新闻的约有15×=1.5万，故选B．点评：本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中观看的百分比，难度不大．5．（3分）（2014•青岛）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和4，O1O2=5，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切考点：圆与圆的位置关系．.分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，O1O2=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，∴半径和为：2+4=6，半径差为：4﹣2=2，∵O1O2=5，2＜6＜6，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是：相交．故选C．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．6．（3分）（2014•青岛）某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm，则根据题意可列方程为（）A．﹣=2 B．﹣=2C．﹣=2 D．﹣=2考点：由实际问题抽象出分式方程．.分析：设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，根据采用新的施工方式，提前2天完成任务，列出方程即可．解答：解：设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，由题意得，﹣=2．故选D．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．7．（3分）（2014•青岛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（）A．4B．3C．4.5 D．5考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．解答：解：∵点C′是AB边的中点，AB=6，∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=（9﹣BF）2，解得，BF=4，故选：A．点评：本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．8．（3分）（2014•青岛）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．.分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．解答：解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误．故选：B．点评：本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）（2014•青岛）计算：= 2+1 ．考点：二次根式的混合运算．.专题：计算题．分析：根据二次根式的除法法则运算．解答：解：原式=+=2+1．故答案为2+1．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．（3分）（2014•青岛）某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量为200g）．为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了50袋，测得它们的实际质量分析如下：平均数（g）方差甲分装机200 16.23乙分装机200 5.84则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是乙（填“甲”或“乙”）．考点：方差．.分析：根据方差的意义，方差越小数据越稳定，比较甲，乙两台包装机的方差可判断．解答：解：∵=16.23，=5.84，∴＞，∴这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是乙．故答案为：乙．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．11．（3分）（2014•青岛）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是（1，0）．考点：坐标与图形变化-旋转．.专题：数形结合．分析：先画出旋转后的图形，然后写出B′点的坐标．解答：解：如图，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，点B的对应点B′的坐标为（1，0）．故答案为（1，0）．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．12．（3分）（2014•青岛）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是35 °．考点：切线的性质．.分析：首先连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°，可求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解答：解：连接OC，∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∴OC⊥CD，OB⊥BD，∴∠OCD=∠OBD=90°，∵∠BDC=110°，∴∠BOC=360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD=70°，∴∠A=∠BOC=35°．故答案为：35．点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．（3分）（2014•青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为2．考点：轴对称-最短路线问题；等腰梯形的性质．.分析：要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考虑转化PA、PB的值，从而找出其最小值求解．解答：解：∵E，F分别是底边AD，BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形，∴B点关于EF的对称点C点，∴AC即为PA+PB的最小值，∵∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，∴∠BAC=90°，∵AD=2，∴PA+PB的最小值=AB•tan60°=．故答案为：2．点评：考查等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．14．（3分）（2014•青岛）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要54 个小立方块．考点：由三视图判断几何体．.分析：首先根据该几何体的三视图确定需要的小立方块的块数，然后确定搭成一个大正方体需要的块数．解答：解：由俯视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，那么共有7+2+1=10个几何体组成．若搭成一个大正方体，共需4×4×4=64个小立方体，所以还需64﹣10=54个小立方体，故答案为：54．点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）（2014•青岛）已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．考点：作图—复杂作图．.分析：首先作∠ABC=α，进而以B为圆心a的长为半径画弧，再以A为圆心a为半径画弧即可得出C的位置．解答：解：如图所示：△ABC即为所求．点评：此题主要考查了复杂作图，得出正确的作图顺序是解题关键．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）（2014•青岛）（1）计算：÷；（2）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组；分式的乘除法．.分析：（1）首先转化为乘法运算，然后进行约分即可；（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．解答：解：（1）原式===；（2）解不等式①，得x＞．解不等式②，得x＜3．所以原不等式组的解集是＜x＜3．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．17．（6分）（2014•青岛）空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14 天，众数是13 天；（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）．考点：折线统计图；扇形统计图；中位数；众数．.分析：（1）利用折线统计图得出各数据，进而求出中位数和众数；（2）利用（1）中数据得出空气为优的所占比例，进而得出扇形A的圆心角的度数；（3）结合空气质量进而得出答案．解答：解：（1）由题意可得，数据为：8，9，12，13，13，13，15，16，17，19，21，21，最中间的是：13，15，故该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14天，众数是13天故答案为：14，13；（2）由题意可得：360°×=60°．答：扇形A的圆心角的度数是60°．（3）该市空气质量为优的月份太少，应对该市环境进一步治理，合理即可．点评：此题主要考查了折线统计图以及中位数和众数的概念，利用折线统计图分析数据是解题关键．18．（6分）（2014•青岛）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？考点：概率公式．.分析：（1）由转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先求得指针正好对准红色、黄色、绿色区域的概率，继而可求得转转盘的情况，继而求得答案．解答：解：（1）∵转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，∴P（转动一次转盘获得购物券）==．（2分）（2）∵P（红色）=，P（黄色）=，P（绿色）==，∴（元）∵40元＞30元，∴选择转转盘对顾客更合算．（6分）点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（6分）（2014•青岛）甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l1和l2分别表示甲、乙两人跑步的路程y（m）与甲跑步的时间x（s）之间的函数关系，其中l1的关系式为y1=8x，问甲追上乙用了多长时间？考点：一次函数的应用．.分析：设l2表示乙跑步的路程y（m）与甲跑步的时间x（s）之间的函数关系为y2=kx+b，代入（0，10），（2，22）求得函数解析式，进一步与l1的关系式为y1=8x联立方程解决问题．解答：解：设y2=kx+b（k≠0），代入（0，10），（2，22）得解这个方程组，得所以y2=6x+10．当y1=y2时，8x=6x+10，解这个方程，得x=5．答：甲追上乙用了5s．点评：本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．20．（8分）（2014•青岛）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.分析：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为xm，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD 的长度，然后根据BD﹣CD=80m，列出方程，求出x的值；（2）在Rt△ACD中，利用sin∠ACD=，代入数值求出AC的长度．解答：解：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为xm，在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，tan31°=，∴BD=≈=x，在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，tan39°=，∴C D=≈=x，∵BC=BD﹣CD，∴x﹣x=80，解得：x=180．即山的高度为180米；（2）在Rt△ACD中，∠ADC=90°，sin39°=，∴AC==≈282.9（m）．答：索道AC长约为282.9米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．21．（8分）（2014•青岛）已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△E OC；（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB=45 °时，四边形ACED是正方形？请说明理由．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．.分析：（1）根据平行线的性质可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根据中点定义可得DO=CO，然后可利用AAS 证明△AOD≌△EOC；（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，首先证明四边形ACED是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．∵O是CD的中点，∴OC=OD，在△ADO和△ECO中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．∵△AOD≌△EOC，∴OA=OE．又∵OC=OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B=∠AEB=45°，∴AB=AE，∠BAE=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠COE=∠BAE=90°．∴▱ACED是菱形．∵AB=AE，AB=CD，∴AE=CD．∴菱形ACED是正方形．故答案为：45．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．22．（10分）（2014•青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）考点：二次函数的应用．.分析：（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．解答：解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．点评：本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．23．（10分）（2014•青岛）数学问题：计算+++…+（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣．探究二：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，两边同除以2，得+++…+=﹣．探究三：计算+++…+．（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算+++…+．（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，所以，+++…+= ﹣．拓广应用：计算+++…+．考点：作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类．.专题：规律型．分析：探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以（m﹣1）即可得解；拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．解答：解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…，第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为：+++…+，最后的空白部分的面积是，根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，两边同除以3，得+++…+=﹣；解决问题：+++…+=1﹣，+++…+=﹣；故答案为：+++…+=1﹣，﹣；拓广应用：+++…+，=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣，=n﹣（+++…+），=n﹣（﹣），=n﹣+．点评：本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．24．（12分）（2014•青岛）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．考点：四边形综合题．.分析：（1））由四边形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出=．求出DF．由AP=DF．求出t．（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，求出CG．据S梯形APFD=（AP+DF）•CG．S△EFD=EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．在Rt△AOB中，AB==10．∵EF⊥BD，∴∠FQD=∠COD=90°．又∵∠FDQ=∠CDO，∴△DFQ∽△DCO．∴=．即=，∴DF=t．∵四边形APFD是平行四边形，∴AP=DF．即10﹣t=t，解这个方程，得t=．∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，即10•CG=×12×16，∴CG=．∴S梯形APFD=（AP+DF）•CG=（10﹣t+t）•=t+48．∵△DFQ∽△DCO，∴=．即=，∴QF=t．同理，EQ=t．∴EF=QF+EQ=t．∴S△EFD=EF•QD=×t×t=t2．∴y=（t+48）﹣t2=﹣t2+t+48．（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，则﹣t2+t+48=×96，即5t2﹣8t﹣48=0，解这个方程，得t1=4，t2=﹣（舍去）过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，当t=4时，∵△PBN∽△ABO，∴==，即==．∴PN=，BN=．∴EM=EQ﹣MQ==．PM=BD﹣BN﹣DQ==．在Rt△PME中，PE===（cm）．点评：本题主要考查了四边形的综合知识，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．。
2014山东省青岛市中考数学解析试卷
2014年山东省青岛市中考数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．（2014山东青岛 1，4分）－7的绝对值是（ ）A ．－7B ．7C ．71D ．71 【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【答案】B ．【考点解剖】本题考查了绝对值的运算，解题的关键是知道绝对值的运算规律．【解题思路】一个负数的绝对值是它的相反数．【解答过程】解：因为一个负数的绝对值是它的相反数，所以－7的绝对值是7，故选择B ．【关键词】 绝对值2．（2014山东青岛 2，3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【答案】D ．【考点解剖】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，解题的关键知道轴对称图形和中心对称图形的判断方法．【解题思路】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对四个选项中的图形分别判断图形的类型．【解答过程】解：A 是中心对称图形B 是中心对称图形C 是中心对称图形D 既是中心对称图形又是轴对称图形故选择D ．【关键词】轴对称图形 中心对称图形3．（2014山东青岛 3，3分）据统计，我国2013年全年完成造林面积约6090000公顷．6090000用科学记数法可表示为（ ）A ．66.0910⨯B ．46.0910⨯C ．460910⨯D ．560.910⨯【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【答案】A ．【考点解剖】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握如何将一个较大的数用科学记数法来表示．【解题思路】将6090000表示为a ×10n的形式（其中1≤a ＜10，n 为整数），n 等于原数的整数位数减1．【解答过程】解：6090000=66.0910⨯，故选择A ．【关键词】科学记数法--表示较大的数4．（2014山东青岛 4，3分）在一个有15万人的小镇，随机调查了3000人，其中有300人看中央电视台的早间新闻．据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有（ ）A ．2.5万人B ．2万人C ．1.5万人D ．1万人【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【答案】C ．【考点解剖】本题考查了用样本估计整体，解题的关键是理解用样本估计总体的方法．【解题思路】用15万乘以300与3000的比值，就是该镇看中央电视台早间新闻的大约人数．【解答过程】解：15万×3000300=1.5万人，故选择C ． 【关键词】用样本估计总体5．（2014山东青岛5，3分）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是2和4，O 1O 2＝5，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切 【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【答案】C ．【考点解剖】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握每一种圆与圆的位置关系中圆心距与两圆半径之间的关系．【解题思路】圆心距介于两圆半径之和和两圆半径的差之间，因此两圆相交．【解答过程】解：∵两圆的半径的和为6，两圆的半径差是2，O 1O 2＝5，∴2 < O 1O 2< 6，因此两圆相交，故选择C ．【关键词】圆与圆的位置关系6．（2014山东青岛6，3分）某工程队准备修建一条长1200m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x m ，则根据题意可列方程为（ ）A ．120012002(120%)x x -=-B ．120012002(120%)x x-=+ C ．120012002(120%)x x -=- D ．120012002(120%)x x-=+【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【答案】D ．【考点解剖】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意找出题目中的等量关系列出方程．【解题思路】原计划每天修建道路x m ，则实际每天修建道路（1+20%）x ，原计划修建道路的天数﹣实际修建道路的天数=2．【解答过程】解：原计划每天修建道路x m ，则实际每天修建道路（1+20%）x ，原计划修建道路的天数为x1200，实际修建道路的天数为x %)201(1200+，因此120012002(120%)x x -=+， 故选择D ．【关键词】分式方程的应用--工程问题7．（2014山东青岛7，3分）如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的 中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为（ ）A ．4 B． C ．4.5 D ．5【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级： ABF E CD D ′C ′3级：【答案】A ．【考点解剖】本题考查了图形折叠以及勾股定理，解题的关键是能掌握折叠的性质以及利用勾股定理列方程．【解题思路】根据折叠前后两个图形的对应线段相等，可知CF =C ′F ，设BF =x ，则CF =9﹣x ，BC ′=3，根据勾股定理列方程，求解出x 即可．【解答过程】解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF =C ′F ，设BF =x ，∵BC ＝9，则CF =9﹣x ，∴C ′F =9﹣x ，BC ′=3，在Rt △C ′BF 中，根据勾股定理可得，222B C BF F C '+='，即，2223)9(+=-x x ，解得4=x ，因此BF 的长是4，故选择A ．【关键词】轴对称变换性质 勾股定理8．（2014山东青岛8，3分）函数k y x=与2=-+y kx k （0k ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【答案】B ．【考点解剖】本题考查了反比例函数和二次函数在同一坐标系内的图象问题，解题的关键是能够掌握反比例函数和二次函数的图象与性质．【解题思路】分情况讨论k > 0和k < 0时，反比例函数与二次函数在坐标系的位置进行判断．【解答过程】解：当k > 0时，反比例函数k y x=经过一、三象限，二次函数2=-+y kx k 开口方向向下，与y 轴的交点在x 轴上方；当k < 0时，反比例函数k y x =经过二、四象限，二次函数2=-+y kx k 开口方向向上，与y 轴的交点在x 轴下方，故选择B ．【关键词】反比例函数的图象 二次函数图象与系数的关系二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（2014山东青岛9，3= .【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级： 【答案】122+．【考点解剖】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质以及二次根式的运算规律．【解题思路】先用分子中的每一项与分母相除，然后化为最简二次根式．【解答过程】解：12218555405540+=+=+=+ 故答案为122+．【关键词】二次根式混合运算10．（2014山东青岛10，3分）某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量为200g ）．为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了50袋，测得它们的实际质量分析如下：则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【答案】乙．【考点解剖】本题考查了方差的应用，解题的关键是知道方差的大小与数据的稳定程度之间的关系．【解题思路】观察图表，平均数相同，因此方差越小数据越稳定．【解答过程】解：根据题意，平均数相同，因此方差越小数据越稳定．故答案为乙．【关键词】方差11．（2014山东青岛11，3分）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是．【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【答案】（1，0）．【考点解剖】本题考查了旋转之后求点的坐标问题，解题的关键是找出旋转之后的对应点．【解题思路】旋转中心是点C，∠BCD=45°，绕点C逆时针旋转90°后，点B的对应点是点E．【解答过程】解：由题意可知，旋转中心是点C，观察图形，∠BCD=45°，绕点C逆时针旋转90°后，点B的对应点是点E，因此点B的对应点B′的坐标是（1，0）．故答案为（1，0）．【关键词】作图--旋转变换12．（2014山东青岛12，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC ＝110°．连接AC ，则∠A 的度数是 °．【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【答案】35．【考点解剖】本题考查了圆的切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质以及圆周角定理．【解题思路】连接CO ，∠OCD =∠OBD =90°，∠BDC ＝110°，∠COB =70°，根据圆周角定理计算出∠A 的度数．【解答过程】解：连接CO ，∵BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，∴∠OCD =∠OBD =90°，又∵∠BDC ＝110°，∴∠COB =70°，根据圆周角定理可知∠A =21∠COB =35°．故答案为35．（第12题）【关键词】切线的性质 圆周角定理13．（2014山东青岛13，3分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ＝2，∠BCD ＝60°，对角线AC 平分∠BCD ， E ，F 分别是底边AD ，BC 的中点，连接EF .点P 是EF 上的任意一点，连接PA ，PB ，则PA ＋PB 的最小值为 ．【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级： 【答案】32．【考点解剖】本题考查了两条线段和的最值问题，解题的关键是利用对称关系，将线段进行转换．【解题思路】连接CP ，等腰梯形关于EF 所在的直线对称，点P 在运动过程中总有BP =CP ，因此当A 、P 、C 三点共线时，PA ＋PB 的值最小，即AC 的长，△ABC 是直角三角形，∠ACD =∠DAC =30°，AB =CD =AD =2，利用三角函数求解出AC 的长．【解答过程】解：连接CP ，由题意可知，等腰梯形关于EF 所在的直线对称，点P 在运动过程中总有BP =CP ，因此当A 、P 、C 三点共线时，P A ＋PB 的值最小，即AC 的长，∠BCD ＝60°，对角线AC 平分∠BCD ，∴∠ACD =∠DAC =30°，AB =CD =AD =2，△ABC 是直角三角形，AC =AB ×tan ∠ABC =2×tan60°=32，因此P A ＋PB 的最小值为32，故答案（第12题）2．为3【关键词】轴对称--最短路线问题14．（2014山东青岛14，3分）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要个小立方块．【答案】【试题解析】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【答案】54．【考点解剖】本题考查了三视图，解题的关键是在俯视图上标出小立方块的个数．【解题思路】先通过主视图和左视图，在俯视图上标上小立方块的个数，计算出这些小立方块的总个数，大正方体的边长至少需要4个小立方块，因此构成大正方体共需要64块，再减去原先的小立方块，就是最少需要的小立方块个数．【解答过程】解：先通过主视图和左视图，在俯视图上标上小立方块的个数，如下图，可知原先几何体拥有的小立方块个数是10块，大正方体的边长至少需要4个小立方块，因此构成大正方体共需要64块，故还需要小立方块的个数是64﹣10=54个，故答案为54．1 1 11 2 31【关键词】由三视图判断几何体三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（2014山东青岛15，4分）已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝∠α．aα【试题解析】【试题答案】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【考点解剖】本题考查了作一个角等于已知角，用已知条件构造三角形，解题的关键是会作一个角等于已知角，并构造三角形．【解题思路】先作∠MBN=∠α，在BN上截取AB=a，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交射线BM于点C，连接AC．【解答过程】解：先作∠MBN=∠α，在BN上截取AB=a，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交射线BM于点C，连接AC，则△ABC就是所求三角形．【关键词】尺规作图--线段尺规作图--角尺规作图--与三角形有关四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（2014山东青岛16，8分）（1）计算：2211x xy y-+÷；【试题解析】【试题答案】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级： 3级：【考点解剖】（1）本题考查了分式的除法，解题的关键是根据分式的除法法则运算，并能正确的约分． 【解题思路】（1）根据分式的除法法则，将分式的除法转换为乘法，分式的分子分母是多项式的，能分解因式的先分解因式，然后约分．【解答过程】（1）解：原式＝2211x yy x -⋅+＝2(1)(1)1x x y y x +-⋅+ ＝1x y- ． 【关键词】分式的除法（2）解不等式组：35021x x ->⎧⎨->-⎩【试题解析】 【试题答案】 【难度】难、中、易 【知识点标签】1级： 2级： 3级：【考点解剖】（2）考查了解不等式组，解题的关键是根据不等式的基本性质，解出不等式，并正确的找出不等式组的解． 【解题思路】（2）根据不等式的基本性质，分别解出两个不等式，最后借助数轴找出不等式组的解集．【解答过程】（2）35021x x ->⎧⎨->-⎩解：解不等式①，得x ＞53．解不等式②，得x ＜3．①②所以，原不等式组的解集是53＜x ＜3． 【关键词】解一元一次不等式组 17．（2014山东青岛17，6分）空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．某市2013年每月空气质量良好以上天数统计图 某市2013年每月空气质量良好以上天数分布统计图根据以上信息解答下列问题： （1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是_____天，众数是_____天； （2）求扇形统计图中扇形A 的圆心角的度数；（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）． 【试题解析】 【试题答案】 【难度】难、中、易 【知识点标签】1级： 2级： 3级：【考点解剖】本题考查了折线统计图、扇形统计图、中位数和众数等，解题的关键是熟练掌握统计的知识． 【解题思路】（1）将这组数据按照一定的顺序排列，取中间两个数的平均数，就是中位数；取次数出现最多的那个数就是众数；（2）20天以上的一共有两个数据，所以360°×212＝60°，就是A 的圆心角的度数；（3）根据题意只要回答正确就可以． 【解答过程】解：（1）由题意可得，数据为：8，9，12，13，13，13，15，16，17，19，21，21，最中间的是：13，15，故该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14天，众数是13天．月份（2）360°×212＝60°，答：扇形A的圆心角的度数是60°．（3）答案不惟一，合理即可.如，每个月10-20天空气质量良好的占了多数；或该市空气质量为优的月份太少，应对该市环境进一步治理.等等.【关键词】折线统计图扇形统计图中位数众数18．（2014山东青岛18，6分）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？【试题解析】【试题答案】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【考点解剖】本题考查了概率及概率的简单应用，解题的关键是能找出获得购物券的所有可能结果．【解题思路】先找出获得购物券的所有可能结果，用这个数除以总的可能数就是转动一次转盘获得购物券的概率，分别计算出获得200元、100元、50元的购物券的概率，用所求得的每种购物券的概率与所获购物券的面值相乘，将他们相加，最后于30进行比较．【解答过程】解：（1）∵转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，∴P（转动一次转盘获得购物券）＝1020＝12．（2）∵P （红色）=，P （黄色）=，P （绿色）==，∴（元）∵40元＞30元，∴选择转转盘对顾客更合算．【关键词】概率 概率的简单应用--其它问题 19．（2014山东青岛19，5分）甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l 1和l 2分别表示甲、乙两人跑步的路程y (m)与甲跑步的时间x (s)之间的函数关系，其中l 1的关系式为y 1＝8x ，问甲追上乙用了多长时间？【试题解析】 【试题答案】 【难度】难、中、易 【知识点标签】1级： 2级： 3级：【考点解剖】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是会求一次函数关系式，并求得一次函数的交点坐标．【解题思路】先根据图象，直线l 2经过（0，10），（2，22），求出一次函数l 2的函数关系式，然后求出l 1和l 2的交点坐标． 【解答过程】解：设y 2＝kx ＋b （k ≠0），根据题意，可得方程组解这个方程组，得 x /sy /mO22 l 210l 1 10=22=2+b k b⎧⎨⎩610k b =⎧⎨=⎩所以y2＝6x＋10．当y1＝y2时，8x＝6x＋10，解这个方程，得x＝5．答：甲追上乙用了5s【关键词】一次函数实际应用20．（2014山东青岛20，8分）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈35，sin31°≈12，tan39°≈911，sin39°≈711）【试题解析】【试题答案】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【考点解剖】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造出直角三角形，并灵活求解直角三角线．【解题思路】过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为x m，在Rt△ABD中,∠ADB＝90°，tan31°＝ADBD，∴xBD35=，同理，在Rt△ACD中，求得xCD911=，根据BC BD CD=-求出x的值；在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，根据sin39°＝ADAC可求出AC的长度．【解答过程】解：（1）过点A 作AD ⊥BE 于D ， 设山AD 的高度为x m ，在Rt △ABD 中,∠ADB ＝90°，tan31°＝ADBD， ∴5=3tan3135AD x BD x =≈º．在Rt △ACD 中,∠ADC ＝90°， tan39°＝ADCD， ∴11=9tan39911AD x CD x =≈º．∵BC BD CD =- ∴ 5118039x x -=，解这个方程，得180x =.即山的高度为180米. （2）在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，sin39°＝ADAC， ∴180282.97sin3911AD AC =≈≈º（米）． 答：索道AC 长约为282.9米【关键词】解直角三角形的应用--其它应用 21．（2014山东青岛21，8分）已知：如图，□ABCD 中，O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ． （1）求证：△AOD ≌△EOC ；（2）连接AC ，DE ，当∠B =∠AEB = °时，四边形ACED 是正方形？请说明理由．【试题解析】 【试题答案】 【难度】难、中、易 【知识点标签】1级： 2级： 3级：【考点解剖】本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定，解题的关键根据题意找出三角形全等和构成正方形的条件．【解题思路】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E ． OC ＝OD ，所以△AOD ≌△EOC ．（2）当∠B ＝∠AEB ＝45°时，根据△AOD ≌△EOC ，先证明四边形ACED 是平行四边形，再根据∠COE ＝∠BAE ＝90°，得到□ACED 是菱形，AB ＝AE ，AB ＝CD ，AE ＝CD ，菱形ACED 是正方形．【解答过程】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E ． 又∵OC ＝OD ， ∴△AOD ≌△EOC ．（2）当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形.∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE．又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形.∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠COE＝∠BAE＝90°．∴□ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD．∴菱形ACED是正方形.【关键词】全等三角形的判定—AAS 正方形的判定22．（2014山东青岛22，10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）【试题解析】【试题答案】【难度】难、中、易【知识点标签】1级：2级：3级：【考点解剖】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意列出二次函数关系式并能转换为顶点式求出二次函数的最值．【解题思路】（1）根据单件产品的利润乘以总的销量得到总利润，列出函数关系式；（2）将二次函数关系式转化为顶点式，求出最值；（3）当y ＝4000时，－5(x －80)2＋4500＝4000，解这个方程，得x 1＝70，x 2＝90．当70≤x ≤90时，每天的销售利润不低于4000元，由每天的总成本不超过7000元，得50（－5x ＋550）≤7000，解不等式，得x ≥82．∴82≤x ≤90，∵50≤x ≤100，销售单价应该控制在82元至90元之间． 【解答过程】解：（1）y ＝（x －50）[50＋5（100－x ）]＝（x －50）（－5x ＋550）＝－5x 2＋800x －27500 ∴y ＝－5x 2＋800x －27500． （2）y ＝－5x 2＋800x －27500＝－5(x －80)2＋4500 ∵a ＝－5＜0， ∴抛物线开口向下．∵50≤x ≤100，对称轴是直线x ＝80， ∴当x ＝80时，y 最大值＝4500．（3）当y ＝4000时，－5(x －80)2＋4500＝4000，解这个方程，得x 1＝70，x 2＝90．∴当70≤x ≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50（－5x ＋550）≤7000，解这个不等式，得x ≥82．∴82≤x ≤90，∵50≤x ≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间． 【关键词】二次函数的应用--销售和利润 23．（2014山东青岛23，10分） 数学问题：计算231111n m m mm++++（其中m ，n 都是正整数，且m ≥2，n ≥1）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算2311112222n++++． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为21122+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；……第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和 为2311112222n ++++，最后空白部分的面积是12n ．根据第n次分割图可得等式：2311112222n ++++＝112n -． 探究二：计算2311113333n++++． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为22233+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……； ……第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为2322223333n ++++，最后空白部分的面积是13n．根据第n 次分割图可得等式：2322223333n ++++＝113n -，两边同除以2， 得2311113333n ++++＝11223n-⨯．探究三：计算2311114444n ++++． （仿照上述方法，只画出第n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）2n2n…第1次分割第2次分割第3次分割 第n 次分割3n3n…第1次分割第2次分割第3次分割 第n 次分割解决问题：计算231111nm m mm ++++． （只需画出第n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空） 根据第n 次分割图可得等式： ， 所以，231111nm m mm ++++＝ ． 拓广应用：计算 2323515151515555n n ----++++ ． 【试题解析】 【试题答案】 【难度】难、中、易 【知识点标签】1级： 2级： 3级：【考点解剖】本题考查了通过几何图形借助数形结合对代数问题进行探究，解题的关键是能根据给出的已知的探究思路对问题进行探究．【解题思路】通过对2311112222n ++++和2322223333n++++的探究思路发现，把正方形的面积四等分，依次分割下去，就可得到2333334444n ++++，最后的空白部分的面积是14n ，可以得到2333334444n ++++＝114n -，两边同除以3， 得2311114444n ++++＝第n 次分割第n 次分割11334n -⨯．类比，根据第n 次分割图可得231111n m m m m m m m m ----++++＝11nm -，2323515151515555n n ----++++n 511...51151151132-++-+-+-=类比以上式子即可．【解答过程】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为34； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为23344+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，……；……第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为2333334444n ++++，最后的空白部分的面积是14n ， 根据第n 次分割图可得等式：2333334444n ++++＝114n -，两边同除以3， 得2311114444n ++++＝11334n-⨯．解决问题： 231111n m m m m m m m m ----++++＝11nm -，111(1)nm m m ---⨯．第n 次分割拓广应用：原式【关键词】数形结合思想 归纳概括型阅读理解问题 24．（2014山东青岛24，12分）已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝12cm ，BD ＝16cm ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，直线EF 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm/s ，EF ⊥BD ，且与AD ，BD ，CD 分别交于点E ，Q ，F ；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动．连接PF ，设运动时间为t (s)（0＜t ＜8）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，四边形APFD 是平行四边形？（2）设四边形APFE 的面积为y (cm 2)，求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形APFE∶S菱形ABCD＝17∶40？若存在，求出t 的值，并求出此时P ，E 两点间的距离；若不存在，请说明理由．【试题解析】第n 次分割nmnmD2323111111115555111155551144511411()445445nn n n nn n n n =-+-+-++-⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⨯⎝⎭-=-++⨯⨯或【试题答案】 【难度】难、中、易 【知识点标签】1级： 2级： 3级：【考点解剖】本题考查了动点、动直线、菱形、梯形、相似、二次函数、一元二次方程、勾股定理等知识，解题的关键是能根据题意推理出几何关系，与要解决的量建立关联． 【解题思路】（1）菱形的对角线已知，可求出菱形的边长，△DFQ ∽△DCO ，可用t 表示出DF 的长，四边形APFD 是平行四边形，AP ＝DF ，可列出关于t 的方程；（2）根据菱形的面积，利用“等积法”计算出菱形的高，即梯形APFD 的高，可用t 表示出梯形APFD 的面积，根据△DFQ ∽△DCO ，表示出QF 的长，因此可表示出△EFD 的面积，四边形APFE 的面积等于梯形APFD 的面积减去△EFD 的面积；（3）根据（2）中表示出的四边形APFE 的面积，利用S 四边形APFE ∶S 菱形ABCD ＝17∶40，建立方程，求解出t ，过点P 作PM ⊥EF 于点M ，PN ⊥BD 于点N ，根据相似求出EM 的值，再根据勾股定理求PE 的值． 【解答过程】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，OA ＝OC =12AC ＝6，OB ＝OD =12BD ＝8．在Rt △AOB 中，AB ＝10． ∵EF ⊥BD ，∴∠FQD ＝∠COD ＝90°． 又∵∠FDQ ＝∠CDO ， ∴△DFQ ∽△DCO ． ∴DF DC ＝QDOD ． 即10DF ＝8t， ∴DF ＝54t ． ∵四边形APFD 是平行四边形， ∴AP ＝DF ． 即10－t ＝54t ， 解这个方程，得t ＝409．答：当t ＝409s 时，四边形APFD 是平行四边形．（2）过点C 作CG ⊥AB 于点G ，∵S 菱形ABCD ＝AB ·CG ＝12AC ·BD ， 即10·CG ＝12×12×16， ∴CG ＝485． ∴S 梯形APFD ＝12（AP ＋DF ）·CG ＝12（10－t ＋54t ）·485＝65t ＋48． ∵△DFQ ∽△DCO ， ∴QD OD ＝QFOC． 即8t ＝6QF ， ∴QF ＝34t ． 同理，EQ ＝34t ． ∴EF ＝QF ＋EQ ＝32t ． ∴S △EFD ＝12EF ·QD ＝ 12×32t ×t ＝34t 2． ∴y ＝（65t ＋48）－34t 2＝－34t 2＋65t ＋48． （3）若S 四边形APFE ∶S 菱形ABCD ＝17∶40，则－34t 2＋65t ＋48＝1740×96， 即5t 2－8t －48＝0，D解这个方程，得t 1＝4，t 2＝－125（舍去） 过点P 作PM ⊥EF 于点M ，PN ⊥BD 于点N ， 当t ＝4时， ∵△PBN ∽△ABO ， ∴PN AO ＝PB AB ＝BN BO ，即6PN ＝410＝8BN． ∴PN ＝125，BN ＝165． ∴EM ＝EQ －MQ ＝1235-＝35． PM ＝BD －BN －DQ ＝161645--＝445． 在Rt △PME 中，PE(cm)．【关键词】相似三角形的性质和判定 菱形的面积 平行四边形的判定 勾股定理 方程与函数思想D。
【首发2014青岛二模】山东省青岛市2014届高三第二次模拟考试文科数学含答案
高三自评试题数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{|02},{|11}A y y B x x =≤<=-<<，则R ()A B = ðA ．{|01}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|01}x x ≤< 2. 已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 A ．3- B ．1 C ．1- D ．33. 数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，11a =，则10a = A ．5 B ．1- C ．0 D ．14. 函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则(0)f 的值为A ．1B ．0 CD5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =A ．2-B ．1-C ．0D ．16. 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是A ．0B ．1-C ．2-D ．3- 7. 某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生A ．1030人B ．97人C ．950人D ．970人 8. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>， 则2w a b =-的取值范围是A ．21[,]32-B ．2(,0)3-C ．1(0,)2D ．21(,)32- 9. 已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =，AC ，BC AD ⊥，则关于该三棱锥的下列叙述正确的为A.表面积13)2S =B.表面积为12)2S = C.体积为1V = D. 体积为23V =10. 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =，则关于x 的方程1()||2f x x =在[1,2]-上根的个数是 A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线24x y =的焦点坐标为 ； 12. 已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到),(y x 的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为60y bx=+，其中b 的值没有写上．当x 等于5-时，预测y 的值为 ；13. 已知||2, ||4a b == ，a 和b 的夹角为3π，以, a b 为邻边作平行四边形，则该四边形的面积为 ；14. 如图，()y f x =是可导函数，直线l 是曲线)(x f y =在4=x 处的切线，令()()f x g x x =，则(4)g '= ；15. 对于下列命题：①函数()12f x ax a =+-在区间(0,1)内有零点的充分不必要条件是1223a <<；②已知,,,E F G H 是空间四点，命题甲：,,,E F G H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件； ④“01m <<”是“方程22(1)1mx m y +-=表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数2()cos888f x x x x πππ=+-R ∈x ．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数)(x f 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点,求OPQ ∆的外接圆的面积.17．（本小题满分12分） 已知函数4()f x ax x=+. （Ⅰ）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点．（Ⅰ）求证：//BE 平面ACF ； （Ⅱ）求四棱锥ABCD E -的体积.19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：1211,,2a a ==且2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=*N n ∈． （Ⅰ）令21n nb a -=，判断{}n b 是否为等差数列，并求出n b ； （Ⅱ）记{}n a 的前2n 项的和为2n T ，求2n T ．ACBE F20．（本小题满分13分）已知函数()x f x e ax =+，()ln g x ax x =-，其中0a <，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）若()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 在[0,2]x ∈上的最小值；（Ⅲ）试探究能否存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出)(x f 和()g x 在区间M 上的单调性；若不能存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记QMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.高三自评试题数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． B D D A C C D D A B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.(0,1) 12.7013. 14．316-15．①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2()cos1)888f x x x x πππ=-2sin()4444x x x ππππ=+=+，……………………………………………2分所以，函数)(x f 的最小正周期为284T ππ==． ………………………………………3分由222442k x k ππππππ-≤+≤+（Z ∈k ）得8381k x k -≤≤+（Z ∈k ），∴函数)(x f 的单调递增区间是[]83,81k k -+（Z ∈k ）………………………………5分（Ⅱ）(2)2sin()2cos 244f πππ=+==(4)2sin()2sin 44f πππ=+=-=(4,P Q ∴ ……………………………………………………………………7分||||||OP PQ OQ ∴==从而cos 3||||OP OQ POQ OP OQ ⋅∠===⋅sin POQ∴∠==，………………………………………………10分设OPQ∆的外接圆的半径为R，由||2sinPQRPOQ=∠||2sin2PQRPOQ⇒===∠∴OPQ∆的外接圆的面积292S Rππ==………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 函数()2y f x=-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点，∴()20f x-=，即2240ax x-+=有两个不同的正根1x和2x1212244160ax xax xaa≠⎧⎪⎪+=>⎪∴⎨⎪=>⎪⎪∆=->⎩14a⇒<<………………………………………………………4分114()416P A∴==…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由已知：0,0a x>>，所以()f x≥()f x≥min()f x∴=，()2bxf>在()0,x∈+∞恒成立2b∴>……()*……………………………8分当1a=时，1b=适合()*；当2,3,4,5a=时，1,2b=均适合()*；当6a=时，1,2,3b=均适合()*；满足()*的基本事件个数为18312++=. ………………………………………………10分而基本事件总数为6636⨯=，……………………………………………………………11分121()363P B∴==. ………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）证明：(Ⅰ) 连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，…………………………………………1分 ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，BE OF //∴， ……………………………………………………………………………4分 BE ⊄ 平面ACF ，OF ⊂平面ACF//BE ∴平面ACF ．……………………………………………5分(Ⅱ) 作EG AD ⊥于G⊥AE 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，CD AE ⊥∴， ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥，,,AE AD A AD AE =⊂ 平面DAE ，⊥∴CD 平面DAE ， ………………………………………………………………………7分 CD EG ∴⊥，AD CD D = ，EG ∴⊥平面ABCD ………………………………8分⊥AE 平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，AE DE ∴⊥，2AE DE ==，AD ∴=，EG = …………………………………………10分∴四棱锥ABCD E -的体积211333ABCD V S EG =⨯=⨯ …………………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=21212121[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a --+-∴+--+--=即21212n n a a +--=……………………………………………………………………………4分21n n b a -=，121212n n n n b b a a ++-∴-=-={}n b ∴是以111b a ==为首项，以2为公差的等差数列 …………………………………5分 1(1)221n b n n =+-⨯=- …………………………………………………………………6分OACBE FG（Ⅱ）对于2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--= 当n 为偶数时，可得2(31)22(11)0,n n a a ++-+-=即212n n a a +=， 246 , , , a a a ∴ 是以212a =为首项，以12为公比的等比数列；………………………8分当n 为奇数时，可得2(31)22(11)0,n n a a +--+--=即22n n a a +-=，135 , , , a a a ∴ 是以11a =为首项，以2为公差的等差数列…………………………10分 21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++11[(1()]122[1(1)2]1212n n n n -=⨯+-⨯+-2112n n =+- ……………………………12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()ln g x ax x =- ，(1)g a ∴=，1()g x a x'=-()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，1(1)13g '∴⨯=-1(1)123a a ⇒-⋅=-⇒=- ………………………………………………………………3分（Ⅱ）()f x 的定义域为R ，且 ()e xf x a '=+．令()0f x '=，得ln()x a =-． …………………………………………………………4分 若ln()0a -≤，即10a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[0,2]x ∈上为增函数，∴min ()(0)1f x f ==；………………………………………………………………………5分 若ln()2a -≥，即2a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[0,2]x ∈上为减函数，∴2min ()(2)2f x f e a ==+； ……………………………………………………………6分若0ln()2a <-<，即21e a -<<-时，由于[0,ln())x a ∈-时，()0f x '<；(ln(),2]x a ∈-时，()0f x '>， 所以min ()(ln())ln()f x f a a a a =-=--综上可知22min21, 10()2, ln(),1a f x e a a e a a a e a -≤<⎧⎪=+≤-⎨⎪---<<-⎩………………………………………8分 （Ⅲ）()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11()ax g x a x x-'=-=． 0a <时，()0g x '∴<，()g x ∴在(0,)+∞上单调递减．……………………………9分令()0f x '=，得ln()x a =-①若10a -≤<时，ln()0a -≤，在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x ∴单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；………………………………………………………………………………10分 ②若1a <-时，ln()0a ->，在(,ln())a -∞-上()0f x '<，()f x 单调递减；在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x 单调递增．由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数． 综上，当10a -≤≤时，不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；当1a <-时，存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数．…………………………………………………………………………………………13分 21．（本小题满分14分）解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，所以动 圆P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切12||9||1PF R PF R =-⎧∴⎨=-⎩1212||||8||6PF PF F F ⇒+=>= ………………………………………2分 ∴圆心P 的轨迹为以12, F F 为焦点的椭圆，其中28, 26a c ==， 2224, 3, 7a c b a c ∴===-=故圆心P 的轨迹C ：221167x y += …………………………………………………………4分 （II ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+ 由221167x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 2232232112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩ 2222233222112112112(1)||716716716m m OQ x y m m m +∴=+=+=+++ ……………………………6分 由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22(716)42490m y my ++-= 1212224249,716716m y y y y m m ∴+=-=-++∴||MN ==21|y y =-=2256(1)716m m +==+………………………………8分 ∴2222256(1)||1716112(1)||2716m MN m m OQ m ++==++∴||MN 和2||OQ 的比值为一个常数，这个常数为12……………………………………9分 （III ）//MN OQ ，∴QMN ∆的面积OMN =∆的面积 O 到直线:3MN x my =+的距离d =221156(1)||22716m S MN d m +∴=⋅=⨯=+…………………………11分t =，则221m t =-(1)t ≥ 2284848497(1)16797t t S t t t t===-+++97t t +≥= （当且仅当97t t =，即t =7m =±时取等号） ∴当m =时，S取最大值14分。
【2014青岛二模】山东省青岛市2014届高三第二次模拟考试 文科数学 Word版含答案
高三自评试题数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{|02},{|11}A y y B x x =≤<=-<<，则R ()AB =ðA ．{|01}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|01}x x ≤< 2. 已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 A ．3- B ．1 C ．1- D ．33. 数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，11a =，则10a = A ．5 B ．1- C ．0 D ．14. 函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则(0)f 的值为A ．1B ．0 CD5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =A ．2-B ．1-C ．0D ．16. 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是A ．0B ．1-C ．2-D ．3- 7. 某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生A ．1030人B ．97人C ．950人D ．970人 8. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>， 则2w a b =-的取值范围是A ．21[,]32-B ．2(,0)3-C ．1(0,)2D ．21(,)32- 9. 已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =，AC BC AD ⊥，则关于该三棱锥的下列叙述正确的为A.表面积13)2S =B.表面积为12)2S = C.体积为1V = D. 体积为23V =10. 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =，则关于x 的方程1()||2f x x =在[1,2]-上根的个数是 A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线24x y =的焦点坐标为 ； 12. 已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到),(y x 的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为60y bx =+，其中b 的值没有写上．当x 等于5-时，预测y 的值为 ； 13. 已知||2, ||4a b ==，a 和b 的夹角为3π，以, a b 为邻边作平行四边形，则该四边形的面积为 ；14. 如图，()y f x =是可导函数，直线l 是曲线)(x f y =在4=x 处的切线，令()()f x g x x =，则(4)g '= ；15. 对于下列命题：①函数()12f x ax a =+-在区间(0,1)内有零点的充分不必要条件是1223a <<；②已知,,,E F G H 是空间四点，命题甲：,,,E F G H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件； ④“01m <<”是“方程22(1)1mx m y +-=表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数2()cos888f x x x x πππ=+R ∈x ．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数)(x f 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点,求OPQ ∆的外接圆的面积.17．（本小题满分12分） 已知函数4()f x ax x=+. （Ⅰ）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点．（Ⅰ）求证：//BE 平面ACF ； （Ⅱ）求四棱锥ABCD E -的体积.19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：1211,,2a a ==且2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=*N n ∈． （Ⅰ）令21n nb a -=，判断{}n b 是否为等差数列，并求出n b ； （Ⅱ）记{}n a 的前2n 项的和为2n T ，求2n T ．ACBE F20．（本小题满分13分）已知函数()x f x e ax =+，()ln g x ax x =-，其中0a <，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）若()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 在[0,2]x ∈上的最小值；（Ⅲ）试探究能否存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出)(x f 和()g x 在区间M 上的单调性；若不能存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记QMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.高三自评试题数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． B D D A C C D D A B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.(0,1) 12.7013. 14．316-15．①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2()cos1)888f x x x x πππ=-2sin()4444x x x ππππ=+=+，……………………………………………2分所以，函数)(x f 的最小正周期为284T ππ==． ………………………………………3分由222442k x k ππππππ-≤+≤+（Z ∈k ）得8381k x k -≤≤+（Z ∈k ），∴函数)(x f 的单调递增区间是[]83,81k k -+（Z ∈k ）………………………………5分（Ⅱ）(2)2sin()2cos 244f πππ=+==(4)2sin()2sin 44f πππ=+=-=(4,P Q ∴ ……………………………………………………………………7分||||||OP PQ OQ ∴==从而cos 3||||OP OQ POQ OP OQ ⋅∠===⋅sin POQ∴∠==，………………………………………………10分设OPQ∆的外接圆的半径为R，由||2sinPQRPOQ=∠||2sin2PQRPOQ⇒===∠∴OPQ∆的外接圆的面积292S Rππ==………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()2y f x=-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点，∴()20f x-=，即2240ax x-+=有两个不同的正根1x和2x1212244160ax xax xaa≠⎧⎪⎪+=>⎪∴⎨⎪=>⎪⎪∆=->⎩14a⇒<<………………………………………………………4分114()416P A∴==…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由已知：0,0a x>>，所以()f x≥()f x≥min()f x∴=，()2bxf>在()0,x∈+∞恒成立2b∴>……()*……………………………8分当1a=时，1b=适合()*；当2,3,4,5a=时，1,2b=均适合()*；当6a=时，1,2,3b=均适合()*；满足()*的基本事件个数为18312++=. ………………………………………………10分而基本事件总数为6636⨯=，……………………………………………………………11分121()363P B∴==. ………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）证明：(Ⅰ) 连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，…………………………………………1分ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，BE OF //∴， ……………………………………………………………………………4分 BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF//BE ∴平面ACF ．……………………………………………5分(Ⅱ) 作EG AD ⊥于G⊥AE 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，CD AE ⊥∴， ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥，,,AE AD A AD AE =⊂平面DAE ，⊥∴CD 平面DAE ， ………………………………………………………………………7分 CD EG ∴⊥，AD CD D =，EG ∴⊥平面ABCD ………………………………8分⊥AE 平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，AE DE ∴⊥，2AE DE ==，AD ∴=，EG = …………………………………………10分∴四棱锥ABCD E -的体积211333ABCDV SEG =⨯=⨯…………………………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=21212121[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a --+-∴+--+--=即21212n n a a +--=……………………………………………………………………………4分21n n b a -=，121212n n n n b b a a ++-∴-=-={}n b ∴是以111b a ==为首项，以2为公差的等差数列 …………………………………5分 1(1)221n b n n =+-⨯=- …………………………………………………………………6分OACBE FG（Ⅱ）对于2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--= 当n 为偶数时，可得2(31)22(11)0,n n a a ++-+-=即212n n a a +=， 246 , , , a a a ∴是以212a =为首项，以12为公比的等比数列；………………………8分当n 为奇数时，可得2(31)22(11)0,n n a a +--+--=即22n n a a +-=，135 , , , a a a ∴是以11a =为首项，以2为公差的等差数列…………………………10分21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++11[(1()]122[1(1)2]1212n n n n -=⨯+-⨯+-2112n n =+- ……………………………12分 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()ln g x ax x =-，(1)g a ∴=，1()g x a x'=-()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，1(1)13g '∴⨯=-1(1)123a a ⇒-⋅=-⇒=- ………………………………………………………………3分（Ⅱ）()f x 的定义域为R ，且 ()e xf x a '=+．令()0f x '=，得ln()x a =-． …………………………………………………………4分 若ln()0a -≤，即10a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[0,2]x ∈上为增函数，∴min ()(0)1f x f ==；………………………………………………………………………5分 若ln()2a -≥，即2a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[0,2]x ∈上为减函数，∴2min ()(2)2f x f e a ==+； ……………………………………………………………6分若0ln()2a <-<，即21e a -<<-时，由于[0,ln())x a ∈-时，()0f x '<；(ln(),2]x a ∈-时，()0f x '>， 所以min ()(ln())ln()f x f a a a a =-=--综上可知22min21, 10()2, ln(),1a f x e a a e a a a e a -≤<⎧⎪=+≤-⎨⎪---<<-⎩………………………………………8分 （Ⅲ）()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11()ax g x a x x-'=-=．0a <时，()0g x '∴<，()g x ∴在(0,)+∞上单调递减．……………………………9分令()0f x '=，得ln()x a =-①若10a -≤<时，ln()0a -≤，在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x ∴单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；………………………………………………………………………………10分 ②若1a <-时，ln()0a ->，在(,ln())a -∞-上()0f x '<，()f x 单调递减；在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x 单调递增．由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数． 综上，当10a -≤≤时，不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；当1a <-时，存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数．…………………………………………………………………………………………13分 21．（本小题满分14分）解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，所以动 圆P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切高三数学（文科）试题 第11页（共12页）12||9||1PF R PF R =-⎧∴⎨=-⎩1212||||8||6PF PF F F ⇒+=>= ………………………………………2分 ∴圆心P 的轨迹为以12, F F 为焦点的椭圆，其中28, 26a c ==， 2224, 3, 7a c b a c ∴===-=故圆心P 的轨迹C ：221167x y += …………………………………………………………4分 （II ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+ 由221167x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 2232232112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩ 2222233222112112112(1)||716716716m m OQ x y m m m +∴=+=+=+++ ……………………………6分 由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22(716)42490m y my ++-= 1212224249,716716m y y y y m m ∴+=-=-++∴||MN ==21|y y =-=2256(1)716m m +==+………………………………8分 ∴2222256(1)||1716112(1)||2716m MN m m OQ m ++==++高三数学（文科）试题 第12页（共12页） ∴||MN 和2||OQ 的比值为一个常数，这个常数为12……………………………………9分 （III ）//MN OQ ，∴QMN ∆的面积OMN =∆的面积 O 到直线:3MN x my =+的距离d =221156(1)||22716m S MN d m +∴=⋅=⨯=+…………………………11分t =，则221m t =-(1)t ≥ 2284848497(1)16797t t S t t t t===-+++97t t +≥=（当且仅当97t t =，即t =7m =±时取等号） ∴当m =时，S 取最大值14分。