高等代数答案-第三章
高等代数(北大版第三版)习题答案I
高等代数(北大版第三版)习题答案I篇一：高等代数(北大版)第3章习题参考第三章线性方程组1．用消元法解以下线性方程组：?x1?x?1?1)?x1x1x13x25x34x413x22x32x42x2x3x4x54x2x3x4x52x2x3x4x5 x12x23x42x51x5??1?x1x23x3x43x523 2)2x?3x?4x?5x?2x?72345?139x9x6x16x2x252345?11x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44x3?x2?0?x2?x3?x4??3?2x1?3x2?343)?4)?4x?11x?13x?16x?0x?3x??x?123424?1?17x?3x?x3?7x?2x?x?3x0234234??1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1?3x1?2x2?x3?x4?13x1?2x2?2x3?3x4?25)? 6)?2x1?3x2?x3?x4?12x2x2xx15x1x2x32x4123412xxx3x4234?15x1?5x2?2x3?2解1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有111111000033?2?420000?1521112?3?20?1?4?2?11?1?1200101?1?11010001??110??30??3??01?011?200?0000030?5?7?10000?15?3?4?4?400?200423581200001?1?11010001?2?2? ?221?2?0? ?0?0由于rank(A)?rank(B)?4?5，因此方程组有无穷多解，其同解方程组为x1x412x1x52，?2x03x?x?0?24解得x1x2x3x4x51kk0k22k其中k为任意常数。
2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有112910 ??002?1?3?920?3463151632?3221??120?0725022?3?7?27120?346341110?2?5?2?1631?1 5161334512529?8?011??333033?2529??72?10??334?512529? 8001?1?3330000??01?由于rank(A)?4?rank(A)?3，因此原方程无解。
高等代数答案-第三章
第三章 线性方程组1． 用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=ìï++-+=-ïï-+--=íï-++-=ïï++-+=-î 124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï--+-=ïí-+-+=ïï-+-+=î 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=ìï-+=-ïí+++=ïï-++=-î 123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï-+-=ïí+-+=ïï-++=-î 123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï-+-=ïí+-+=-ïï-+-=î 12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=ìï++-=ïï+++=íï++-=ïï++=î解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--éùéùêúêú----êúêúêúêú®------êúêú-----êúêúêúêú-----ëûëû102101100101003212000212002000002000000000000000011100010000--éùéùêúêú---êúêúêúêú®®--êúêúêúêúêúêú---ëûëû因为()()45rank A rank B ==<所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1415324122200x x x x x x x -=ìï+=-ïí-=ïï-+=î 解得123451022x k x k x x k x k=+ìï=ïï=íï=ïï=--î 其中k 为任意常数.2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有120321120321113132033451234527074125996162250276111616--éùéùêúêú------êúêú®êúêú----êúêú---ëûëû 120321120321033451033451252982529800110011333333003325297000001--éùéùêúêú------êúêú®®êúêú--êúêúêúêú--êúêúëûëû因为()4()3rank A rank A =>=所以原方程无解.3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有1234412344011130111313011053530731307313----éùéùêúêú----êúêú®êúêú--êúêú----ëûëû1012210008011130100300201200201200482400080---éùéùêúêú--êúêú®®êúêúêúêú--ëûëû因为(()4rank A rank A ==所以方程组有惟一解，且其解为12348360x x x x =-ìï=ïí=ïï=î 4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有34571789233223324111316411131672137213--éùéùêúêú----êúêú®êúêú--êúêú--ëûëû 17891789017192001719200171920000003438400000--éùéùêúêú----êúêú®®êúêú-êúêú--ëûëû即原方程组德同解方程组为123423478901719200x x x x x x x +-+=ìí-+-=î由此可解得1122123142313171719201717x k k x k k x k x k ì=-ïïï=-íï=ïï=î 其中12,k k 是任意常数g5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有2111121111322327001451121300122113440025--éùéùêúêú---êúêú®êúêú---êúêú---ëûëû 21111211117001470014100002100002100300001--éùéùêúêú--êúêú®®êúêúêúêú---ëûëû 因为()4()3rank A rank A =¹=所以原方程组无解.6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有12311354023211125202231112311122211453025520255202éùéùêúêú-êúêúêúêú®êúêú-êúêúêúêúëûëû2020000000552020570211611010015555101001010000000-éùéùêúêúêúêúêúêú®®-----êúêúêúêú--êúêúêúêúëûëû即原方程组的同解方程组为23341357261550x x x x x x +=ìïï-+=-íï-+=ïî 解之得123427551655x k x k x k x k =ìïï=-ïí=ïï=-+ïî其中k 是任意常数.2.把向量b 表成1234,,,a a a a 的线性组合.12341)(1,2,1,1)(1,1,1,1),(1,1,1,1)(1,1,1,1),(1,1,1,1)b a a a a ===--=--=--12342)(0,0,0,1)(1,1,0,1),(2,1,3,1)(1,1,0,0),(0,1,1,1)b a a a a =====--解 1）设有线性关系11223344k k k k b a a a a =+++代入所给向量，可得线性方程组12341234123412341211k k k k k k k k k k k k k k k k +++=ìï+--=ïí-+-=ïï--+=î 解之，得15,4k = 21,4k = 31,4k =- 414k =-因此123451114444b a a a a =+--2）同理可得13b a a =-3.证明：如果向量组12,,,r a a a L 线性无关，而12,,,,r a a a b L 线性相关，则向量可由12,,,r a a a L 线性表出.证 由题设，可以找到不全为零的数121,,,r k k k +L 使112210r r r k k k k a a a b +++++=L显然10r k +¹.事实上，若10r k +=，而12,,,r k k k L 不全为零，使11220r r k k k a a a +++=L成立，这与12,,,r a a a L 线性无关的假设矛盾，即证10r k +¹.故11rii i r k k b a =+=-å即向量b 可由12,,,r a a a L 线性表出.4.12(,,,)(1,2,,)i i i in i n a a a a ==L L ，证明：如果0ij a ¹，那么12,,,n a a a L 线性无关.证 设有线性关系11220n n k k k a a a +++=L代入分量，可得方程组111212112122221122000n n n nn n nn n k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L L 由于0ij a ¹，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,,n a a a L 线性无关.5.设12,,,r t t t L 是互不相同的数，r n £.证明：1(1,,,)(1,2,,)n i i i t t i r a -==L L是线性无关的.证 设有线性关系11220r r k k k a a a +++=L则1211221111122000r r rn n n r rk k k t k t k t k t k t k t k ---+++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L 1）当r n =时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即122221211112111()0nn j i i jn n n nt t t t t t t t t t t <---=-¹ÕL LL M M O M L所以方程组有惟一的零解，这就是说12,,,r a a a L 线性无关.2）当r n <时，令21111121222221(1,,,,)(1,,,,)(1,,,,)r r r r r r rt t t t t t t t t b b b ---ì=ï=ïíïï=îL L L L L L L L L L L 则由上面1)的证明可知12,,,r b b b L 是线性无关的.而12,,,r a a a L 是12,,,r b b b L 延长的向量，所以12,,,r a a a L 也线性无关.6.设123,,a a a 线性无关，证明122331,,a a a a a a +++也线性无关. 证 设由线性关系112223331()()()0k k k a a a a a a +++++=则131122233()()()0k k k k k k a a a +++++=再由题设知123,,a a a 线性无关，所以13122300k k k k k k +=ìï+=íï+=î 解得1230k k k ===所以122331,,a a a a a a +++线性无关.7.已知12,,,s a a a L 的秩为r ，证明：12,,,s a a a L 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设12,,,i i ir a a a L 是12,,,s a a a L 中任意r 个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量(1,2,,)j j s a =L 都可由12,,,i i ir a a a L 线性表出就可以了.事实上，向量组12,,,,i i ir j a a a a L 是线性相关的，否则原向量组的秩大于r ，矛盾.这说明j a 可由12,,,i i ir a a a L 线性表出，再由j a 的任意性，即证.8.设12,,,s a a a L 的秩为r ，12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 中的r 个向量，使得12,,,s a a a L 中每个向量都可被它们线性表出，证明：12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 的一个极大线性无关组.证 由题设知12,,,r i i i a a a L 与12,,,s a a a L 等价，所以12,,,r i i i a a a L 的秩与12,,,s a a a L 的秩相等，且等于r .又因为12,,,r i i i a a a L 线性无关，故而12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 的一个极大线性无关组.9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组.证 将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示.若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组.否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量a 不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将a 添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ），且向量组（Ⅲ）是线性无关的.进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中去，得到向量组（Ⅳ）.继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组.10.设向量组为1(1,1,2,4)a =-，2(0,3,1,2)a =，3(3,0,7,14)a =4(1,1,2,0)a =-，5(2,1,5,6)a =1） 证明：12,a a 线性无关.2） 把12,a a 扩充成一极大线性无关组.证 1）由于12,a a 的对应分量不成比例，因而12,a a 线性无关. 2）因为3123a a a =+，且由1122440k k k a a a ++=可解得1240k k k ===所以124,,a a a 线性无关.再令112244550k k k k a a a a +++=代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即1245,,,a a a a 线性相关，所以5a 可由124,,a a a 线性表出.这意味着124,,a a a 就是原向量组的一个极大线性无关组.注 此题也可将1245,,,a a a a 排成54´的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论.11.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：12341)(6,4,1,2),(1,0,2,3,4)(1,4,9,16,22),(7,1,0,1,3)a a a a =-=-=--=-，123452)(1,1,2,4),(0,3,1,2)(3,0,7,14),(1,1,2,0)(2,1,5,6)a a a a a =-===-=解 1）设12346411210234149162271013A a a a a -éùéùêúêú-êúêú==êúêú--êúêú-êúëûëû 对矩阵A 作行初等变换，可得0411192600102341023404111926004569980114223101142231A --éùéùêúêú-êúêú®®êúêú---êúêú----ëûëû 所以1234,,,a a a a 的秩为3，且234,,a a a 即为所求极大线性无关组.3） 同理可得124,,a a a 为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3. 12.证明：如果向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，那么（Ⅰ） 的秩不超过（Ⅱ）的秩.证 由题设，向量组（Ⅰ）的极大线性无关组也可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（Ⅰ）的秩不超过向量组（Ⅱ）的秩.13.设12,,,n a a a L 是一组维向量，已知单位向量12,,,n e e e L 可被它们线性表出，证明：12,,,n a a a L 线性无关.证 设12,,,n a a a L 的秩为r n £，而12,,,n e e e L 的秩为n . 由题设及上题结果知n r £从而r n =.故12,,,n a a a L 线性无关.14.设12,,,n a a a L 是一组n 维向量，证明：12,,,n a a a L 线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可被它们线性表出.证 必要性.设12,,,n a a a L 线性无关，但是1n +个n 维向量12,,,,n a a a b L 必线性相关，于是对任意n 维向量b ，它必可由12,,,n a a a L 线性表出.充分性.任意n 维向量可由12,,,n a a a L 线性表出，特别单位向量12,,,n e e e L 可由12,,,n a a a L 线性表出，于是由上题结果，即证12,,,n a a a L 线性无关.15.证明：方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L 对任何12,,,n b b b L 都有解的充分必要条件是系数行列式0ij a ¹.证 充分性.由克拉默来姆法则即证.下证必要性.记1212(,,,)(1,2,,)(,,,)i i i ni n i n b b b a a a a b ===L L L则原方程组可表示为1122n n x x x b a a a =+++L由题设知，任意向量b 都可由线性12,,,n a a a L 表出，因此由上题结果可知12,,,n a a a L 线性无关.进而，下述线性关系12220n n k k k a a a +++=L仅有惟一零解，故必须有0ij A a =¹，即证.16.已知12,,,r a a a L 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 有相同的秩，证明： 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 等价.证 由于12,,,r a a a L 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样12,,,r a a a L 的极大线性无关组也必为121,,,,,,r r s a a a a a +L L 的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组.另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价. 17.设123213,,,r r b a a a b a a a =+++=+++L L L 121r r b a a a -=+++L证明：12,,,r b b b L 与12,,,r a a a L 具有相同的秩.证 只要证明两向量组等价即可.由题设，知12,,,r b b b L 可由12,,,r a a a L 线性表出.现在把这些等式统统加起来，可得12121()1r r r b b b a a a +++=+++-L L 于是121111(1)1111i i r r r r r a b b b b =+++-++----L L (1,2,,)i r =L即证12,,,r a a a L 也可由12,,,r b b b L 线性表出，从而向量组12,,,r b b b L 与12,,,r a a a L 等价.18.计算下列矩阵的秩：1）01112022200111111011-éùêú--êúêú--êú-ëû 2）11210224203061103001-éùêú--êúêú-êúëû3）141268261042191776341353015205éùêúêúêúêúëû 4）10014010250013612314324563277éùêúêúêúêúêúêúëû5）1010011000011000011001011éùêúêúêúêúêúêúëû解 1）秩为4.2）秩为3. 3）秩为2. 4）秩为3. 5）秩为5.19.讨论,,a b l 取什么值时，下列方程有解，并求解.1）12212321231x x x x x x x x x l l l l lì++=ï++=íï++=î 2）122123123(3)(1)23(1)(3)3x x x x x x x x x l l l l l l l l +++=ìï+-+=íï++++=î3）1221231234324ax x x x bx x x bx x ++=ìï++=íï++=î解 1）因为方程组的系数行列式21111(1)(2)11D l l l l l==-+所以当1l =时，原方程组与方程1221x x x ++=同解，故原方程组有无穷多解，且其解为11221321x k k x k x k=--ìï=íï=î 其中12,k k 为任意常数.当2l =-时，原方程组无解.当1l ¹且2l ¹-时，原方程组有惟一解.且12231212(1)2x x x l l l l l +ì=-ï+ïï=í+ïï+=ï=î2）因为方程组的系数行列式231211(1)333D l l l l l l l l +=-=-++所以当0l =时，原方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为2与3，所以无解.当1l =时，A 的秩为2，A 的秩为3，故原方程组也无解. 当0l ¹，且1l ¹时，方程组有唯一解321232232323159(1)129(1)43129(1)x x x l l l l l l l l l l l l l l ì+-+=ï-ïï-+ï=í-ïï--+=ï-ïî3) 因为方程组的系数行列式1111(1)121a Db b a b ==--所以当0D ¹时，即1a ¹且0b ¹时，方程组有惟一解，且为12321(1)1124(1)b x b a x b ab b x b a -ì=ï-ïï=íï+-ï=ï-î当0D =时1o若0b =，这时系数矩阵A 的秩为2，而它的增广矩阵A 的秩为3，故原方程组无解。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数答案3
阶可逆矩阵 Q,使得 ⎜ ⎜
⎛ Ir ⎝0
0⎞ ⎟ = PAQ .因此, 0⎟ ⎠
⎛ I r 0 ⎞ −1 −1 −1 A = P −1 ⎜ ⎜ 0 0⎟ ⎟Q = P ( E11 + E22 + L + Err )Q ⎝ ⎠ −1 −1 = P E11Q + P −1E22Q −1 + L + P −1Err Q −1
=(
∑ aibi ) A = (∑ aii ) A .
i =1 i =1
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
9. 设 A 是 F 上的 m×n 矩阵，其秩小于 m. 证明，存在 m 阶非 零矩阵 G,使得 GA＝0. 证明 得 PAQ= ⎜ ⎜ 设秩 A＝r,则存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q, 使
⎛ a1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a2 ⎟ ⎜a ⎟ ⇐) 设 A = ⎜ ⎟(b1 b2 L bn ) , 所以秩 A≤min( 秩 ⎜ 2 ⎟ , 秩 L L ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠
下方全是 0 的矩阵). 证明 (1)因为矩阵 A 有 n 个特征根(重根按重数算),设λ1 为 A 的一个特征根, α1 是 A 的属于特征根λ1 的特征向量,则 Aα1＝λ1α1. 其中α1 ≠ 0 .由习题二的第 15 题知, 存在以α1 为第一列的可逆矩阵 P ∈ M n (C ) . 设 P = (α1 , α1 , L , α n ) , 因 为
令 S= ⎜ ⎜
⎛1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ,则 0 Q ⎝ ⎠
39
40
⎛ 1 0 ⎞ ⎛ λ1 S −1 ( P −1 AP) S = ⎜ ⎜ 0 Q −1 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎝0
高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++ （3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x --6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+-- 7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩ 8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
《高等代数课后答案》(邱著)
《高等代数课后答案》(邱著)高等代数之后的答案(秋微写的)《高等代数》的内容由浅入深，循序渐进，符合当前两位学生的教学实践。
可作为高校数学与应用数学、信息与计算科学专业的教材，也可作为相关专业的教师、学生和自学者的参考。
以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。
希望你喜欢！点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。
高等代数第三章线性方程组知识点复习与相关练习
第三章线性方程组3.1主要方法3.1.1线性相关性的判别线性关系：α1,α2,···,αs线性无关⇐⇒α1,α2,···,αs不线性相关⇐⇒不存在不全为零的数k1,k2,···,k s使成立k1α1+k2α2+···+k sαs=0⇐⇒若k1,k2,···,k s不全为零，则k1α1+k2α2+···+k sαs=0⇐⇒若k1α1+k2α2+···+k sαs=0,则k1=k2=···=k s=0.因此，判断向量组α1,α2,···,αs是否线性相关的方法：令k1α1+k2α2+···+k sαs=0,若k1,k2,···,k s有非零解，则α1,α2,···,αs线性相关；若k1,k2,···,k s只有零解，则α1,α2,···,αs无关。
3.1.2求矩阵与向量组的秩的方法求矩阵秩的方法：A初等行变换−−−−−−→B(阶梯形矩阵)则r(A)=r(B)=B的非零行的行数.求向量组的秩的方法：以α1,α2,···,αs为列做成矩阵A,A=(αT1,αT2,···,αTs)初等行变换−−−−−−→B(阶梯形矩阵)则•r(α1,α2,···,αs)=r(A)=r(B)=B的非零行的行数.•若B的非零行的第一个非零元分别位于i1,i2,···,i r,则αi1,αi2,···,αir就是α1,α2,···,αs的一个极大线性无关组。
高等代数第三章答案
第三章 线性方程组习题解答1.用消元法解下列方程组：⑴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++-=--+--=+-++=-++12343212231453543215432154321543214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+--=+-+2521669972543223312325432154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x⑶⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-33713344324324214324321x x x x x x x x x x x x x ⑷⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⑸⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-+=-+-=+++43212523223124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⑹⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-++=+++=-++=-++225512221321231323214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⑴对它的增广矩阵作初等行变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------00101000000000020*********1001001110000000000200212300101201001110007770005750212300104531213410215470213450212300104531111121311141311121112231104531即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=+=-0022214235441x x x x x x x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--====+=k x x k x x k x 220153421 k 为任意常数 ⑵无解⑶0,6,3,84321===-=x x x x⑷任意43432431,,17201719,1713173x x x x x x x x -=-=⑸无解 ⑹651,671,651434241x x x x x x +=-=+=2.把向量β表成4321αααα，，，的线性组合：⑴()()()()()1,1-1-11-1,1-11-1-,1,11,1,1,111,2,14321，，，，，，，，，，=====ααααβ ⑵()()()()()1-1-1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,11,0,0,04321，，，，，，=====ααααβ 解：⑴令44332211ααααβk k k k +++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++,1,1,2,14321432143214321k k k k k k k k k k k k k k k k 解得,41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααβ--+=⑵仿上，可得31-ααβ=3.证明：如果向量组r ααα，，， 21线性无关，而βααα,21r ，，， 线性相关，则向量β可由r ααα，，， 21线性表出。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 线性方程组1． 用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=ìï++-+=-ïï-+--=íï-++-=ïï++-+=-î 124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï--+-=ïí-+-+=ïï-+-+=î 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=ìï-+=-ïí+++=ïï-++=-î 123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï-+-=ïí+-+=ïï-++=-î 123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï-+-=ïí+-+=-ïï-+-=î 12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=ìï++-=ïï+++=íï++-=ïï++=î解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--éùéùêúêú----êúêúêúêú®------êúêú-----êúêúêúêú-----ëûëû102101100101003212000212002000002000000000000000011100010000--éùéùêúêú---êúêúêúêú®®--êúêúêúêúêúêú---ëûëû因为()()45rank A rank B ==<所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1415324122200x x x x x x x -=ìï+=-ïí-=ïï-+=î 解得123451022x k x k x x k x k=+ìï=ïï=íï=ïï=--î 其中k 为任意常数.2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有120321120321113132033451234527074125996162250276111616--éùéùêúêú------êúêú®êúêú----êúêú---ëûëû 120321120321033451033451252982529800110011333333003325297000001--éùéùêúêú------êúêú®®êúêú--êúêúêúêú--êúêúëûëû因为()4()3rank A rank A =>=所以原方程无解.3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有1234412344011130111313011053530731307313----éùéùêúêú----êúêú®êúêú--êúêú----ëûëû1012210008011130100300201200201200482400080---éùéùêúêú--êúêú®®êúêúêúêú--ëûëû因为(()4rank A rank A ==所以方程组有惟一解，且其解为12348360x x x x =-ìï=ïí=ïï=î 4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有34571789233223324111316411131672137213--éùéùêúêú----êúêú®êúêú--êúêú--ëûëû 17891789017192001719200171920000003438400000--éùéùêúêú----êúêú®®êúêú-êúêú--ëûëû即原方程组德同解方程组为123423478901719200x x x x x x x +-+=ìí-+-=î由此可解得1122123142313171719201717x k k x k k x k x k ì=-ïïï=-íï=ïï=î 其中12,k k 是任意常数g5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有2111121111322327001451121300122113440025--éùéùêúêú---êúêú®êúêú---êúêú---ëûëû 21111211117001470014100002100002100300001--éùéùêúêú--êúêú®®êúêúêúêú---ëûëû 因为()4()3rank A rank A =¹=所以原方程组无解.6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有12311354023211125202231112311122211453025520255202éùéùêúêú-êúêúêúêú®êúêú-êúêúêúêúëûëû2020000000552020570211611010015555101001010000000-éùéùêúêúêúêúêúêú®®-----êúêúêúêú--êúêúêúêúëûëû即原方程组的同解方程组为23341357261550x x x x x x +=ìïï-+=-íï-+=ïî 解之得123427551655x k x k x k x k =ìïï=-ïí=ïï=-+ïî其中k 是任意常数.2.把向量b 表成1234,,,a a a a 的线性组合.12341)(1,2,1,1)(1,1,1,1),(1,1,1,1)(1,1,1,1),(1,1,1,1)b a a a a ===--=--=--12342)(0,0,0,1)(1,1,0,1),(2,1,3,1)(1,1,0,0),(0,1,1,1)b a a a a =====--解 1）设有线性关系11223344k k k k b a a a a =+++代入所给向量，可得线性方程组12341234123412341211k k k k k k k k k k k k k k k k +++=ìï+--=ïí-+-=ïï--+=î 解之，得15,4k = 21,4k = 31,4k =- 414k =-因此123451114444b a a a a =+--2）同理可得13b a a =-3.证明：如果向量组12,,,r a a a L 线性无关，而12,,,,r a a a b L 线性相关，则向量可由12,,,r a a a L 线性表出.证 由题设，可以找到不全为零的数121,,,r k k k +L 使112210r r r k k k k a a a b +++++=L显然10r k +¹.事实上，若10r k +=，而12,,,r k k k L 不全为零，使11220r r k k k a a a +++=L成立，这与12,,,r a a a L 线性无关的假设矛盾，即证10r k +¹.故11rii i r k k b a =+=-å即向量b 可由12,,,r a a a L 线性表出.4.12(,,,)(1,2,,)i i i in i n a a a a ==L L ，证明：如果0ij a ¹，那么12,,,n a a a L 线性无关.证 设有线性关系11220n n k k k a a a +++=L代入分量，可得方程组111212112122221122000n n n nn n nn n k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L L 由于0ij a ¹，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,,n a a a L 线性无关.5.设12,,,r t t t L 是互不相同的数，r n £.证明：1(1,,,)(1,2,,)n i i i t t i r a -==L L是线性无关的.证 设有线性关系11220r r k k k a a a +++=L则1211221111122000r r rn n n r rk k k t k t k t k t k t k t k ---+++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L 1）当r n =时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即122221211112111()0nn j i i jn n n nt t t t t t t t t t t <---=-¹ÕL LL M M O M L所以方程组有惟一的零解，这就是说12,,,r a a a L 线性无关.2）当r n <时，令21111121222221(1,,,,)(1,,,,)(1,,,,)r r r r r r rt t t t t t t t t b b b ---ì=ï=ïíïï=îL L L L L L L L L L L 则由上面1)的证明可知12,,,r b b b L 是线性无关的.而12,,,r a a a L 是12,,,r b b b L 延长的向量，所以12,,,r a a a L 也线性无关.6.设123,,a a a 线性无关，证明122331,,a a a a a a +++也线性无关. 证 设由线性关系112223331()()()0k k k a a a a a a +++++=则131122233()()()0k k k k k k a a a +++++=再由题设知123,,a a a 线性无关，所以13122300k k k k k k +=ìï+=íï+=î 解得1230k k k ===所以122331,,a a a a a a +++线性无关.7.已知12,,,s a a a L 的秩为r ，证明：12,,,s a a a L 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设12,,,i i ir a a a L 是12,,,s a a a L 中任意r 个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量(1,2,,)j j s a =L 都可由12,,,i i ir a a a L 线性表出就可以了.事实上，向量组12,,,,i i ir j a a a a L 是线性相关的，否则原向量组的秩大于r ，矛盾.这说明j a 可由12,,,i i ir a a a L 线性表出，再由j a 的任意性，即证.8.设12,,,s a a a L 的秩为r ，12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 中的r 个向量，使得12,,,s a a a L 中每个向量都可被它们线性表出，证明：12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 的一个极大线性无关组.证 由题设知12,,,r i i i a a a L 与12,,,s a a a L 等价，所以12,,,r i i i a a a L 的秩与12,,,s a a a L 的秩相等，且等于r .又因为12,,,r i i i a a a L 线性无关，故而12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 的一个极大线性无关组.9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组.证 将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示.若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组.否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量a 不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将a 添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ），且向量组（Ⅲ）是线性无关的.进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中去，得到向量组（Ⅳ）.继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组.10.设向量组为1(1,1,2,4)a =-，2(0,3,1,2)a =，3(3,0,7,14)a =4(1,1,2,0)a =-，5(2,1,5,6)a =1） 证明：12,a a 线性无关.2） 把12,a a 扩充成一极大线性无关组.证 1）由于12,a a 的对应分量不成比例，因而12,a a 线性无关. 2）因为3123a a a =+，且由1122440k k k a a a ++=可解得1240k k k ===所以124,,a a a 线性无关.再令112244550k k k k a a a a +++=代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即1245,,,a a a a 线性相关，所以5a 可由124,,a a a 线性表出.这意味着124,,a a a 就是原向量组的一个极大线性无关组.注 此题也可将1245,,,a a a a 排成54´的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论.11.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：12341)(6,4,1,2),(1,0,2,3,4)(1,4,9,16,22),(7,1,0,1,3)a a a a =-=-=--=-，123452)(1,1,2,4),(0,3,1,2)(3,0,7,14),(1,1,2,0)(2,1,5,6)a a a a a =-===-=解 1）设12346411210234149162271013A a a a a -éùéùêúêú-êúêú==êúêú--êúêú-êúëûëû 对矩阵A 作行初等变换，可得0411192600102341023404111926004569980114223101142231A --éùéùêúêú-êúêú®®êúêú---êúêú----ëûëû 所以1234,,,a a a a 的秩为3，且234,,a a a 即为所求极大线性无关组.3） 同理可得124,,a a a 为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3. 12.证明：如果向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，那么（Ⅰ） 的秩不超过（Ⅱ）的秩.证 由题设，向量组（Ⅰ）的极大线性无关组也可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（Ⅰ）的秩不超过向量组（Ⅱ）的秩.13.设12,,,n a a a L 是一组维向量，已知单位向量12,,,n e e e L 可被它们线性表出，证明：12,,,n a a a L 线性无关.证 设12,,,n a a a L 的秩为r n £，而12,,,n e e e L 的秩为n . 由题设及上题结果知n r £从而r n =.故12,,,n a a a L 线性无关.14.设12,,,n a a a L 是一组n 维向量，证明：12,,,n a a a L 线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可被它们线性表出.证 必要性.设12,,,n a a a L 线性无关，但是1n +个n 维向量12,,,,n a a a b L 必线性相关，于是对任意n 维向量b ，它必可由12,,,n a a a L 线性表出.充分性.任意n 维向量可由12,,,n a a a L 线性表出，特别单位向量12,,,n e e e L 可由12,,,n a a a L 线性表出，于是由上题结果，即证12,,,n a a a L 线性无关.15.证明：方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L 对任何12,,,n b b b L 都有解的充分必要条件是系数行列式0ij a ¹.证 充分性.由克拉默来姆法则即证.下证必要性.记1212(,,,)(1,2,,)(,,,)i i i ni n i n b b b a a a a b ===L L L则原方程组可表示为1122n n x x x b a a a =+++L由题设知，任意向量b 都可由线性12,,,n a a a L 表出，因此由上题结果可知12,,,n a a a L 线性无关.进而，下述线性关系12220n n k k k a a a +++=L仅有惟一零解，故必须有0ij A a =¹，即证.16.已知12,,,r a a a L 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 有相同的秩，证明： 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 等价.证 由于12,,,r a a a L 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样12,,,r a a a L 的极大线性无关组也必为121,,,,,,r r s a a a a a +L L 的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组.另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价. 17.设123213,,,r r b a a a b a a a =+++=+++L L L 121r r b a a a -=+++L证明：12,,,r b b b L 与12,,,r a a a L 具有相同的秩.证 只要证明两向量组等价即可.由题设，知12,,,r b b b L 可由12,,,r a a a L 线性表出.现在把这些等式统统加起来，可得12121()1r r r b b b a a a +++=+++-L L 于是121111(1)1111i i r r r r r a b b b b =+++-++----L L (1,2,,)i r =L即证12,,,r a a a L 也可由12,,,r b b b L 线性表出，从而向量组12,,,r b b b L 与12,,,r a a a L 等价.18.计算下列矩阵的秩：1）01112022200111111011-éùêú--êúêú--êú-ëû 2）11210224203061103001-éùêú--êúêú-êúëû3）141268261042191776341353015205éùêúêúêúêúëû 4）10014010250013612314324563277éùêúêúêúêúêúêúëû5）1010011000011000011001011éùêúêúêúêúêúêúëû解 1）秩为4.2）秩为3. 3）秩为2. 4）秩为3. 5）秩为5.19.讨论,,a b l 取什么值时，下列方程有解，并求解.1）12212321231x x x x x x x x x l l l l lì++=ï++=íï++=î 2）122123123(3)(1)23(1)(3)3x x x x x x x x x l l l l l l l l +++=ìï+-+=íï++++=î3）1221231234324ax x x x bx x x bx x ++=ìï++=íï++=î解 1）因为方程组的系数行列式21111(1)(2)11D l l l l l==-+所以当1l =时，原方程组与方程1221x x x ++=同解，故原方程组有无穷多解，且其解为11221321x k k x k x k=--ìï=íï=î 其中12,k k 为任意常数.当2l =-时，原方程组无解.当1l ¹且2l ¹-时，原方程组有惟一解.且12231212(1)2x x x l l l l l +ì=-ï+ïï=í+ïï+=ï=î2）因为方程组的系数行列式231211(1)333D l l l l l l l l +=-=-++所以当0l =时，原方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为2与3，所以无解.当1l =时，A 的秩为2，A 的秩为3，故原方程组也无解. 当0l ¹，且1l ¹时，方程组有唯一解321232232323159(1)129(1)43129(1)x x x l l l l l l l l l l l l l l ì+-+=ï-ïï-+ï=í-ïï--+=ï-ïî3) 因为方程组的系数行列式1111(1)121a Db b a b ==--所以当0D ¹时，即1a ¹且0b ¹时，方程组有惟一解，且为12321(1)1124(1)b x b a x b ab b x b a -ì=ï-ïï=íï+-ï=ï-î当0D =时1o若0b =，这时系数矩阵A 的秩为2，而它的增广矩阵A 的秩为3，故原方程组无解。