苏教版数学高一苏教版必修41.3.1三角函数的周期性

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苏教版高中数学必修4《三角函数的周期性》参考课件3

1.3.1
4．已知函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(1)＝－5，则 f(f(5))＝____－__15__.
f(x＋2)＝f1x，若
本
解析由已知 f(x＋4)＝fx＋1 2＝f(x)
课时
∴f(x)是周期为 4 的函数
栏目
∵f(5)＝f(1)＝－5，于是 f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
2
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
例 2 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若
f(x)的最小正周期是 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，求
f 53π的值．
本
课时
解 ∵f(x)的最小正周期是 π，
栏目开
∴f 53π＝f 53π－2π＝f －π3
关
∵f(x)是 R 上的偶函数，
1.3.1
问题 3 满足条件：f(x＋a)＝－f1x(a 为常数且 a≠0)的函数 y
＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，
说明理由．
本课
答 ∵f(x＋a)＝－f1x，
时栏目开关
∴ ∴ff((xx＋＋22aa))＝＝ff([x()x．＋a)＋a]＝－fx＋1 a＝－－1f1x＝f(x)．
则 x＋kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是
无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.
3.周期函数的周期不止一个，若 T 是周期，则 kT(k∈N*)一定
本也是周期.
课时
4.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正
栏数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如
目
探究点三函数 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)

高中苏教版数学必修4 第1章 1.3 1.3.1 三角函数的周期性课件PPT

高中数学第一章三角函数1.3.1三角函数的周期性课件苏教版必修4

3 2 ＝sin 4π＝ 2 .
解析答案返回
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1.下列说法中，正确的是 ④ . ①因为sin(π－x)＝sin x，所以π是函数y＝sin x的一个周期；
1
2
3
4
②因为tan(2π＋x)＝tan x，所以2π是函数y＝tan x的最小正周期； π π π ③因为当 x＝4时，等式 sin(2＋x)＝sin x 成立，所以2是函数 y＝sin x 的
π π (1)y＝3sin(2x＋6)；
解 2π 2π T＝ ω ＝ π ＝4. 2
解析答案
x π (2)y＝2cos(－2＋4)； x π x π 解 y＝2cos(－2＋4)＝2cos(2－4)，
2π ∴T＝ 1 ＝4π. 2 (3)y＝|sin x|.
解
由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π.
3π 设 f(x) 是定义域为 R ，最小正周期为 2 的函数，若 f(x) ＝ 15π 则 f( － 4 ) ＝
π cos x－ ≤x<0， 2 sin x0≤x<π，
2 2
.
3 解析 ∵f(x)的最小正周期为2π，
15 3 15 3π ∴f(－ 4 π)＝f(2π×3－ 4 π)＝f( 4 )
ω＝±2.
解析答案
类型二函数周期性的判断例2
证明
证明：定义在 R上的奇函数f(x)的图象有一条对称轴 x＝a(a≠0)，则
∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x). ①
f(x)是周期函数. ∵f(x)的图象有一条对称轴x＝a(a≠0)， ∴f(a＋x)＝f(a－x). ∴f(x)＝f(2a－x). 由①②可知：f(2a－x)＝－f(－x)，即f(2a＋x)＝－f(x). ∴f(4a＋x)＝f[2a＋(2a＋x)]＝－f(2a＋x)＝f(x)， ∴f(x)为周期函数，4a为它的一个周期.

苏教版数学高一苏教版必修4学案1.3.1三角函数的周期性

课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5π). 思路分析：运用周期函数的定义即可.解：（1）令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz, 即f(2π+z)=f(z),f ［(2π+x)+ 3π］=f(x+3π). ∴周期T=2π.(2)令z=2x +5π, 则f(x)=3sinz=3sin(z+2π) =3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x ) =f(x+4π).∴T=4π.温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值.也可用公式T=ωπ2求周期.2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2π. 思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x 的周期是π. (2)f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2π. 温馨提示“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T ，则sin|x+T|=sin|x|(x ∈R ).(1)当T≥2π时，令x=2π,得sin|2π+T| =sin|2π|⇒sin(2π+T)=sin 2π⇒cosT=1; 令x=-2π,得sin|-2π+T|=sin|-2π| ⇒sin(-2π+T)=sin 2π ⇒-cosT=1⇒cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥2π不可能. (2)当T≤-2π时, 令x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|⇒sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但-T≥2π,由(1)知这是不可能的.(3)当-2π＜T ＜2π时, 令x=0得,sin|T|=sin|0|⇒sinT=0⇒T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(421π+x )=2sin(421π+x +2π)＝2sin ［21(x+4π)+4π］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为（）A.21-B.21 C.23- D.23 解析：由题意:f(35π)=f(-35π)=f(-35π+2π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案：D类题演练2设f(x)是定义在R 上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x ∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.解：当x ∈［-3,-2］时，-x ∈［２，3］.∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又∵f(x)是以2为周期的周期函数，当x ∈［1,2］时，-3≤x -4≤-2,∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).变式提升2定义在R 上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x ∈(-2,2)时，f(x)=x 2+1，则x ∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x ∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x 2+8x+17.答案：x 2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.（1）y=x 3;(2)y=sinx 2.证明：（1）因为y=x 3在x ∈R 上单调，设y 取到值a,方程x 3=a 不可能有两个不同的根，因此y=x 3不是周期函数.（2）设函数y=sinx 2是周期函数，周期为T ，那么对所有的x ∈R ，sin(x+T)2=sinx 2.由x 的任意性，T=0，所以函数y 不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f （x)=1(x ∈R )是周期函数，但没有最小正周期.证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x ∈R 恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x 2+4. ①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.①证明：∵f(x)定义域为R 且f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(n ∈Z ,n≠0)都是y=f(x)的周期.②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1,由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,∵f(x)的周期为2，且为偶函数，∴f(2-x)=f(-x)=f(x).∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.。

高中数学苏教版必修4课件第一章三角函数 1.3.1 三角函数的周期性课件2

• 终边落在x轴正半轴的角的集合:
{α|α=2kπ,k∈Z}
• 终边落在x轴负半轴的角的集合: {α|α=（
2k-1）π,k∈Z}
• 终边落在y轴正半轴的角的集合:
{α|α=π/2+2kπ,k∈Z}
• 终边落在y轴负半轴的角的集合:
第九页，编辑于星期一：点二十七分。
示？示？
终边落在x轴上的角的集合如何表
终边落在y轴上的角的集合如何表
终边落在坐标轴的角的集合如何
第十页，编辑于星期一：点二十七分。
• 终边在x轴上的角的集合为：S1={α|α =n·180°,n∈Z}.
• 终边在y轴上的角的集合为： S2={α|α=n·180°+90°,n∈Z}.
• 终边在坐标轴上的角的集合为； S={α|α=k·90°,k∈Z}.
第十一页，编辑于星期一：点二十七分。
课堂练习
• • -265°的终边相同角的集合是？ • -384°的终边相同角的集合是？ • 3900°的终边相同角的集合是？ • 23°终边相同角的集合是？ • 4108°的终边相同的角的集合是？
第十二页，编辑于星期一：点二十七分。
答案
•
1. -265°+k*360°（k∈z）
第一章三角函数
§1.3.1 三角函数的周期性
高中数学必修4·同步课件
第一页，编辑于星期一：点二十七分。
引入课题
• 讨论: 与30°终边相同的角还有哪些？都可以用什么代数式表示？
• 探究：终边相同的角都可以表示成一个0°
到360°的角与K（k∈z）个周角的和
• 390°＝30°+360°（k=1）
（） • A．60°与-300° B．230°与950° • C．1050°与-300° D．-1000°与80°

苏教版数学高一数学苏教版必修4作业1.3.1三角函数的周期性

课下能力提升(七) 三角函数的周期性一、填空题1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的最小正周期为________．2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为________． 3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________． 4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________． ①f (x )是周期为1的函数②f (x )是周期为2的函数③f (x )是周期为12的函数 ④f (x )是周期为π的函数5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________．二、解答题6．求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π3－16x ；(2)f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫mx ＋π6(m ≠0)．7．已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z )，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)．8．若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？(3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？答案1．解析：T ＝2π|－2|＝π. 答案：π2．解析：T ＝π3. 答案：π33．解析：∵T ＝2πk 4＝8πk≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13. 答案：134．解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，∴f (x )的周期为2ππ＝2. 答案：②5．解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数，∴f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0.答案：06．解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪－16＝12π，即函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－16x 的最小正周期为12π.(2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. 7．解：由诱导公式知sin ⎝⎛⎭⎫n ＋126π＝sin ⎝⎛⎭⎫n π6＋2π＝sin n π6， ∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6＝2＋ 3. 8．解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线上的E 点表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s 相对于静止位置的位移是0 cm.。

苏教版高中数学必修4课件：第1章1.3-1.3.1三角函数的周期性

[变式训练] 求下列函数的周期： (1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x； (2)f(x)＝|sin x|＋|cos x|. 解：(1)f(x＋π)＝cos 2(x＋π)＋sin2(x＋π)＝cos(2x＋ 2π)＋sin(2x＋2π)＝cos 2x＋sin 2x＝f(x)，所以 f(x)的周期为 π.
π π π (2)fx＋2＝sinx＋2＋cosx＋2＝|cos
x|＋|sin x|
＝f(x)， π 所以 f(x)的周期为 . 2
题型 2 证明函数的周期性 [典例 2] 求证：若对于非零常数 m 和任意的 x，等 1＋f（x）式 f(x＋m)＝成立，则 f(x)为周期函数． 1－f（x）
一、最小正周期对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x) 就叫作周期函数，非零常数 T 叫作这个函数的周期．根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数， 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期，最小正周期是 2π.
第1章
三角函数
1．3 三角函数的图象和性质 1．3.1 三角函数的周期性
[情景导入] 自然界中存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等．从正弦函数、余弦函数的定义可知，角 α 的终边每转一周又会与原来的位置重合，故 sin α，cos α 的值也具有周而复始的变化规律．
答案：－1
思考：正弦函数、余弦函数及正切函数它们都是周期函数吗？其周期分别为多少？你能给周期函数下一个定义吗？
[学习目标] 1.理解周期函数的最小正周期的意义，会求简单函数的最小正周期． 2.理解正弦函数，余弦函数的周期性的意义．

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互动课堂
疏导引导
关于周期函数的概念，也可以叙述为：如果某函数对于自变量的一切值，每增加或减少一个定值（这样的值可以有很多个），函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数.例如：
sin(α+2kπ)=sinα(k ∈Z )
这表明，正弦函数在定义域内，自变量每增加（k ＞0时）或减少（k ＜0时）一个定值2|k|π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数是周期函数.
理解周期函数的概念要注意以下三点：①存在一个常数T≠0；②对其定义域内的每一个x 值，x+T 也属于定义域；③当x 取定义域内每一个值时，f(x+T)=f(x)恒成立.
在理解周期函数定义时，首先要特别注意函数f(x+T)=f(x)恒成立是对f(x)的定义域中的每一个x 值都成立，例如y=sinx(x ∈R )对于x=3π,T=3π，显然有sin(3π+3π)=sin 3π，但T=3π不是它的周期.其次应注意，周期性不是三角函数的专有性质.
利用周期函数的定义，可以推得周期函数的一个必要不充分条件：它的定义域至少一方无界.例如y=sinx,
x ∈［-4π,10π］就不是周期函数，而y=sinx,x ∈［2π,+∞)是只有正周期的周期函数.
对于每一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.例如，2π是正弦函数的所有周期中的最小正数，所以2π是正弦函数的最小正周期.值得注意的是：并非每一个周期函数都有最小正周期.例如，任意非零常数都是常数函数f(x)=c(c 为常数)的周期，因而常数函数无最小正周期.
对于f(x)=Asin(ωx+φ)的周期公式T=ωπ
2,应明确A,ω,φ为常数，且A≠0，ω＞0，还应掌
握这个公式的推导方法.下面作为例子给出f(x)=Asin(ωx+φ)的周期公式T=ωπ
2的推导过程.
令Z=ωx+φ，由y=AsinZ 的周期是2π知f(Z+2π)=Asin(Z+2π)=Asin(ωx+φ+2π)=Asin ［ω(x+ωπ2）+φ］=f （x+ωπ
2）=f(Z)=Asin(ωx+φ)=f(x)对一切x 都成立，所以T=ωπ
2是y=Asin(ωx+φ）的
周期.
活学巧用
【例1】求y=sin2x 的周期.
解:ω=2，∴T=|ωπ
2|=2
2π=π. 【例2】求y=sin(
6
21π+x )的周期. 解:∵ω=2
1，由T=||2ωπ得T=212π=4π. 【例3】设y=f(t)是某港口水的深度，y （米）关于时间t(时)的函数，0≤t≤24，下表是该港
经观察，函数y=f(t)的图象可近似地看成函数y=k+Asin(ωx+φ)的图象，下面的函数中，最能
近似表示数据间对应关系的函数是（其中t ∈［0,24］）( ) A.y=12+3sin
t 6π B.y=12+3sin(t 6π+π) C.y=12+3sin t 12π D.y=12+3sin(12t π+2π) 解析：根据图表画出y=A(sinωx+φ)+k 的图象，如图.
∴A=
2915-=3，k=2
915+=12， T=12，ω=61222πππ==T ，φ=0. ∴y=3sin t 6π
+12.
答案：A。