北京大学数学分析I2015-2016期中试题
北京市2015年高三第一学期期中检测试卷数学(理)含答案解析
1A北京市2015年第一学期期中检测试卷高三数学（理）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．集合{}2M x|x 4>＝，{}|13N x x =<<，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．{}|23x x -≤<B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|12x x <≤D ．{}|23x x ≤<2. 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )A. 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 3. “1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在同一坐标系中画出函数log a y x =，xy a =，y x a =+的图象，可能正确的是 ( )5．在等比数列{}n a 中，若48a =，2q =-，则7a 的值为 （ ）A ．64-B ．64C ．48-D ．486．设,x y ∈R,向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且,//a c b c ⊥，则a b += ( )A B C ．D ．107．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）A ．[1,4]B ．[1,5]C ．4[,4]5 D ．4[,5]58． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α， 则sin α的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 以点（2，1-）为圆心且与直线5x y +=相切的圆的方程是 ．10.周期为2的函数()f x 在[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。
2015-2016年北京师大实验中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2015-2016学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，将正确答案的序号填在答题卡上）1．（5分）在复平面内复数z＝i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）函数y＝x2cos x的导数为（）A．y′＝2x cos x﹣x2sin x B．y′＝2x cos x+x2sin xC．y′＝x2cos x﹣2x sin x D．y′＝x cos x﹣x2sin x3．（5分）若复数z＝a﹣1+5i为纯虚数，其中a∈R，i为虚数单位，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣14．（5分）函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）5．（5分）+1＞0是a＜﹣1成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度7．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A．0＜b＜1B．b＜1C．b＞0D．b＜8．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1B．1，﹣17C．3，﹣17D．9，﹣19二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．（5分）复数在复平面中所对应的点到原点的距离为．10．（5分）命题“若x＜﹣1，则|x|＞1”的逆否命题为．11．（5分）设集合M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x＜a}，若M∩N＝∅，则实数a 的取值范围是．12．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是．三.解答题（本大题共3小题，共40分，在答题卡上写出必要的解答过程）13．（13分）已知p：x2+mx+1＝0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．14．（13分）已知函数：f（x）＝﹣x3+3x﹣2，x∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．15．（14分）若数列{a n}的通项公式a n＝（n∈N+），记f（n）＝（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）．（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜测f（n）＝；（3）用数学归纳法证明第（2）问猜测出的结论．四.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）16．（5分）观察下列等式1＝12+3+4＝93+4+5+6+7＝254+5+6+7+8+9+10＝49…照此规律，第n个等式为．17．（5分）已知函数，那么＝．18．（5分）函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数 f ′（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内的极小值点的个数为 个．19．（5分）某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，问完成五项工作后获得的效益值总和最大是 ．五.解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程 20．（8分）已知正数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：不可能是等差数列． 21．（10分）已知函数（a ，b 为常数）且方程f （x ）﹣x +12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4． （1）求函数f （x ）的解析式； （2）设k ＞1，解关于x 的不等式；．22．（12分）已知函数，其中f （x ）＝（1+）e x ，其中a ∈R （Ⅰ）当a ＝1时，求函数f （x ）的零点和极值点；（Ⅱ）当a ＞0时，求y ＝f （x ）在区间（﹣∞，0）上的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，在区间（﹣∞，﹣]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，将正确答案的序号填在答题卡上）1．（5分）在复平面内复数z＝i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z＝i（1﹣2i）＝2+i，∴复数z＝i（1﹣2i）对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．2．（5分）函数y＝x2cos x的导数为（）A．y′＝2x cos x﹣x2sin x B．y′＝2x cos x+x2sin xC．y′＝x2cos x﹣2x sin x D．y′＝x cos x﹣x2sin x【解答】解：y′＝（x2）′cos x+x2（cos x）′＝2x cos x﹣x2sin x故选：A．3．（5分）若复数z＝a﹣1+5i为纯虚数，其中a∈R，i为虚数单位，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【解答】解：∵z＝a﹣1+5i为纯虚数，∴a＝1，∴＝＝i．故选：A．4．（5分）函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵y＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′＝，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．5．（5分）+1＞0是a＜﹣1成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由＞﹣1，得：＞0，解得：a＞0或a＜﹣1，故是a＜﹣1成立的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．7．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A．0＜b＜1B．b＜1C．b＞0D．b＜【解答】解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x）＝3x2﹣3b＝0，得x2＝b，显然b＞0，∴x＝±．又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜1．故选：A．8．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1B．1，﹣17C．3，﹣17D．9，﹣19【解答】解：f′（x）＝3x2﹣3＝0，x＝±1，故函数f（x）＝x3﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数又f（﹣3）＝﹣17，f（0）＝1，f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝3．故最大值、最小值分别为3，﹣17；故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．（5分）复数在复平面中所对应的点到原点的距离为．【解答】解：∵＝，∴复数在复平面中所对应的点到原点的距离为．故答案为：．10．（5分）命题“若x＜﹣1，则|x|＞1”的逆否命题为若|x|≤1，则x≥﹣1．【解答】解：命题的条件为“x＜﹣1”，结论为“|x|＞1”，否定结果作条件，否定条件作结论，即为其逆否命题．故逆否命题：若|x|≤1，则x≥﹣1．故答案为：若|x|≤1，则x≥﹣111．（5分）设集合M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x＜a}，若M∩N＝∅，则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【解答】解：∵集合M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x＜a}，M∩N＝∅，∴a≤﹣1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．12．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是[，+∞）．【解答】解：f′（x）＝3x2+2x+m；∵f（x）在R上是单调函数；∴f′（x）≥0对于x∈R恒成立；∴△＝4﹣12m≤0；∴m≥，∴实数m的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．三.解答题（本大题共3小题，共40分，在答题卡上写出必要的解答过程）13．（13分）已知p：x2+mx+1＝0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．【解答】解：当p为真命题时，，∴m＞2．当q为真命题时，△＝42（m﹣2）2﹣16＜0，∴1＜m＜3．若“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，即，p真q假或p假q真，①若p真q假，∴，∴m≥3．②若p假q真，∴，∴1＜m≤2．综上m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．14．（13分）已知函数：f（x）＝﹣x3+3x﹣2，x∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．【解答】解：（1）f（x）＝﹣x3+3x﹣2，f′（x）＝﹣3x2+3，故f（1）＝0，f′（1）＝0，故切线方程是：y＝0；（2）f′（x）＝﹣3x2+3＝﹣3（x+1）（x﹣1），列表如下：∴f（x）的递减区间是：（﹣∞，﹣1），（1，+∞），递增区间是（﹣1，1），f（x）极小值＝f（﹣1）＝﹣4，f（x）极大值＝f（1）＝0．15．（14分）若数列{a n}的通项公式a n＝（n∈N+），记f（n）＝（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）．（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜测f（n）＝f（n）＝，（n∈N*）；（3）用数学归纳法证明第（2）问猜测出的结论．【解答】解：（1）a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝．∴f（1）＝1﹣a1＝，f（2）＝（1﹣）（1﹣）＝，f（3）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．（2）猜想：f（n）＝，（n∈N*）（3）证明如下：①当n＝1时，结论显然成立，②假设n＝k时，结论成立，即f（k）＝（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a k）＝，则当n＝k+1时，f（k+1）＝（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a k）（1﹣a k+1）＝f（k）（1﹣a k+1）＝•（1﹣）＝•（1+）（1﹣）＝••＝＝．∴当n＝k+1时，结论成立，由①②可知，猜想对任意的正整数都成立，故答案为：f（n）＝，（n∈N*）四.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）16．（5分）观察下列等式1＝12+3+4＝93+4+5+6+7＝254+5+6+7+8+9+10＝49…照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2．【解答】解：观察下列等式1＝12+3+4＝93+4+5+6+7＝254+5+6+7+8+9+10＝49…等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）217．（5分）已知函数，那么＝．【解答】解：∵，∴f（）＝∴f（x）+f（）＝1∴f（2）+f（）＝1，f（3）+f（）＝1，f（4）+f（）＝1，f（1）＝∴＝故答案为：18．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的极小值点的个数为1个．【解答】解：因为函数的极小值两侧导函数值需左负右正；而由图得：满足导函数值左负右正的自变量只有一个；故原函数的极小值点只有一个．故答案为：1．19．（5分）某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，问完成五项工作后获得的效益值总和最大是75．【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为12+25+14+10+15＝76，但不能同时取得．要使总和最大，甲可以承担第二或四项工作，丙只能承担第三项工作，则丁不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第二项工作，则甲承担第四项工作，戊承担第一项工作，此时效益值总和为：13+25+14+12+10＝74；乙若不承担第二项工作，则乙承担第一项工作，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为：24+12+14+15+10＝75．∴完成五项工作后获得的效益值总和最大是75．故答案为：75．五.解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程20．（8分）已知正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：不可能是等差数列．【解答】证明（反证法）：假设成等差数列，则又∵a，b，c成等差数列，且公差不为零，∴a﹣b＝b﹣c≠0．由以上两式，可知．．两边都乘以ac，得a＝c．这与已知数列a，b，c的公差不为零，a≠c相矛盾，所以数列不可能成等差数列21．（10分）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．【解答】解：（1）将x1＝3，x2＝4分别代入方程，得，解得，所以f（x）＝．（2）不等式即为，可化为即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．②当k＝2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．22．（12分）已知函数，其中f（x）＝（1+）e x，其中a∈R（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的零点和极值点；（Ⅱ）当a＞0时，求y＝f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，在区间（﹣∞，﹣]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）a＝1时，f（x）＝（1+）e x，令f（x）＝0，∵e x＞0，∴1+＝0，解得x＝﹣1．f′（x）＝e x＝e x，令f′（x）＝0，即x2+x﹣1＝0，解得x ＝．可得：x＝为函数f（x）的极大值点，x＝为函数f（x）的极小值点．（II）a＞0时，f′（x）＝e x＝e x．令u（x）＝x2+ax﹣a＝0，△＝a2+4a＞0，解得：x＝，令x1＝，x2＝．则x1＜0，x2＞0．∴函数f（x）在（﹣∞，x1）内单调递增，在（x1，0）内单调递减．（III）a＞0时，x1＝＜﹣．∴由（II）可得：函数f（x）在（﹣∞，x1）内单调递增，在内单调递减．x→﹣∞时，f（x）→0+，＝﹣＜0．因此：x＝﹣时，函数f（x）取得极小值即最小值为＝﹣．。
北京大学高等代数_I+2016+期中考试题+-+答案
北京大学数学学院期中试题一．（16分）（1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ;（2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs .二．（16分）计算n 级行列式 D = nn 2n 1n n 22212n 12111b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）；n>2时，D = n1n 21n 11n n 12212112n 12111b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++= 0 .三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T .1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ;2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的每个列向量;3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时，β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标；4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.解: 1) 矩阵A 的行空间与A 的解空间在R 5中互为正交补 , 即向量 [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] 在A 的行空间中当且仅当 3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 且 5a 1 + 6a 2 + a 3 +2 a 4 – a 5 = 0 .解此方程组得行空间的一组基⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12052001131216500113 得 ⎩⎨⎧++=--=42152132523a a a a a a a a 1 , a 2 , a 4为自由变量. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21000501102030125234214214212154321a a a a a a a a a a a a a a a a 故A 的简化阶梯形为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- 00000210005*********. 2) A 列向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α4 , 且α3 = –3 α1 – α2 , α5 = 2 α1 + 5α2 + 2α3 ;3) A 行空间的一组基为简化阶梯形的前3个行向量；若 β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 则β在此基底下的坐标只能是 [ 1 a 3 ] T ，且有–3–a = 0 , 2 + 5 a + 6 =2a –1 .此条件当且仅当 a = –3 时成立.故当且仅当 a = –3 时β落在A 的行空间里, 此时β的坐标是[ 1 –3 3 ] T .4) A = [ a 1 a 2 a 4 ] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210005*********.四．（12分）设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100010. 记 C( A) = { X ∈ M 3 (R) | A X = X A }.1) 证明: 集合C( A )是线性空间M 3 (R) 的子空间;2) 求子空间C( A ) 的维数和一组基 .解：2) C( A ) 的一组基为 I ，A ，A 2 （ A 3 = 0 ）。
2015-2016学年北京朝阳区高三数学(理)第一学期期中考试试卷及答案
北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2015.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则AB =（ ）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ． {1,2,3}2．已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：,x R ∀∈均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x ， 其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③5.已知函数()sin()(00)2f x A x x R A ωϕωϕπ=+∈>><，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin()6f x x π=π+B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+6.设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则AN AM ⋅的值是A ．5B ．421C ．6D ．8R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．11(,)34--C ．11(,1)(1,)33--D ．1111(,)(,)3443--第二部分（非选择题 共110分）.9.已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是 ．10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ．11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE x AB y AD =+，则x y += ．12.若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则ϕ的最小值为 ． 13. 若函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 .14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是 ；当ECF ∆面积最大时，EF = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）FEDCBA已知函数2()cos2cos 222x x x f x =-. （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程.16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<.17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求角C ； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．18. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.19. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)xf x ax bx -=++(其中e 是常数，0a >，b ∈R )，函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当15a >时，若函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e ，试求,ab 的值．20. （本小题满分14分）已知实数数列}{n a 满足：),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，b a a a ==21,，记集合{|}.n M a n *=∈N（Ⅰ）若2,1==b a ，用列举法写出集合M ；（Ⅱ）若0,0<<b a ，判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由； （Ⅲ）若0,0≥≥b a ，且0≠+b a ，求集合M 的元素个数的最小值.北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学答案（理工类） 2015.11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解： 2()cos2cos 222x x xf x =-cos 1x x =-- 2sin() 1.6x π=--…………………………4分（I ）ππ()2sin 1036f =-=. …………………………6分 （II ）由22262k x k ππ3ππ+≤-≤π+得 22()33k x k k 2π5ππ+≤≤π+∈Z .所以函数)(x f 的单调递减区间是[2,2]()33k k k 2π5ππ+π+∈Z . ……10分 令62x k ππ-=π+得()3x k k 2π=π+∈Z . 所以函数)(x f 的对称轴方程是()3x k k 2π=π+∈Z . …………………………13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为等差数列{}n a 中，11a =,公差1d =,所以21(1)22n n n n n S na d -+=+=. 则22n b n n=+. …………………………5分（Ⅱ） 因为222(1)n b n n n n ==++ ， 所以12311112()122334(1)n b b b b n n ++++=++++⨯⨯⨯+11111112(1)223341n n =-+-+-++-+ 12(1)1n =-+.因为1011n <<+， 所以1232n b b b b ++++<. …………………………13分17．（本小题满分13分）（I ）在ABC ∆中，因为1cos 2B =-，又(0,π)B ∈，所以2π3B =，且sin B =由正弦定理,sin a bB =可得2sin A =则1sin 2A =. 又因为2π3B =，所以6A π=.所以6C π=. …………………………6分（II ）sin sin sin()sin A C C C π⋅=-⋅1sin )sin 2C C C=-⋅112cos244C C =+- 11sin(2)264C π=+-因为(0,)3C π∈，所以52(,)666C πππ+∈. 所以1sin(2)(,1]62C π+∈.则C A sin sin ⋅的取值范围是1(0,]4. …………………………13分18. （本小题满分13分） 解：函数的定义域为(0,)+∞.2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x -++--'=+-+==.…………2分(Ⅰ)（1）当01a <<时，因为0x >，令()0f x '> 得1x >或0x a <<， 令()0f x '< 得1a x <<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调递减区间是(,1)a . （2）当1a =时，因为0x >，所以()0f x '≥成立.函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.（3）当1a >时，因为0x >，令()0f x '> 得x a >或01x <<， 令()0f x '< 得1x a <<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调递减区间是(1,)a .…………………………7分（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==.令()0f x '= 得1x =或1x =-（舍）.当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：所以1x =时,函数()f x 的最小值为1(1)2f =. 所以1()2f x ≥成立. …………………………13分 19. （本小题满分14分）解：因为2()e (1)xf x ax bx -=++，所以2()e ((2)1)xf x ax a b x b -'=-+-+-．因为(1)0f '-=，所以(2)10a a b b ---+-=，即231b a =+． …………2分 (Ⅰ)当1a =时，2b =．又(0)1,(0)1f f '==，所以曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为11(0)y x -=-．即10x y -+=． …………………………5分 (Ⅱ)由已知得231()e (1)2x a f x ax x -+=++． 所以23131()e [(2)1]22x a a f x ax a x -++'=-+-+-1e (1)[2(31)]2x x ax a -=-+--．因为0a >，131()e (1)[2(31)]e (1)()22x x a f x x ax a a x x a---'=-+--=-+-．因为15a >，所以3112a a->-． 令31()e (1)()02x a f x a x x a --'=-+->得，3112a x a --<<； 令31()e (1)()02x a f x a x x a --'=-+-<得，1x <-或312a x a->． 所以函数()f x 在31(1,)2a a --上单调递增，在(,1)-∞-和31(,)2a a-+∞上单调递减．①若3112a a-≥，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为131(1)(1)4e e 2a f a +=++=．解得28e 35a -=．显然符合题意．此时28e 35a -=， 212e 25b -=．②若3112a a -<，即115a <<时， 函数()f x 在31(1,)2a a --上单调递增，在31(,1)2a a-上单调递减．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为3113222319191()e e 222a a a a a a f a ------=⋅=⋅． 又因为115a <<，所以291452a -<<，131122a -<-<． 所以13122eee a --<<．所以1322291e 4e 5e 2a a --<⋅<． 不满足函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e.综上所述，28e 35a -=， 212e 25b -=为所求． …………………………14分20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）}0,1,2,1{-=M ． …………………………2分 （Ⅱ）因为0,0<<b a ，),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，所以数列的前11项分别为：b a b a b a a b a b b a b a b a ,,,2,,,,2,,,-----+-----． 所以101112,a a a a a b ====．又因为),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，所以数列中10a 至18a 依次重复1a 至9a ，以此类推，于是，对任意正整数n ，有1109,+++==n n n n a a a a ， 所以9是数列}{n a 的周期．使1122,T T a a a a ++==成立的最小9T =． ………………………………………8分 （Ⅲ）对b a ,分情况讨论．（1）若b a <<0，则数列的前5项b a a a b b a ---2,,,,中至少有4项互不相同；（2）若0>>b a ，则数列的前4项为b a a b b a 2,,,--，当02≥-b a 时，数列的第五、六项为b a b a --,32；当02<-b a 时，数列的第五、六项为b a b 3,+-.易知数列中至少有4项互不相同；（3）若b a =<0，或0,0=>b a ，或0,0>=b a ，则由数列的前7项可知，数列中至少有4项a a a 2,,,0-，或b b b 2,,,0-互不相同．综上，集合M 的元素个数不小于4，又由（1）可知，当2,1==b a 时，集合M 的元素个数为4，所以，求集合M 的元素个数的最小值是4．…………………………14分。
2015-2016年高三期中考试数学(理科)试卷分析
2015—2016学年海淀高三期中数学（理）试卷分析北京市海淀区高三年级第一学期数学期中考试结束，这是高三开学以来第一次全区的同一测验，也是考生自高三总复习以来的第一次大考，是对以往复习成果的一次很好的检验；同时，试卷的命制也体现出了高考改革的最新思路，对考生今后的备考有一定的参考价值。
所以，一次认真的试卷分析和考评是至关重要的。
一、试卷整体内容分析纵观整篇试卷，结构稳定、难度略有提升、考点全面、主次分明，既体现了对核心数学思想和知识方法的考查，也兼顾了很多细节的问题的考核；有基础的内容检测，也有数学能力和思维方法的检验。
1、知识点内容覆盖全面，分值分配合理本次考试中，以三个重点模块即"集合与函数"、"数列"及"三角与向量"为主，其具分值分布如下：本次考核中，正如王老师在鼎级班课程中提到的一样，函数部分分值较高，体现出了函数部分知识在高考中的重要地位，同时，三角部分问题也有很多和函数图象变化相关。
从具体的知识点出发，试卷覆盖了不同模块几乎所有的知识内容，如函数模块，覆盖了集合、函数定义、基本初等函数、函数图象变化、函数与方程、函数与不等式、定积分、利用导数分析函数性态多个核心知识内容，是对考生这段时期复习全面的考核。
另外，一些细小的知识也结合主干知识进行了考核，如试卷第6题，结合"函数图象与不等式"考核了简易逻辑中的充分必要条件的知识。
2、难度分配趋近于高考，总体难度略有提升本次考试的难度分配合理，类似于近几年的高考难度分配。
中档题目比例有所提升，且灵活度更高，考查考生对于知识的掌握而非单纯对于固定题目的处理能力，这样在中难题目上提高了对考生的区分度。
这也是导致这次考试难度略有提升的原因，很多考生会有"看着熟悉做着难"的感叹。
这也是顺应新的高考变化的，以变化求难度。
难题部分依旧出现在8、14、20这三个各自类型题的压轴问题，都是对考生能力和思维的综合考核。
2015-2016年北京师大附中七年级上期中数学试卷含答案解析
2015-2016学年北京师大附中七年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．的相反数是（）A．B．﹣C．3 D．﹣32．下列各对数中，相等的一对数是（）A．﹣23与﹣32B．（﹣2）3与﹣23C．（﹣3）2与﹣32D．﹣（﹣2）与﹣|﹣2|3．下列运算正确的是（）A．2x2﹣x2=2 B．2a2﹣a=a C．﹣a2﹣a2=﹣2a2D．2m2+3m3=5m54．多项式x3y2﹣5x2y+6xy﹣3的次数是（）A．2 B．3 C．5 D．105．下列结论不正确的是（）A．若a+c=b+c，则a=b B．若ac=bc，则a=bC．若，则a=b D．若ax=b（a≠0），则6．在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是3的点表示的数是（）A．2 B．﹣4 C．±3 D．2或﹣47．下列方程中，解为x=4的方程是（）A． B．4x=1 C．x﹣1=4 D．8．己知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞b B．ab＜0 C．b﹣a＞0 D．a+b＞09．一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式为（）A．x2﹣5x+3 B．﹣x2+x﹣1 C．﹣x2+5x﹣3 D．x2﹣5x﹣1310．某企业2014年的生产总值为a万元，预计2015年的生产总值比去年增长20%，那么该企业这两年的生产总值之和是（）A．20%a万元B．（20%+a）万元C．（1+20%）a万元D．[a+（1+20%）a]万元二、填空题（本大题共8道小题，每空2分，共20分）11．若赢利2000元记作+2000元，则亏损800元记作元．12．比较大小：﹣﹣（填“＞”或“＜”）13．单项式﹣2xy3的系数是，次数是．14．用四舍五入法求0.12874精确到千分位的近似数为．15．若|m﹣3|+（n+2）2=0，则m+n的值为．16．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则+2cd= ．17．若方程kx|k+1|+2=0是关于x的一元一次方程，则k= ．18．有一组数，．请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第6个数是，第n个数是．三.计算题（本大题共4道小题，每小题16分，共16分）19．（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）（2）（3）（4）．四.化简求值题（本大题共2道小题，每小题4分，共8分）20．3x2+1﹣2x﹣5﹣3x﹣x2．21．先化简，再求值：（9ab2﹣3）+a2b+3﹣2（ab2+1），其中a=﹣2，b=3．五.解方程（本大题共2道小题，每小题8分，共8分）22．解方程：（1）2（x﹣3）﹣5（3﹣x）=21（2）﹣=4．六．解答题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分）23．有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，（1）用“＜”连接0，a，b，﹣1；（2）化简：|a|+|a+b|﹣2|b﹣a|．24．（1）已知代数式3x2﹣4x的值为6，求代数式6x2﹣8x﹣9的值；（2）已知，求代数式的值．25．已知﹣x1﹣m y2与是同类项，求（m﹣2n）2﹣5（m+n）﹣2（2n﹣m）2+m+n的值．七．附加题26．（2015秋•北京校级期中）填空题：（请将结果直接写在横线上）现定义运算“△”，对于两个有理数a，b，都有a△b=ab﹣（a+b），例如：（﹣2）△1=（﹣2）×1﹣（﹣2+1）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，则5△1= ；（m﹣2）△1= ；m△（n△1）= ．27．（2015秋•北京校级期中）探究题：下图是某月的月历．（1）如图1，带阴影的方框中的9个数之和是；（2）如果将带阴影的方框移至图2的位置，则这9个数之和是；（3）如果将带阴影的方框移至9个数之和为198的位置，求这9个数中最小的数．28．（2015秋•北京校级期中）阅读理解题：如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．9 ★☆x ﹣6 2 …（1）可求得x= ，第2015个格子中的数为；（2）判断：前n个格子中所填整数之和是否可能为2015？若能，求出n的值，若不能，请说明理由；（3）若取前3格子中的任意两个数，记作a、b，且a≥b，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣★| +|9﹣☆|+|☆﹣★|得到．其结果为；若取前19格子中的任意两个数，记作s、t，且s≥t，求所有的|s﹣t|的和．2015-2016学年北京师大附中七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．的相反数是（）A．B．﹣C．3 D．﹣3【考点】相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数求解后选择即可．【解答】解：﹣的相反数是．故选：A．【点评】本题主要考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．下列各对数中，相等的一对数是（）A．﹣23与﹣32B．（﹣2）3与﹣23C．（﹣3）2与﹣32D．﹣（﹣2）与﹣|﹣2|【考点】有理数的乘方．【分析】根据有理数的乘方，即可解答．【解答】解：A、﹣23=﹣8，﹣32=9，﹣8≠9，故错误；B、（﹣2）3=﹣8，﹣23=﹣8，﹣8=﹣8，故正确；C、（﹣3）2=9，﹣32=﹣9，9≠﹣9，故错误；D、﹣（﹣2）=2，﹣|﹣2|=﹣2，﹣2≠2，故错误；故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．3．下列运算正确的是（）A．2x2﹣x2=2 B．2a2﹣a=a C．﹣a2﹣a2=﹣2a2D．2m2+3m3=5m5【考点】合并同类项．【分析】依据合并同类项法则进行计算即可．【解答】解：A、2x2﹣x2=x2，故A错误；B、不是同类项，不能合并，故B错误；C、正确；D、不是同类项，不能合并，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．4．多项式x3y2﹣5x2y+6xy﹣3的次数是（）A．2 B．3 C．5 D．10【考点】多项式．【分析】由于多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，由此可以确定多项式的次数．【解答】解：多项式x3y2﹣5x2y+6xy﹣3的次数是5，故选C【点评】此题考查的是多项式问题，关键是根据多项式有关定义的理解分析．5．下列结论不正确的是（）A．若a+c=b+c，则a=b B．若ac=bc，则a=bC．若，则a=b D．若ax=b（a≠0），则【考点】等式的性质．【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．即可解决．【解答】解：A、a+c=b+c，两边同时减去c，则a=b，故选项正确；B、当c=0时，a=b不一定成立，故选项错误；C、=，两边同时乘以c，则a=b，故选项正确；D、若ax=b（a≠0），两边同时除以a得x=，故选项正确．故选B．【点评】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．6．在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是3的点表示的数是（）A．2 B．﹣4 C．±3 D．2或﹣4【考点】数轴．【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解．在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是3的点有两个，分别位于与表示数﹣1的点的左右两边．【解答】解：在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是3的点表示的数有两个：﹣1﹣3=﹣4；﹣1+3=2．故选：D．【点评】本题考查的是数轴，注意此类题应有两种情况，再根据“左减右加”的规律计算．7．下列方程中，解为x=4的方程是（）A． B．4x=1 C．x﹣1=4 D．【考点】方程的解．【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．【解答】解：A、把x=4代入，左边=2，左边=右边，因而x=4是方程的解．B、把x=4代入，左边=16，左边≠右边；因而x=4不是方程的解；C、把x=4代入得到，左边=3，左边≠右边，因而x=4不是方程的解；D、把x=4，代入方程，左边=，左边≠右边，因而x=4不是方程的解；故选：A．【点评】本题考查了方程的解，把方程的解代入原方程进行检验是解题的关键．8．己知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞b B．ab＜0 C．b﹣a＞0 D．a+b＞0【考点】有理数大小比较；数轴；有理数的加法；有理数的减法；有理数的乘法．【分析】首先得到b＜a＜0，再结合有理数的运算法则进行判断．【解答】解：根据数轴，得b＜a＜0．A、正确；B、两个数相乘，同号得正，错误；C、较小的数减去较大的数，差是负数，错误；D、同号的两个数相加，取原来的符号，错误．故选A．【点评】根据数轴观察两个数的大小：右边的点表示的数，总比左边的大．本题用字母表示了数，表面上增加了难度，只要学生掌握了规律，很容易解答．9．一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式为（）A．x2﹣5x+3 B．﹣x2+x﹣1 C．﹣x2+5x﹣3 D．x2﹣5x﹣13【考点】整式的加减．【专题】计算题．【分析】由题意可得被减式为3x﹣2，减式为x2﹣2x+1，根据差=被减式﹣减式可得出这个多项式．【解答】解：由题意得：这个多项式=3x﹣2﹣（x2﹣2x+1），=3x﹣2﹣x2+2x﹣1，=﹣x2+5x﹣3．故选C．【点评】本题考查整式的加减，难度不大，注意在合并同类项时要细心．10．某企业2014年的生产总值为a万元，预计2015年的生产总值比去年增长20%，那么该企业这两年的生产总值之和是（）A．20%a万元B．（20%+a）万元C．（1+20%）a万元D．[a+（1+20%）a]万元【考点】列代数式．【分析】根据题意可得，2015年的生产总值=（1+20%）×2014年的生产总值，在加14年即可求解．【解答】解：由题意得，2015年的生产总值=（1+20%）a，两年的生产总值之和是：a+（1+20%）故选D．【点评】本题考查了列代数式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．二、填空题（本大题共8道小题，每空2分，共20分）11．若赢利2000元记作+2000元，则亏损800元记作﹣800 元．【考点】正数和负数．【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，盈利记为正，可得亏损的表示方法．【解答】解：若赢利2000元记作+2000元，则亏损800元记作﹣800元，故答案为：﹣800．【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．12．比较大小：﹣＞﹣（填“＞”或“＜”）【考点】有理数大小比较．【分析】根据两负数比较大小的法则进行比较即可．【解答】解：∵＜，∴﹣＞﹣；故答案为：＞．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知两个负数，绝对值大的其值反而小是解答此题的关键．13．单项式﹣2xy3的系数是﹣2 ，次数是 4 ．【考点】单项式．【分析】根据单项式系数和次数的概念求解．【解答】解：单项式﹣2xy3的系数为﹣2，次数为4次．故答案为：﹣2，4．【点评】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．14．用四舍五入法求0.12874精确到千分位的近似数为0.129 ．【考点】近似数和有效数字．【分析】把万分位上的数字7进行四舍五入即可．【解答】解：0.12874≈0.129四舍五入法求0.12874精确到千分位的近似数为0.129．故答案为：0.129．【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．15．若|m﹣3|+（n+2）2=0，则m+n的值为 1 ．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，m﹣3=0，n+2=0，解得m=3，n=﹣2，所以，m+n=3+（﹣2）=1．故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则+2cd= 2 ．【考点】代数式求值；相反数；倒数．【专题】计算题．【分析】利用相反数，倒数的定义求出a+b与cd的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，则原式=2．故答案为：2【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．若方程kx|k+1|+2=0是关于x的一元一次方程，则k= ﹣2 ．【考点】一元一次方程的定义．【专题】计算题．【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出关于k的方程，继而可求出k的值．【解答】解：根据一元一次方程的特点可得：，解得：k=﹣2．故填：﹣2．【点评】解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1这个条件，此类题目应严格按照定义解答．18．有一组数，．请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第6个数是，第n个数是（﹣1）n．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】分子是从1开始连续的自然数，分母可以分成两个连续奇数的乘积，奇数位置为负，偶数位置为正，由此得出第n个数是（﹣1）n，由此代入求得答案即可．【解答】解：第6个数是=，第n个数是（﹣1）n．故答案为：，（﹣1）n．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题．三.计算题（本大题共4道小题，每小题16分，共16分）19．（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）（2）（3）（4）．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题．【分析】（1）先去括号，再把正数与正数相加，负数与负数相加，然后进行加法运算；（2）先把除法运算化为乘法运算，再计算括号内的减法运算，然后约分即可；（3）利用乘法的分配律计算；（4）先进行乘方运算，再进行乘法运算，然后进行加减运算．【解答】解：（1）原式=﹣20+3+5﹣7=﹣27+8=﹣19；（2）原式=﹣×（﹣）×=；（3）原式=﹣28+33﹣6=﹣1；（4）原式=﹣25×+×（﹣8）=﹣+﹣6=﹣．【点评】本题考查了有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．四.化简求值题（本大题共2道小题，每小题4分，共8分）20．3x2+1﹣2x﹣5﹣3x﹣x2．【考点】合并同类项．【分析】首先找出其中的同类项，然后合并同类项即可．【解答】解：原式=3x2﹣x2﹣2x﹣3x﹣5+1=2x2﹣5x﹣4．【点评】本题主要考查的是合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．21．先化简，再求值：（9ab2﹣3）+a2b+3﹣2（ab2+1），其中a=﹣2，b=3．【考点】整式的加减—化简求值．【专题】计算题．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=3ab2﹣1+a2b+3﹣2ab2﹣2=a2b+ab2+2，当a=﹣2，b=3时，原式=12﹣18+2=﹣4．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．五.解方程（本大题共2道小题，每小题8分，共8分）22．解方程：（1）2（x﹣3）﹣5（3﹣x）=21（2）﹣=4．【考点】解一元一次方程．【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；（2）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可．【解答】解：（1）去括号 2x﹣6﹣15+5x=21，移项得，2x+5x=21+6+15，合并同类项得，7x=42，系数化1得，x=6；（2）去分母得，2（2﹣x）﹣9（x﹣1）=24，去括号得，4﹣2x﹣9x+9=24，移项得，﹣2x﹣9x=24﹣4﹣9，合并同类项得，﹣11x=11，系数化1得，x=﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次方程，熟知去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解一元一次方程的一般步骤是解答此题的关键．六．解答题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分）23．有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，（1）用“＜”连接0，a，b，﹣1；（2）化简：|a|+|a+b|﹣2|b﹣a|．【考点】数轴；绝对值；有理数大小比较；整式的加减．【专题】实数；整式．【分析】（1）根据数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，比较出0，a，b，﹣1的大小关系，并用“＜”连接0，a，b，﹣1即可．（2）首先根据图示，可得a＜0，a+b＜0，b﹣a＞0，所以|a|=﹣a，|a+b|=﹣（a+b），|b﹣a|=b﹣a；然后根据整数的加减的运算方法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1）根据图示，可得a＜﹣1＜0＜b．（2）∵a＜0，a+b＜0，b﹣a＞0，∴|a|=﹣a，|a+b|=﹣（a+b），|b﹣a|=b﹣a，∴|a|+|a+b|﹣2|b﹣a|=﹣a﹣（a+b）﹣2（b﹣a）=﹣a﹣a﹣b﹣2b+2a=﹣3b【点评】（1）此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．（2）此题还考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．（3）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．（4）此题还考查了整式的加减运算，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．24．（1）已知代数式3x2﹣4x的值为6，求代数式6x2﹣8x﹣9的值；（2）已知，求代数式的值．【考点】代数式求值．【分析】（1）将原式化为关于3x2﹣4x的式子，进而求出答案；（2）首先得出=，进而代入原式求出答案．【解答】解：（1）∵3x2﹣4x=6，∴6x2﹣8x﹣9=2（3x2﹣4x）﹣9=2×6﹣9=3；（2）∵，∴=，∴=2×8+4×=16．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确利用整体思想代入原式求解是解题关键．25．已知﹣x1﹣m y2与是同类项，求（m﹣2n）2﹣5（m+n）﹣2（2n﹣m）2+m+n的值．【考点】整式的加减—化简求值；同类项．【分析】先根据同类项的意义求出m、n的值，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：∵由已知得：1﹣m=5，2=n，∴m=﹣4，n=2，∴（m﹣2n）2﹣5（m+n）﹣2（2n﹣m）2+m+n=（m﹣2n）2﹣5（m+n）﹣2（m﹣2n）2+m+n=﹣（m﹣2n）2﹣4（m+n）=﹣（﹣4﹣2×2）2﹣4（﹣4+2）=﹣56．【点评】本题考查了整式的加减和求值，同类项的应用，解此题的关键是能根据整式的加减法则进行化简，难度不是很大．七．附加题26．（2015秋•北京校级期中）填空题：（请将结果直接写在横线上）现定义运算“△”，对于两个有理数a，b，都有a△b=ab﹣（a+b），例如：（﹣2）△1=（﹣2）×1﹣（﹣2+1）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，则5△1= ﹣1 ；（m﹣2）△1= ﹣1 ；m△（n△1）=﹣2m+1 ．【考点】有理数的混合运算．【专题】新定义．【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，再依次计算即可．【解答】解：∵a△b=ab﹣（a+b），∴5△1=5﹣（5+1）=5﹣6=﹣1；（m﹣2）△1=（m﹣2）﹣（m﹣2+1）=﹣1；m△（n△1）=m△[n﹣（n+1）]=m△（﹣1）=﹣m﹣（m+1）=﹣2m﹣1．故答案为：﹣1，﹣1，﹣2m+1．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．27．（2015秋•北京校级期中）探究题：下图是某月的月历．（1）如图1，带阴影的方框中的9个数之和是99 ；（2）如果将带阴影的方框移至图2的位置，则这9个数之和是144 ；（3）如果将带阴影的方框移至9个数之和为198的位置，求这9个数中最小的数．【考点】一元一次方程的应用．【分析】（1）将带阴影的方框中的9个数相加即可；（2）将图2中的9个数相加即可；（3）设中间的数为x，表示出其余的数，根据9个数之和为198列出方程，求解即可．【解答】解：（1）3+4+5+10+11+12+17+18+19=99；（2）8+9+10+15+16+17+22+23+24=144；（3）设中心数为x，则9个数之和为（x﹣8）+（x﹣7）+（x﹣6）+（x﹣1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）=9x，根据题意，得9x=198，解得x=22，故最小数为x﹣8=14．答：这9个数中最小的数为14．故答案为99；144．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．28．（2015秋•北京校级期中）阅读理解题：如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．9 ★☆x ﹣6 2 …（1）可求得x= 9 ，第2015个格子中的数为﹣6 ；（2）判断：前n个格子中所填整数之和是否可能为2015？若能，求出n的值，若不能，请说明理由；（3）若取前3格子中的任意两个数，记作a、b，且a≥b，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣★|+|9﹣☆|+|☆﹣★|得到．其结果为30 ；若取前19格子中的任意两个数，记作s、t，且s≥t，求所有的|s﹣t|的和．【考点】规律型：数字的变化类；绝对值．【专题】阅读型．【分析】（1）根据其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，得出每三个数字一个循环，依次读下去，得x=9，★=﹣6，☆=2，2015÷3=671余2，故2015个数为﹣6．（2）计算三个格子和为5，而2015能被5整除，因此，n个格子中所填整数之和可以为2015；（3）通过分类讨论求出所有a、b的可能情况，求出结果即可，当取前19个格子中数字，这三个数，9出现了7次，﹣6和2各出现了6次，通过分类讨论求出所有s、t的可能情况，求出结果即可．【解答】解：（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴表格中从左向右每三个数字一个循环，∴x=9，★=﹣6，☆=2，∵2015÷3=671…2，∴第2015格子中的数为：﹣6．故答案为：9，﹣6．（2）能．∵9+（﹣6）+2=5，2015÷5=403，∴n=403×3=1209，答：前n个格子中所填整数之能为2015，n等于1209．（3）∵取前3格子中的任意两个数，记作a、b，且a≥b，∴所有的|a﹣b|的和为：|9﹣（﹣6）|+|9﹣2|+|2﹣（﹣6）|=30．∵由于是三个数重复出现，那么前19个格子中，这三个数，9出现了7次，﹣6和2各出现了6次．∴代入式子可得：|9﹣（﹣6）|×7×6+|9﹣2|×7×6+|2﹣（﹣6）|×6×6=1212．答：|9﹣★|+|9﹣☆|+|☆﹣★|结果为30，所有的|s﹣t|的和为1212．【点评】题目考查了数字的变化规律，通过表格中数字的变化，体会数字变化为学生们带来的快乐．题目整体较难，特别是（3）中的总结性求和，更能体现学生的解决问题能力．。
北京大学2016年数学分析试题及解答
10. 充分性: ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > m > N 时,
令 x → R− 得
∑n akxk < ε, ∀x ∈ [0, R).
k=m
∑n
∑ ∞
akRk < ε =⇒ anRn 收敛.
k=m
n=1
必要性: 首先注意到
∑ ∞
anxn
=
∑ ∞
anRn
( x )n R
,
n=1
n=1
又因为
中的开集映为开集.
6.
(15
分)
x1
=
√ 2, xn+1
√ = 2 + xn.
证明
{xn}
收敛并求极限值.
7. (15 分) 证明 ∫ +∞ sin x dx 收敛并求值. 写出计算过程.
0
x
8. (15 分)
∫b
(1) 证明存在 [a, b] 上的多项式序列 {pn(x)} 使得 pi(x)pj(x) dx = δij 并使得对于 [a, b] 上的连续函数
准则
(不用证明)
并
i=1
用你叙述的 Cauchy 准则证明闭区间上的单调函数可积.
3. (15 分) (a, b) 上的连续函数 f (x) 有反函数. 证明反函数连续.
4.
(15
分)
f (x1, x2, x3)
是
C2
映射,
∂f ∂x1
(x01
,
x02,
x03
)
̸=
0.
证明
f (x1, x2, x3)
对于任意 n > m, x0 ∈ U, 因为 rank (J (f )|x=x0 ) = m, 不妨设 J (f )|x=x0 的前 m 列是线性无关的. 定义
《解析》北师大附中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
北师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入第Ⅱ卷选择题的答案表中．）1．（5分）若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题3．（5分）曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为（）A．3x+y+3=0 B．3x﹣y+3=0 C．3x﹣y=0 D．3x﹣y﹣3=04．（5分）若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π5．（5分）已知||=6，||=3，•=﹣12，则向量在向量方向上的投影是（）A．2B．﹣2 C．4D．﹣46．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．107．（5分）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A．B．C．D．8．（5分）已知，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是（）km．A．5（+）B．5（﹣）C．10（﹣）D．10（+）10．（5分）若函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，方程f（x）﹣mx﹣2m=0有两个实数解，则实数m的取值范围是（）A．0＜m≤B．0＜m＜C．＜m≤l D．＜m＜1二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若sinα+cosα=，则sin2α的值是．12．（5分）若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为rad．13．（5分）已知函数（ω＞0）在单调增加，在单调减少，则ω=．14．（5分）已知函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，f（2）=4，则f=．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=+k为闭函数，则k的取值范围是．三、解答题（共75分）16．（15分）已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，（1）求的值；（2）求与的夹角θ；（3）求||的值．17．（10分）已知，，若，求：（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程．（2）f（x）的单调递增区间．（3）当时，函数f（x）的值域．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．（12分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？20．（12分）已知函数f（x）=﹣（x+2）（x﹣m）（其中m＞﹣2）．g（x）=2x﹣2．（Ⅰ）若命题“log2g（x）≥1”是假命题，求x的取值范围；（Ⅱ）设命题p：∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；命题q：∃x∈（﹣1，0），f（x）g（x）＜0．若p∧q是真命题，求m的取值范围．21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．北师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入第Ⅱ卷选择题的答案表中．）1．（5分）若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）考点：函数的定义域及其求法；交集及其运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．解答：解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，+∞）．故选C点评：此题属于以函数的定义域为平台，考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题考点：复合命题的真假；四种命题；命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：根据全称命题的否定是特称命题判断A是否正确；根据充分、必要条件的判定方法判断B是否正确；根据逆否命题的定义判断C是否正确；利用复合命题的真值表判定D是否正确．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，∴A正确；∵x=1⇒x2﹣3x+2=0，当x2﹣3x+2=0时，x=1不确定，根据充分必要条件的判定，B正确；根据逆否命题的定义，是逆命题的否命题，∴C正确；∵p∧q为假命题根据复合命题真值表，P，q至少一假，∴D错误；故选D点评：本题考查命题的真假判断及复合命题的真假判断，特别要注意全称命题与特称命题互为命题的否定命题．3．（5分）曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为（）A．3x+y+3=0 B．3x﹣y+3=0 C．3x﹣y=0 D．3x﹣y﹣3=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数y=x3+1的导函数，然后求出在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．解答：解：y′=3x2y′|x=1=3，切点为（﹣1，0）∴曲线y=x3+1在点（﹣1，0）切线方程为y﹣0=3[x﹣（﹣1）]，即3x﹣y+3=0故选B．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：将已知中等式中的定积分化简求值，化为关于t的三角函数方程解之．解答：解：因为﹣cosxdx=﹣sinx=0，所以sin2t=0，因为t∈（0，π），所以2t=π，所以t=；故选：B．点评：本题考查了定积分的计算以及三角函数求值，属于基础题．5．（5分）已知||=6，||=3，•=﹣12，则向量在向量方向上的投影是（）A．2B．﹣2 C．4D．﹣4考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：向量在向量方向上的投影为cos＜，＞=，代入数值计算即可．解答：解：向量在向量方向上的投影为：cos＜，＞===﹣4故选：D点评：本题考查向量投影的求法，属基础题．6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．10考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．解答：解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．7．（5分）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用；相等向量与相反向量．专题：计算题．分析：根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值解答：解：由题意，∵，∴，即，∴，即故选A．点评：本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．8．（5分）已知，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过化简整理，可得g（x）=f（x﹣），由此结合函数图象平移的规律，即可得到本题的答案．解答：解：∵∴g（x）=sin2x==f（x﹣），∵函数y=f（x﹣）的图象是由函数y=f（x）的图象向右平移个单位而得∴为了得到g（x）=sin2x的图象，只要将f（x）的图象右平移个单位故选A点评：本题以三角函数的图象平移，考查了函数图象平移的公式和图象变换等知识，属于基础题．9．（5分）如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是（）km．A．5（+）B．5（﹣）C．10（﹣）D．10（+）考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：由题意可得AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°，由三角形内角和定理可得∠ACB=75°，由正弦定理求出BC的值．解答：解：由题意可得AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°所以，∠ACB=75°，由正弦定理：，即BC==10（﹣）km，故选：C．点评：本题考查三角形内角和定理，正弦定理的应用，求出AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°，是解题的关键．10．（5分）若函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，方程f（x）﹣mx﹣2m=0有两个实数解，则实数m的取值范围是（）A．0＜m≤B．0＜m＜C．＜m≤l D．＜m＜1考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，求出x∈（﹣1，0）时，f（x）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．解答：解：∵f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴x∈（﹣1，0）时，f（x）+1==，∴f（x）=﹣1，因为g（x）=f（x）﹣mx﹣2m有两个零点，所以y=f（x）与y=mx+2m的图象有两个交点，函数图象如图，由图得，当0＜m≤时，两函数有两个交点故选：A．点评：此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若sinα+cosα=，则sin2α的值是﹣．考点：二倍角的正弦．专题：计算题．分析：将已知的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2α的值．解答：解：把sinα+cosα=两边平方得：（sinα+cosα）2=，即sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=，解得：sin2α=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式．将已知的等式两边平方是本题的突破点．12．（5分）若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为2rad．考点：弧长公式．专题：计算题．分析：设扇形的圆心角为α，半径为R，则根据弧长公式和面积公式有，故可求扇形的圆心角．解答：解：设扇形的圆心角为α，半径为R，则⇒．故答案为：2．点评：本题主要考察了弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．13．（5分）已知函数（ω＞0）在单调增加，在单调减少，则ω=．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；正弦函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：由题意函数在时取得最大值，求出ω的范围，根据单调性，确定ω的值．解答：解：由题意又ω＞0，令k=0得．（由已知T＞2π．如k＞0，则ω≥2，T≤π与已知矛盾）．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦函数的单调性，考查逻辑思维能力，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，f（2）=4，则f=﹣4．考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，可推得函数f（x）是以12为最小正周期的函数，即有f=f（﹣2），再由函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，可得f（x）图象关于原点对称，由f（2）=4即可得到答案．解答：解：由于函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，则f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），则函数f（x）是以12为最小正周期的函数，则f=f（12×167+10）=f（10）=f（﹣2），由于函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，则将y=f（x﹣1）的图象左移1个单位，得到y=f（x）的图象，即有f（x）图象关于原点对称，由于f（2）=4，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣4．则f=﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的周期性和对称性及运用，考查运算能力，属于中档题．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=+k为闭函数，则k的取值范围是（﹣1，]．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：若函数f（x）=+k为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值范围．解答：解：若函数f（x）=+k为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=+k的两个实数根，即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，解得，﹣1＜k；当k＞﹣时，解得k无解．综上，可得﹣1＜k．故答案为：（﹣1，﹣]点评：本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．三、解答题（共75分）16．（15分）已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，（1）求的值；（2）求与的夹角θ；（3）求||的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）由（2﹣3）•（2+）=61，利用向量的运算法则，计算化简即可．（2）利用向量夹角公式计算．（3）利用（2）的结论和数量积运算性质即可得出．解答：解：（1）由（2﹣3）•（2+）=61，得4﹣4﹣3=61将||=4，||=3，代入，整理得=﹣6（2）cosθ===﹣，又0≤θ≤π，所以θ=．（3）|+|===．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角的范围，根据三角函数的值求角，属于基础题．17．（10分）已知，，若，求：（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程．（2）f（x）的单调递增区间．（3）当时，函数f（x）的值域．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先由向量的运算结合三角函数公式化简为，（1）由公式易求得得周期和对称轴；（2）转化为函数y=的减区间；（3）由x的范围开始逐步求解范围，可得答案．解答：解：由题意可得：=…（4分）（1）由上可知：T==π…（5分）由2x=k解得：对称轴方程为…（7分）（2）f（x）增区间即为的减区间，由≤2x，解得f（x）的单调递增区间为…（10分）（3）∵∴∴∴值域为…（13分）点评：本题为三角函数和向量的综合应用，熟练利用公式是解决问题的关键，属中档题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）∵c=2，cosC=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，又△ABC的面积等于，sinC=，∴，整理得：ab=4，（4分）联立方程组，解得a=2，b=2；（6分）（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，（8分）联立方程组，解得：，，又sinC=，则△ABC的面积．（10分）点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？考点：函数最值的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元，可求全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）求导数，确定函数的单调性，即可求出使全程运输成本最小，轮船的多大速度．解答：解：（Ⅰ）由题意得：，即：…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令y'=0，解得x=50，或x=﹣50（舍去）．…（8分）当0＜x＜50时，y'＜0当50＜x＜60时，y'＞0（均值不等式法同样给分）…（10分）因此，函数在x=50处取得极小值，也是最小值．故为使全程运输成本最小，轮船应以50海里/小时的速度行驶．…（12分）点评：本题考查函数最值的应用，考查导数知识的运用，确定函数模型是关键．20．（12分）已知函数f（x）=﹣（x+2）（x﹣m）（其中m＞﹣2）．g（x）=2x﹣2．（Ⅰ）若命题“log2g（x）≥1”是假命题，求x的取值范围；（Ⅱ）设命题p：∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；命题q：∃x∈（﹣1，0），f（x）g（x）＜0．若p∧q是真命题，求m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（I）由于命题“log2g（x）≥1”是假命题，可得log2g（x）＜1，即，利用对数函数和指数函数的单调性即可得出x的取值范围；（II）由于p∧q是真命题，可得p与q都是真命题．由于当x＞1时，g（x）＞0，又p是真命题，可得f（x）＜0．由f（1）＜0，可得m＜1．当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0．由于q是真命题，则∃x∈（﹣1，0），使得f（x）＞0，利用f（﹣1）＞0，可得m的取值范围．解答：解：（I）∵命题“log2g（x）≥1”是假命题，则log2g（x）＜1，即，∴0＜2x﹣2＜2，解得1＜x＜2．∴x的取值范围是（1，2）；（II）∵p∧q是真命题，∴p与q都是真命题．当x＞1时，g（x）=2x﹣2＞0，又p是真命题，则f（x）＜0．f（1）=﹣（1+2）（1﹣m）＜0，解得m＜1．当﹣1＜x＜0时，g（x）=2x﹣2＜0．∵q是真命题，则∃x∈（﹣1，0），使得f（x）＞0，∴f（﹣1）=﹣（﹣1+2）（﹣1﹣m）＞0，即m＞﹣1．综上所述：﹣1＜m＜1．点评：本题综合考查了二次函数和对数函数的单调性、简易逻辑的有关知识，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法．专题：计算题；综合题；压轴题；开放型；分类讨论．分析：（I）根据题意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），求导，令导数等于零，解方程，跟据g′（x），g（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间和最小值；（Ⅱ）构造函数h（x）=g（x），利用导数求该函数的最小值，从而求得g（x）与的大小关系；（Ⅲ）证法一：假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，解此绝对值不等式，取时，得出矛盾；证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜立，转化为求函数的值域，得出矛盾．解答：解：（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，∴最小值为g（1）=1；（Ⅱ）=﹣lnx+x，设h（x）=g（x）﹣=2lnx﹣x+，则h′（x）=，当x=1时，h（1）=0，即g（x）=，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞，当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜，（Ⅲ）满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，有，（*）但对上述x0，取时，有Inx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜立．由（Ⅰ）知，的最小值为g（x）=1．又＞Inx，而x＞1 时，Inx 的值域为（0，+∞），∴x≥1 时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x1＞1，使g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）﹣g（x0）≥1，故|g（x1）﹣g（x0）|≥1＞，与假设矛盾．∴不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．。