翻硬币问题——数学建模

摘要：对一摞 m 枚正面朝上的硬币进行翻面，第 k 次翻上面 k 枚硬币（k=1; 2; 3; ……; m） ， 翻完后再从最上面的硬币开始重复操作， 问需经过多少次翻面可 以使所有硬币重新正面朝上。 由于本问题问法存在异议，即两种翻面的方法。第一种，k 枚硬币作为整体 全部颠倒，即翻面的同时颠倒硬币顺序。第二种，每一枚硬币翻面后放回，不打 乱硬币顺序。本文将对两种观点进行探讨，得出结论。
输入 m,p=1,v=2m,i=0
m为偶数？ N Y
P=(m+1)/2 V=1 i=1
P=m/2+1 V=1 i=1
V=p i=i+1
V=p i=i+1
N
P?=1
P?=1
N
V为偶数？ N Y Y
V为偶数？
N
Y P=(m-v+2)/2 P=(m+v+1)/2
Y
P=(m-v+2)/2
P=(m+v+1)/2
重新正面朝上。假设得证。
模型检验
当 m=4 时，需要 2m=8 次操作。 k=0, A=1111; k=1, A=1110; k=2, A=1101; k=3, A=1010; k=4, A=0101; k=5, A=0100; k=6, A=0111; k=7, A=0000; k=8, A=1111. 符合结果。所以结论是：对 m 枚硬币，需要 2m 次翻面可以使所有硬币重新正面 朝上。
次数 硬币 ① ② ③ 0 1 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1
表 1 三枚硬币的翻面状态 顺 3 4 5 6 序
0 0 1 ③ ① ② 1 0 1 1 0 1 0 1 1
顺 序 ② ③ ①
7 1 1 0
8 0 0 0
9 1 )=1 表示正面朝上，A(i)=0 表示反面朝上。
4
316
711
5
4
3
2 1
218 813
映射关系
3
2 1
2
1
80
72
56
114
815
经过简单的检验，大胆推测任意 m 枚硬币经过 f (m) 或者 f (m) 1 次翻面后 再次全部回到正面，其中 f (m) 可以由上述流程图获得。
以下针对第二种观点进行探讨： 问题分析
硬币有两种状态，背面朝上和正面朝上，可以分别用二进制数 0 和 1 代表。 0 代表反面朝上，1 代表正面朝上。第 k 次操作可以看做把后 k 位取反。用 A 代 表硬币的状态。A(i)代表第 i 枚硬币的状态。
后的状态。那么简单推理可知 w(m, 2 f (m)) {x1, x2 ,……, xm}, 其中xi 1 ，也 就是说翻面 2 f (m) 次后必然全部正面朝上。 但是，对多个 m 考察后发现， 在f (m)-1或者f (m) 次时一般已经成立，这 取决于具体的映射关系。 本文针对此映射关系即 f (m) 的具体表达式只做简单探讨。 (1) 尝试探求 f (m) 的表达式：
输出i
图 3 分析流程图
(2) 尝试探求何时取 f (m)-1或者f (m) ：
表 4 取 f (m)-1 或者 f (m) 的简单分析
m
f (m) / m
1 2 2 2
2 2 4 3
3 3 9 9
4 3 12 11
5 5 25 24
6 6 36 35
7 4 28 28
8 4 32 31
f (m)
所需次数 对应
在 k 3 4 1 11 时达到全部正面朝上。 根据上面的例子我们有如下猜测： m 枚硬币出现循环的次数， 这是唯一由 m 以及翻面规则决定的。 f (m) ： 如 f (3) 9，f (4) 12 。
w(m, n) {x1 , x2 ,……, xm }, 其中xi =xi (m, n) 1 or 0 ： m 枚硬币在经历 n 次
表 2 四枚硬币的翻面状态
次 数 硬币 ① ② ③ ④ 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1
翻面次数
2 0 1 1 1
3 0 0 1 1
4 0 0 1 1
顺 序 ④ ② ① ③
5 1 0 1 1
6 1 0 1 1
7 0 1 0 1
8 0 1 0 1
顺 序 ③ ② ④ ①
9 1 1 0 1
10 0 0 0 1
关键词：翻硬币 二进制 数学归纳法 映射
以下针对第一种观点进行探讨： 问题分析
事实上，任意一枚硬币当且仅当翻面为偶数次时才会重新正面朝上，那么问 题的本质就是翻面多少次时，所有硬币的翻面次数都为偶数次。
问题求解
本次不采用数学归纳证明之，以直观的图形及表格论述。 当硬币为三枚时，假设 A(i)=1 表示正面朝上，A(i)=0 表示反面朝上。
10
20
8
7 6
翻面次数
81
63
8 7
翻面次数
73
8
翻面次数
57 414
615
8
7 6
翻面次数
115
221
39 212 610 89 411
112
映射关系
7
6 5 4 3
30 40 50 60
70
45 27 18 36
54
映射关系
6 5
4 3 2 1
321 421 515 621 715
映射关系
5
11 1 1 1 1
12 0 0 0 0
顺 序 ① ② ③ ④
10
4 3 2
41
4 3 2
33
4 3 2
17
41
4 1
20 30 40
23 14
映射关系
26 45 16
29 37 47
1
32
1
1
表 示 翻 面 次 数 ；
图 1 四枚硬币的状态循环
表 示 第 四 枚 硬 币 ；
观察发现，在经历三轮循环（4 次+4 次+4 次）翻面后，所有硬币重新 回到初始状态的位置，并且翻面次数的奇偶性一致，在 m=4 时，三轮循环 后全部反面朝上， 那么在之前的一次翻面时， 必为全部正面朝上， 也就是说，
f (m)
f (m)-1
f (m)
f (m)-1
f (m)-1
f (m)-1
f (m)
f (m)-1
理论上只需要知道一枚硬币翻面的次数即可判断，此处限于篇幅不加讨 论，但取 f (m)-1 或者f (m) 的猜想是很可能的，但仍需深入分析。
模型检验
当 m =8 时，需要 f (m)-1 =31 次操作。
问题求解
m=1 时，显然需要 2 次操作。 m=2 时， k=0,A=11; k=1, A=10; k=2, A=01; k=3, A=00; k=4, A=11. 需要 4 次操作。 m=3 时，k=0, A=111; k=1, A=110; k=2, A=101; k=3, A=010; k=4, A=011; k=5, A=000; k=6, A=111.需要 6 次操作。 猜想：对 m 枚硬币，需要 2m 次翻面可以使所有硬币重新正面朝上。 假设：对 m 枚硬币，操作 k=2m 时，A(i)=1,i=1,2,3, ……, m。 证明： m=1 时，显然 k=2 时，A1=1. 假设成立。 假设 m=n, n≥1 时，k=2n 时, A(i)=1,i=1,2,3, ……, n，即命题成立。 当 m=n+1,n≥1 时，将第一枚硬币以下 n 枚硬币视为整体，操作 k= n+1 时， 处理完整摞硬币。此时 A(n+1)进行了 n+1 次操作，第一枚硬币以下 n 枚硬币 (即 A(n)~A(1))处理了 n 次。 此时进行处理至 k=2n+2,此时相当于上述操作重复 一次， 即 A(n+1)进行了 2n+2 次操作， 第一枚硬币以下 n 枚硬币(即 A(n)~A(1)) 处理了 2n 次。显然，A(n+1)=1,A(i)=1,i=1,2,3, ……, n 总上诉述，由数学归纳法知，对 m 枚硬币，需要 2m 次翻面可以使所有硬币
9 7 5 3 1 2 4 6 8
10 8 6 4 2 1 3 5 7 9
…… …… ……
…… …… …… …… …… …… …… 1
…… ……
一轮循环 （m 次） 后的序列
5 6 7 8 9 10 ……
…… m-5 m-3 m-1
f (m) / m
1
2
3
3
5
6
4
4
9
6
根据其基本规律设计了如下图 2 的流程图，编程语言很简单，未附上。 思路如下：首先输入硬币数 m ，指针 p 起始位置为 1，所指位置的值 V 为 m ,由于 m 的不同会导致 P(V=1)的不同，因此分情况计算 V=1 的位置 p, 然后将 P 的值赋予 V，计算 V=P 的位置，此时仍需针对 V 的奇偶性确定 P， 此后以此类推，直至 P=1，即 P 指向第一个位置。 举例以说明之。当 m =6，起始 P=1，V=6，计算的 V=1 的位置 P=4，i=1; 赋值 V=P=4,i=2，计算 V=4 的位置 P=2;赋值 V=P=2,i=3，计算 V=2 的位置 P=3;赋值 V=P=3，i=4，计算 V=3 的位置 P=5;赋值 V=P=5，i=5，计算 V=5 的位置 P=6;赋值 V=P=6,i=6，计算 V=6 的位置 P=1，输出次数为 i=6。
表 3 多枚硬币的单次循环后序列 3 4 5 6 7 8 9 枚 枚 枚 枚 枚 枚 枚 3 1 2 4 2 1 3 5 3 1 2 4 6 4 2 1 3 5 7 5 3 1 2 4 6 8 6 4 2 1 3 5 7