04第四章__动能和势能
漆安慎《力学》教案第04章 动能和势能
(4) 热学中永动机不可能实现的确认和各种物理现象之 间的普遍联系的发现，导致了能量守恒定律的最终确立.
(5) 能量守恒定律的发现最重要的贡献者是迈耶（M.Meyer） 焦耳（J.P.Joule）和亥姆霍兹（H.von.helmholtz）三位伟大的 科学家.
若 F F1 F2
则合力 F 的元功为：
dA ( Fi ) dr (Fi dr )
即合力所做的元功等于各分力所做元功的代数和.
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第四章 动能和势能
⑷ 充分理解功的定义中的位移 dr ：
① 更换受力点并不意味受力质点有位移，P.125
② 如果研究对象不是质点，则在力 F 的作用下，各部
F Fr
r
A F r F r cos Fr r
2. 变力的功 思想：无限分割，变曲为直
力 F 在元位移 dr 上的元功.
( r 是一有限位移)
dr m F
dA F dr F dr cos 元功的定义式
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第四章 动能和势能
不管是恒力还是变力，由功的定义可以看出以下几点：
Δt0 Δt dt
dt
在SI单位制中功率的单位为瓦特(W)，1W=1J/s dimP=L2MT3
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第四章 动能和势能
§4.2.2 利用不同坐标系表示元功
元功的定义式： dA F dr
1. 平面直角坐标系
y
Δr
r1
F Fxi Fy j
y
F
dr dxi dyj
高中物理第四章机械能和能源第3-4节势能;动能动能定理1势能和动能练习教科版必修2(2021年整理)
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第3-4节势能;动能动能定理1 势能和动能（答题时间：30分钟）1。
2013年1月1日,新交通法规开始实施，其中“闯黄灯扣6分"被部分网友称为违背牛顿第一定律，导致各地追尾事故频发。
在紧急刹车过程中关于汽车的惯性和动能变化，下列说法正确的是（）A。
惯性不变，动能不变 B。
惯性不变，动能减小C. 惯性减小，动能减小D。
惯性减小，动能不变2。
改变汽车的质量和速度都能使汽车的动能发生变化，在下列情况中,能使汽车的动能变为原来3倍的是（）A。
质量不变，速度变为原来的3倍B。
质量和速度都变为原来的3倍C。
质量变为原来的13，速度变为原来的3倍D. 质量变为原来的3倍，速度变为原来的1 33。
关于动能的理解，下列说法正确的是（）A. 动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动的物体都具有动能B. 动能总是正值,但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的C. 一定质量的物体,动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化D. 动能不变的物体，一定处于平衡状态4. 以水平初速度v0将一个小石子从离水平地面高H处抛出,从抛出时开始计时,取地面为参考平面，不计空气阻力.下列图象中，A为石子离地的高度与时间的关系，B为石子的速度大小与时间的关系，C为石子的重力势能与时间的关系,D为石子的动能与离地高度的关系。
普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第四章 动能和势能
第4章动能和势能习题解答4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。
绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg ，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。
分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg ，所以，人对传送带做功的功率为：N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦）4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为l l k l k f ,321+=表示弹簧的伸长量，k 1为正，⑴研究当k 2＞0、k 2<0和k 2=0时弹簧的劲度df/dl 有何不同；⑵求出将弹簧由l 1拉长至l 2时弹簧对外界所做的功。
解：弹簧的劲度df/dl=k 1+3k 2l 2. k 2=0时，df/dl =k 1，与弹簧的伸长量 无关；当k 2>0时，弹簧的劲度随弹簧 伸长量的增加而增大；k 2<0时，弹簧 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。
在以上三种情况中，劲度df/dl 与弹簧伸长量l 的关系如图所示。
))](([)()()(2122212222112141422412122121321321212121l l l l k k l l k l l k dll k ldl k dl l k l k A l l l l l l -++-=----=--=+-=⎰⎰⎰4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F 向下拉绳，证明力F 对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。
证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r 1,θ1变为r 2,θ2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=FFT F r r r r r r rT A A r r T r r F A r r T drTTdrdr FA =∴-=-=-==-==⎰⎰⎰),()()(2121211221214.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sin α)mg ，∴N = Fv = (0.04+sin α)mgv设卡车匀速下坡时，速率为v ’,牵引力为F',功率为N', 由质点平衡方程有 F'+ mg sin α= 0.04mg, F'=(0.04-sin α)mg, ∴N'= (0.04-sin α)mgv'.令N'= N, 即（0.04+sin α）mgv = (0.04-sin α)mgv'，可求得：v'= v(0.04+sin α)/(0.04-sin α). 利用三角函数关系式，可求得： sin α≈tg α=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103/602 m/s = 12.5m/s.4.3.1质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N ，木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ，求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。
漆安慎 杜禅英 力学习题及答案04章
第四章 动能和势能 一、基本知识小结1、功的定义式：⎰⋅=2112r r r d F A直角坐标系中：⎰⎰+==221121,,1212y x y x yxx x xdy F dx F A dxF A ，自然坐标系中：⎰=2112s s ds F A τ极坐标系中： ⎰+=2211,,12θθθθr r rrd F dr F A2、⎰⋅-=-=b ap p k r d F a E b E mv E 保势能动能)()(,212重力势能mgy y E p =)(弹簧弹性势能 2)(21)(l r k r E p -=静电势能 rQqr E p πε4)(=3、动能定理适用于惯性系、质点、质点系∑∑∆=+k E A A内外4、机械能定理适用于惯性系∑∑+∆=+)p k E E A A（非保内外5、机械能守恒定律适用于惯性系若只有保守内力做功，则系统的机械能保持不变，C E E p k =+6、碰撞的基本公式接近速度）（分离速度（牛顿碰撞公式）动量守恒方程）e v v e v v v m v m v m v m =-=-+=+)((2010122211202101 对于完全弹性碰撞 e = 1对于完全非弹性碰撞 e = 0对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。
7、克尼希定理∑+=22'2121i i c k v m mv E 绝对动能=质心动能+相对动能 应用于二体问题 222121u mv E c k μ+=212121m m m m m m m +=+=μu 为二质点相对速率二、思考题解答4.1 起重机起重重物。
问在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下合力之功的正负。
又：在加速上升和匀速上升了距离h 这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功是否一样多？答:在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种况下合力之功的正负分别为：正、0、负、正、0、负。
第四章剖析物质变化中的能量变化,很全面讲解
•蒸发溶剂和改变温度。
• 随着温度的变化而溶解度不大的 物质，一般用蒸发溶剂的方法从 溶液中提取。
• 溶解度的变化随温度变化较大的 固体溶质，一般采用改变温度的 方法来使溶液中的溶质析出。
CuSO4·5H2O KAl(SO4)2·12H2O
思考题（1）
• 硫酸铜晶体转化为无水硫酸铜是物理变化还是 化学变化？还是两者皆有之？
不变这。就是能量守恒定律
• 人在饥饿的时候会感到四肢无力， 此时若补充食物，马上有了力气。 这是由于食物中的能量传递给了人 的缘故。
• 那么，食物的能量来自何方？ • 来自太阳。 • 太阳具有巨大的能量，它能引起一
系列的物质转化和能量转化。
• 地球上的一切生物能归根到底来自 太阳。
太阳能
热
光 合
• 物质的扩散过程是在水分子作用下，溶质分子 或离子向水中分散。扩散时必须克服微粒间的 作用，这部分能量来自水。
• 水分子提供能量后，自身能量必然降低，温度 降低。
• 故物质扩散应该是一个吸热过程。 • 如果要知道物质溶解时是否只存在溶质的扩散
过程，只要将不同的物质溶解于水，测定水温 的变化，如果所有溶解过程都是水温降低，则 溶解时才可能只存在溶质的扩散过程。反之， 一定还存在其他过程。
化学反应时所放出或吸收的热量， 叫作反应的热效应。
化学反应中有热量放出的反应， 叫做放热反应。
化学反应中需要吸收热量的反应， 叫做吸热反应。
想一想：据你所知，哪些化学反应有热量 放出？
我们平时用煤气烧饭，表明煤气燃烧是放热反应。
2CO + O2 → 点燃 2CO2 + Q
有时，我们看到建筑工人将生石灰投入水中， 水会沸腾，表明生石灰与水的反应也是放热反应。
第4章1 功 动能定理
mg
T v dr
l
v 2 gl(cos cos 0 )
1.53 m s
1
8
例2. 如图， 长为 L ，质量为 m 的匀质链条，置于水平桌面上，链条与桌 面之间的摩擦系数为μ， 下垂部分的长度为 a 。链条由静止开始运动，求在 链条滑离桌面的过程中，重力和摩擦力所作的功和链条离开桌面时的速率。 解: （1）重力所作的功： 链条下端在y时，重力所作元功
x y z
3
A Ax Ay Az
功的单位 1J 1N m 做功的三个要素：力、物体、过程 3. 功率 平均功率 瞬时功率
A P t
A dA P lim F v t 0 t dt
P Fv cos
功率的单位：瓦特（W） 1W 1J s 1
vB
2
2
定义：动能（状态函数）—— E 1 mv 2 E p k k
2
2
5 2m
动能定理 ——合力对质点所作的功数值上等于该质点动能的增量。
A EkB E kA
注意： 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 。
6
例 1 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下端 , 绳的上端
18
1 引力势能
rB Gm1m2 AAB f dr rA r 3 r dr ( L) A ( L) rB Gm1m2 Gm1m2 Gm1m2 dr 2 ( L ) rA r rB rA AAB E p EPA E pB 选 rB= 为零势点,EpB=0 m1m2 m1 , m2 两质点引力势能 E p r G r 重力势能:
固定在天花板上。起初把绳子放在与竖直线成 30 角处, 然后放
第四章 动能和势能
结束
第四章 动能和势能
§4.3 质点和质点系动能定理
一、质点的动能定理
1.质点的动能定理 物体在合力作用下,由ab
dv A F dr m dr dt
dr m dv dt m v dv
va
a
dr
vb
F
b
L
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第四章 动能和势能 [解] 1.用质点动能定理求解
FN
FN2
F
Ff
受力分析如图，只有力 Ff , Ff 和 F 做功
根据质点动能定理得
1 [ 1W1 2 (W1 W )] L 0 m0 v 2 2 (1)
W
FN1
W1
Ff
O
s1
dr dset
et
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第四章 动能和势能 3.平面极坐标
F Fr er F e dr drer rde O dA F dr
e
Δr
F
er
A
(r, )
dA （Fr er F e） （ drer rde）
第四章 动能和势能
第四章 动能和势
§4.1 能量—又一个守恒量
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第四章 动能和势能
§4.2 力的功· 用线积分表示功
一、力的元功和功率
功——力对空间的积累作用. 1. 恒力的功
A Ft r
Fn
F cos r
F Ft
r
F r
第四章 动能和势能
教学时数:11教学目的与要求:（1）着重讲授正功与负功的意义，变力的功以弹性力的功为主，可用图解法导出其计算公式。
（2）关于系统的势能，本章仅讲授重力势能及弹性势能。
（3）使学生深刻地认识功能关系，并指出功是能量变化的量度，能是以作功的方式传递并转化的。
（4）结合本章内容，指出只有量纲相同的物理量间才能构成等式关系。
（5）分别讲授质点的与质点组的功能原理与机械能守恒定律，并通过势能曲线研究动能与势能间的相互转化关系。
（6）讲授质点组的功能原理时，要阐明内力做功与内势能的概念。
（7）要分清动量守恒定律与现机械能守恒定律的适用条件的不同，使学生能正确运用两个守恒定律解决实际问题。
教学重点:功，变力的功；功率，动能，动能定理；保守力与非保守力；势能（重力势能、弹性势能、引力势能）势能曲线和从势函数求力；功能原理；力学中的能量守恒定律；普遍的能量转换和守恒定律,对心和非对心碰撞教学难点:动能定理; 功能原理; 能量守恒定律本章主要阅读文献资料:顾建中编《力学教程》人民教育出版社赵景员、王淑贤编《力学》人民教育出版社漆安慎杜婵英《〈力学基础〉学习指导》高等教育出版社能量——另一个守恒量能量概念的认识和由来:从“使物体运动起来需要付出代价”（人们最早对生活中实际的问题的认识）；“运动的物体具有某种功效（例如：运动的子弹可以嵌入泥土）”；1686年莱布尼茨提出：物体“运动的量”与物体速度平方成反比；1965年,“运动的量”发展为“”,并称作“活力”；科里奥利称之为“功”；1801年，托马斯·杨提出将“”称作“能”，“功能原理”和“机械能守恒”思想，自然界一切过程都必须满足能量守恒定律；从经典物理学到现代物理学，对能量的认识发生了巨大的变化：能量可连续取值普朗克指出：物体只能以为单位发射和吸收电磁波微观世界的原子光谱是线状谱能级是分立的。
可以看出：能量概念最早源于生产经过概念的比较和辨别升华为科学的概念。
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第四章 动能和势能一、 内容提要1. 功 功的定义：r F r r d A ⋅=⎰1在直角坐标系中：dy F dx F A y ,x y ,x y x ⎰+=110在平面自然坐标系中：⎰=1s s ds F A τ在极坐标系中：θθθθrd F dr F A ,r ,r r ⎰+=110瞬时功率：v F ⋅=N 2. 动能定理质点的动能定理： 2022121mv mv A -= 质点系的动能定理：∑∑∑∑-=+k 0k E E A A 内外3. 势能保守力：0=⋅=⎰Ld A r F势能：⎰⋅=零点场点保r F d E p功能原理：)p k ∑∑∑∑+∆=+E E A A （内非外机械能守恒定律： 若0=∑外A ，∑=0内非A ，则恒量=+∑∑p k E E4. 碰撞（1）对心碰撞（一维碰撞）：碰撞前后两物体沿同一直线运动2021012211v m v m v m v m +=+201012v v v v e --=完全弹性碰撞：1=e 完全非弹性碰撞：0=e（2）二维碰撞：2021012211v v v v m m m m +=+完全弹性碰撞：2202210122221121212121v m v m v m v m +=+ 5. 克尼希定理：22c 2121i i k v m mv E '+=∑二、习题解答4.2.2本题图表示测定运动体能的装置。
绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg 。
人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动。
设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动。
问运动员对传送带作功否？功率如何？解：由于人的质心相对于地面不动，故人除了受到水平向右的绳拉力以外，还受到等值反向的传送带的摩擦力的作用，该力大小为N 4908950=⨯=.f ；同时根据牛顿第三定律，传送带也受到运动员的摩擦力的作用，大小为N 4908950=⨯=.f ，方向向右。
而传送带在水平方向发生位移，故运动员对传送带作了功，其功率为W 9802490=⨯==fv P4.2.3一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为321l k l k f +=，l 表示弹簧的伸长量，1k 为正。
（1）研究当02〉k 、02〈k 和02=k 时弹簧的劲度dldf有何不同；（2）求出将弹簧由1l 拉长至2l 时弹簧对外界所作的功。
解：（1）弹簧的劲度2213l k k dl df+= 当02=k 时，劲度系数1k dl df=为恒定值，即与伸长量l 的变化无关，此时弹簧为线性弹簧；当02〉k 时， 劲度系数0〉dldf为伸长量l 的函数，且随伸长量l 的增加而增大； 当02〈k 时， 因劲度系数应0≥dldf，令弹簧的最大伸长量为max l ，则2k 取值范围应为03221〈≤-k l k max ，此时，劲度系数dldf为伸长量l 的函数，且随伸长量l 的增加而减小。
（2）根据功的定义，将弹簧由1l 拉长至2l 时弹簧对外界所作的功为⎰⎰+==2121)(321l l l l dl l k l k fdl A)-(41)-(214142221221l l k l l k +=))]((21[212122212221l l l l k k -++=4.2.4一轻细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，绳穿过桌中心光滑圆孔，用力F 向下拉绳。
证明力F 对线作的功等于线作用于小球的拉力所作的功。
线不可伸长。
证明：由于轻细绳，故细绳运动过程中所受外力仅为拉绳的力F 和小球对绳的作用力T ，又由于绳不可伸长，故对轻绳应用动能定理，可有0=+T F A A ，即F T A A -=由于小球对绳的作用力T 与绳作用于小球的拉力T '为作用力与反作用力，即T T -='，而各自作用点的位移相同，故F T T A A A =-='，此式说明力F 对线所做的功等于绳作用于小球的拉力所作的功。
4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解：卡车向上以匀速v 行使时，牵引力mg .sin mg F 040+=α；向下以匀速v '行使时，牵引力αsin mg mg .F -='040，根据题意，上下坡的功率相同，有v F Fv ''=即 v s i n mg mg .mg .sin mg '-=⨯+)040(15)040(αα可求得卡车下坡的速率 4.3.1 质量为m =0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动。
木块与一不可伸长的轻绳相连。
绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T ＝50N 。
木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s 。
求力T 将木块自A 拉至B 点时的速度。
解：木块在A 点时绳长5米，到达B 点时拉力的作用点移动了2米，对木块应用质点的动能定理，有202B 21212mv mv T -=⋅ 将N 50=T ，s /m 60=v ，kg 5.0=m 代入可解得s /m 88.20B =v ，方向向右 。
4.3.2 质量为1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上。
不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。
绳端作用以恒力F ，F =60N 。
木块在A 处有向上的速度v 0=2m/s ，求木块被拉至B 时的速度。
解：木块在A 点时绳长25.0米，到达B 点时拉力的作用点移动了)12(5.0-米，对木块和地球组成的系统应用功能原理，有202B 21215.05.0)12(mv mv mg F -+=⨯-⨯将N 60=F ，kg 2.1=m ，s /m 20=v 代入可解得s /m 86.3B =v ，方向向上。
4.3.3 质量为m 的物体与轻弹簧相连，最初，m 处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v 0向右运动。
弹簧的劲度系数为k ，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ。
求证物体能达到的最远距离l 为证明：将物体与轻弹簧视为一系统，根据功能原理 2022121mv kl mgl -=-μ 整理得 0222=-+kmv k gl m l μ 解得 )11(222-+=mgkv k mgl μμ 得证。
4.3.4 圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑。
质量为m 的活塞将气体密封。
气体膨胀前后的体积各为V 1和V 2，膨胀前的压强为p 1。
活塞初速率为v 0。
（1）求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀时气体压强与体积满足pV =恒量。
（2）若气体压强和体积的关系为γpV =恒量，γ为常量，活塞末速率又如何？（本题用积分）解： 设活塞截面积为S ，则气体膨胀过程中，活塞受力为pS ，对活塞所做的功可表示为⎰⎰==2121V V l l pdV pSdl A用v 表示气体膨胀后活塞的末速率，对活塞应用质点的动能定理，有2022121mv mv A -=得 202v mA v +=，其中A 的值分别为 （1）恒量=pV ，得11V p pV =，即VV p p 11=，则 121111ln 2121V VV p dV V V p pdV A V V V V ===⎰⎰ （2）恒量=γpV ，得γγ1pV pV =，即γγV V p p 11=，则)11(2220-+=mgkv k mgl μμ)11(1111211112121----===⎰⎰γγγγγγV V V p dV V V p pdV A V V V V 4.3.5 O '坐标系与O 坐标系各对应轴平行。
O '相对于O 沿x 轴以v 0作匀速直线运动。
对于O 系，质点动能定理为v 1、、v 2沿x 轴。
根据伽利略变换证明：相对于O '系，动能定理也取这种形式。
证明：由伽利略坐标逆变换t v x x '+'=0，t t '=得t v x x '∆+'∆=∆0，t t '∆=∆t v F x F t v x F x F '∆+'∆='∆+'∆=∆00)(t v F x F ∆+'∆=0 （1）根据伽利略速度逆变换有011v v v +'= ，022v v v +'=，因此可得 2012022122)(21)(212121v v m v v m mv mv +'-+'=-)()(21)(211202122v v mv v m v m '-'+'-'=)()(21)(211202122v v mv v m v m -+'-'=（2） 又在O 系中质点的动量定理为12mv mv t F -=∆，比较（1）、（2）两式，可有2122)(21)(21v m v m x F '-'='∆ 即为O '系中动能定理形式。
4.3.6 带电量为e 的粒子在均匀磁场中的偏转。
A 表示发射带电粒子的离子源，发射出的粒子在加速管道B 中加速，得到一定速率后于C 处在磁场洛伦兹力作用下偏转，然后进入漂移管道D 。
若离子质量不同，或电量不同或速率不同，在一定磁场中偏转的程度也不同。
在本题装置中，管道C 中心轴线偏转的半径一定，磁场磁感应强度一定，离子的电荷和速率一定，则只有一定质量的离子能自漂移管道D 中引出。
这种装置能将特定的粒子引出，称为“质量分析器”。
各种正离子自离子源A 引出后，在加速管中受到电压为U 的电场加速。
设偏转磁感应强度为B ，偏转半径为R 。
求证在D 管中得到的离子的质量为21212221mv mv x F -=∆UR eB m 222=证明：设正离子在加速管中受到电压为U 的电场加速后获得的速度为v ，则由质点的动能定理，有221mv eU =，可解得 meUv 2=（1） 正离子以速度v 在磁场中受洛伦兹力偏转，满足Rv m evB 2= （2）联立（1）、（2）两式，可得UR eB m 222=4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂质量为500g 的圆柱体。
圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。
框架质量为200g 。
自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F =20.0N 作用下移至图中位置，求圆柱体的速度，线长20cm ，不计摩擦。
解：将圆柱体和框架看成两个质点1m 、2m ，构成一个质点组，对该质点组应用功能原理，有)301(2121301222211 cos gl m v m v m sin Fl -++=（1）由题意知圆柱体的水平方向分速度与框架的速度相同，故3012cos v v = （2）将kg 1050031-⨯=m 、kg 1020032-⨯=m 、N 020.F =、m 10202-⨯=l 及（2）式代入（1）式，可解得圆柱体速度 m /s 421.v =4.4.1 二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和2的劲度系数各为k 1和k 2。