2-3系统误差
第三章系统误差
P(T T T ) 1
所以（T-，T+）是T的1-α的臵信区间，给定显著性水平α，便 可求得相应的臵信区间。
例：对某量测得两组数据，判断两组间有无系统误差
xi 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 yi 14.6, 15.0, 15.1
将两组数据混合排列成下表
若 K 2 3N 2 应怀疑存在系统误差
6、秩和检验法——用于检验两组数据间的系统误差
秩和检验是一种非参数检验法。它主要研究两个样本是否来 自同一总体，也就是检验两个总体是否相同的问题。严格地讲， 秩和检验只能解决两个总体分布的中心位臵是否相同的问题。 秩和检验最早是由wilcoxon做出的，后来Mann和Whitney算 出了小的n1和n2的T分布，并且找到了一般情况下的T的矩，证明 了对于大的T的n1和n2，T近似服从正态分布。
vi v i '
i 1 i 1 K
K
j k 1 n j k 1
v
n
j K
v ' ( l
j i 1
i
x )
j k 1
( l
n
j
x )
当测量次数足够多时有
v ' v
i 1 i j k 1
K
n
j
'0
设独立测得两组数据为：
x1, x2 , xn1
y1, y2 , yn 2
令变量
t (x y) n1n2 (n1 n2 2)
2 2 (n1 n2 )( n1S1 n2 S 2 )
由数理统计知，变量t是服从自由度为( n1 n2 2 )的t分布变量 其中
第三章系统误差
第二节 系统误差的发现方法
由于形成系统误差的原因复杂，目前尚没有能够适用 于发现各种系统误差的普遍方法。但是……
实验对比法 残差观察法 残余误差校核法 发现系统误差的方法 计算数据比较法 误差的直接计算法 秩和检验法 t检验法
1、实验对比法
在确信没有明显的变化系统误差的前提下，通过改变产生 系统误差的条件（通常是改用更高准确度的仪器和基准），在 不同的条件下进行检定性测量，通过比较来发现系统误差。
已知：n1=3，n2=4 计算秩和：T=1+4+5=10
查表得：T-=7，T+=17 因为 （T-=7）< (T=10) < (T+=17)
故无根据怀疑两组间存在系统误差。
7、t 检验法
当两组测量数据服从正态分布，或偏离正态不大但样本数不 是太少（最好不少于20）时，可用t检验法判断两组间是否存在 系统误差。
所以得：
vi
i 1 K i 1
K
j K 1
v
n
j
(li x )
j K 1
(l
n
j
x )
若上式的两部分值Δ显著不为O，则有理由认为测量列存在 线性系统误差。这种校核法又称“马列科夫准则”，它能有效 地发现线性系统误差。但要注意的是，有时按残余误差校核法 求得差值Δ=0，仍有可能存在系统误差。
则有：
P(T T T ) 1
所以（T-，T+）是T的1-α的臵信区间，给定显著性水平α，便 可求得相应的臵信区间。
例：对某量测得两组数据，判断两组间有无系统误差
xi 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 yi 14.6, 15.0, 15.1
误差理论及数据处理第三章 课后答案
修正值=)(4321l l l l ∆+∆+∆+∆- =)1.03.05.07.0(+-+-- =0.4)(m μ 测量误差: l δ=4321lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++±=2222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=，mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=∆，mm b 8.0-=∆，mm c 5.0=∆，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ，mm b 5.0±=δ，mm c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。
abc V = ),,(c b a f V = 2.115.446.1610⨯⨯==abc V)(44.805413mm =体积V 系统误差V ∆为：c ab b ac a bc V ∆+∆+∆=∆)(74.2745)(744.274533mm mm ≈=立方体体积实际大小为：)(70.7779530mm V V V =∆-=222222lim )()()(c b a V cf b f a f δδδδ∂∂+∂∂+∂∂±= 222222)()()(c b a ab ac bc δδδ++±=)(11.37293mm ±=测量体积最后结果表示为:V V V V lim 0δ+∆-=3)11.372970.77795(mm ±=3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、 σ3 。
试求体积的标准差。
解：长方体的体积计算公式为：321a a a V ⋅⋅= 体积的标准差应为：232322222121)()()(σσσσa V a V a V V ∂∂+∂∂+∂∂=现可求出：321a a a V ⋅=∂∂；312a a a V ⋅=∂∂；213a a a V⋅=∂∂ 若：σσσσ===321 则有：232221232322222121)()()()()()(a V a V a V a V a V a V V ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=σσσσσ221231232)()()(a a a a a a ++=σ若：321σσσ≠≠ 则有：232212223121232)()()(σσσσa a a a a a V ++=3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分别为mA I 5.0=σ，V U 1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P σ。
分析化学第六版课后答案2-3章
第二章：误差及分析数据的统计处理思 考 题２．下列情况分别引起什么误差如果是系统误差，应如何消除（1） 砝码被腐蚀； （2） 天平两臂不等长； （3） 容量瓶和吸管不配套； （4） 重量分析中杂质被共沉淀； （5）天平称量时最后一位读数估计不准；（6）以含量为99%的邻苯二甲酸氢钾作基准物标定碱溶液。
答：（1）引起系统误差，校正砝码； （2）引起系统误差，校正仪器； （3）引起系统误差，校正仪器； （4）引起系统误差，做对照试验； （5）引起偶然误差；（6）引起系统误差，做对照试验或提纯试剂。
４．如何减少偶然误差如何减少系统误差答： 在一定测定次数范围内，适当增加测定次数，可以减少偶然误差。
针对系统误差产生的原因不同，可采用选择标准方法、进行试剂的提纯和使用校正值等办法加以消除。
如选择一种标准方法与所采用的方法作对照试验或选择与试样组成接近的标准试样做对照试验，找出校正值加以校正。
对试剂或实验用水是否带入被测成分，或所含杂质是否有干扰，可通过空白试验扣除空白值加以校正。
第三章 滴定分析思 考 题2．能用于滴定分析的化学反应必须符合哪些条件答：化学反应很多，但是适用于滴定分析法的化学反应必须具备下列条件：（１） 反应定量地完成，即反应按一定的反应式进行，无副反应发生，而且进行完全（％），这是定量计算的基础。
（２） 反应速率要快。
对于速率慢的反应，应采取适当措施提高其反应速率。
（３） 能用较简便的方法确定滴定终点。
凡是能满足上述要求的反应，都可以用于直接滴定法中，即用标准溶液直接滴定被测物质。
3．什么是化学计量点什么是终点答：滴加的标准溶液与待测组分恰好反应完全的这一点，称为化学计量点。
在待测溶液中加入指示剂，当指示剂变色时停止滴定，这一点称为滴定终点。
4．下列物质中哪些可以用直接法配制标准溶液哪些只能用间接法配制H 2SO 4,KOH, KMnO 4, K 2Cr 2O 7, KIO 3, Na 2S 2O 3·5H 2O答：K 2Cr 2O 7, KIO 3可以用直接法配制标准溶液，其余只能用间接法配制。
2-3 控制系统的结构图与信号流图
输入节点（源节点）：只有输出支路的节点。 混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点。 输出节点（阱点或汇点）：只有输入支路的节点。
17:19 28
② 信号流图中常用术语 （ⅰ）、通道（通路）：从一个节点开始，沿支路箭头方向 穿过各相连支路的路径。 开通道：通道与任何一个节点只相交一次。 闭通道（回环）：通路的终点回到起点，而通道与任何其它节 点只相交一次。“自环”即闭通道的一种特殊情况。 前向通道：从源点开始到汇点结束的开通道。
H1 G1 1/ G1 1/ G2
17:19
G2
（2） 同时进行串联、并联
26
G 1G2 1/G1＋1/G2＋H1 （3）系统的C（S）/ R（S）
G1G2 ———————— 1+ G1＋G2＋G1G2H
C（s） G1(s)G2(s) —— = —————————————— R（s） 1+ G1(s)＋G2(s)＋G1(s)G2(s)H(s)
C ( S ) G3 G4 G1G2 R( S ) 1 G2G3 H
方法2：B移动到A （略）
17:19 25
例题6 试利用结构图等效变换原则，简化下述结构图，并求取系统 的C（S）/ R（S）。
R（S）
H（S）
A
G1（S）
BC
C（S）
G2（S）
解：（1） 同时将B处相加点前移、C处分支点后移：
17:19 18
⑸ 分支点的移动：移动原则同“⑷相加点的移动”。 ① 前往后移
X1
G（S）
X2 X1
X1
G（S）
X2 X1
1/ G（S）
② 后往前移
X1
G（S）
3-3 第三节 系统误差分析与计算
第三节 系统误差分析与计算对于一个控制系统来说，不但要求其是稳定的，而且还要求其动态特性要好。
但这还不够，因为系统在输入作用下的过渡过程和稳态过程组成了时间响应的全部内容，因而研究系统的稳态过程也是相当重要的。
评定稳态过程的质量指标为稳态误差，是系统控制准确度的一种量度，是一项重要的性能指标。
控制系统设计的课题之一，就是如何使系统的稳态误差小于某个允许值。
一、误差与稳态误差1、误差误差——严格说就是被控对象的实际输出信号与理论输出信号之差。
工程上有两种误差定义。
①按输出端定义的误差含义：误差为系统希望输出量与系统实际输出量之差。
即： ()()()r e t c t c t =−或： ()()()r E s C s C s =−一般来说，这种误差信号直观实用，但是常无法进行测量，具有明显的数学意义，工程实际中相对前一种误差较少使用。
②按输入端定义的误差。
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111E s R s B s R s H s C s R s H s s R s R s H s s G s H s R s G s H s R s G s H s =−=−=−Φ⎡⎤=−Φ⎣⎦⎡⎤=−⋅⋅⎢⎥+⎣⎦=⋅+有时也将()()()11e s G s H s Φ=+称为误差传递函数。
或者，误差表示为时间的函数：()()()e t r t b t =−这种形式的误差可以进行测量，具有一定的物理意义。
2、稳态误差在时域中误差是时间t 的函数()e t 。
一个稳定的闭环控制系统，在外加输入作用下，经过一段时间，其瞬态响应分量衰减到可以忽略的程度，其输出信号()c t 趋于稳态分量，同样其误差信号()ss c t ()e t 也将趋于一个稳态的。
()ss e t 稳态误差——当时间当t 时，→∞()e t 的稳态分量称为稳态误差，既稳定系统误差的终值。
记为()ss e t ()。
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
二级注册计量师2-3习题答案
第三节测量结果1、什么是被测量?举例说明影响量与被测量的区别?被测量:作为被测对象的特定量。
影响量:不是被测量但对测量结果有影响的量。
2、约定值与真值的区别是什么?实际检定工作中常以什么值作为约定真值?约定值:对于给定目的具有适当不确定度的，赋予特定量的值，有时该值是约定采用的。
真值:与给定的特定量的定义一致的值。
3、什么是测量结果? 测量结果:测量所得的赋予被测量的值。
4、什么是测量误差,系统误差,随机误差?测量误差:测量结果减去被测量的真值。
系统误差:在重复性条件下,对同一测量进行无穷多次测量所得结果的平均值与被测量真值之差。
随机误差:测量结果与在重复性条件下对同一被测量进行无穷多次测量所得结果的平均值之差。
5、测量准确度,测量精密度有什么区别?如何正确应用这些术语?测量准确度是指测量结果与被测量真值之间的一致程度。
准确度是一个定性的概念，不能将其量化。
精密度和准确度有区别，不同领域对精密度一词的理解和用法也不相同，难以统一，现在没有对“精密度”一词下定义。
过去常将精密度理解为规定条件下各独立测量结果间的分散性，多次测量结果间的分散性可能很小，但并不表明测得值与真值之间的差值一定很小。
6什么是测量不确定度?什么是标准不确定度,合成标准不确定度和扩展不确定度?测量不确定度:表征合理赋予被测量之值的分散性。
标准不确定度:以标准偏差表示的测量不确定度。
扩展不确定度:确定测量结果的区间的量,合理赋予被测量之值的分布的大部分可望含于次区间。
合成标准不确:当测量结果由若干其他量的值求得时,按其他各量的方差(和)协方差算得的标准不确定度。
7、测量不确定度与测量误差有那些区别?测量误差表明了测量结果偏离真值的多少。
测量误差按性质可分为随机误差和系统误差两类，都是理想的概念。
由于真值未知，现在测量误差一般已不再用于定量描述测量结果的准确程度。
由参考值代替真值时，可得到测量误差的估计值，它是一个有正号或负号的量值，其值为测量结果与被测量的参考值之差，大于参考值时为正，小于参考值为负。
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若
D D 限差 ，则可认为无系统误差，否 则可认为存在系统误差。
5．统计检验法
正误差平方和与负误差平方和之差检验准 则 n 2 令统计量 K Si i2 ，则 K 限差 4 n 。
i 1
若 K K 限差 ，则可认为无系统误差，否
则可认为存在系统误差。
5．统计检验法
异号的有3个 n 1 统计量
i 1
W S i S i 1 3
限差
W
2 n 1 2 10 1 6
W W 限差 ，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
误差数值总和检验准则
统计量
D vi 0
i 1
n
D 限差 2 n s 2 10 0.045 0.285
过程检测技术及仪表
第二章
测量误差与数据处理
2.3
系统误差
索引
一、系统误差的产生和处理原则 二、系统误差的类型 三、系统误差存在的判定 四、消除或削弱系统误差的方法
一、系统误差的产生和处理原则
系统误差是固定不变或按一定规律变化的 误差。 系统误差的产生原因是比较复杂的，它可 能是一个原因在起作用，也可能是多个原 因同时在起作用。主要是由于测量装置误 差、环境误差造成的。
K K 限差，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
阿贝—赫梅特检验准则
统计量
C vi vi 1 0.0078
i 1
n 1
C 限差 n 1s 2 10 1 0.045 2 0.00608
，故可认为存在系统误差， 且为周期性系统误差。
C C 限差
5．统计检验法
误差正负号个数检验准则 用Si表示误差δi的正负号，即：当δi为正 时，Si＝＋1；当δi为负时，Si＝－1；当 δi＝0时，Si＝0。 n 令统计量 S S i ，则 S 限差 2 n。
i 1
若 S S 限差
，则可认为无系统误差，否 则可认为存在系统误差。
3．已定系统误差和未定系统误差
未定系统误差 在测量过程中，误差的大小和符号未知 或变化规律未被充分认识的系统误差， 称为未定系统误差。 对未定系统误差，通常用其变化范围±e 来表示，±e称为误差限。
三、系统误差存在的判定
为了在测量中消除或减小系统误差对测量 的影响，首先必须判定测量过程是否存在 系统误差。 由于在各种测量过程中形成系统误差的因 素错综复杂，目前还未有一种能查明所有 系统误差的方法，因而只能根据已有的经 验，归纳和总结出一些发现系统误差的一 般方法。
vi
i 1
k
i n k 1
v
n
i
3．残余误差校核法
若两代数和之差Δ显著不为零，则可认为测 量中存在着累积系统误差。 这个准则也称为马林科夫判据。
4．不同公式计算标准偏差比较法
对于等精度测量，可以采用不同的公式估 计标准偏差。通过比较估算结果，亦可发 现系统误差。 一般采用贝塞尔公式和佩捷尔斯公式进行 计算比较。
2．利用修正值消除系统误差
通过对测量装置的标定，事先求出修正值， 或给出修正曲线或修正公式。 实际测量时，将测得值加上相应的修正值 就可以得到被测量的实际值，以消除或减 小系统误差。 此种方法不能完全消除系统误差，因为修 正值也存在一定的小误差，但系统误差被 大大削弱了。
3．采用能消除系统误差的 典型测量方法
残余误差观察法： 作vi～n图，如图 所示。 由图可判断存在 周期性系统误差。
系统误差存在的判定例题
残余误差校核法： n＝10，则k＝5。
v
i 1
5 i 1
5
i
0
10
v
i 6
10
i
0
v v
i i 6
i
0 0 0
由此可判断测量列无累积性系统误差。
系统误差存在的判定例题
一、系统误差的产生和处理原则
系统误差的处理原则 首先应当对测量装置、测量对象和测量 数据进行全面的分析，检查和判定测量 过程是否存在系统误差，若存在系统误 差，则采取一定的措施消除或减小系统 误差对测量结果的影响。
二、系统误差的类型
为便于对系统误差进行分析和处理，系统 误差可按不同的角度进行分类。 根据误差是否变化，系统误差可分为恒 值系统误差和变值系统误差。 根据误差变化的规律，变值系统误差又 可分为累积系统误差、周期性系统误差 和复杂规律系统误差。 根据对误差掌握的程度，系统误差可分 为已定系统误差和未定系统误差。
2．残余误差观察法
通过观察残余误差的变化状况来发现系统 误差的存在。 将测量列中各测得值的残余误差按测量的 先后次序排列绘制散点图，观察残余误差 的变化。
2．残余误差观察法
若残余误差大体上是正负相同，无显著变 化规律，如图（a）所示，则无根据怀疑测 量中存在系统误差。 若残余误差的大小有规则的向一个方向变 化，如图（b）所示，则可认为测量中存在 累积系统误差。
6．计算数据比较法
任意两组数据 x i 和 x j 的标准偏差为：
i2 2 j
如果下面的不等式
xi x j 2 i2 2 j
成立，则说明两组数据 x i 和 x j 之间不存在 系统误差，否则，可认为这两组数据和之 间存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
统计检验法 误差正负号个数检验准则 误差为正号的有6个，为负号的有4个 n 统计量 S Si 2
i 1
S 限差 2 n 2 10 6.325
S S 限差 ，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
误差正负号分配检验准则
相邻两误差同号的有6个，相邻两误差
例2-7 等精度测量一电感器的电感量十次， 测量列如下：50.74，50.76，50.82， 50.85，50.83，50.74，50.75，50.81， 50.85，50.85（mH）。试检验此测量列有 无系统误差。 解：采用表格形式进行数据处理。 计算算术平均值 x 50 .80 mH 求各测得值的残余误差，将计算结果填中。 用贝塞尔公式估算标准偏差，得s=0.045。
4．不同公式计算标准偏差比较法
设采用贝塞尔公式计算所得的标准差为σ1， 采用佩捷尔斯公式计算所得的标准差为σ2。 令
如果
2 1 u 1
u 2
n 1 则可怀疑测量列中存在系统误差。
5．统计检验法
根据测量值计算某个统计量，将计算值与 该统计量的限差进行比较，再根据比较结 果来判断测量是否存在系统误差。若计算 值不大于限差，则可认为无系统误差；否 则可认为存在系统误差。 根据此原理可确立以下几个检验准则。
5．统计检验法
误差正负号分配检验准则 n 1 令统计量 W S S ，则 W 限差 2 n 1 。 i i 1
i 1
若 W W 限差
，则可认为无系统误差，否 则可认为存在系统误差。
5．统计检验法
误差数值总和检验准则 n 令统计量 D ，则 D 2 n 。 i 限差
2．累积系统误差、周期性系统误差 和复杂规律系统误差
周期性系统误差 在测量过程中，随着测量时间或测量值 的变化，误差值呈现周期性变化的系统 误差，称为周期性系统误差。 复杂规律系统误差 除上述两种变化规律以外的变值系统误 差，称为复杂规律系统误差。
3．已定系统误差和未定系统误差
已定系统误差 在整个测量过程中，误差的大小和符号 已知或变化规律已被掌握的系统误差， 称为已定系统误差。
si
－1 －1 ＋1 ＋1 ＋1 －1 －1 ＋1 ＋1 ＋1
sisi+1
＋1 －1 ＋1 ＋1 －1 ＋1 －1 ＋1 ＋1
vivi+1
＋0.0024 －0.0008 ＋0.0010 ＋0.0015 －0.0018 ＋0.0030 －0.0005 ＋0.0005 ＋0.0025
系统误差存在的判定例题
2．残余误差观察法
若残余误差的符号作有规律的交替变化， 如图（c）所示，则可认为测量中存在周期 性系统误差。 若残余误差如图（d）所示作有规律的变化， 则可认为测量中存在累积系统误差和周期 性系统误差。
3．残余误差校核法
把n次测量所得的测量值按测量先后次序， 分为前k次和后k次两组。若n为偶数，则k ＝n／2；若n为奇数，则k＝（n+1）／2。 分别求两组测得值的残余误差的代数和， 再求两代数和之差Δ，即
替代法 用检测装置对被测量进行测量后，再用 同一检测装置对一已知标准量进行同样 的测量，并使指示值相同，则已知标准 量的量值即为被测量的量值。
3．采用能消除系统误差的 典型测量方法
例：用等臂天平测量物体的质量x。
为消除因天平臂长l1≠l2而造成的系统误差，
取下x后，再用已知标准砝码P代替x。若天 平仍平衡，则x＝P；若天平不平衡，需加砝 码ΔP才能达到平衡，则x＝P＋ΔP。
四、消除或削弱系统误差的方法
1．从产生系统误差的根源上消除系统误差 2．利用修正值消除系统误差 3．采用能消除系统误差的典型测量方法
1．从产生系统误差的根源上 消除系统误差
从产生系统误差的根源上消除系统误差， 这是最根本的方法。 要在测量之前就去掉产生系统误差的根源， 这就要求测量人员详细检查测量过程中可 能产生系统误差的环节，把它们调整到最 佳状态。
1．恒值系统误差和变值系统误差