系统误差
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第三章系统误差
则有：
P(T T T ) 1
所以（T-，T+）是T的1-α的臵信区间，给定显著性水平α，便 可求得相应的臵信区间。
例：对某量测得两组数据，判断两组间有无系统误差
xi 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 yi 14.6, 15.0, 15.1
将两组数据混合排列成下表
若 K 2 3N 2 应怀疑存在系统误差
6、秩和检验法——用于检验两组数据间的系统误差
秩和检验是一种非参数检验法。它主要研究两个样本是否来 自同一总体，也就是检验两个总体是否相同的问题。严格地讲， 秩和检验只能解决两个总体分布的中心位臵是否相同的问题。 秩和检验最早是由wilcoxon做出的，后来Mann和Whitney算 出了小的n1和n2的T分布，并且找到了一般情况下的T的矩，证明 了对于大的T的n1和n2，T近似服从正态分布。
vi v i '
i 1 i 1 K
K
j k 1 n j k 1
v
n
j K
v ' ( l
j i 1
i
x )
j k 1
( l
n
j
x )
当测量次数足够多时有
v ' v
i 1 i j k 1
K
n
j
'0
设独立测得两组数据为：
x1, x2 , xn1
y1, y2 , yn 2
令变量
t (x y) n1n2 (n1 n2 2)
2 2 (n1 n2 )( n1S1 n2 S 2 )
由数理统计知，变量t是服从自由度为( n1 n2 2 )的t分布变量 其中
P(T T T ) 1
所以（T-，T+）是T的1-α的臵信区间，给定显著性水平α，便 可求得相应的臵信区间。
例：对某量测得两组数据，判断两组间有无系统误差
xi 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 yi 14.6, 15.0, 15.1
将两组数据混合排列成下表
若 K 2 3N 2 应怀疑存在系统误差
6、秩和检验法——用于检验两组数据间的系统误差
秩和检验是一种非参数检验法。它主要研究两个样本是否来 自同一总体，也就是检验两个总体是否相同的问题。严格地讲， 秩和检验只能解决两个总体分布的中心位臵是否相同的问题。 秩和检验最早是由wilcoxon做出的，后来Mann和Whitney算 出了小的n1和n2的T分布，并且找到了一般情况下的T的矩，证明 了对于大的T的n1和n2，T近似服从正态分布。
vi v i '
i 1 i 1 K
K
j k 1 n j k 1
v
n
j K
v ' ( l
j i 1
i
x )
j k 1
( l
n
j
x )
当测量次数足够多时有
v ' v
i 1 i j k 1
K
n
j
'0
设独立测得两组数据为：
x1, x2 , xn1
y1, y2 , yn 2
令变量
t (x y) n1n2 (n1 n2 2)
2 2 (n1 n2 )( n1S1 n2 S 2 )
由数理统计知，变量t是服从自由度为( n1 n2 2 )的t分布变量 其中
系统误差
X1 X N X X N 1 , X '2 2 2 2 新序列的图如下图所示 X '1
可以看到，系统误差已经被消除
System Error
周期性系统误差的消除——半周期法
含有周期性系统误差的残差序列，残差的量值按周期变化， 要消除系统误差，首先要检测到周期大小。 从图（a）中可以看到 相隔半个周期的两个残 差的量值大小相等，符 号相反，能够相互抵消。
System Error
系統誤差
System Error
系统误差
系统误差是按确定规律变化的误差，其正负和大小均 可预知，这是系统误差与随机误差的不同之处。系统误差 和随机误差的不同之处还表现在系统误差的可控性，如在 讨论随机误差时，可以假设不存在系统误差，但任何情况 下随机误差都是要发生的，随机误差就是不可控的。 系统误差没有像随机误差一样的基本数据处理方法， 只能根据具体情况采取不同的方法来处理有关数据。
System Error
分类（规律）
线性变化的系统误差
x
x A A
变化系统误差
周期性变化的系统误差
System Error
分类（规律）
线性变化的系统误差
测量过程中，测量误差按时间顺序有规律的变化，如果这 种变化是能够确定的线性规律，这种误差被称之为按线性 变化的系统误差。
x
A
eg
当环境温度变化时， 如果测量仪表的测量 误差随温度线性变化， 在测量序列中会出现 线性变化的系统误差。 在测量序列中，线性变化的系 统误差只出现在有限的时间之 内，不能持续很长的一段时间
System Error
消除系统误差产生的根源
要减少系统误差要注意以下几个方面。 1．采用的测量方法及原理正确。 2．选用的仪器仪表的类型正确，准确度满足要求。 3．测量仪器应定期校准、检定，测量前要调零， 应按照操作规程正确使用仪器。对于精密测量必 要时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。 4．条件许可，尽量采用数显仪器。 5．提高操作人员的操作水平及技能。
2-3系统误差
i 1
若
D D 限差 ，则可认为无系统误差，否 则可认为存在系统误差。
5．统计检验法
正误差平方和与负误差平方和之差检验准 则 n 2 令统计量 K Si i2 ，则 K 限差 4 n 。
i 1
若 K K 限差 ，则可认为无系统误差，否
则可认为存在系统误差。
5．统计检验法
异号的有3个 n 1 统计量
i 1
W S i S i 1 3
限差
W
2 n 1 2 10 1 6
W W 限差 ，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
误差数值总和检验准则
统计量
D vi 0
i 1
n
D 限差 2 n s 2 10 0.045 0.285
过程检测技术及仪表
第二章
测量误差与数据处理
2.3
系统误差
索引
一、系统误差的产生和处理原则 二、系统误差的类型 三、系统误差存在的判定 四、消除或削弱系统误差的方法
一、系统误差的产生和处理原则
系统误差是固定不变或按一定规律变化的 误差。 系统误差的产生原因是比较复杂的，它可 能是一个原因在起作用，也可能是多个原 因同时在起作用。主要是由于测量装置误 差、环境误差造成的。
K K 限差，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
阿贝—赫梅特检验准则
统计量
C vi vi 1 0.0078
i 1
n 1
C 限差 n 1s 2 10 1 0.045 2 0.00608
，故可认为存在系统误差， 且为周期性系统误差。
若
D D 限差 ，则可认为无系统误差，否 则可认为存在系统误差。
5．统计检验法
正误差平方和与负误差平方和之差检验准 则 n 2 令统计量 K Si i2 ，则 K 限差 4 n 。
i 1
若 K K 限差 ，则可认为无系统误差，否
则可认为存在系统误差。
5．统计检验法
异号的有3个 n 1 统计量
i 1
W S i S i 1 3
限差
W
2 n 1 2 10 1 6
W W 限差 ，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
误差数值总和检验准则
统计量
D vi 0
i 1
n
D 限差 2 n s 2 10 0.045 0.285
过程检测技术及仪表
第二章
测量误差与数据处理
2.3
系统误差
索引
一、系统误差的产生和处理原则 二、系统误差的类型 三、系统误差存在的判定 四、消除或削弱系统误差的方法
一、系统误差的产生和处理原则
系统误差是固定不变或按一定规律变化的 误差。 系统误差的产生原因是比较复杂的，它可 能是一个原因在起作用，也可能是多个原 因同时在起作用。主要是由于测量装置误 差、环境误差造成的。
K K 限差，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
阿贝—赫梅特检验准则
统计量
C vi vi 1 0.0078
i 1
n 1
C 限差 n 1s 2 10 1 0.045 2 0.00608
，故可认为存在系统误差， 且为周期性系统误差。
3系统误差概念
p (− tσ ∆x ≤ x1 − x2 < tσ ∆x ) = pa
pa = p ( x1 − x2 < tσ ∆x )
pa 为与 t 对应的置信概率，也可写成
在给定置信概率 pa 时 ，若 x1 − x2 ≥ tσ ∆x ，则测量含有定值系统误差 。
7
3.2 系统误差的发现方法
例3.1 在不同条件下测某一尺寸，第一组测得的 x = 10.0236mm ， 1 σ x = 0.2 µm ；第二组测得的 x2 = 10.0248mm ， σ x = 0.2 µm 。
15
3.2 系统误差的发现方法
例3.3 测量一尺寸，将连续获得的测得值按先后顺序列于表3.2。试判断其 中是否含有系统误差。
表3.2
测量顺序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n=10
数据表
测得值 xi / mm 残差 34.588 34.589 34.588 34.590 34.592 34.594 34.596 34.600 34.600 34.603 －6 －5 －6 －4 －2 0 ＋2 ＋6 ＋6 ＋9
自由度 ν = n1 + n2 − 2 = 15，取置信概率 pa = 0.99 ，查附录表2得 t = 2.95 。 此时，∆x 的随机误差限为
tσ ∆x = 2.95 × 0.0174 = 0.051mm
∆x = x1 − x2 = 14.223 − 14.176 = 0.047mm ∆x < tσ ∆x
xi′ =
i =1 i
∑ x′ ∑ ( x + ∆ ) ∑ x′
n =
i =1 i 0
n
n
n
=
i =1
i
误差理论第二章系统误差处理
1
②线形变化的系统误差
即在测量过程中，误差值随测量值或时间的变化成比例地增大或减小。 如刻度值为1mm的标准刻尺，由于有刻划误差δ，每一刻度实际间 距为（1+δ/mm)mm，当用它与另一长度比较，得到比值为K， 则被测长度的实际值为：L=K（1+δ/mm)mm，但读数值为 Kmm，这就产生随测量值变化的线形系统误差-Kδ。（如杆秤） ③周期变化的系统误差
令变量t x y
nxny nx ny 2
,
nx ny
nx
2 x
ny
2 y
其中，x 1 nx
1 xi , y ny
yi
,
2 x
1 nx
xi
x
2
,
2 y
1 ny
2
yi y ,
取显著度，自由度nx ny 2，由t分布表查P t t 中的t，
若 t t ,则认为两组间无系统误差。
注：作 图比较！
4
（三）残余误差校核法
①用于发现线性系统误差
将测量列中前k个残余误差相加，后n-k个残余误差相加。两者相减，
差值Δ：
k
n
vi vi
i 1
ik 1
若Δ显著不为0，则认为测量列可能存在线性系统误差。
其中，当n为偶数时，k=n/2；当n为奇数时，k=(n+1)/2。该 校核法称为马科夫准则。它能有效地发现线性系统误差，但不能发 现不变的系统误差。
2
三、系统误差的发现
由于系统误差通常数值较大，产生原因复杂，需根据具体测量过程和 测量仪器具体分析。 常用的用于发现系统误差的方法： （一）实验对比法 是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差。 适用于发现不变的系统误差。（如用工商局的电子秤与小贩的秤比对） （二）残余误差观察法 是根据测量列的各个残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差 数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。主要用于发现有规律变化 的系统误差。 具体办法：根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表或作图进行 观察，可以判断有无系统误差。
②线形变化的系统误差
即在测量过程中，误差值随测量值或时间的变化成比例地增大或减小。 如刻度值为1mm的标准刻尺，由于有刻划误差δ，每一刻度实际间 距为（1+δ/mm)mm，当用它与另一长度比较，得到比值为K， 则被测长度的实际值为：L=K（1+δ/mm)mm，但读数值为 Kmm，这就产生随测量值变化的线形系统误差-Kδ。（如杆秤） ③周期变化的系统误差
令变量t x y
nxny nx ny 2
,
nx ny
nx
2 x
ny
2 y
其中，x 1 nx
1 xi , y ny
yi
,
2 x
1 nx
xi
x
2
,
2 y
1 ny
2
yi y ,
取显著度，自由度nx ny 2，由t分布表查P t t 中的t，
若 t t ,则认为两组间无系统误差。
注：作 图比较！
4
（三）残余误差校核法
①用于发现线性系统误差
将测量列中前k个残余误差相加，后n-k个残余误差相加。两者相减，
差值Δ：
k
n
vi vi
i 1
ik 1
若Δ显著不为0，则认为测量列可能存在线性系统误差。
其中，当n为偶数时，k=n/2；当n为奇数时，k=(n+1)/2。该 校核法称为马科夫准则。它能有效地发现线性系统误差，但不能发 现不变的系统误差。
2
三、系统误差的发现
由于系统误差通常数值较大，产生原因复杂，需根据具体测量过程和 测量仪器具体分析。 常用的用于发现系统误差的方法： （一）实验对比法 是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差。 适用于发现不变的系统误差。（如用工商局的电子秤与小贩的秤比对） （二）残余误差观察法 是根据测量列的各个残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差 数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。主要用于发现有规律变化 的系统误差。 具体办法：根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表或作图进行 观察，可以判断有无系统误差。
第二章 第二节系统误差
u=
2
∑v v
i =1
n −1
i i +1
= v1v 2 + v 2 v3 +
v n −1v n
若 u > n − 1σ 则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法又叫阿卑—赫 梅特准则（Abbe-Helmert准则）。
第二节 系统误差
三、系统误差的发现方法
(四)、不同公式计算标准差比较法
对等精度测量，可用不同公式计算标准差，通过比较发现系统误差。 贝塞尔公式： ∑ vi2
li − x = vi
li ' − x ' = vi '
l n = l n' + Δ l n
vi = vi ' + ( Δli − Δ x)
'
若系统误差显著大于随机误差， vi 可予忽略，则得
vi ≈ Δxi − Δ x
9由上式看出，显著含有系统误差的测量列，其任一测量值的残余误差约为系统误
差与测量列系统误差平均值之差。
三、系统误差的发现方法
不同性质的系统误差，可按照下述两类方法加以识别： 1、用于发现测量列组内的系统误差:实验对比法、残余误差 观察法、残余误差校核法和不同公式计算标准差比较法； 2、用于发现各组测量值间的系统误差:计算数据比较法、秩 和检验法、和 t 检验法。
⎧ ⎧实验对比法 ⎪ ⎪ ⎪组内 ⎪残余误差观察法 ⎨ ⎪ ⎪残余误差校核法 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩不同公式计算标准差法 发现系统误差的方法 ⎨ ⎪ ⎪ ⎧计算数据比较法 ⎪ ⎪ 组间 ⎨秩和检验法 ⎪ ⎪t检验法 ⎪ ⎩ ⎩
ε = L[a1 (t1 − 20) − a2 (t2 − 20)]
第二节 系统误差
2
∑v v
i =1
n −1
i i +1
= v1v 2 + v 2 v3 +
v n −1v n
若 u > n − 1σ 则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法又叫阿卑—赫 梅特准则（Abbe-Helmert准则）。
第二节 系统误差
三、系统误差的发现方法
(四)、不同公式计算标准差比较法
对等精度测量，可用不同公式计算标准差，通过比较发现系统误差。 贝塞尔公式： ∑ vi2
li − x = vi
li ' − x ' = vi '
l n = l n' + Δ l n
vi = vi ' + ( Δli − Δ x)
'
若系统误差显著大于随机误差， vi 可予忽略，则得
vi ≈ Δxi − Δ x
9由上式看出，显著含有系统误差的测量列，其任一测量值的残余误差约为系统误
差与测量列系统误差平均值之差。
三、系统误差的发现方法
不同性质的系统误差，可按照下述两类方法加以识别： 1、用于发现测量列组内的系统误差:实验对比法、残余误差 观察法、残余误差校核法和不同公式计算标准差比较法； 2、用于发现各组测量值间的系统误差:计算数据比较法、秩 和检验法、和 t 检验法。
⎧ ⎧实验对比法 ⎪ ⎪ ⎪组内 ⎪残余误差观察法 ⎨ ⎪ ⎪残余误差校核法 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩不同公式计算标准差法 发现系统误差的方法 ⎨ ⎪ ⎪ ⎧计算数据比较法 ⎪ ⎪ 组间 ⎨秩和检验法 ⎪ ⎪t检验法 ⎪ ⎩ ⎩
ε = L[a1 (t1 − 20) − a2 (t2 − 20)]
第二节 系统误差
系统误差
► 方法2：将残余误差排列为 方法2
v1,v2,...,vn。若有周期性的系统误 差，则相邻两个残余误差的值（v 差，则相邻两个残余误差的值（vivi+1）的符号会交替变化。
► 原理：阿卑-赫梅尔准则 原理：阿卑-
► 适用：周期性分量是整个测量误差 适用：
的主要成分
不同公式计算标准差比较法
► 由σ1（贝塞尔公式）、σ2（别捷尔斯公式） σ1（贝塞尔公式）、σ2（别捷尔斯公式）
2：测量数据数目大于10时，可以检验T的正态分布。 T-a=tσ，t=(T-a)/σ
取显著度α=0.05，看/t/是否小于tα
t检验法
► 原理：设两组独立数据为：
xi(i=1,2,...,n) yi(i=1,2,...,n)
x(均值)=nx/Σxi y(均值)=n t服从自由度为nx/Σy y-2的t分布 服从自由度为n +n
怎样发现系统误差
►1：发现测量列组内的系统误差
实验对比法 残余误差观测法 残余误差校核法 不同公式计算比较标准差法
2：发现各组测量之间的系统误差
计算数据比较法 秩和检验法 t检验法
△实验对比法
► 原理：改变测量条件（选用更高精
度的测量仪器） ► 适用：发现不变的系统误差
残余误差观察法
原理： 原理 设测量列数据为 l1 ,l2 ,...,ln 系统误差为 △l1,△l2,...,△ln 不含系统误差的值为l1',l2',...,ln' 对于任意测量值，有： li=li'+△li 算术平均值为：x(测量列的算术平 均值)=x'（不含系统误差的值的算 术平均值）-△x（系统误差的算术 平均值） 再求残余误差（测量结果减去被测 量的最佳估计值）
简述系统误差产生的原因及误差消除的方法
简述系统误差产生的原因及误差消除的方法系统误差一般指计算机系统中的数据处理出现的偏差，它会对系统的准确性和可靠性造成负面影响，下面简要介绍系统误差产生的原因及误差消除的方法。
一、系统误差的原因
1、计算机硬件错误：计算机芯片上的电路板，或者软件中的算法失误，会导致系统产生误差；
2、操作系统错误：操作系统中的软件函数，或者对系统参数的调整不当，也会导致计算误差；
3、数据错误：输入的数据错误，或者输入数据的顺序导致的计算结果出现偏差，都会引发系统误差；
4、算法错误：算法的选择和使用是否正确，会影响系统精度和准确性，容易引发系统误差。
二、误差消除的方法
1、重新检查系统硬件：重新校验系统的硬件，如内存、硬盘、CPU、显卡等，确保硬件的正确，消除硬件导致的系统误差；
2、调整操作系统参数：可根据系统的要求，正确调整操作系统中的参数，消除操作系统参数调整不当导致的误差；
3、检验输入数据：在输入数据之前，先检查数据的正确性，确保输入的数据处于正确的格式，避免输入数据错误导致的误差；
4、选择适当的算法：算法的选择非常重要，应根据系统的实际要求，选择恰当的算法，才能正确计算出系统精度要求的结果，避免
算法使用失误导致的误差。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
测量装置的因素
计量校准后 发现的偏差
标准环规的 直径偏差
测量人员的因素
仪器设计原 理的缺陷
齿轮杠杆测微仪 直线位移和转角 不成比例的误差
仪器制造和安 装的不正确
标尺的刻度误差、刻 度盘和指针的安装偏 心、仪器导轨的误差
由于测量者固有的测量习性，如读出刻度上读数时，习惯于 偏于某一个方向，记录动态测量数据时总有一个滞后的倾向等
t1 b a c
e d t3 t2 t4 t
系统误差 对测量结果的影响
1．对测量最佳值的影响
测量数据 x1, x2 ,..., xn 系统误差 1 , 2 ,..., n 随机误差 1 , 2 ,..., n 真值 x0
xi x0 i i
则这组测量数据的算术平均值
系统误差的特征与分类
在同一条件下，多次测量同一量值时，误 差的绝对值和符号保持不变，或者在条件 改变时，误差按一定的规律变化，故多次 测量同一量值时，系统误差不具有抵偿性， 这是系统误差与随机误差的本质区别。 根据系统误差在测量过程中所具有的不同 变化特性，将系统误差分为恒定系统误差 和可变系统误差两大类。
恒定系统误差
在整个测量过程中，误差大小和符号均固 定不变的系统误差
某量块的公称尺寸为10mm，实际尺寸为 10.001mm,误差为-0.001mm,若按公称尺寸使 用,则始终会存在-0.001mm的系统误差 某千分尺零位位置不指零，也会在使用过程中 造成对每次测量量值读数的一个常量的零值误 差
测量数据的残余误差 1 1 i xi x x0 i i ( x0 i ) i ( i i )
n n
( 对于恒定系统误差， i
为零，说明恒定 系统误差不会影响对残差的计算，因而不会对 标准差的估计产生影响 对于可变系统误差的情形，上式第二项一般 不为零，说明可变系统误差还会对标准偏差 的估计产生影响
1 i ) n
小结
恒定系统误差 恒定系统误差以大小和符号固定的形式存在于每 个测量值中。它在数据处理中只影响算术平均值， 而不影响残差及标准差。因此除了要设法找出该恒 定系统误差的大小和符号，对其算术平均值加以修 正外，不会影响其他数据处理的过程。 可变系统误差
由于它对算术平均值和残差均产生影响，所以 应在处理测量数据的过程中，必须要同时设法找 出该误差的变化规律，进而消除其对测量结果的 影响。
第5章 系统误差
教学目标
测量过程中系统误差往往伴随着随机误差 一起出现，但系统误差更具有隐蔽性。 本章讨论系统误差的来源、分类以及对测 量结果的影响 发现和检验系统误差的方法
消除系统误差的基本方法
教学重点和难点
系统误差产生的原因 系统误差的特征 系统误差的发现
系统误差的统计检验
复杂规律变化系统误差
在整个测量过程中，随着测量位置或时间 的变化，误差按确定的更为复杂的规律变 化，称其为复杂规律变化系统误差
如导轨的直线度误差；刻度分划不规则的示值 误差。 复杂规律一般可建立诸如代数多项式、三角多 项式或其他正交函数多项式等数学模型来描述
各种系统误差的示意图
曲线a是恒定系统误差， 曲线b是线性变化系统 误差，曲线c是非线性 变化系统误差，曲线d 是周期性变化系统误 差，曲线e是复杂规律 变化系统误差。
记序差 xi xi 1 ( xi x ) ( xi 1 x ) i i 1
序差平方和 残差平方和
B ' ( xi xi 1 ) (i i 1 ) 2
测量环境和测量方法的因素
测量环境的因素
测量时的实际温度对标准温度的偏差，对测量 结果可以按确定规律修正的误差等等
测量方法的因素
采用近似的测量方法或近似的计算公式等所引起 的误差 用均值电压表测量交流电压时，由于计算公式 出现无理数 和 2 ，取近似公式 1.11U ，由 此产生的误差
和检验法（检验显著递增和递减误差）
将测量列中前K个残差相加，后n-K个残差相加。当n n1 n 为偶数时，取 K 2 ，n为奇数时，取 K 2
前半残差和
引入统计量 若
|
1
后半残差和
1 2
2
1
2
| 2 n s
存在显著的线性变化或递增、递减系统误差 。
小样本序差法：用于发现周期性系统误差
仪表指针的回转中心与刻度盘中心有一个偏离值 e ，则 指针在任一转角 处引起的读数误差为L e sin 。 此误差变化规律符合正弦曲线规律，当指针在00和 1800时误差为零，而在900和2700时误差绝对值达最大 某齿轮、光学分度头中分度盘等安装偏心引起的齿轮 齿距误差、分度误差，都是属于正弦规律变化的系统 误差
0
5
10
15
【解】
计算 x 2.973
s 0.12
t
x x0 s/ n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.48
t 2.48 t / 2 (14) 2.145 故仪器有显著系统误差 0.05
修正值
x0 x 0.077
二、组内统计检验 （残差统计法）
变值系统误差的残差观察法
第二节 系统误差的发现 与统计检验
发现系统误差的常用方法
因为系统误差的数值往往比较大，必须清除系统误 差的影响，才能有效地提高测量准确度。为了消除 或减少系统误差，首先碰到的问题是如何发现系统 误差。 在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，通常 人们难于查明所有的系统误差，即使经过修正系统 误差，也不可能全部消除系统误差的影响。
在计量检定中，常设 x0 （标准器具量值）， 对均值 x 进行检定，判断其是否含有系统误差。
现对被检量重复测量 n次，假设测量服从正态分布
用标准器具（物质）检定步骤
1、计算均值 x ，按贝塞尔公式计算标准差 s 2、构造统计量
t x x0 s/ n ~ t (n 1)
2
x ( x0 x )
系统误差虽然有着确定的规律性，即它 的出现具有必然性。但它的规律性不容 易被人们发现，因为系统误差是隐藏在 测量数据之中的。而重复测量又不能降 低它对测量结果的影响，因此系统误差 的潜伏性，使得它比随机误差更具危险 性。所以研究系统误差的规律性，用一 定的法则和判据及时发现系统误差的存 在并加以消除，就显得十分重要。
一、系统误差产生的原因
在测量过程中，影响测量偏离真值的所 有误差因素中，只要是由确定性变化规律 的因素造成的，都可以归结为是系统误差 的原因 系统误差产生的原因从各种可能影响 测量结果的要素中去寻找 系统误差是可以设法预测的 测量装置的因素 测量方法的因素 测量环境的因素 测量人员的因素
测量装置和测量人员的因素
在某些测量实践中，系统误差的数值相当大， 甚至要比随机误差大得多。例如：在高精度比 较测量中，由基准件（如量块）误差所产生的 系统误差可占测量总误差的一半以上。因此， 消除系统误差往往成为提高测量精度的关键。 对系统误差的认识，限制和消除，目前还没有 普遍适用的法则和方法，而是依赖于所研究问 题的特殊规律，以及测量者的学识、经验、技 巧和测量技术的发展。因此研究系统误差的规 律性就具有迫切性和现实性。
vi
vi
i
vi vi
i
i
i
1）可否直接对测值进行观察来发现变值系统误差？ (c) (d) 2）可否直接对测值进行观察来发现定值系统误差？
常用的系统误差检验方法
残差散点图上并没有标明测量真值的位置。因 此，只分析残差是无法发现恒定系统误差的 用残差散点图观察系统误差是否存在，还缺乏 定量的检验界限
两个常用从残差出发的系统误差检验方法 和检验法 小样本序差法
多项式变化的系统误差
非线性的系统误差可用多项式来描述它的非线 性关系。例如：电阻与温度的关系为： 若以Rt 来代替R20，则所产生的电阻误差 Δ R 为： Δ R的误差曲线为一抛物线（随温度变化的）
周期性变化系统误差
在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化， 误差按周期性规律变化的，称其为周期性变化系 统误差
用标准器具（物质）检定 组内统计检验（残差统计法） 组间系统误差检验
实验对比法
改变产生系统误差的条件进行不同条件下的 对比测量以发现系统误差，这种方法适用发 现不变的系统误差。其基本思想是改变产生 系统误差的条件，进行不同条件的测量。
例如，采用不同方法测同一物理量，若其结果不 一致，表明至少有一种方法存在系统误差。
3、在给定显著水平 下，查 t 分布表的临界值t (n 1) 4、作出决策。若 | t | t 2 (n 1) ，判定被检量算术平 均值与期望的标准值之间存在显著的差异，即被 检量含有恒定的系统误差( x x0 ) 。 5、加修正值。对测得值 x加一个修正值( x0 x )，即
系统误差减少和消除的方法
第一节 系统误差概述
系统误差的定义 系统误差产生的原因 系统误差的分类与特征
对随机误差所进行的数学处理和估 计，是以测量数据中不含有系统误 差为前提的。因而研究系统误差的 规律性，并尽可能地消除系统误差 对测量结果的影响，否则对随机误 差的估计就会丧失精确性而变得毫 无意义。
可变系统误差
在整个测量过程中，误差的大小和符号随着 测量位置或时间的变化而发生有规律的变化
线性变化系统误差
周期性变化系统误差
复杂规律变化系统误差
线性变化系统误差
计量校准后 发现的偏差
标准环规的 直径偏差
测量人员的因素
仪器设计原 理的缺陷
齿轮杠杆测微仪 直线位移和转角 不成比例的误差
仪器制造和安 装的不正确
标尺的刻度误差、刻 度盘和指针的安装偏 心、仪器导轨的误差
由于测量者固有的测量习性，如读出刻度上读数时，习惯于 偏于某一个方向，记录动态测量数据时总有一个滞后的倾向等
t1 b a c
e d t3 t2 t4 t
系统误差 对测量结果的影响
1．对测量最佳值的影响
测量数据 x1, x2 ,..., xn 系统误差 1 , 2 ,..., n 随机误差 1 , 2 ,..., n 真值 x0
xi x0 i i
则这组测量数据的算术平均值
系统误差的特征与分类
在同一条件下，多次测量同一量值时，误 差的绝对值和符号保持不变，或者在条件 改变时，误差按一定的规律变化，故多次 测量同一量值时，系统误差不具有抵偿性， 这是系统误差与随机误差的本质区别。 根据系统误差在测量过程中所具有的不同 变化特性，将系统误差分为恒定系统误差 和可变系统误差两大类。
恒定系统误差
在整个测量过程中，误差大小和符号均固 定不变的系统误差
某量块的公称尺寸为10mm，实际尺寸为 10.001mm,误差为-0.001mm,若按公称尺寸使 用,则始终会存在-0.001mm的系统误差 某千分尺零位位置不指零，也会在使用过程中 造成对每次测量量值读数的一个常量的零值误 差
测量数据的残余误差 1 1 i xi x x0 i i ( x0 i ) i ( i i )
n n
( 对于恒定系统误差， i
为零，说明恒定 系统误差不会影响对残差的计算，因而不会对 标准差的估计产生影响 对于可变系统误差的情形，上式第二项一般 不为零，说明可变系统误差还会对标准偏差 的估计产生影响
1 i ) n
小结
恒定系统误差 恒定系统误差以大小和符号固定的形式存在于每 个测量值中。它在数据处理中只影响算术平均值， 而不影响残差及标准差。因此除了要设法找出该恒 定系统误差的大小和符号，对其算术平均值加以修 正外，不会影响其他数据处理的过程。 可变系统误差
由于它对算术平均值和残差均产生影响，所以 应在处理测量数据的过程中，必须要同时设法找 出该误差的变化规律，进而消除其对测量结果的 影响。
第5章 系统误差
教学目标
测量过程中系统误差往往伴随着随机误差 一起出现，但系统误差更具有隐蔽性。 本章讨论系统误差的来源、分类以及对测 量结果的影响 发现和检验系统误差的方法
消除系统误差的基本方法
教学重点和难点
系统误差产生的原因 系统误差的特征 系统误差的发现
系统误差的统计检验
复杂规律变化系统误差
在整个测量过程中，随着测量位置或时间 的变化，误差按确定的更为复杂的规律变 化，称其为复杂规律变化系统误差
如导轨的直线度误差；刻度分划不规则的示值 误差。 复杂规律一般可建立诸如代数多项式、三角多 项式或其他正交函数多项式等数学模型来描述
各种系统误差的示意图
曲线a是恒定系统误差， 曲线b是线性变化系统 误差，曲线c是非线性 变化系统误差，曲线d 是周期性变化系统误 差，曲线e是复杂规律 变化系统误差。
记序差 xi xi 1 ( xi x ) ( xi 1 x ) i i 1
序差平方和 残差平方和
B ' ( xi xi 1 ) (i i 1 ) 2
测量环境和测量方法的因素
测量环境的因素
测量时的实际温度对标准温度的偏差，对测量 结果可以按确定规律修正的误差等等
测量方法的因素
采用近似的测量方法或近似的计算公式等所引起 的误差 用均值电压表测量交流电压时，由于计算公式 出现无理数 和 2 ，取近似公式 1.11U ，由 此产生的误差
和检验法（检验显著递增和递减误差）
将测量列中前K个残差相加，后n-K个残差相加。当n n1 n 为偶数时，取 K 2 ，n为奇数时，取 K 2
前半残差和
引入统计量 若
|
1
后半残差和
1 2
2
1
2
| 2 n s
存在显著的线性变化或递增、递减系统误差 。
小样本序差法：用于发现周期性系统误差
仪表指针的回转中心与刻度盘中心有一个偏离值 e ，则 指针在任一转角 处引起的读数误差为L e sin 。 此误差变化规律符合正弦曲线规律，当指针在00和 1800时误差为零，而在900和2700时误差绝对值达最大 某齿轮、光学分度头中分度盘等安装偏心引起的齿轮 齿距误差、分度误差，都是属于正弦规律变化的系统 误差
0
5
10
15
【解】
计算 x 2.973
s 0.12
t
x x0 s/ n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.48
t 2.48 t / 2 (14) 2.145 故仪器有显著系统误差 0.05
修正值
x0 x 0.077
二、组内统计检验 （残差统计法）
变值系统误差的残差观察法
第二节 系统误差的发现 与统计检验
发现系统误差的常用方法
因为系统误差的数值往往比较大，必须清除系统误 差的影响，才能有效地提高测量准确度。为了消除 或减少系统误差，首先碰到的问题是如何发现系统 误差。 在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，通常 人们难于查明所有的系统误差，即使经过修正系统 误差，也不可能全部消除系统误差的影响。
在计量检定中，常设 x0 （标准器具量值）， 对均值 x 进行检定，判断其是否含有系统误差。
现对被检量重复测量 n次，假设测量服从正态分布
用标准器具（物质）检定步骤
1、计算均值 x ，按贝塞尔公式计算标准差 s 2、构造统计量
t x x0 s/ n ~ t (n 1)
2
x ( x0 x )
系统误差虽然有着确定的规律性，即它 的出现具有必然性。但它的规律性不容 易被人们发现，因为系统误差是隐藏在 测量数据之中的。而重复测量又不能降 低它对测量结果的影响，因此系统误差 的潜伏性，使得它比随机误差更具危险 性。所以研究系统误差的规律性，用一 定的法则和判据及时发现系统误差的存 在并加以消除，就显得十分重要。
一、系统误差产生的原因
在测量过程中，影响测量偏离真值的所 有误差因素中，只要是由确定性变化规律 的因素造成的，都可以归结为是系统误差 的原因 系统误差产生的原因从各种可能影响 测量结果的要素中去寻找 系统误差是可以设法预测的 测量装置的因素 测量方法的因素 测量环境的因素 测量人员的因素
测量装置和测量人员的因素
在某些测量实践中，系统误差的数值相当大， 甚至要比随机误差大得多。例如：在高精度比 较测量中，由基准件（如量块）误差所产生的 系统误差可占测量总误差的一半以上。因此， 消除系统误差往往成为提高测量精度的关键。 对系统误差的认识，限制和消除，目前还没有 普遍适用的法则和方法，而是依赖于所研究问 题的特殊规律，以及测量者的学识、经验、技 巧和测量技术的发展。因此研究系统误差的规 律性就具有迫切性和现实性。
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1）可否直接对测值进行观察来发现变值系统误差？ (c) (d) 2）可否直接对测值进行观察来发现定值系统误差？
常用的系统误差检验方法
残差散点图上并没有标明测量真值的位置。因 此，只分析残差是无法发现恒定系统误差的 用残差散点图观察系统误差是否存在，还缺乏 定量的检验界限
两个常用从残差出发的系统误差检验方法 和检验法 小样本序差法
多项式变化的系统误差
非线性的系统误差可用多项式来描述它的非线 性关系。例如：电阻与温度的关系为： 若以Rt 来代替R20，则所产生的电阻误差 Δ R 为： Δ R的误差曲线为一抛物线（随温度变化的）
周期性变化系统误差
在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化， 误差按周期性规律变化的，称其为周期性变化系 统误差
用标准器具（物质）检定 组内统计检验（残差统计法） 组间系统误差检验
实验对比法
改变产生系统误差的条件进行不同条件下的 对比测量以发现系统误差，这种方法适用发 现不变的系统误差。其基本思想是改变产生 系统误差的条件，进行不同条件的测量。
例如，采用不同方法测同一物理量，若其结果不 一致，表明至少有一种方法存在系统误差。
3、在给定显著水平 下，查 t 分布表的临界值t (n 1) 4、作出决策。若 | t | t 2 (n 1) ，判定被检量算术平 均值与期望的标准值之间存在显著的差异，即被 检量含有恒定的系统误差( x x0 ) 。 5、加修正值。对测得值 x加一个修正值( x0 x )，即
系统误差减少和消除的方法
第一节 系统误差概述
系统误差的定义 系统误差产生的原因 系统误差的分类与特征
对随机误差所进行的数学处理和估 计，是以测量数据中不含有系统误 差为前提的。因而研究系统误差的 规律性，并尽可能地消除系统误差 对测量结果的影响，否则对随机误 差的估计就会丧失精确性而变得毫 无意义。
可变系统误差
在整个测量过程中，误差的大小和符号随着 测量位置或时间的变化而发生有规律的变化
线性变化系统误差
周期性变化系统误差
复杂规律变化系统误差
线性变化系统误差